2015.2 ESTACIO MAT P NEGÓCIOS

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APOSTILA DE 
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
CURSO: ADMINISTRAÇÃO	
PROF.: MÁRIO S. TARANTO 
1 CONJUNTOS 
1.1 CONJUNTO E ELEMENTO 
1.1.1 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
1.2 CONJUNTO UNIVERSO
1.3 RELAÇÃO DE INCLUSÃO
1.4 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
1.5 DIAGRAMA DE VENN E O CONJUNTO DOS REAIS
1.6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
1.6.1 UNIÃO
1.6.2 INTERSECÇÃO
1.6.3 DIFERENÇA
1.6.4 COMPLEMENTAR
1.7 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS
1.8 INTERVALOS
1.8.1 INTERVALO ABERTO
1.8.2 INTERVALO FECHADO
1.8.3 INTERVALOS SEMI-ABERTOS
1.8.4 INTERVALOS INFINITOS
1.9 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
1.9.1 POTENCIAÇÃO
1.9.2 RADICIAÇÃO
1.9.3 POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE RACIONAL
1.10 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
1.11 SISTEMAS LINEARES
1.11.1 EQUAÇÃO LINEAR
1.11.2 SISTEMA LINEAR
1.11.3 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
1.11.4 SISTEMA NORMAL
1.11.5 SISTEMAS EQUIVALENTES
	
2 RAZÕES E PROPORÇÕES
2.1 RAZÃO
2.2 PROPORÇÃO
2.2.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
2.2.2 PROPRIEDADES USUAIS DAS PROPORÇÕES
2.3 DIVISÕES PROPORCIONAIS (REGRA DE SOCIEDADE)
2.3.1 EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
2.3.2 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
2.4 PERCENTAGEM
2.4.1 TAXA PERCENTUAL
2.4.2 DESCONTOS SUCESSIVOS
2.4.3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
3 RELAÇÕES E FUNÇÕES
3.1 PRODUTO CARTESIANO
3.2 PLANO CARTESIANO
3.3 RELAÇÃO
3.3.1 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
3.4 FUNÇÃO
3.4.1 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
3.5 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS
3.5.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
3.6 FUNÇÃO DO 1º GRAU
3.6.1 RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
3.7 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
3.7.1 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
3.7.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	3.7.3 COORDENADAS DO VÉRTICE
4 LIMITES
4.1 DEFINIÇÃO DE LIMITE
4.2 PROPRIEDADES DOS LIMITES
4.3 LIMITES LATERAIS
4.4 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
4.5 LIMITES INFINITOS
4.6 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA x ( ((
	
5 DERIVADAS
5.1 NOÇÃO INTUITIVA
5.2 DEFINIÇÃO DE DERIVADA
5.3 RETA TANGENTE E RETA NORMAL
5.4 REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAÇÃO
5.5 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO
	
6 FUDAMENTOS DA MATEMÁTICA APLICADA À FINANÇAS
6.1 FLUXO DE CAIXA
6.2 JURO 
6.3 ELEMENTOS BÁSICOS DO CÁLCULO DE JUROS 
6.4 JUROS SIMPLES (Regime de Capitalização Simples)
6.4.1 FÓRMULA GERAL
6.4.2 JURO COMERCIAL E JURO EXATO
6.4.3 TAXAS PROPORCIONAIS (EQUIVALÊNCIA DE TAXAS)
6.4.4 CÁLCULO DO MONTANTE, DO PRINCIPAL, DA TAXA DE JUROS E DO TEMPO
6.4.5 DESCONTO SIMPLES
6.5 JUROS COMPOSTOS
6.5.1 EXPRESSÃO DA CAPITALIZAÇÃO
6.6 DESCONTO COMPOSTO
6.6.1 VALOR ATUAL DE UM TÍTULO
1 CONJUNTOS 
1.1 CONJUNTO E ELEMENTO 
Conjunto e elemento são considerados conceitos primitivos, portanto não aceitam definição.
1.1.1 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Se um elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que x pertence ao conjunto A e escrevemos x ( A. 
Se um elemento y não faz parte de um conjunto A, dizemos que y não pertence ao conjunto A e escrevemos y ( A. 
1.2 CONJUNTO UNIVERSO
Para descrever, por exemplo, os elementos do conjunto 
�, devemos retirar seus elementos do conjunto que os contenha. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo e é representado pela letra U. 
1.3 RELAÇÃO DE INCLUSÃO
	
Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B, se e somente se, todos os elementos de A também for elemento de B e representamos por A ( B. 
Exercícios
1 – Dados o conjunto A = {2, {2}} e as proposições: 
p: 2 ( A,
q: {2} ( A,
r: {2} ( A,
então:
( a ) a proposição p é falsa. ( b ) a proposição q é falsa.
( c ) a proposição r é falsa. ( d ) todas as proposições são verdadeiras. 
1.4 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto formado por todos os subconjuntos de A e que é representado por P(A). Se k for o número de elementos de A, o número de elementos de P(A) será 2k.
Exercícios
2 – Sedo A = {x ∊ N / x < 4}, determine o conjunto das partes do conjunto de A:
 
1.5 DIAGRAMA DE VENN E O CONJUNTO DOS REAIS
O Diagrama de Venn representa os conjuntos da seguinte maneira:
x 
 R
 Q 
 I
 e 
1.6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
1.6.1 UNIÃO
	Chamamos de A ( B o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B: 
�
1.6.2 INTERSECÇÃO
Chamamos de A ( B o conjunto formado por todos os elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B: 
�
1.6.3 DIFERENÇA
	
Chamamos de A - B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertence ao conjunto B:
�
1.6.4 COMPLEMENTAR
	
Dados os conjuntos A e B, em que A ( B, chamamos de complementar de A em B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A:
�
Exercícios
3 – Sendo A = {-3, -1, 0, 1, 2, 3, 4} e B = {-2, 0, 1, 3, 5}, calcule:
a) A ( B	b) A ( B	c) A – B 	d) B – A 
4 – Sendo A = {x ( R / x2 – 3x + 2 = 0} e B = {x ( R / x2 – 7x + 10 = 0}, é correto afirmar que: 
( a ) { 2, 5} é solução de A			( b ) {2, 3, 5} é solução de A ( B
( c ) {2} é solução de A ( B			( d ) ( é solução de A - B
5 – Se A = {-1, 1, 2} e B = {x ( Z / x2 – 1 = 0}, então 
 será:
( a ) {–1, 0, 2}		( b ) {–1, 2}		( c ) {2} 		( d ) {0, 2}
1.7 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS
Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do conjunto B, temos: 
�
Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A, n(B) o número de elementos do conjunto B e n(C) o número de elementos do conjunto C, temos: 
�
Exercícios
6 – Num congresso internacional, 150 pessoas falam inglês, 130 falam espanhol e 30 falam os dois idiomas. Se 15 não falam nenhum dos dois idiomas, quantas pessoas haviam no congresso?
7 – De um total de 650 moças, 495 gostam de ir à praia, 214 de ir ao cinema e 123 gostam de fazer as duas coisas. Quantas moças não gostam nem de ir à praia nem de ir ao cinema? 
8 – Numa pesquisa realizada num clube verificou-se o que segue abaixo:
37 associados praticam futebol;
32 associados praticam voleibol;
25 associados praticam basquetebol;
18 associados praticam futebol e voleibol;
14 associados praticam futebol e basquetebol;
10 associados praticam voleibol e basquetebol;
5 associados praticam as três modalidades citadas; e
13 associados não praticam as modalidades citadas.
Pede-se:
a) Quantos associados participaram da pesquisa?
b) Quantos associados praticam apenas um esporte?
c) Quantos associados não praticam futebol?
9 – Numa pesquisa realizada pelos nossos políticos foi constatado, entre outras, as seguintes 
necessidades para nossa região: melhores transportes, maior segurança e mais oportunidades de emprego. Das pessoas ouvidas verificou-se o seguinte:
131 pessoas optaram por melhores transportes;
123, maior segurança;
115, mais oportunidades de emprego;
81, melhores transportes e maior segurança;
78, melhores transportes e mais oportunidades de emprego;
70, maior segurança e mais oportunidades de emprego;
53, as três necessidades; e
21, outras necessidades.
 Calcule quantas pessoas foram ouvidas, representando os conjuntos no Diagrama de Venn.
10 – Num grupo de 99 esportistas,40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Quantas, das pessoas pesquisadas, praticam apenas uma modalidade de esporte? Represente no diagrama de Venn a solução do problema. 
1.8 INTERVALOS
Em R podemos estabelecer outros subconjuntos denominados intervalos.
1.8.1 INTERVALO ABERTO
	
Chamamos de intervalo aberto o conjunto de números reais entre a e b, excluindo estes dois extremos:
�
1.8.2 INTERVALO FECHADO
Chamamos de intervalo fechado o conjunto de números reais entre a e b, incluindo estes dois extremos:
�
1.8.3 INTERVALOS SEMI-ABERTOS
Chamamos de intervalo aberto à direita e fechado à esquerda o conjunto de números reais entre a e b, incluindo a e excluindo b:
�
Chamamos de intervalo fechado à direita e aberto à esquerda o conjunto de números reais entre a e b, excluindo a e incluindo b:
�
1.8.4 INTERVALOS INFINITOS
Os seguintes intervalos chamados intervalos infinitos: 
�
�
�
�
	O conjunto dos números reais pode ser representado como um intervalo aberto:
�
Exercícios
11 – Dados A = [-2, 6[, B = [2, 9[ e C = ]1, 8[, calcule:
a) A ( B	b) A ( B	c) A – B 	d) 
1.9 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
1.9.1 POTENCIAÇÃO
A potência enésima de um número a, indicada por an, sendo n um número inteiro maior que 1, é o produto de n fatores iguais a a que resulta o número b, onde:
n ( expoente
a ( base
b ( potência
PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
1ª) 
 2ª) 
��EMBED Unknown 3ª) 
��EMBED Unknown
4ª) 
��EMBED Unknown 5ª) 
 
1.9.2 RADICIAÇÃO
É a raiz enésima de um número b que resulta o número a, indicada por 
, sendo n um número inteiro maior que 1, onde:
( radical
n ( índice
b ( radicando
a ( raiz
PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO
1ª) 
��EMBED Unknown 2ª) 
, b ( 0 3ª) 
��EMBED Unknown
4ª) 
, p ( Z* 5ª) 
, p ( N* 
1.9.3 POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE RACIONAL
Se a é um número real positivo e 
 um número racional, com n inteiro positivo, definimos:
Exercícios
12 – Aplique as propriedades nos casos de potenciação e radiciação a seguir:
a) 
			 b)
			c) 
	
d) 
			e) 
			f) 
13 – Racionalize:
a) 
		b) 
		c) 
			d) 
14 – Transforme as radiciações abaixo em potências de expoente racional:
a) 
		b) 
		c) 
			d) 
15 – Decomponha em fatores primos:
a) 630 =
b) 324 =
c) 6x²y + 12x³y² - 3x²y² =
 
d) x² + 6x + 9 =
e) a² – 2ab + b² =
f) a² – b² =
16 – Simplifique as expressões:
a) 
 
b) 
c) 
d) 
17 – Determine o número de divisores dos números abaixo:
]
a) 36			b) 64			c) 90			d) 120
1.10 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU
Uma inequação do 1° grau  na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita como uma desigualdade, numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
EXERCÍCIOS
18 – Determine todos os intervalos que satisfazem as desigualdades abaixo:
a) 3 + 7x < 8x + 9
b) 7 < 5x + 3 ( 9
c) 
d) 
1.11 SISTEMAS LINEARES
1.11.1 EQUAÇÃO LINEAR
É toda equação na forma 
, onde os valores de 
 são os coeficientes reais de 
 e b é um número real chamado de termo independente. 
1.11.2 SISTEMA LINEAR
	É um conjunto de equações lineares.
	Chamamos de n-upla, de números reais, a solução simultânea de todas as equações do sistema.
1.11.3 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
	
possível e determinado (possui apenas uma única solução)
possível e indeterminado (possui infinitas soluções)
impossível (não possui solução) 
1.11.4 SISTEMA NORMAL
	
Um sistema é normal quando possui o mesmo número de equações e incógnitas e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. 
	
1.11.5 SISTEMAS EQUIVALENTES
	Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
PROPRIEDADES DOS SISTEMAS EQUIVALENTES
Trocando-se de posição as equações de um sistema linear, obtém-se um outro sistema equivalente.
Multiplicando-se uma equação do sistema linear por um número real diferente de zero, obtém-se um outro sistema equivalente.
Adicionando-se a uma das equações do sistema linear o produto de uma outra equação desse mesmo sistema por um número real diferente de zero, obtém-se um outro sistema equivalente.
EXERCÍCIOS
19 – Resolva os seguintes sistemas lineares:
a) 
				b) 
					
c) 
.			d) 
.
20 – Determine quantos passageiros viajam em certo ônibus, sabendo que, se 2 passageiros ocupassem cada banco, 26 ficariam de pé e que, se 3 passageiros se sentassem em cada banco, 2 bancos ficariam vazios. 
21 – Ao saírem do Colégio, Viviane e Pedro conversaram a respeito do “peso” que carregavam em suas mochilas. Diante das queixas de Viviane, Pedro argumentou: 
_ Se eu transferir o equivalente a 1 kg da sua mochila para a minha, levarei o dobro do “peso” que você passará a carregar. Entretanto, se em vez disso, eu transferir o equivalente a 1,5 kg da minha mochila para a sua, passaremos a carregar o mesmo “peso”.
Acreditando que esse raciocínio esteja correto, determine o “peso” que cada um, ao sair do Colégio, levava em sua mochila.
 
22 – Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Determine as quantidades, em gramas, de cada ingrediente por lata.
2 RAZÕES E PROPORÇÕES
2.1 RAZÃO
 	A razão de duas grandezas é o quociente entre os números que medem essas grandezas numa mesma unidade ou em unidades diferentes.
Notação: 
, onde a é o antecedente e b o consequente.
2.2 PROPORÇÃO
É a igualdade entre duas razões.
Notação: 
, onde a e d são extremos e b e c são os meios.
2.2.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
Em toda proporção o produto extremos é igual ao produto dos meios. 
Notação: 
, onde a x d = b x c.
Uma proporção não se altera se trocarmos as posições dos meios ou extremos.
a x d = b x c ou d x a = b x c ou a x d = c x b.
2.2.2 PROPRIEDADES USUAIS DAS PROPORÇÕES
1ª) Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para soma (ou diferença) dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para o respectivo consequente.
Notação: Sendo 
, aplicando a propriedade temos:
2ª) Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o quadrado do respectivo consequente.
2.3 DIVISÕES PROPORCIONAIS (REGRA DE SOCIEDADE)
2.3.1 EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
 Nas divisões em partes diretamente proporcionais, aplicamos a primeira propriedade das proporções.
2.3.2 DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Nas divisões em partes inversamente proporcionais, determinamos os inversos dos números envolvidos na proporcionalidade,reduzimos ao mesmo denominador conservando apenas os numeradores encontrados e aplicamos a primeira propriedade das proporções.
Exercícios
23 – Um automóvel percorre 160 km em 2 horas. Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la?
24 – Num mapa, uma distância de 18 cm está representando uma distância real de 18 km. Qual a escala desse mapa?
25 – Após um dia de trabalho, João e Pedro ganharam juntos R$ 84,00. Se a razão de seus ganhos é de 
, quanto ganhou cada um?
26 – Num trabalho realizado por Mauro e Felipe, Mauro ganhou R$ 150,00 a mais que Felipe. Sabendo que a razão de seus ganhos foi de 
, quanto ganhou cada um?
27 – Dos 27 empregados de uma empresa, x são mulheres e y são homens. Sabe-se que os números x e y são diretamente proporcionais a 4 e 5. Nesse caso, podemos dizer que o número de mulheres excede o de homens em:
28 – Um oficial de justiça observa que sobre a sua mesa existem 2 mandados de notificação para cada 3 mandados de intimação. Se o total desses mandados é 60, qual o número de mandados de intimação?
29 – Considere que x e y sejam números reais correspondentes, respectivamente, aos valores cobrados por um banco na renovação anual da ficha cadastral de cada um de seus clientes e na manutenção anual do cartão magnético fornecido pelo banco ao cliente interessado pelo serviço. Sabendo que x e y são diretamente proporcionais a 5 e 3, respectivamente, e que x custa R$ 6,20 a mais que y, então quanto custa a renovação anual de cadastro do referido banco? 
 30 – Por ocasião do Balanço anual de uma firma comercial formada por três sócios, verificou-se um prejuízo de R$ 27.000,00. Calcule a parte correspondente a cada sócio, sabendo que os capitais empregados por cada um são de: R$ 540.000,00, R$ 450.000,00 e R$ 360.000,00.
31 – Um pai deixou R$ 2.870.000,00 para serem divididos entre seus três filhos na razão inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto coube a cada um?
2.4 PERCENTAGEM
Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.
2.4.1 TAXA PERCENTUAL
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100 unidades.
Uma razão 
, é chamado de razão centesimal ou taxa percentual. Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, é substituir o conseqüente 100 pelo símbolo %. 
2.4.2 DESCONTOS SUCESSIVOS
Basta calcularmos os líquidos parciais correspondentes efetuando os descontos oferecidos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o valor líquido final.
VFinal = P ( (1 – i1) ( (1 – i2) ( … ( (1 – in)
2.4.3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
Basta calcularmos os valores parciais correspondentes aos referentes acréscimos, respeitando a ordem das taxas, até obtermos o valor líquido final.
VFinal = P ( (1 + i1) ( (1 + i2) ( … ( (1 + in)
Exercícios
32 – Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$ 3.600,00? 
33 – Um automóvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a percentagem do lucro?
34 – Uma pessoa gasta por semana para se deslocar para o trabalho R$ 25,00. Se o transporte sofreu um aumento de 14%, de quanto será seu gasto semanal?
35 – Uma certa mercadoria custava R$ 1.250,00, teve um aumento passando a custar R$ 1.350,00. Qual a majoração sobre o preço antigo?
36 – Numa compra à vista uma mercadoria teve um desconto de 25%. Sabendo que o preço da mercadoria sem o desconto é de R$ 284,00, por quanto saiu a mercadoria?
37 – Um televisor custa R$ 420,00 e está sendo vendido com desconto de 15%. Por quanto o televisor está sendo vendido?
38 – Uma casa foi comprada por R$ 160.000,00 e vendida por R$ 179.200,00. De quanto foi a taxa de lucro? 
39 – Um produto que custava R$ 1.560,00 teve um aumento de 30% e, depois sobre o novo valor, um aumento de 25%. Qual o seu preço final? Qual o percentual total de aumento?
40 – Uma mercadoria custa R$ 25,00 e terá 4 aumentos consecutivos mensais: dois de 10% e dois de 15%. Qual o novo preço ao final desses 4 meses? Qual o percentual total de aumento?
41 – Uma mercadoria que custava R$ 980,00 foi vendida com dois descontos sucessivos, de 5% e 7%. Qual o preço final da venda?
42 – Uma firma distribuidora oferece, sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Sabendo que o valor inicial da fatura é de R$ 25.000,00, qual o valor líquido final da mesma? Qual o percentual de desconto obtido?
3 RELAÇÕES E FUNÇÕES
3.1 PRODUTO CARTESIANO
Se A e B são dois conjuntos não-vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x ( A e y ( B. 
�
3.2 PLANO CARTESIANO
O produto cartesiano entre dois conjuntos não-vazios pode ser representado no plano cartesiano associando-se cada par ordenado a um ponto desse plano.
Na representação do produto A x B, o conjunto A é disposto no eixo das abscissas e o B, no das ordenadas.
3.3 RELAÇÃO
Se A e B são dois conjuntos não-vazios, denominamos relação de A em B todo subconjunto de A x B.
�
	Esses subconjuntos de A x B são relações de A em B, que podem ser expressas por leis de formação de pares ordenados.
	
3.3.1 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
Em uma relação 
�, o domínio é o conjunto formado pelos primeiros elementos dos seus pares ordenados e a imagem o conjunto formado pelos segundos elementos desses pares. 
Assim como o produto cartesiano, uma relação 
� pode ser representada no plano cartesiano.
3.4 FUNÇÃO
Se A e B são dois conjuntos com x ( A e y ( B, chamamos de função de A em B toda relação 
� na qual, para todo x ( A, existe em correspondência um único y ( B.
3.4.1 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
O conjunto A é chamado de domínio (D) e o B, de contradomínio (CD). O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im).
	Para determinar o domínio de uma função de variável real devemos considerar a condição de existência da função.
3.5 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS
	
Uma função 
� é sobrejetora quando todo elemento de B for imagem de pelo menos um elemento de A, ou seja, a imagem é o próprio contradomínio.
	Uma função 
� é injetora quando quaisquer dois valores distintos do domínio corresponderem duas imagens distintas no contradomínio.
	Se uma função f for sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então esta função será chamada de bijetora.
 
3.5.1 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
	Para construir o gráfico de uma função no plano cartesiano, deve-se atribuir valores a variável x, determinando suas respectivas imagens. 
3.6 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função f de R em R é dita função do 1º grau quando é do tipo f(x) = ax + b, com a ( 0.
Se b ( 0, f é dita função afim e se b = 0, f é dita função linear.
	
Nas funções afim, a é chamado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano e b coeficiente linear.
O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta crescente ou decrescente.
 
Nota: Quando uma função do 1º grau for linear, seu gráfico será uma reta que passa pela origem.
3.6.1 RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Para determinar a raiz da função do 1º grau, basta resolver a equação do 1º grau determinada por f(x) = 0 (ax + b = 0). 
EXERCÍCIOS
43 – Construa o gráfico das funções y = 3x – 5 e f(x) = –2x + 1.
44 – Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fixo de R$ 800,00 por mês e custos variáveis de R$ 0,04 por folha que reproduz. Expresse a função custo total em função do número x de páginas copiadas por mês. Se os consumidores pagam R$ 0,09 por folha, quantas folhas a firma tem que reproduzir para não ter prejuízo?
45 – Um fabricante de fogões produz 400 unidadespor mês quando o preço de venda é de R$ 500,00 por unidade, e são produzidas 300 unidades por mês quando o preço é de R$ 450,00. Admitindo que a função oferta seja do 1º grau, qual sua equação?
46 – Uma fábrica de nossa região tem um custo fixo mensal de R$ 1.500,00. Cada peça produzida nesta fábrica tem um custo de R$ R$ 16,00 e o preço de venda é de R$ 20,00. Qual o ponto de nivelamento? Quantas precisam ser produzidas para que se tenha um lucro de R$ 4.500,00?
3.7 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Uma função f de R em R é dita função quadrática ou função do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 +bx + c, com a ( R*, b ( R e c ( R.
3.7.1 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Para determinar as raízes da função quadrática, basta resolver a equação do 2º grau determinada por f(x) = 0 (ax2 + bx + c = 0). 
Os valores de x’ e x” são as abscissas nas quais a parábola intercepta o eixo de x.
3.7.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	O gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c de R ( R é uma curva denominada parábola. 
Sua concavidade será voltada para cima quando a > 0 e voltada para baixo quando a < 0.
 
3.7.3 COORDENADAS DO VÉRTICE
	Para calcular os valores das coordenadas do vértice de uma parábola V(xv, yv), usamos:
EXERCÍCIOS
47 – Construa o gráfico da função f: R ( R definida por f(x) = x2 + 2x – 3 e determine sua imagem. 
48 – Construa o gráfico da função f: R ( R definida por f(x) = –x2 + 6x – 5 e determine sua imagem. 
49 – O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por c(x) = 3x2 – 100x + 2.000. Calcule o valor do custo mínimo. Esboce o gráfico da situação.
50 – Para uma fábrica produzir x unidades por semana de certo produto, seu custo é dado por c(x) = 4x2 – 80x + 500. Calcule o valor do custo mínimo. Esboce o gráfico da situação. 
4 LIMITES
4.1 DEFINIÇÃO DE LIMITE
	Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende ao número real a é igual ao número real b se, e somente se, quando x se aproxima de a, f(x) se aproxima de b.
 
4.2 PROPRIEDADES DOS LIMITES
LIMITE DE UMA CONSTANTE
	O limite de uma função constante é a própria constante.
LIMITE DA SOMA
	O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções.
LIMITE DA DIFERENÇA
	 O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções.
LIMITE DO PRODUTO
	O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções.
LIMITE DO QUOCIENTE
	O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções, com exceção quando o limite do divisor for zero.
LIMITE DE UMA POTÊNCIA
	O limite de uma potência enéssima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função.
LIMITE DE UMA RAIZ
	O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função. 
LIMITE DE UM LOGARITMO 
	O limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa função.
 EXERCÍCIOS
51 – Calcule:
	
	
4.3 LIMITES LATERAIS
	Se x tende a a através de valores maiores que a, ou seja, pela sua direita, esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. 
Se x tende a a através de valores menores que a, ou seja, pela sua esquerda, esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
	
O limite de f(x) para x ( a existe se, e somente se, os limites laterais à direita e à esquerda são iguais.
Assim, se 
 = 
,então 
.
Se 
�� EMBED Equation.2 ,então não existe o 
.
4.4 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
	Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se forem satisfeitas as seguintes condições:
( 
;
( 
;
.
EXERCÍCIOS
52 – Verifique a continuidade das funções nos pontos indicados:
	
, em x = 2
, em x = 1
, em x = 2
	
, em x = 1
, em x = 0
, em x = 2
4.5 LIMITES INFINITOS
	Alguns limites envolvendo infinito:
	
	
	
	
	
	Para um número real k, temos: 
	
	
	
	
4.6 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL PARA x ( ((
	Para o limite de uma função polinomial f(x), de grau n, com 
, temos:
 
EXERCÍCIOS
53 – Calcule:
	
	
	54 – Seja 
 calcule:
a) 
b) 
c) 
 
	55 – Seja 
 calcule:
a) 
b) 
c) 
 
5 DERIVADAS
5.1 NOÇÃO INTUITIVA
	Seja a função f(x) contínua num intervalo [a, b], com a ( x1 ( x2 ( b. Se 
 e 
, então a taxa de variação é dada por: 
 
Mas: 
Logo:
Usando limites podemos escrever:
.
5.2 DEFINIÇÃO DE DERIVADA
Ao limite da função f(x), quando 
�� EMBED Equation.2 , chamamos de derivada da função f(x) no ponto x1, indicada por f’(x1), quando existe e é finito. 
Então:
,
num ponto genérico de abscissa x, quando f(x) é contínua num intervalo ao qual pertence x.
Assim, quando o gráfico de uma função for uma curva, f’(x), por ser
, representa o coeficiente angular da reta tangente à curva f(x) no ponto da abscissa x. 
EXERCÍCIOS
56 – Calcule o coeficiente angular da reta secante à curva y = x2 – x, nos pontos P(1,0) e Q(2, 2).
57 – Dada a função f(x) = x2 + 3x – 1, determine a taxa de variação 
.
58 – Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva f(x) = x2 + 2x – 3 no ponto P(2, 5).
59 – Calcule, através da definição, a derivada da função f(x) = x2 + 2x + 1.
5.3 RETA TANGENTE E RETA NORMAL
	A equação da reta que passa por P(x0, y0) e de coeficiente angular m é dada por 
, onde 
 e Q(x, y) é um ponto genérico da reta (Q ( P).
	Como f’(x0) é o coeficiente angular m da reta tangente à curva em P(x0, y0), então a equação da tangente é dada por:
 
	Sendo a reta normal perpendicular à reta tangente, sua equação é dada por:
EXERCÍCIO
60 – Determine a equação da reta tangente e da normal à parábola f(x) = – x2 em P(1, -1).
5.4 REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAÇÃO
	
Derivada da função constante: f(x) = k (k ( R) ( f’(x) = 0
Derivada da função identidade: f(x) = x ( f’(x) = 1
Derivada da função potência: f(x) = xn (n ( N*) ( f’(x) = nxn - 1
Derivada da função seno: f(x) = sen x ( f’(x) = cos x
Derivada da função cosseno: f(x) = cos x ( f’(x) = - sen x
Derivada da função exponencial: f(x) = ax (a > 0 e a ( 1) ( f’(x) = ax 
a
Derivada da função logarítmica neperiana: f(x) = 
x ( f’(x) = 
5.5 REGRAS OPERATÓRIAS DE DERIVAÇÃO
	Sejam u e v funções deriváveis em um intervalo.
	Para todo x desse intervalo, são válidas as seguintes regras: 
	OPERAÇÃO
	f(x)
	Derivada
	Soma
	u(x) + v(x)
	u’(x) + v’(x)
	Diferença
	u(x) - v(x)
	u’(x) - v’(x)
	Produto
	u(x) ( v(x)
	u’(x) ( v(x) + u(x) ( v’(x)
	Quociente
	
	
EXERCÍCIOS
61 – Utilizando as regras operatórias de derivação, determine as derivadas das funções:
a) f(x) = 3x2
f(x) = 10x3 + 4x
f(x) = 5x3 – 7x
f(x) = 
f(x) = x2 ( sen x
6 FUDAMENTOS DA MATEMÁTICA APLICADA À FINANÇAS
6.1 FLUXO DE CAIXA
É o conjunto de entradas e saídas de dinheiro de um empresa ou de uma pessoa física relativas a um certo intervalo de tempo.
O fluxo de caixa é esquematizado por um diagrama onde se convencionou:
Colocar numa escala horizontal o período considerado (dias, meses, semestres, anos, etc...)
Indicar as entradas e saídas de dinheiro por setas: As que indicam entradas são voltadas para cima, tendo ao lado o sinal (+); As que indicamsaídas são voltadas para baixo, tendo ao lado o sinal (-).
 (-) pag (+) receb
 (-) pag (+) receb
6.2 JURO 
É a quantia que se paga a título de compensação pelo uso de um dinheiro emprestado. Designa, também, a remuneração paga pelas instituições financeiras, quando nelas fazemos uma aplicação. 
6.3 ELEMENTOS BÁSICOS DO CÁLCULO DE JUROS
Capital - Chama-se capital ao valor de aplicação do dinheiro ou bem os quais recaem os juros. É denominado Principal e representado pelo símbolo P ou C.
Juros - Representa o valor da remuneração do capital num determinado período de tempo. Tem como símbolo J.
Taxa de juros - Dá-se o nome de taxa de juros ao número que expressa os juros relativos a 100 unidades monetárias, por uma unidade de tempo. A taxa de juros deve ser expressa em função de dois parâmetros: taxa de porcentagem e intervalo de tempo durante o qual essa taxa é computada. É representada pelo símbolo i.
Prazo - É o número de unidades de tempo em que o capital está para receber os juros. Tem como símbolo n.
Montante - Denomina-se montante, relativo a um período financeiro, a soma do valor de uma aplicação com os juros computados sobre essa mesma aplicação, durante o período considerado. Tem como símbolo S.
 
6.4 JUROS SIMPLES (Regime de Capitalização Simples)
Juros simples é a operação financeira onde os juros são calculados unicamente sobre a aplicação inicial (Capital ou Principal) em qualquer que seja o número de período de capitalização.
6.4.1 FÓRMULA GERAL
Os problemas de juros simples podem ser resolvidos por meio de uma fórmula na qual o Capital ou Principal, a taxa, o tempo e os Juros, são representados pelas letras P, r, n e J, respectivamente.
 ( 
 
	Sendo n o número de períodos de capitalização: 
�� EMBED Equation.2 
Fazendo i = 
, temos: J = Pin
 r ( taxa de juros dada em porcentagem.
 i ( taxa de juros dada em número decimal.
6.4.2 JURO COMERCIAL E JURO EXATO
	A técnica mais utilizada no cálculo do juro simples é denominada juro simples comercial (1 ano = 360 dias). Entretanto, podemos obter o juro fazendo o uso do número exato de dias do ano (365 dias ou 366 dias, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato. 
	Normalmente utilizamos a taxa do juro simples comercial para o número exato de dias; é a que proporciona o juro máximo em qualquer transação. 
	Podemos obter o número exato de dias entre duas datas pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que um ano é bissexto quando seu número é divisível por 4. 
6.4.3 TAXAS PROPORCIONAIS (EQUIVALÊNCIA DE TAXAS)
Duas taxas são proporcionais quando, aplicadas sucessivamente no cálculo de juros simples de um mesmo capital, durante o mesmo prazo, produzem juros iguais.
EXERCÍCIOS 
62 – Calcule os juros de uma aplicação de R$ 25.000,00 à taxa de 2% ao mês, pelo prazo de um semestre.
63 – Que quantia se deve investir à taxa de 3% ao mês, para que se tenha ao final de 7 meses uma renda de R$ 2.835,00?
64 – Uma aplicação de R$ 17.000,00, a taxa de 1,5% ao mês, pelo prazo de 85 dias rende quanto de juros?
65 – Calcule os juros de um investimento de R$ 12.500,00, à taxa de 2,5% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 8 meses e 11 dias.
66 – Qual a importância a ser aplicada durante 1 ano, 6 meses e 24 dias, à taxa de 42% ao ano, para obter R$ 18.424,00 de juros?
6.4.4 CÁLCULO DO MONTANTE, DO PRINCIPAL, DA TAXA DE JUROS E DO TEMPO
Sabendo que o montante é a soma do principal com os juros, onde: S = P + J 
sendo S o montante, P o Principal e J os juros e J = Pin. 
Substituindo o valor de J na expressão, temos: S = P + Pin 
 S = P ( 1 + in ) 
EXERCÍCIOS
67 – Qual o montante acumulado em 13 meses, a uma taxa de 2% ao mês no regime de juros simples, a partir de um Principal de R$ 17.000,00?
68 – Qual o capital inicial necessário para se obter um montante de R$ 12.700,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juros simples?
69 – Quanto se deve investir à taxa de 2,5% ao mês, para que no final de 112 dias se tenha um montante de R$ 22.135,00?
70 – A que taxa anual esteve aplicada a quantia de R$ 3.082,60 para acumular em 2 anos, 1 mês e 6 dias o montante de R$ 3.500,00?
71 – Daniele pegou um empréstimo de R$ 45.000,00 e comprometeu-se pagar ao credor a quantia de R$ 58.500,00 em uma data futura. Se a taxa de juros da transação é de 2,5% ao mês, qual o prazo de Daniele para quitar da dívida?
6.4.5 DESCONTO SIMPLES
	Numa dívida em dinheiro em uma data futura, é normal que o devedor dê ao credor um título de crédito como comprovante dessa dívida. Entretanto, se o devedor deseja resgatar sua dívida antecipadamente, ele tem direito de resgatá-la com um abatimento que é denominado desconto. 
	Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória (comprovante da aplicação de um capital em determinada data de vencimento), a duplicata (título emitido pela pessoa jurídica ao cliente a ser pago no futuro firmado em contrato) e a letra de câmbio (comprovante da aplicação de um capital em determinada data de vencimento emitido exclusivamente por uma instituição financeira).
O Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal de um título e valor nominal é a importância a ser paga na data do vencimento desse título.
O desconto pode ser sobre o valor nominal (desconto comercial) ou valor atual (desconto racional) de um título, que é o valor antes de seu vencimento.
6.4.5.1 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
	Chamamos de desconto comercial simples o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título em determinado período de tempo com uma taxa fixa.
	Para o cálculo do valor comercial a ser descontado, temos:
N ( valor nominal do título.
i ( taxa de desconto.
n ( tempo.
EXERCÍCIOS
72 – Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 12.000,00, foi resgatada 3 meses antes do vencimento, à taxa de 4% ao mês. Qual o desconto comercial?
73 – Um título de R$ 8.000,00 vai ser descontado 5 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2% ao mês. Determine o valor do desconto comercial.
74 – Uma duplicata de R$ 4.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 3.871,00. Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 3% ao mês.
75 – Um título, no valor nominal de R$ 8.400,00 foi resgatado 130 dias antes de seu vencimento. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual é o valor comercial descontado?
6.4.5.2 DESCONTO RACIONAL SIMPLES
Chamamos de desconto racional simples o quociente encontrado entre o desconto comercial simples e o fator de capitalização para uma taxa fixada, durante um tempo correspondente.
	
EXERCÍCIOS
76 – Determine o valor do desconto racional de um título de R$ 35.000,00, disponível dentro de 28 dias, à taxa de 3% ao mês.
77 – Um título de R$ 7.800,00 vai ser descontado à taxa de 2,5% ao mês 90 dias antes do seu vencimento. Determine o valor atual racional do título.
6.5 JUROS COMPOSTOS
 
No regime de juros compostos, a capitalização cresce exponencialmente, pois os juros de cada período financeiro são incorporados ao montante do período anterior.
6.5.1 EXPRESSÃO DA CAPITALIZAÇÃO
Sendo S o montante gerado em uma aplicação P (valor principal) e i a taxa, temos:
 
S1 = P x ( 1 + i )
S2 = P x ( 1 + i ) x ( 1 + i ) ( S1 = P x ( 1 + i )2
S3 = P x ( 1 + i )2 x ( 1 + i ) ( S1 = P x ( 1 + i )3
S4 = P x ( 1 + i )3 x ( 1 + i ) ( S1 = P x ( 1 + i )4
É fácil verificar que esse processo se repetequantas vezes forem necessárias, e que o que ocorre é uma multiplicação de potência de mesma base, onde o expoente é a quantidade de meses da aplicação. 
Logo:
Sn = P ( ( 1 + i )n
EXERCÍCIOS
78 – Calcular o montante de uma aplicação de R$ 3.820,00, a juros compostos e taxa de 1,5% ao mês, capitalizados durante 9 meses.
79 – Calcular a aplicação inicial que no prazo de 3 meses, a 4% ao mês, a juros compostos, produzirá o montante de R$ 1.349,84?
80 – Calcular o montante de uma aplicação de R$ 5.420,00 a juros compostos, à taxa de 42% ao ano, durante 2 anos e 7 meses.
81 – Quanto devemos aplicar, no regime de juros compostos, à taxa de 36% ao ano, para obtermos em 2 anos, 3 meses e 20 dias a importância de R$ 4.368,37?
82 – Em quanto tempo (dias, meses e anos) se deve empregar R$ 16.000,00 à taxa de 30% ao ano, para obter o montante de R$ 20.000,00?
6.6 DESCONTO COMPOSTO
6.6.1 VALOR ATUAL DE UM TÍTULO
Chama-se valor atual de um título, resgatável em n anos, a aplicação P que a juros compostos durante n anos, adquire Sn( valor nominal).
Sn = P ( ( 1 + i )n ( P = 
 ( P = Sn ( FSP (r; n)
Substituindo P por VA e Sn por, temos: 
VA = N ( FSP (r; n) ou VA = N ( 
onde: 
VA ( valor atual
N ( valor nominal
Vn ( FSP (r; n) ou FNVA (r; n)
O Desconto Composto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título.
	Utilizando a definição dada acima para desconto composto, temos:
D = N - VA 
EXERCÍCIOS
83 – Calcule o desconto composto de um título de R$ 12.000,00 resgatado 6 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 2,25% ao mês.
84 – Determine o valor atual de um título de R$ 19.500,00 resgatado 5 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto de 1,5% ao mês.
85 – Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$ 27.000,00, faltando ainda 1 ano para seu vencimento. Calcule o valor atual e o desconto, sabendo que a taxa de desconto é de 2,5% ao mês.
86 – Um título cujo valor nominal é de R$ 15.000,00 foi resgatado por R$ 7.110,61, com uma antecipação de 1 ano e meio. Calcule a taxa mensal de desconto.
87 – Uma promissória de R$ 25.900,00 foi resgatada com desconto de 18% ao ano, por R$ 19.545,00. Qual o tempo de antecipação do resgate?
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