Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
14/10/2013 1 Professora: Jossana Ferreira Transformação LinearTransformação Linear Matrizes •Matrizes e Transformação linear •Forma matricial •Qualquer transformação linear pode ser expressa na forma matricial •Exemplo: Seja uma transformação linear T:ℜn →ℜm , definida pelas equações da forma: nmnmmm nn nn xaxaxaw xaxaxaw xaxaxaw +++= +++= +++= ... ... ... 2211 22221212 12121111 MMMM •Que ainda pode ser escrita como: •Onde todas as operações podem ser executadas normalmente = nmnmm n n m x x x aaa aaa aaa w w w M L MOMM L L M 2 1 21 22221 11211 2 1 14/10/2013 2 •Prova que T(x)=Ax é uma transformação linear i) F(u + v) = F(u) + F(v) F(u + v) = A(u + v) = Au + A v = F(u) + F(v) ii) F(k. u) = k.F(u) F(k. u) = A(k. u) = A.k. u = k.A. u = k(Au) = k.F(u) •Exemplo: Seja A e T:M22(ℜ)→M22 (ℜ), definida por: T(x)=Ax . Encontre o núcleo e a Imagem de T. = 10 21 A •Exemplo: Núcleo: T(x)=0, Ax = 0 Considerando = dc ba x = 00 00 10 21 dc ba = ++ 00 0022 dc dbca •Exemplo: •Núcleo de T é o subespaço gerado pela base: = =+ = =+ 0 02 0 02 d db c ca = = 00 00 ac ba x 00 00 14/10/2013 3 •Exemplo: Imagem: Y=Ax = dc ba yy yy 10 21 43 21 ++ = dc dbca yy yy 22 43 21 + + + = 10 20 01 02 00 10 00 01 43 21 dcba yy yy •Exemplo: Como os vetores são LI, a base da Imagem é: 10 20 , 01 02 , 00 10 , 00 01 •Encontrando a forma matricial •Primeiro adotamos a base canônica do espaço domínio {e1,e2,..., en} •Aplicamos à transformação os vetores da base canônica, obtendo {T(e1),T(e2),..., T(en)} •Montamos a matriz transformação com os vetores {T(e1),T(e2),..., T(en)} por coluna Onde T(x)=Ax [ ])()()( 21 neTeTeTA L= •Exemplo: Encontre a forma matricial das transformações: •T: ℜ4→ ℜ2 , T(x,y,z,w)=(x+y+z,z-w) •T: ℜ3→ ℜ3 , T(x,y,z)=(x-y+2z , 2x+y-z , 3x+z) •T: P2→ P1 , •T: P3(x)→ P2(x) , dx dPPT =)( ( ) ( ) ( )20210122 aaxaaaxaxaT −+−=++ 14/10/2013 4 •Exercício 1: Encontre a forma matricial das transformações: •T: ℜ2→ ℜ2 , •T: P2→ P4 , )1())(( 2 −= xPxxPT ( )yxyxyxT −+−= , 3 22),( IMPORTANTE •Saber como escrever uma transformação Linear na forma matricial jossana@ect.ufrn.br www.facebook.com/algebracomjo @AlgebraComJo
Compartilhar