apostila calculo diferencial e integral 2

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Cálculo Diferencial e Integral II
Sandra Regina Leme Forster 
 
 
 
Sandra Regina Leme Forster 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
Educação a Distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS OU DE ILUSTRAÇÕES 
Tabela 1.1 Distâncias de São Paulo a Extrema 9
Figura 1.1 Gráfico representando Velocidades Médias 9
Figura 1.2 Taxa de variação 11
Figura 1.3 Inclinação da reta secante e taxa média de variação 12
Figura 1.4 Velocidade Média de SP a Extrema 13
Figura 1.5 Velocidade Média de SP até o quilômetro 100 13
Figura 1.6 Gráfico da função s(t) = -t² + 4t 15
Figura 1.7 Reta secante a s(t) = -t² + 4t e a Vm 
 
18
Figura 1.8 Reta tangente a s(t) = -t² + 4t e a Vinstantânea 
 
18
Figura 1.9 Reta tangente ao gráfico de y = f(x) 18
Figura 1.10 exemplos de retas tangentes e retas não tangentes à 
circunferência 
19
Figura 1.11 exemplos de retas tangentes e retas não tangentes 19
Figura 2.1 Função Composta 49
Figura 2.2 Função do 1º grau é bijetora 51
Figura 2.3 Função do 2º grau bijetora e não bijetora 52
Figura 2.4 Gráficos de funções, suas inversas e a relação com a 
função identidade 
53
Figura 4.1 Gráficos de funções crescentes em seu intervalo 78
Figura 4.2 Retas tangentes às curvas crescentes são crescentes 79
Figura 4.3 Função decrescente em seu intervalo 81
Figura 4.4 Retas tangentes às curvas decrescentes são 
decrescentes 
81
Figura 4.5 Pontos críticos de uma função 84
Tabela 4.1 Algumas coordenadas da f(x) = x² 86
Figura 4.6 A importância da derivada primeira para o esboço de 
gráficos 
86
Figura 4.7 Curvas crescentes com concavidades diferentes em 
um mesmo intervalo 
87
Figura 4.8 Concavidade de uma função 88
Figura 5.1 Representação geométrica do TVM 98
 
 3
SUMÁRIO 
 APRESENTAÇÃO 6
 INTRODUÇÃO 7
1 A DERIVADA E SUA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E FÍSICA 
8
1.0 INTRODUÇÃO 8
1.1 TAXA MEDIA DE VARIAÇÃO 8
1.1.1 EXEMPLO 8
1.2 TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO E RETAS SECANTES 10
1.2.1 EXEMPLO 11
1.3 TAXA INSTANTÂNEA 12
1.3.1 Reta Tangente 18
1.3.1.1 A idéia de reta tangente 20
1.3.1.2 Inclinação de um gráfico - Exemplo 21
1.3.1.3 Equação da reta tangente – Exemplo 23
1.4 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 24
1.4.1 Exemplos 25
1.5 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE 26
1.5.1 Exemplos 27
1.6 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 30
2 ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO 32
2.0 INTRODUÇÃO 32
2.1 REGRA DA CONSTANTE 32
2.1.1 Exemplos 33
2.2 REGRA DA POTÊNCIA 33
2.2.1 Exemplos 34
2.3 MÚLTIPLO CONSTANTE 35
2.3.1 Exemplos 35
2.4 REGRA DA SOMA E DA DIFERENÇA 36
2.4.1 Exemplos 38
2.5 REGRA DO PRODUTO 38
2.5.1 Exemplos 40
 4
2.6 REGRA DO QUOCIENTE 41
2.6.1 Exemplo 43
2.7 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 44
2.7.1 Derivada da função seno 44
2.7.1.1 Exemplo 46
2.7.2 Derivada da função cosseno 46
2.7.3 Derivada das funções tangente, cotangente, secante e cossecante 46
2.7.3.1 Exemplo 47
2.8 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) 47
2.8.1 Função composta 49
2.8.1.1 Exemplos 49
2.8.2 Regra da Cadeia 50
2.8.2.1 Exemplos 50
2.9 FUNÇÃO INVERSA 51
2.9.1 Função bijetora 51
2.9.2 Função inversa 53
2.9.3 Derivada da função inversa 56
2.10 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 57
2.10.1 Exemplos 58
2.11 DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 60
2.11.1 Exemplos 60
2.12 DERIVADAS DE ORDEM SUPEROR 61
2.12.1 Exemplos 62
2.13 DERIVADA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 62
2.13.1 Exemplos 63
2.14 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 64
3 ALGUMAS APLICAÇÕES DA DERIVADA 67
3.0 INTRODUÇÃO 67
3.1 A DERIVADA COMO TAXA DE VARIAÇÃO EM DIVERSOS CASOS 67
3.1.1 Aplicações em Física - Exemplos 68
3.1.2 Aplicações em Economia (funções marginais) 69
 5
3.1.2.1 Exemplos 70
3.2 TAXAS RELACIONADAS 72
3.2.1 Exemplo 74
3.3 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 75
4 SIGNIFICADO DO SINAL DAS DERIVADAS PRIMEIRA E 
SEGUNDA 
78
4.1 INTRODUÇÃO 78
4.2 SINAL DA DERIVADA PRIMEIRA - CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE 
 UMA FUNÇÃO 
78
4.3 PONTOS CRÍTICOS 83
4.3.1 Exemplo 84
4.4 SINAL DA DERIVADA SEGUNDA – DETERMINAÇÃO DA CONCAVIDADE 87
4.4.1 Exemplo 88
4.5 DERIVADA SEGUNDA – PONTO DE INFLEXÃO 90
4.5.1 Exemplos 90
4.6 APLICAÇÕES - ESBOÇO DE GRÁFICOS – UMA APLICAÇÃO DE LIMITE E DAS 
DERIVADAS PRIMEIRA E SEGUNDA 
92
4.6.1 Exemplo 93
4.7 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 96
5 TEOREMA DO VALOR MÉDIO (TVM) 98
5.1 Introdução 98
5.2 O TVM 98
5.3 Interpretação do TVM 98
5.4 APLICAÇÕES DO TVM 99
5.5 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 101
 CONSIDERAÇÕES FINAIS 102
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 103
 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 103
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (ESPECÍFICAS DOS 
EXERCÍCIOS) 
104
 ANEXO - TABELA DE DERIVADAS 
 
105
APRESENTAÇÃO 
 
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila de 
Cálculo Diferencial e Integral II, parte integrante de um conjunto de materiais de 
pesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância 
exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação do 
conteúdo básico da disciplina. 
A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio 
de recursos multidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio e e-
mail. 
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca 
Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas 
setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de 
informação e documentação. 
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no seu 
estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado 
eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo 
aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. 
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em 
qualquer lugar! 
 
 
Unisa Digital 
 
 
 
 
 
 
 7
INTRODUÇÃO 
 
Esta apostila destina-se aos alunos dos cursos Engenharia Ambiental e 
Engenharia de Produção com a finalidade de servir de orientação aos estudos da 
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. Ela foi elaborada com o objetivo de 
fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e de auxiliar o aluno do ENSINO A 
DISTÂNCIA (EaD). 
Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem diferenciada daquela 
que normalmente aparece nos livros a fim de proporcionar uma melhor compreensão 
para os alunos do ENSINO A DISTÂNCIA. 
A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, 
aplicações em forma de exercícios resolvidos que aparecem como exemplos, exercícios 
de aprendizagem para melhor compreensão dos assuntos abordados. 
Espera-se com este material, contribuir de forma expressiva no aprendizado 
dos alunos, porém sua participação nas aulas ao vivo, realização das atividades e 
interação no correio, fóruns de discussões e chats são fundamentais para o seu 
sucesso. 
Os tópicos apresentados são essenciais para entendermos o conceito e as 
aplicações das derivadas, embora no início dessa disciplina ainda serão estudados 
alguns tópicos sobre limites de uma função. No capítulo 1 é apresentada a 
interpretação geométrica e física da derivada e a sua definição; no capítulo 2 são 
demonstradas as principais fórmulas de derivação; no capítulo 3 são dados alguns 
exemplos de aplicações das derivadas em diversas áreas; no capítulo 4 aplicamos a 
derivada na Matemática, ou seja, usamos a 1ª derivada e a 2ª derivada nos esboços e 
interpretação de gráficos de diversas funções; para finalizar, no capítulo 5 é 
apresentado o teorema do Valor Médio e suas aplicações na demonstração da 
utilização das derivadas no estudo dos gráficos das funções. 
Caso discorde de algo apresentado nessa apostila, comunique ao professor 
da disciplina, poisdesejamos ouvi-los para que possamos melhorar o curso a cada 
trimestre. 
Sandra Regina Leme Forster 
 8
 
1 A DERIVADA E SUA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E FÍSICA1 
 
1.0 INTRODUÇÃO 
 
A derivada mede a taxa de variação de uma função e é um conceito muito 
importante do cálculo, pois é utilizada com freqüência em diversas ciências. A 
derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e, 
fisicamente, como uma taxa de variação. 
 
1.1 TAXA MEDIA DE VARIAÇÃO 
 
Um exemplo comum de taxa média de variação é a velocidade média e você 
deve estar lembrado que estudou esse assunto em Física. 
A velocidade média de um corpo em movimento durante um intervalo de 
tempo é obtida dividindo-se a distância percorrida pelo tempo gasto para percorrê-la. A 
unidade de medida é o comprimento por unidade de tempo, como por exemplo: 
quilômetros por hora. 
 
1.1.1 Exemplo 
 
Suponha que você faça uma viagem da Capital de São Paulo a Extrema 
(MG) pela Rodovia Fernão Dias. Quando parte de São Paulo você zera o velocímetro e 
começa a cronometrar o tempo. Considere s a distância percorrida pelo carro, dada em 
km, como uma função do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a tabela 1 a qual 
 
1 Os tópicos 1.1, 1.2 e 1.4 foram adaptados de SANTOS, A.R e BIANCHINI, W. Aprendendo Cálculo com 
Maple. Disponível em:HTTP://WWW.im.ufrj.br//dmm/projeto/calculo1/cap2_3/html<<acessado em janeiro 
2009>>. 
Web 
Derivada como 
taxa de variação 
 
 9
indica, para algumas localizações do carro durante o percurso, o tempo transcorrido e a 
distância percorrida. 
 
Tab. 1.1 – Distâncias de São Paulo a Extrema 
A partir dos dados desta tabela é possível calcular a velocidade média desta 
viagem. Lembramos que a velocidade média é definida como: 
t
sMédiaVelocidade Δ
Δ= , onde, 
sΔ é a variação do espaço, ou seja, espaço final menos o espaço inicial, e 
tΔ é a variação do tempo, ou seja, tempo final menos o tempo inicial. 
Neste caso, portanto, a velocidade média desenvolvida pelo automóvel, no 
percurso completo de São Paulo a Extrema, foi de 75,68
6,1
110 ≅ km/h. 
Façamos uma análise da viagem estudando o gráfico da distância como 
função do tempo, traçado na figura 1.1. 
 
 
0.4 0.8 1.2 1.6 2.
20
40
60
80
100
t
s(t)
(1,67)
(1,2;88)
(1,6;110)
 
Fig. 1.1 – Gráfico representando Velocidades Médias 
 
 Percurso São Paulo Atibaia Bragança Paulista Extrema (MG) 
t 0 1 1,2 1,6 
s(t) 0 67 88 110 
 10
 
Note que estas velocidades médias correspondem à inclinação das retas 
que, no gráfico acima, ligam os pontos (0,0) a (1,67); (1,67) a (1,2; 88); (1,2; 88) a (1,6; 
110), cujas coordenadas fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distância 
percorrida pelo automóvel, para cada cidade assinalada no percurso. Por exemplo, no 
percurso de São Paulo - que corresponde no gráfico ao ponto (0,0) = (0,s(0)) - a Atibaia 
- ponto (1,67) = (1, s(1)), no gráfico - a velocidade média, desenvolvida pelo automóvel, 
foi de 67 km/h pois, 
67
1
67
1
)0(s)1(s
t
s ==−=Δ
Δ km/h 
 
geometricamente, este valor representa a inclinação da reta que liga os pontos (0,0) a 
(1,67). De modo geral, a velocidade média, desenvolvida pelo automóvel, no percurso 
São Paulo, ponto (t0, s(t0)), a cada uma das cidades destacadas na tabela, ponto (t, 
s(t)), é dada pela fórmula: 
 
t
s
tt
)t(s)t(sv
0
0
m Δ
Δ=−
−= 
 
A velocidade média nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida 
pelo automóvel durante todo o trajeto, ou parte dele. Mas como determinar a velocidade 
que o velocímetro do automóvel indicava no exato instante em que ele passava por um 
determinado ponto do percurso? 
A leitura do velocímetro mede o que chamamos de velocidade instantânea, 
ou simplesmente, velocidade do automóvel e é este conceito que abordaremos no 
exemplo estudado no tópico 1.3. 
 
1.2 TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO E RETAS SECANTES 
 
 11
Dada a função arbitrária y = f(x), calculamos a taxa média de variação de y 
em relação a x no intervalo [a,b] dividindo a variação do valor de y, Δy = f(b) – f(a), pelo 
comprimento Δx = b – a = h do intervalo ao longo do qual a variação ocorre. 
 
Definição de Taxa Média de Variação: 
A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [a,b] é 
 
0h,
h
)a(f)ha(f
ab
)a(f)b(f
x
y ≠−+=−
−=Δ
Δ
. 
 
Observe na figura 1.2 que a taxa de variação de f no intervalo [a,b] é o 
coeficiente angular da reta que passa 
nos pontos P(a, f(a)) e Q(b, f(b)). A reta 
que passa por esses dois pontos está 
sendo denominada de “s” e trata-se de 
uma reta secante a curva y = f(x). 
Portanto, a taxa média de variação de f 
desde “a” até “b” é igual ao coeficiente 
angular da secante PQ, ou seja, secante 
“s”. 
 
1.2.1 Exemplo 
 
Determine a taxa média de variação da função f(x) = 2x² - 5 no intervalo [0,3]. 
 
Resolução: 
A taxa média de variação é dada por 
03
)0(f)3(f
ab
)a(f)b(f
x
y
−
−=−
−=Δ
Δ . 
Como, f(3) = 2.3² - 5 = 18 - 5 = 13 e f(0) = 2.0² - 5 = 0 - 5 = - 5, vamos ter que 
a taxa média de variação será: 
x 
y 
a b 
f(a) 
f(b) 
(b – a ) = Δx = h 
f(b) – f(a) = Δy 
P 
Q 
y = f(x) 
s 
Fig. 1.2 – Taxa de variação 
 12
6
3
18
3
513
3
)5(13
03
)0(f)3(f
x
y ==+=−−=−
−=Δ
Δ 
 
Também podemos observar isso por meio do gráfico dessa função e da reta 
secante a essa curva pelos pontos P(0,-5) e Q(3,13). 
A taxa média de variação dessa função no intervalo [0,3] é dada pela 
inclinação da reta secante que se calcula pelo quociente da variação do y pela variação 
do x. Essas variações podem ser observadas na altura e na base do retângulo em cinza 
da figura 1.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.3 – Inclinação da reta secante e taxa média de variação 
 
1.3 TAXA INSTANTÂNEA 
 
Um exemplo de taxa instantânea é a velocidade de um móvel em um 
determinado ponto. Vamos observar isso no exemplo 1.1.1. Na viagem de São Paulo a 
Extrema. 
s: reta secante 
↔
PQ
Ângulo que fornece a inclinação da secante 
 α α 
 α 
13 – (-5) 
 
 = 18 
3 – 0 = 3 
−4 −2 2 4
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
P
Q
−4 −2 2 4
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
x
y
P
Q
observe a 
inclinação da secante 
 13
Para calcular a velocidade média realizada na viagem em questão, de São 
Paulo a Extrema, devemos pegar o ponto final (1,6;110) e o ponto inicial (0,0). Veja 
essa distância representada no gráfico da figura 1.4 com o segmento pontilhado. 
A Velocidade média será dada 
por: 
 
h/km75,68
6,1
110
06,1
0110
)i(t)f(t
)i(s)f(s
t
s ==−
−=−
−=Δ
Δ
. 
Para calcular a velocidade 
média realizada na viagem em questão, de 
São Paulo até 100 km percorridos, 
podemos observar no gráfico da figura 1.5 
(a) o tempo utilizado para percorrer essa 
quilometragem e anotar esse ponto 
(1,4;100) e o ponto inicial (0,0). Observando o gráfico da figura 1.5 (b) podemos calcular 
essa velocidade, a qual será dada por: 
 
h/km43,71
4,1
100
04,1
0100
)i(t)f(t
)i(s)f(s
t
s ==−
−=−
−=Δ
Δ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.4 0.8 1.2 1.6 2.
20
40
60
80
100
t
s(t)
(1,67)
(1,2;88)
(1,6;110)
Δs 
Δt 
Fig- 1.4 – Velocidade Média de SP a Extrema 
Fig- 1.5 – Velocidade Média de SP até o quilômetro 100 
0.4 0.8 1.2 1.6 2.
20
40
60
80
100
t
s(t)
(1,67)(1,2;88)
(1,6;110)
Δs 
Δt 
0.4 0.8 1.2 1.6 2.
20
40
60
80
100
t
s(t)
(1,67)
(1,2;88)
(1,6;110)
(a) (b) 
 14
Mas o fato é que queremos calcular a velocidade em pontos específicos, por 
exemplo, a velocidade do automóvel exatamente no quilômetro 100 dessa viagem. 
Note que em cada trecho apresentado na tabela 1.1 e gráfico da figura 1.1, 
ou seja, se São Paulo a Atibaia, de Atibaia a Bragança Paulista e de Bragança Paulista 
a Extrema, os segmentos de retas apresentam inclinações diferentes. Isso significa que 
em cada um desses trechos as equações das retas que passam por esses segmentos 
são diferentes e consequentemente vamos ter que observar cada um desses trechos 
para determinar a velocidade média entre os trechos. Como o ponto que estamos 
querendo determinar a velocidade instantânea (velocidade no ponto) está entre 
Bragança Paulista e Extrema, então devemos fazer esse cálculo tendo como referência 
a equação da velocidade entre os pontos (1,2;88) e (1,6; 110). 
Vamos tentar entender esse conceito de velocidade instantânea por meio de 
um novo exemplo, adaptado de Santos e Bianchini citados no início desse capítulo.: 
Suponha que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância até 
o solo em cada instante t (em segundos) é conhecida e dada por s(t) = - t² + 4t metros. 
Antes de determinarmos os espaços percorridos pela bola devemos lembrar que não 
existe espaço negativo, ou seja, s(t) ≥ 0. Como s(t) = - t² + 4t, então - t² + 4t ≥ 0. Ao 
resolvermos essa inequação, vamos ter todos os possíveis valores de t para que essa 
situação exista. 
- t² + 4t ≥ 0 ⇒ t(-t + 4) ≥ 0 
 
Estamos “querendo” determinar os valores de “t” que tornem esse produto 
positivo ou igual a zero. A raiz de cada fator é: t = 0 e t = 4. 
 Para determinar em quais 
valores de t esse produto é positivo ou 
igual a zero, devemos estudar o sinal de 
cada um dos fatores e em seguida 
multiplicá-los. 
 
t + + + + + + + + + + + + + + 
0 - - - - - - - 
-t + 4 + + + + + + + + + + + + 
4 - - - - - - - 
t (-t + 4) + + + + + + + 
0 
 - - - - - - - - - - - - - - 
4 
 15
Esse estudo nos evidencia que esse produto é positivo ou igual a zero para 
os valores de t entre zero e 4, incluindo esses 
extremos, isso significa que a função s(t) = -t² 
+ 4t ocorrerá apenas em 0 ≤ t ≤ 4. O gráfico 
dessa função pode ser observado na figura 
1.6. Trata-se de uma parábola com 
concavidade para baixo, pois é uma função do 
2° grau com o coeficiente que multiplica o t² 
igual a -1, ou seja, coeficiente negativo. 
 
O problema que queremos resolver é o de determinar a velocidade da bola 
em cada instante de tempo t, isto é, determinar a velocidade instantânea da bola, para 
cada t fixado, por exemplo em t0 = 1 segundos. 
Já que não sabemos, até o momento, como calcular velocidades 
instantâneas e nem mesmo como definir matematicamente este conceito, vamos tentar, 
pelo menos, obter uma resposta aproximada para este problema. 
Parece ser razoável tomar como aproximação para a velocidade da bola no 
instante t0 = 1, a velocidade média calculada sobre um intervalo de tempo Δt = t – t0, 
com t próximo de t0. Por exemplo, para t = 2 segundos temos Δt = 1 e 
 
)1(s)2(s
t
)1(s)t1(svm −=Δ
−Δ+= 
 
Calculando este valor, obtemos: 
S(2) = -(2)² + 4.2 = -4 + 8 = 4 e s(1) = -(1)² + 4.1 = -1 + 4 = 3. Substituindo na 
Vm, teremos: 
s/m134vm =−= . 
 
Para t = 1,5 segundos temos Δt = 0,5 e 
 
1 2 3 4 5
1
2
3
4
t
s(t)
Fig. 1.6 – Gráfico da função s(t) = -t² + 4t 
 16
5,0
)1(s)5,1(s
t
)1(s)t1(svm
−=Δ
−Δ+= 
 
Calculando este novo valor, obtemos: 
S(1,5) = -(1,5)² + 4.(1,5) = -2,25 + 6 = 3,75 e s(1) = 3 
 
Substituindo na Vm, teremos: 
 
s/m5,1
5,0
75,0
5,0
375,3
5,0
)1(s)5,1(svm ==−=−= 
 
 
Para t = 1,01 segundos temos Δt = 0,1 e 
 
1,0
)1(s)1,1(s
t
)1(s)t1(svm
−=Δ
−Δ+= 
e daí, obtemos: 
S(1,1) = -(1,1)² + 4.(1,1) = -1,21 + 4,4 = 3,19 e s(1) = 3 
 
Substituindo na Vm, teremos: 
 
s/m9,1
1,0
19,0
1,0
319,3
5,0
)1(s)1,1(svm ==−=−= 
 
Prosseguindo com este raciocínio, tomando valores de t cada vez mais 
próximos de 1, isto é, fazendo Δt se aproximar cada vez mais de zero, obteremos uma 
seqüência de valores para Vm que parece convergir para dois, como mostra a tabela 
abaixo: 
 
t 1,5 1,25 1,125 1,0625 1,03125 1,0156 1,0078 1,0039 1,0019 1,0009 
Vm 1,5 1,75 1,875 1,9375 1,96875 1,9843 1,9921 1,9960 1,9980 1,9990 
 
 17
Para obter aproximações cada vez melhores para a velocidade instantânea 
em t = 1, basta calcularmos a velocidade média sobre intervalos de tempo 
progressivamente mais curtos. Estas observações indicam que é possível definir a 
velocidade em t = 1 como o limite destas velocidades médias. Assim, temos: 
 
1t
)1(s)t(slim)1(v
1t −
−= → ou t
)t(s)tt(slim)1(v
0t Δ
−Δ+= →Δ 
 
e este limite é precisamente a derivada da função s(t) calculada em t = 1. 
Assim, podemos escrever, simplesmente: 
 
t
slim)t('s)t(v
0t Δ
Δ== →Δ 
 
onde s’(t) significa a derivada da função s(t), a qual significa velocidade instantânea, ou 
seja, velocidade da função em um determinado ponto. 
Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 
1 segundo é dada por v(t) = s’(t) = -2t +4. No ponto t = 1, vamos ter v(1) = -2.1 + 4 = 2. 
Veja que esse valor coincide com o valor que estávamos nos aproximando. Porém, 
aprenderemos um pouco mais adiante como derivar a função s(t) = -t² + 4t para 
chegarmos em v(t) = -2t + 4. 
De um modo geral, a velocidade instantânea em um ponto t0 qualquer é 
definida por: 
 
)t('s
tt
)t(s)t(slim
t
)t(s)tt(slim)t(v 0
0
0
tt
00
0t0 0
=−
−=Δ
−Δ+= →→Δ 
 
Como vimos na resolução desse exemplo, conhecendo-se a função s(t), que 
fornece para cada instante de tempo t, a distância percorrida por uma partícula em 
movimento, a velocidade média desta partícula, calculada em um intervalo de tempo Δt 
= t – t0, coincide com a inclinação da reta secante ao gráfico da função s(t) que passa 
 18
pelos pontos (t0,s(t0)) e (t,s(t)). Acompanhe essa situação na figura 1.7 para (2,s(2)) e 
(1,s(1)). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que à medida que estes dois pontos se aproximam, isto é, quando 
Δt → 0, a inclinação da reta secante ao gráfico de s(t) se aproxima da inclinação da reta 
tangente à curva em t = t0 (veja isso na figura 1.8). Assim, o valor da velocidade 
instantânea coincide com o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de s(t) no 
instante t = t0. Resumindo, se a função s(t) fornece, para cada instante de tempo t0, a 
distância percorrida por uma partícula em movimento, a sua derivada s'(t0) fornece a 
velocidade da partícula neste instante e, esta velocidade pode ser interpretada, 
geometricamente, como a inclinação da reta tangente ao gráfico da função s no ponto 
t0. 
 
1.3.1 Reta Tangente 
 
O problema básico do cálculo diferencial 
é o problema das tangentes: calcular o 
coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
num ponto dado P. 
 
 Fig. 1.9 – Reta tangente ao gráfico de y = f(x) 
1 2 3 4 5
1
2
3
4
t
s(t)
1.7 – Reta secante a s(t) = -t² + 4t e a Vm 
1 2 3 4 5
1
2
3
4
t
s(t)
1.8 – Reta tangente a s(t) = -t² + 4t e a Vinstantânea 
x
y 
 
 
P 
t: Reta tangente
f(x)
x
y = f(x)
 19
Mas o que é uma reta tangente? 
 
 
 
 
 
 (a)(b) 
Fig. 1.10 – exemplos de retas tangentes e retas não tangentes à circunferência 
 
No caso de uma circunferência não há dificuldade. Uma tangente a uma 
circunferência (ver figura 1.10 (a)) é uma reta que intercepta a circunferência em 
apenas um ponto, chamado o ponto de tangência; as retas não tangentes (ver figura 
1.10(b)) ou interceptam a circunferência em dois pontos diferentes ou não interceptam. 
Os matemáticos antigos afirmavam que uma reta tangente a uma curva num 
dado ponto como sendo uma reta que “toca” a curva naquele ponto. Sugeriam também 
a possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que intercepta a 
curva em apenas um ponto. Essa definição foi usada com sucesso pelos gregos ao 
tratarem de circunferências e algumas outras curvas especiais, mas, para curvas em 
geral, ela é totalmente insatisfatória. Para compreender o porquê, considere a curva 
mostrada na figura 1.11. Ela tem uma tangente perfeitamente aceitável (a reta “a”), que 
essa definição rejeitaria. Já, a reta “b” não é tangente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.11 – exemplos de retas tangentes e retas não tangentes 
 
 
a 
b 
 20
1.3.1.1 A idéia de reta tangente 
 
 
 
Considere uma curva y = f(x) e P um dado ponto fixo sobre 
essa curva. 
 
 
 
 
 
Considere Q um segundo ponto sobre a curva dada por f(x) 
 
 
Desenhe a reta secante PQ. 
A distância da abscissa “b” do ponto 
Q em relação a abscissa “a” do ponto P é 
dada por (b-a) ou por Δx. 
A distância da ordenada f(b) do 
ponto Q em relação à ordenada f(a) do 
ponto P é dada por f(b) – f(a) ou por Δy. 
 
Para determinarmos a reta tangente em P devemos aproximar o ponto Q do 
ponto P, observe: 
 
 
Conforme aproximamos o ponto Q de 
P a inclinação da reta secante também se 
altera. A abscissa “b” se aproxima da 
abscissa “a” e conseqüentemente a distância 
entre elas diminui, ou seja, o Δx diminui. 
a b 
f(a) 
f(b) 
(b – a ) = Δx 
x 
y 
f(b) – f(a) = Δy 
P 
Q 
x 
y 
a 
f(a) 
P 
f(x) 
x 
y 
a b 
f(a) 
f(b) 
P 
Q 
Reta secante 
x 
y 
a b 
f(a) 
f(b) 
(b – a ) = Δx 
f(b) – f(a) = Δy 
P 
Q 
 21
 
 
Aproximando mais ainda o ponto Q de 
P, podemos notar que a reta secante PQ 
tende à reta tangente em P. 
A reta tangente em P pode agora ser 
encarada como a posição limite da secante 
variável quando Q desliza ao longo da curva 
em direção a P. Essa idéia qualitativa leva, 
pelo menos a um método quantitativo para o 
cálculo do coeficiente angular exato da tangente em termos da função f(x) dada. 
 
Como a tangente é a aproximação linear de um gráfico em um ponto, o 
problema da determinação da inclinação de um gráfico se reduz ao achar o coeficiente 
angular da tangente naquele ponto, desta forma, defini-se a inclinação de um gráfico: 
 
A inclinação m de um gráfico de f no ponto (x,f(x)) é igual ao coeficiente angular 
da tangente em (x,f(x)) e é dado por 
x
xfxxfmm
xx Δ
−Δ+== →Δ→Δ
)()(limlim
0sec0
. 
 
 
1.3.1.2 Inclinação de um gráfico - Exemplo 
 
 Determine a fórmula para a inclinação do gráfico de f(x) = x² + 2. Qual é 
a inclinação nos pontos (1,3) e (0,2)? 
 
Resolução: 
O gráfico da função f(x) = x² + 2 está representado 
ao lado. Como essa função tem como domínio todos os 
números reais, ela apresenta uma quantidade infinita de 
pontos e, desta forma, essa curva apresenta infinitas 
x 
y 
a b 
f(a) 
f(b) 
(b – a ) = Δx 
Δx→0 
f(b) – f(a) = Δy P Q 
−3 −2 −1 1 2 3 4
2
−1
1
2
3
4
5
x
y
 22
inclinações, pois em cada ponto há uma inclinação diferente. Veja algumas 
inclinações apresentadas por retas tangentes a alguns dos pontos dessa curva. Cada 
inclinação pode ser representada por uma reta tangente à curva pelo ponto em que 
se deseja analisar essa inclinação. Isso significa, que ao calcularmos a inclinação da 
reta tangente à curva por um determinado ponto, estamos determinando a inclinação 
da curva naquele ponto. 
Como vimos, a inclinação m de um gráfico de f no ponto (x,f(x)) é igual ao 
coeficiente angular da tangente em (x,f(x)) e é dado por 
 
x
)x(f)xx(flimmlimm
0xsec0x Δ
−Δ+== →Δ→Δ . 
Isso significa que se quisermos determinar a inclinação em um ponto 
qualquer, devemos fazer: 
 
x
xfxxf
x Δ
−Δ+
→Δ
)()(lim
0
 
Para determinar o coeficiente angular da tangente, ou seja, 
a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer da 
curva. 
x
xxx
x Δ
+−+Δ+
→Δ
)2(]2)[(lim
22
0
 Fazer f(x) = x² + 2. 
x
xxxxx
x Δ
−−+Δ+Δ+
→Δ
22)(2lim
222
0
 Desenvolver. 
x
xxx
x Δ
Δ+Δ
→Δ
2
0
)(2lim Simplificar. 
x
xxx
x Δ
Δ+Δ
→Δ
)2(lim
0
 Fatorar e cancelar. 
0,2lim
0
≠ΔΔ+→Δ xxxx Simplificar. 
xxxm
x
2)2lim(
0
=Δ+=
→Δ
 Resolver o limite. 
 
 
 23
m = 2x é a inclinação da curva em qualquer 
um de seus pontos, ou seja, pode-se dizer 
que se trata de uma fórmula para 
determinar as inclinações da curva f(x) = x² 
+ 2 em seus infinitos pontos. 
Aplicando a fórmula m = 2x, 
podemos determinar a inclinação em pontos 
específicos. 
Em (1,3), é m = 2.1 = 2. 
Em (1,0), é m = 2.0 = 0. 
Observe acima o gráfico da função f(x) = x² + 2 e das reta tangentes a ele 
pelos pontos (1,3) e (0,2). 
 
1.3.1.3 Equação da reta tangente – Exemplo 
 
Para determinarmos a equação da reta usamos a fórmula: 
 
a) Determine as equações das retas tangentes à curva f(x) = x² + 2, nos 
pontos (1,3) e (0,2). 
 
Resolução: 
Para determinarmos a equação da reta tangente a curva f(x) = x² + 2 pelos 
pontos (1,3) e (0,2), fazemos: 
 
)xx(myy 00 −=− (1) Fórmula da equação da reta. 
Para o ponto (1,3) 
)xx(m=)x(f)x(fou)xx(m=yy 0000 
onde m é o coeficiente angular 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
1
2
3
4
5
x
y
y = x² + 2
y = 2x + 1 (reta tangente)
(1,3)
y = 2 (reta tangente) 
Web 
Eq. Reta Tangente 
 
 24
1xe3y 00 == (2) Dados do problema. 
m = 2 (3) Coeficiente angular determinado no tópico 1.3.1.2. 
)1x(23y −=− Substituindo (2) e (3) em (1). 
2x23y −=− Aplicando a distributiva. 
32x2y +−= Resolvendo e simplificando. 
1x2y += Equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) pelo 
ponto (1,3). 
 
Para o ponto (0,2) 
0xe2y 00 == (4) Dados do problema. 
m = 0 (5) Coeficiente angular determinado no tópico 1.3.1.2. 
)0x(02y −=− Substituindo (4) e (5) em (1). 
02y =− Aplicando a distributiva. 
2y = Equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) pelo 
ponto (0,2). 
 
1.4 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 
 
 No tópico 1.3.1.2 partimos da função f(x) = x² + 2 e utilizamos o 
processo de limites para deduzir outra função m = 2x, que representa a inclinação do 
gráfico de f no ponto (x,f(x)). Essa função é chamada a derivada de f em x. 
 
Defini-se, como pode ser observado no próximo quadro. 
 
A derivada de f em x é dada por 
x
)x(f)xx(f
lim)x(f
0x
'
Δ
−Δ+= →Δ 
desde que o limite exista. Uma função é diferencial em x se sua derivada existe 
em x. O processo de cálculo de derivada é chamado de diferenciação. 
 
 25
Notações: f’(x), 
dx
dy , y’, D[x]y, ou )]x(f[
dx
d . 
 
Leitura: f linha de x, ou derivada da função f em relação a x. 
 
 É importante saber que a partir da definição de derivada, demonstram-
se todas as “regras de derivação” e as “fórmulas de derivação”, das quais 
apresentaremos algumas no próximo capítulo e no anexo “derivadasde funções 
elementares” que usaremos para derivar as funções que serão apresentadas ao 
longo desse curso. 
 
1.4.1 Exemplos 
 
1) Verifique se a função f definida por f(x) = x2 + 3x, é derivável em 2. 
 
Resolução: 
A função f é derivável no ponto a = 2 se existir o )2('f
x
f(2) - h) f(2lim
0x
=Δ
+
→Δ
. Por 
efeito de facilitar as notações, substituiremos o Δx por “h” e passaremos a escrever: 
)2('f
h
f(2) - h) f(2lim
0h
=+
→
. 
 Resolvendo por partes, vamos fazer: 
i) f(a + h) = (a + h)² + 3(a + h) = 
 f(2 + h) = (2 + h)² + 3(2 + h) = 
 f(2 + h) = 2² + 2.2.h + h² + 3.2 + 3h = 
 f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h = 
 f(2 + h) = h² + 7h + 10 
 ii) f(x) = x² + 3.x, então 
 f(2) = 2² + 3.2 
 f(2) = 4 + 6 = 
 f(2) = 10 
 
 
iii) Substituindo (i) e (ii) em 
h
f(2) - h) f(2
lim)2('f
0h
+= → , vamos obter: 
 
Web 
Derivabilidade 
Exemplos-Cap. 1 
 
 26
7)7h(
h
)7h(hlim
h
h7hlim
h
)10()10h7h(lim
h
f(2) - h) f(2lim)2('f lim
0h0h
2
0h
2
0h0h
=+=+=+=−++=+=
→→→→→
 
Como f’(2) = 7, podemos afirmar que ∃ 
h
f(2) - h) f(2
lim)2('f
0h
+= → e portanto essa função é 
derivável em a = 2. 
 
 
2) Verifique se a função f definida por f(x) = 1 – 3x3 é derivável em a = 1. 
 
Resolução: 
A função f é derivável no ponto a = 1 se existir o )1('f(1) - h) f(1lim
0
f
hh
=+→ . 
Resolvendo por partes, vamos fazer: 
 
i) f(1 + h) = 1- 3(a + h)³ = 
 f(1 + h) = 1 - 3(1 + h)³ = 
 f(1 + h) = 1 – 3(1³ + 3.1².h + 3.1.h² + h³ ) = 
 f(1 + h) = 1 - 3(1 + 3h + 3h² + h³ ) = 
 f(1 + h) = 1 - 3 - 9h - 9h² + 3h³ = 
 f(1 + h) = -2 - 9h - 9h² - 3h³ 
 ii) f(x) = 1 - 3x³, então 
 f(1) = 1 – 3.1³ 
 f(1) = 1 - 3 = 
 f(1) = - 2 
 
 
 
iii) Substituindo (i) e (ii) em 
h
f
h
f(1) - h) f(1lim)1('
0
+=
→
, vamos obter: 
 
9
h
)h3h33(h3lim
h
h3h9h9lim
h
)2()h3h9h92(lim
h
f(1) - h) f(1lim)1('f
2
0h
32
0h
32
0h0h
−=−−−=−−−=−−−−−−=+= →→→→ 
Como f’(1) = - 9, podemos afirmar que ∃ 
h
f
h
f(1) - h) f(1lim)1('
0
+= → e, portanto essa função é 
derivável em a = 1. 
 
1.5 DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE 
 
 27
Teorema: Se f(x) é derivável em a, então f(x) é contínua em a. 
Hipótese: f(x) é derivável em “a” 
Tese: f(x) é contínua em “a” 
 
Rascunho 
Se uma função é derivável em “a”, então existe f’(a), tal que )a('f
h
)a(f)ha(flim
0h
=−+→ 
Quando uma função é contínua em “a”, conforme estudamos no curso de Cálculo: “Limites e 
Continuidade”, temos que )a(f)x(flim
ax
=→ . Isso também pode ser reescrito como 
0)a(f)ha(flim)a(f)ha(flim
0h0h
=−+⇒=+ →→ 
0h.
h
)a(f)ha(f =−+ 
 
Demonstração 
 
Por hipótese h
h
)a(f)ha(f)a(f)ha(fmas)a('f
h
)a(f)ha(flim
0h
⋅−+=−+=−+→ 
Pela propriedade de limite do produto, vem: 
,0).a('fhlim
h
)a(f)ha(flim)a(f)ha(lim
0h0h0h
=⋅−+=−+ →→→ 
 ou seja: 
),a(f)ha(lim0)a(f)ha(lim
0h0h
=+⇒=−+ →→ isto é, f(x) é contínua em “a”. 
 
Observação: A recíproca é falsa, isto é, nem toda função contínua em “a” é derivável em 
“a”. 
 
1.5.1 Exemplos 
 
Estude a continuidade e a derivabilidade das funções: 
 
a) f(x) = 5x² + 3 
Resolução: 
zero
 28
i) Domínio de f é o conjunto dos números reais. 
 
ii) Vamos verificar se a função f é derivável em R. 
h
)3x5(3)hx(5lim)x('f
h
)x(f)hx(flim)x('f
22
0h0h
+−++=⇒−+= →→ 
h
3x53h5xh10x5lim)x('f
h
3x53)hxh2x(5lim)x('f
222
0h
222
0h
−−+++=⇒−−+++=⇒
→→
 
h
h5xh10lim)x('f
2
0h
+=⇒ → h
)h5x10(hlim)x('f
0h
+=⇒
→
x10h5x10lim)x('f
0h
=+=⇒ → 
x10)x('f =⇒ 
Como o domínio de f é o conjunto de todos os números reais, e f’(x) = 10x 
existe se x for um número real qualquer, f é uma função derivável. 
 
iii) Note também que )a(f3a5)3x5(lim 22
ax
=+=+→ , para ∀a∈R, ou seja, essa 
função é continua para qualquer ”x” real. 
 
Interpretação 
 
O gráfico ao lado representa a função f definida por f(x) = 5x² + 3 
e conforme foi estudado na disciplina de Cálculo: Limites e 
continuidade, observa-se tratar-se de um gráfico de uma função 
contínua em R. Observe também que em todos os pontos desse 
gráfico é possível traçar uma reta tangente, como a inclinação da 
reta tangente à curva por um determinado ponto x = a fornece a derivada da função em 
x = a, pode-se afirmar que a função é derivável em todos os pontos de seu domínio. 
Conclusão 
• f é contínua em todos os valores do domínio; 
• f é derivável em todos os valores do domínio. 
 
b) f(x) = 1x3 + 
 
Resolução: 
−2 −1 1 2 3
−2
2
4
6
8
x
y
 29
i) Domínio de f é o conjunto dos números reais. 
ii) Vamos verificar se a função f é derivável em R. 
h
)1x(1)hx(lim)x('f
h
)x(f)hx(flim)x('f
3
1
3
1
0h0h
+−++=⇒−+= →→ 
h
1x1)hx(lim)x('f
3
1
3
1
0h
−−++=⇒ → h
x)hx(lim)x('f
3
1
3
1
0h
−+=⇒ → 
Racionalizando o numerador para obter um fator comum “h” no numerador e no 
denominador, vamos obter 
]xx)hx()hx[(h
]xx)hx()hx][(x)hx[(lim)x('f
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
0h ++++
++++−+=⇒ → 
]xx)hx()hx[(h
]xxx)hx(x)hx(xx)hx(x)hx()hx()hx()hx(lim)x('f
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
0h ++++
−+−+−+++++++=⇒ →
 
]xx)hx()hx[(h
]xx)hx(x)hx(x)hx(x)hx()hx(lim)x('f
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
0h ++++
−+−+−+++++=⇒ → 
 
]xx)hx()hx[(h
x)hx(lim)x('f
3
2
3
1
3
1
3
2
0h ++++
−+=⇒ → ]xx)hx()hx[(h
hlim)x('f
3
2
3
1
3
1
3
2
0h ++++=⇒ → 
 
]xx)hx()hx[(
1lim)x('f
3
2
3
1
3
1
3
2
0h ++++=⇒ → ]xx)0x()0x[(
1)x('f
3
2
3
1
3
1
3
2 ++++=⇒ 
 
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
x3
1
xxx
1
]xxxx[
1)x('f =++=++=⇒ 3 2x3
1)x('f =⇒ 
 
Como o domínio de f é o conjunto de todos os 
números reais, e 
3 2x3
1)x('f = existe se x pertencer ao 
R*, ou seja, for qualquer número real com exceção do 
“zero”, f não é derivável apenas em x = 0. 
−2 −1 1 2 3
1 
2 
3 
x
y 
 30
 
iii) Mas note que )a(f1a1xlim 33
ax
=+=+→ , para ∀a∈R, ou seja, essa função é 
continua para qualquer ”x” real. 
 
Interpretação 
 
O gráfico ao lado representa a função f definida por 1x)x(f 3 += e trata-se de um 
gráfico de uma função contínua em R. Observe também que em todos os pontos desse 
gráfico, com exceção de x = 0 é possível traçar uma reta tangente, como a inclinação 
da reta tangente à curva por um determinado ponto x = a fornece a derivada da função 
em x = a, pode-se afirmar que a função é derivável em todos os pontos de seu domínio 
com exceção do x = 0. 
Veja que em x = 0, a reta tangente à curva forma um ângulo de 45º com o eixo Ox e 
como a tag 45º não existe, a derivada para esse pinto não existe. 
Conclusão 
• f é contínua em todos os valores do domínio; 
• f é derivável em todos os valores do domínio com exceção do x = 0; 
• o gráfico de f tem uma reta tangente vertical no ponto onde x = 0. 
 
1.6 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 
 
Nos exercícios 1 a 3, determine, uma equação da tangente ao gráfico de f 
no ponto indicado. Verifique então seu resultado esboçando o gráfico de f e da 
tangente. (observação: use a definição de derivada) 
1) f(x) = - x² + 1 em (2,-3)2) f(x) = 2x – 3 em (3,3) 3) f(x) = x +1 em (4,3) 
 
Nos exercícios 4 ao 11, determine, usando a definição, a 
derivada de f(x) em x = a. 
4) f(x) = 2x + 3 , em a = 2 5) f(x) = x2 + 2x + 5, em a = 1 
Web 
Derivabilidade 
Exemplos 
 
 31
6) f(x) = x3 , em a = -1 7) f(x) = x , em a = 1 
8) f(x) = x , em a = 0 9) f(x) = cos x , em a = 
4
π 
10) f(x) = x , em a = 1 11) f(x) = x3 , em a = 2 
 
Nos exercícios 12 a 15, use a definição de derivada para mostrar que: 
12) Se f(x) = 6x + 4, então f’(x) = 6 13) Se f(x) = -3x² + 3x – 2, então f’(x) = -6x + 3 
14) Se 
1x2
1)x('fentão,1x)x(f +=+= 15) Se f(x) = 4x³+4x², então f’(x) = 12x² + 8x 
 
16) Determine a equação da reta tangente à curva y = 2x² + 3 que é paralela à reta 8x – 
y + 3 = 0 (Lembrete: retas paralelas apresentam o mesmo coeficiente angular) 
 
Nos exercícios 17 a 19, mostre que a função é contínua no domínio dado e 
demonstre se a função é derivável em todos os valores do intervalo: 
17) f(x) = 2x² - 4, em R; 18) f(x) = 2x + , em [-2, 8[ ; 19) f(x) = |x + 2|, em R; 
 
 
Algumas respostas 
 
1) y = -4x + 5 ou y + 4x – 5 = 0 2) y = 2x – 3 3) 2+x
4
1
=y 
 
4) 2 5) 4 6) 3 8) não existe 9) -
2
2
 11) 
3 43
1
 
 
 
 
 
 
 
 32
2 ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
2.0 INTRODUÇÃO 
 
Como vimos no capítulo anterior, as derivadas são calculadas por processos 
de limites e isso é muito trabalhoso. Para facilitar podemos calcular as derivadas por 
meio de algumas regras, ou seja, por fórmulas que nos são oferecidas em tabelas de 
derivadas. Mas como é que essas fórmulas são encontradas? Todas essas fórmulas 
são demonstradas usando a definição da derivada. 
Este capítulo tem por objetivo demonstrar algumas regras de derivação, 
apresentar regras e fórmulas de derivação e resolver derivadas por meio dessas regras, 
ou seja, de trabalhar com técnicas de derivação. 
 
2.1 REGRA DA CONSTANTE 
 
A derivada de uma função constante é zero. 
 
Demonstração: 
Seja f(x) = c, onde c = constante, ou seja, c ∈ R. 
 
Pela definição de derivada, escrevemos que: 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+= → (1) 
 
Como a função é constante, então temos que f(x+h) = c e f(x) = c (2) 
 
Substituindo (2) em (1), vem que: 00lim
h
0lim
h
cclim)x('f
0h0h0h
===−= →→→ 
 
Portanto, se f(x) = c a f’(x) = 
 33
0]c[
dx
d)x('fc)x(f ==⇒= 
 
2.1.1 Exemplos 
 Derive as funções: 
 
a) f(x) = 5 
Resolução: 
Como f(x) = 5 é uma função constante, temos que s sua derivada é dada por f’(x) = 0. 
 
b) f(x) = - 3 ⇒ f’(x) = 0. Isso também pode ser representado usando outra notação, veja: 
0]3[
dx
d =− 
 
c) 0)x('f
5
1)x(f =⇒= 
 
2.2 REGRA DA POTÊNCIA 
 
 A derivada da função f(x) = xn é 1nnx)x('f −= 
 
Demonstração: 
Para n ∈ Z*. 
Pela definição de derivada, escrevemos que: 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+= → (1) 
Como f(x) = xn, então temos que f(x+h) = (x + h)n e f(x) = xn (2) 
Substituindo (2) em (1), vem que: 
h
)x()hx(lim)x('f
nn
0h
−+= → 
Aplicando o desenvolvimento binomial, temos: 
h
xh...h
2
x)1n(nhnxx
lim)x('f
nn2
2n
1nn
0h
−++−++
=
−
−
→ 
 34
h
h...h
2
x)1n(nhnx
lim)x('f
n2
2n
1n
0h
++−+
=
−
−
→ (simplificando x
n e –xn) 
h
h...h
2
x)1n(nnxh
lim)x('f
1n
2n
1n
0h
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−+
=
−
−
−
→
 (colocando h em evidência) 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−+= −
−
−
→
1n
2n
1n
0h
h...h
2
x)1n(nnxlim)x('f (Simplificando o h) 
1nnx)x('f −= (Resolvendo o limite para h → 0) 
 
Portanto, se f(x) = xn a 1nnx)x('f −= 
 
1nnn nx]x[
dx
d)x('fx)x(f −==⇒= 
 
2.2.1 Exemplos 
 
Derive as funções: 
 
a) f(x) = x³. 
 
Resolução: 
Observe que a função f(x) = x³ é uma função potência e, desta forma, podemos derivá-
la usando a regra acima. 
 
2133 x3)x('fx3)x('fx)x(f =⇒== −⇒ 
 
b) f(x) = - x² x2x.2]x[
dx
d)x('f 122 −=−=−=⇒ − 
 
 35
2.3 MÚLTIPLO CONSTANTE 
 
 Se f é uma função diferencial de x e “c” é um número real, então 
)x('cf)]x(cf[
dx
d = , com “c” constante. 
 
Demonstração: 
Pela definição de derivada, temos que: 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+= → (1) 
Como a função é dada por “cf(x)”, então temos que 
f(x+h) = c.f(x + h) e f(x) = c.f(x) (2) 
 
Substituindo (2) em (1), vem que: 
h
)x(f.c)hx(f.clim)x('h
0h
−+= → 
h
)x(f)hx(f.clim)x('h
0h
−+= → (Colocando o “c” em evidência) 
h
)x(f)hx(flim.c)x('h
0h
−+= → (pela propriedade do limite do produto da função pelo múltiplo constante) 
)x('f.c)x('h = (Pela definição de derivada) 
 
 
Portanto, se h(x) = cf(x) a )x('f.c)x('h = 
 
)x('f.c)]x(cf[
dx
d)x('h)x(cf)x(h ==⇒= 
 
2.3.1 Exemplos 
 
 Derive as funções: 
 
Web 
Propriedades 
de derivação 
 
 36
a) f(x) = 5x³ 
 
Resolução: 
Observe que temos a função x³ sendo multiplicada pela constante “5”. Então, pela regra 
acima, vamos ter: 
f’(x) = 5. (x³)’ = 5.3x3-1 = 15x² 
 
 
 
 
b) 41555 x
3
5x5.
3
1]x
3
1[
dx
d)x('gx
3
1)x(g −=−=−=⇒−= − 
 
2.4 REGRA DA SOMA E DA DIFERENÇA 
 
Se f e g são funções diferenciáveis de x então 
)x('g)x('f)]x(g)x(f[
dx
d +=+ e )x('g)x('f)]x(g)x(f[
dx
d −=− 
 
Demonstração: (A derivada da soma é a soma das derivadas) 
 
Por hipótese e pela definição de derivada, temos que: 
 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+= → e h
)x(g)hx(glim)x('g
0h
−+= → (1) 
 
Seja t(x) = f(x) + g(x), então t’(x) = [f(x) + g(x)] 
 
Por definição, vamos ter que: 
 
Múltiplo 
Constante 
Derivada da 
função 
Derivada da 
potência 
 37
h
)x(t)hx(tlim)x('t
0h
−+= → , (2) mas 
 
t(x + h) = f(x + h) + g(x + h) e t(x) = f(x) + g(x) (3) 
 
h
)]x(g)x(f[)hx(g)hx(flim)x('t
0h
+−+++= → (Substituindo (3) em (2)) 
 
h
)x(g)x(f)hx(g)hx(flim)x('t
0h
−−+++= → (Aplicando a distributiva) 
 
h
)x(g)hx(g)x(f)hx(flim)x('t
0h
−++−+= → (Reagrupando) 
 
h
)x(g)hx(glim
h
)x(f)hx(flim)x('t
0h0h
−++−+= →→ (Propriedade “Limite as soma é igual a soma dos limites”) 
 
t’(x) = f’(x) + g’(x) (Em (1) pela hipótese, ou pela definição de derivada) 
 
Portanto, se t(x) = f(x) + g(x) a )x('g)x('f)x('t += 
 
)x('g)x('f)]x(g)x(f[
dx
d)x('t)x(g)x(f)x(t +=+=⇒+= 
 
A regra da diferença é demonstrada de forma análoga. 
 
)x('g)x('f)]x(g)x(f[
dx
d)x('t)x(g)x(f)x(t −=−=⇒−= 
 
Observação: 
 As regras da soma e da diferença podem ser estendidas para a soma ou 
diferença de um número finito arbitrário de funções, desde que cada uma dessas 
Web 
Propriedades 
de derivação 
 38
funções sejam deriváveis, ou seja, se t(x) = f(x) + g(x) – h(x) + m(x), então a t’(x) = f’(x) 
+ g’(x) – h’(x) + m’(x). 
 
2.4.1 Exemplos 
 
 Derive as funções: 
 
a) f(x) = 3x³ + 5x² - 3x + 2 
 
Resolução: 
Observe que a função f(x) é a soma de outras funções. Como vimos na regra anterior a 
derivada da (soma e diferença) é (a soma e a diferença) das derivadas, ou seja: 
sef(x) = 3x³ + 5x² - 3x + 2, então f’(x) = (3x³)’ + (5x²)’ – (3x)’ + (2)’. 
Derivando cada uma dessas funções, aplicando as regras anteriormente demonstradas: 
f’(x) = 3.3x³-1 + 5.2x²-1 – 3 + 0 ⇒ f’(x) = 9x2 + 10x – 3 
 
b) 4x2x
4
1x
3
1)x(m 36 −+−= 
 
Resolução: 
02x.3.
4
1x.6.
3
1)x('m 25 −+−= 2x
4
3x2)x('m 25 +−=⇒ 
 
2.5 REGRA DO PRODUTO 
 
Se f e g são funções diferenciáveis de x então 
)x('g).x(f)x(g).x('f)]x(g).x(f[
dx
d += 
 39
A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada 
da primeira função pela segunda função mais o produto da segunda função pela 
derivada da segunda função. 
 
Demonstração: 
 
Por hipótese e pela definição de derivada, temos que: 
 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+= → e h
)x(g)hx(glim)x('g
0h
−+= → (1) 
 
Seja t(x) = f(x) . g(x), então t’(x) = [f’(x).g(x) + f(x).g’(x) ] 
 
Por definição, vamos ter que: 
 
h
)x(t)hx(tlim)x('t
0h
−+= → , (2) mas 
 
t(x + h) = f(x + h).g(x + h) e t(x) = f(x).g(x) (3) 
 
 
h
)]x(g).x(f[)hx(g).hx(flim)x('t
0h
−++= → (Substituindo (3) em (2)) 
 
h
)]x(g).x(f[)x(g).hx(f)x(g).hx(f)hx(g).hx(flim)x('t
0h
−+−++++= → (Somando e subtraindo termos 
 iguais) 
 
 
h
)x(g).x(f)x(g).hx(f)x(g).hx(f)hx(g).hx(flim)x('t
0h
−+++−++= → (Reagrupando) 
 
h
)x(f)hx(f)x(glim
h
)x(g)hx(g)hx(flim)x('t
0h0h
−++−++= →→ (Colocando termos em evidência e usando a 
 propriedade “Limite da soma é a soma dos limites) 
 
 40
h
)x(f)hx(flim).x(glim
h
)x(g)hx(glim).hx(flim)x('t
0h0h0h0h
−++−++= →→→→ (Propriedade “Limite do produto é o 
 produto dos limites”) 
 
t’(x) = f(x) g’(x) + g(x).f’(x) (Em (1) pela hipótese, ou pela definição de derivada) 
t’(x) = f’(x) g(x) + f(x).g’(x) (A ordem das parcelas e a ordem dos fatores não altera o resultado) 
 
Portanto, se t(x) = f(x).g(x) a )x('g).x(f)x(g).x('f)x('t += 
 
)x('g)x(f)x(g)x('f)]x(g).x(f[
dx
d)x('t)x(g).x(f)x(t +==⇒= 
 
Observação: 
 A regra do produto pode ser estendida para o produto de um número finito 
arbitrário de funções, desde que cada uma dessas funções seja derivável, ou seja, se 
t(x) = f(x).g(x).h(x).m(x), então a 
t’(x) = f’(x).g(x).h(x).m(x) + f(x).g’(x).h(x).m(x) + f(x).g(x).h’(x).m(x) + f(x).g(x).h(x).m’(x) 
 
2.5.1 Exemplos 
 
a) f(x) = (3x³ + 5x²).(3x + 2) 
 
Resolução: 
Observe que a função f(x) é o produto de dois fatores. Como vimos na regra anterior a 
derivada do produto é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda 
função mais o produto da segunda função pela derivada da segunda função, ou seja: 
se f(x) = (3x³ + 5x²).(3x + 2), então f’(x) = (3x³ + 5x²)’.(3x + 2) + (3x³ + 5x²).(3x + 2)’ 
 
 
 
Derivando cada uma dessas funções, aplicando as regras anteriormente demonstradas: 
Derivada do 1º termo vezes o 2º termo 
1º termo vezes a derivada do 2º termo 
 41
f’(x) = [(3x³)’ + (5x²)’].(3x + 2) + (3x³ + 5x²).[(3x)’ + (2)’] 
f’(x) = (9x² + 10x).(3x + 2) + (3x³ + 5x²).(3 + 0) 
f’(x) = (9x² + 10x).(3x + 2) + (3x³ + 5x²).3 (pode parar aí, mas se for continuar aplique a 
distributiva) 
f’(x) = 27x³ - 18x² + 30x² + 20x + 9x³ + 15x² 
f’(x) = 36x³ + 12x² + 20x 
 
b) g(x) = (x -1).(x² + 3) 
 
Resolução: 
x2).1x()3x.(1)'3x)(1x()3x()'1x()]3x).(1x[(
dx
d)]x(g[
dx
d 222 −++=+−++−=+−= 
= x² + 3 + 2x² - 2x = 3x² -2x + 3 
 
2.6 REGRA DO QUOCIENTE 
 
 Se f e g são funções diferenciáveis de x então ,
)x(g
)x('g).x(f)x(g).x('f
=][
dx
d
2)x(g
)x(f 
com g(x) ≠ 0. 
A derivada do quociente de duas funções é igual ao produto do 
denominador pela derivada do numerador menos o produto do numerador pela 
derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador. 
 
Demonstração: 
 
Por hipótese e pela definição de derivada, temos que: 
 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+= → e h
)x(g)hx(glim)x('g
0h
−+= → (1) 
 
 42
Seja t(x) = 
)x(g
)x(f então t’(x) = 
)x(g
)x('g).x(f)x(g).x('f
2
− , g(x) ≠ 0 
 
Por definição, vamos ter que: 
 
h
)x(t)hx(tlim)x('t
0h
−+= → , (2) mas 
 
t(x + h) = 0)hx(gcom,
)hx(g
)hx(f ≠++
+ e t(x) = 0)x(gcom,
)x(g
)x(f ≠ (3) 
 
h
)x(g
)x(f
)hx(g
)hx(f
lim)x('t
0h
−+
+
= → 
(Substituindo (3) em (2)) 
 
h
)x(g)hx(g
)hx(g)x(f)x(g)hx(f
lim)x('t
0h
+
+−+
= → 
(transformando as frações do 
numerador em frações equivalentes) 
 
)]x(g)hx(g[h
)hx(g)x(f)x(g)hx(flim)x('t
0h +
+−+= → 
(Divisão de frações) 
 
)]x(g)hx(g[h
)hx(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)hx(flim)x('t
0h +
+−−++= → 
(Somando e subtraindo termos iguais) 
 
)]x(g)hx(g[h
)x(g)x(f)hx(g)x(f)x(g)x(f)x(g)hx(flim)x('t
0x +
++−−+= → 
 (Reagrupando) 
 
)]x(g)hx(g[lim
h
)x(g)hx(g)x(flim
h
)x(f)hx(f)x(glim
)x('t
0h
0h0h
+
−+−−+
=
→
→→ 
(Colocando termos em evidência e 
usando a propriedade “Limite da 
diferença é a diferença dos limites e o 
“limite do quociente é o quociente dos 
limites) 
)x(g
h
)x(g)hx(glim)x(flim
h
)x(f)hx(flim)x(glim
)x('t 2
0h0h0h0h
−+−−+
= →→→→ 
(Propriedade “limite do produto é o 
produto dos limites” e resolução do 
limite do denominador) 
 
)x(g
)x('g)x(f)x(f)x(g)x('t 2
' −= (Em (1) pela hipótese, ou pela 
definição de derivada) 
 43
)x(g
)x('g)x(f)x(g)x(f)x('t 2
' −= (A ordem dos fatores não altera o 
produto) 
 
 
Portanto, se 0)x(gcom,
)x(g
)x(f)x(t ≠= a 
)x(g
)x('g).x(f)x(g).x('f)x('t 2
−= 
 
)x(g
)x('g)x(f)x(g)x('f][
dx
d)x('t0)x(gcom,
)x(g
)x(f)x(t 2)x(g
)x(f −==⇒≠= 
 
2.6.1 Exemplo 
 
Derive a função: f(x) = 
2x3
x5x3 23
+
+ 
 
Resolução: 
Observe que a função f(x) é um quociente. Como vimos na regra anterior a derivada do 
quociente é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função 
menos o produto da segunda função pela derivada da segunda função tudo isso 
dividido pelo quadrado de denominador, ou seja: 
 
 
 
Se 
2x3
x5x3)x(f
23
+
+= , então 2
2323
)2x3(
)'2x3)(x5x3()2x3()'x5x3()x('f +
++−++= 
 
 
Derivando cada uma dessas funções, aplicando as regras anteriormente demonstradas: 
2
2323
)2x3(
])'2()'x3)[(x5x3()2x3]()'x5()'x3[()x('f +
++−++= 
Derivada do numerador vezes o denominador Numerador vezes a derivada do denominador 
O quadrado do denominador 
 44
2
232
)2x3(
]03)[x5x3()2x3](x10x9[)x('f +
++−++= (pode parar aí, mas se for continuar 
aplique a distributiva). 
2
23223
)2x3(
)x15x9x20x30x18x27)x('f +
−−+++= 
 
2
23
)2x3(
x20x33x18)x('f +
++= 
 
2.7 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
2.7.1 Derivada da função seno 
 
A derivada da função seno é igual a função cosseno. 
 
Demonstração: 
 
Seja f(x) = sen(x). 
Pela definição de derivada, escrevemos que: 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+= → (1) 
 
Comof(x) = sen(x), então temos que f(x+h) = sen(x+h) e f(x) = sen(x) (2) 
 
Substituindo (2) em (1), vem que:
h
)x(sen)hx(senlim)x('f
0h
−+= → (3) 
 
Aplicando a identidade trigonométrica em sen(x + h), temos que: 
 
)h(sen)xcos()hcos()x(sen)hx(sen +=+ (4) 
 45
 
Substituindo (4) em (3), vamos fazer: 
 
h
)x(sen)h(sen)xcos()hcos()x(senlim)x('f
0h
−+= → 
 
h
)h(sen)xcos()x(sen)hcos()x(senlim)x('f
0h
+−= → (Reagrupando) 
 
h
)h(sen)xcos(]1)h)[cos(x(senlim)x('f
0h
+−= → (Evidenciando o sen(x)) 
 
h
)h(sen)xcos(lim
h
]1)h)[cos(x(senlim)x('f
0h0h →→ +
−= (Propriedade “Limite da soma é a soma dos limites”) 
 
)xcos(lim
h
)h(senlim)x(senlim
h
]1)h[cos(lim)x('f
0h0h0h0h →→→→ +
−= (Propriedade “Limite do produto é o produto dos 
 limites”) 
 
)xcos(lim
h
)h(senlim)x(senlim
h
)]hcos(1[lim)x('f
0h0h0h0h →→→→ +
−−= (Reorganizando) (5) 
 
Por teoremas de limites (ou limites fundamentais), temos que: 
1
h
)h(senlime0
h
)]hcos(1[lim
0h0h
==− →→ (6) 
 
De (5) e (6), vem que: )xcos(xcos.1)x(sen.0 =+ 
 
Portanto, se f(x) = sen(x) a f’(x) = cos(x) 
 
)xcos()]x(sen[
dx
d)x('f)x(sen)x(f ==⇒= 
 
 46
2.7.1.1 Exemplo 
 
Derive a função f(x) = 3x4.sen(x). 
 
Resolução: 
Observe que se trata do produto de uma função potência e da função seno. 
Primeiramente devemos aplicar a regra do produto para derivações, ou seja: 
f’(x) = (3x4)’.sen(x) + 3x4.(sen(x))’ (Regra do produto) 
 
 
 
 
f’(x) = 3.4.x4-1.sen(x) + 3x4.cos(x) (Regra da potência e do múltiplo constante e derivada da função seno) 
f’(x) = 12x3.sen(x) + 3x4.cos(x) 
 
2.7.2 Derivada da função cosseno 
 
Por procedimentos parecidos ao tópico 2.7.1, demonstra-se que: 
 
)x(sen)]x[cos(
dx
d)x('f)xcos()x(f −==⇒= 
 
2.7.3 Derivada das funções tangente, cotangente, secante e cossecante 
 
Usando as identidades trigonométricas e os resultados obtidos em 2.7.1 e 
2.7.2, demonstra-se que: 
 
Derivada do 1º termo vezes o 2º termo 
1º termo vezes a derivada do 2º termo 
 47
)x(sec)]x(tg[
dx
d)x('f)x(tg)x(f 2==⇒= 
)x(eccos)]x(g[cot
dx
d)x('f)x(gcot)x(f 2−==⇒= 
)x(tag)xsec()]x[sec(
dx
d)x('f)xsec()x(f ==⇒= 
)x(agcot)x(eccos)]x(ec[cos
dx
d)x('f)x(eccos)x(f −==⇒= 
 
2.7.3.1 Exemplo 
 
Derive a função f(x) = 3sen(x) + xsec(x) +
)xcos(
x2 
 
Resolução: 
Observe que temos a soma do produto e do quociente de funções algébricas 
com funções trigonométricas. Portanto, para realizar essa derivada vamos usar as 
regras da soma, do produto, do quociente e das derivadas das funções trigonométricas. 
Então, vamos ter: 
f '(x) = 3[sen(x)]’ +[ x’sec(x) + x(sec(x))’ ]+
)x(cos
))'x.(cos(x2)xcos()'x2(
2
− 
f '(x) = 3cos(x) +[ 1.sec(x) + x.sec(x).tg(x)]+
)x(cos
))x(sen.(x2)xcos(2
2
−− 
f '(x) = 3cos(x) + sec(x) + xsec(x)tg(x)+
)x(cos
)x(xsen2)xcos(2
2
+ 
 
2.8 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) 
 
 48
 Com as regras que temos à nossa disposição até o presente momento, 
não sabemos, por exemplo, derivar a função f(x) = (x² - 2x + 1)³ se não a reescrevermos 
como um produto de três fatores iguais. O resultado dessa derivada pode ser obtido 
usando a regra da cadeia, conforme veremos a seguir. 
 Para calcular ])1x2x[(
dx
d 32 +− procedemos do seguinte modo: 
i) Escrevemos f(x) = (x² - 2x + 1)³. Com a esperança de usar a derivada da 
potência, faremos: 
u = x² - 2x + 1 ∴ f(x) = u³ (1) 
ii) Calculamos 
 
232 u3)u(
du
d)]x(f[
du
de2x2)1x2x(
dx
d)u(
dx
d ==−=+−= 
 
iii) Usamos a seguinte regra, chamada de regra da cadeia, cujo primeiro 
membro é a derivada procurada: 
)u(
dx
d)].x(f[
du
d)]x(f[
dx
d = 
ou seja, multiplicamos as derivadas obtidas no passo anterior: 
 
2u3).2x2()]x(f[
dx
d −= 
 
Usamos agora a expressão de “u”, dada em (1), para obter: 
 
22 )1x2x(3).2x2()]x(f[
dx
d +−−= 
 
A função já está derivada. Podemos deixar o resultado como apresentado 
acima ou podemos calcular os produtos. 
O procedimento usado acima pode ser abreviado e para isso faremos: 
Sendo f(x) = (x² - 2x + 1)³, fazendo u = x² - 2x + 1, temos f(x) = u³. Então, 
 49
)2x2()1x2x(3)2x2(u3)u(
dx
d)].x(f[
du
d)]x(f[
dx
d 222 −+−=−== 
 
 Vamos arriscar a dizer que você nem precisa chamar “alguém” de “u”, 
pensando da seguinte forma: 
 Como f(x) = (x² - 2x + 1)³, queremos derivar (em x) a função potência ao 
cubo de “alguém”, esse “alguém” sendo naturalmente (x² - 2x + 1). Sabemos que a 
derivada da potência cúbica de “alguém” é 3 vezes”alguém” ao quadrado, ou seja 
3.(“alguém”)². Basta então multiplicar 3.(“alguém”)² pela derivada do “alguém”, ou seja, 
 
)2x2()1x2x(3])1x2x[(
dx
d)]x(f[
dx
d 2232 −+−=+−= 
 
2.8.1 Função composta 
 
Para demonstrarmos a regra da cadeia com mais rigor é necessário que se 
entenda o que é a função composta. 
Sejam f e g funções tais que para todo x do domínio A de g, g(x) está no 
domínio de f. Define-se a composta de f e g, indicada por “ gf o ”, como sendo a função 
de domínio A, dada por 
))x(g(f)x)(gf( =o 
 
 
 
 
 
Fig. 2.1 – Função Composta 
 
2.8.1.1 Exemplos 
 
g(x) x f(g(x)) 
g f 
fog 
 50
a) Se f(x) = x³ e g(x) = x² - 2x + 1, então 322 )1x2x()1x2x(f))x(g(f)x)(gf( +−=+−==o 
b) Se x)x(f = e g(x) = x+1, então 1x)1x(f))x(g(f)x)(gf( +=+==o 
c) Se f(x) = x³ e g(x) = x² - 2x + 1, então 
 1x2x1)x(2)x()x(f))x(f(g)x)(fg( 363233 +−=+−===o 
d) Se f(x) = x³, então 9333 x)x()x(f))x(f(f)x)(ff( ====o 
 
2.8.2 Regra da Cadeia 
 
Se a função “g” for derivável em “x” e a função “f” for derivável em “g(x)”, 
então a função composta gf o será derivável em “x”, e )x('g))x(g('f)x()'gf( =o , ou seja, 
 
)x('g))x(g('f))]x(g(f[
dx
d)x('h))x(g(f)x(h ==⇒= 
 
2.8.2.1 Exemplos 
 
Derive as funções 
a) h(x) = (5x³ +3)4 
 
Resolução (1): 
Seja h(x)= f(g(x)). Então, f(g(x)) = (g(x))4 e g(x) = 5x³ + 3 
Como h’(x) = f ’(g(x)).g’(x) ⇒ h’(x) = 4(5x³ +3)³.(5x³ +3)’ = 4(5x³ +3)³.15x² = 60x²(5x³ +3)³ 
 
Resolução (2): 
Seja u = 5x³ +3 e h(x) = u4 
Web 
Regra da Cadeia 
e Exemplos 
 
 51
Então: 2x15)u(
dx
d = e 2u)]x(h[
du
d = 
Como h’(x) = )u(
dx
d)].x(h[
du
d)]x(h[
dx
d = , vamos ter que: 
)3x5(x60x15.u4)x('h 3223 +== 
 
b) f(x) = sen(4x + 1) 
 
Resolução: 
Seja f(x)= t(g(x)). Então, t(g(x)) = sen(g(x)) e g(x) = 4x + 1 
Como f ’(x) = t ’(g(x)).g’(x) ⇒ f ’(x) = cos(g(x)).g’(x) = cos(4x + 1).(4x + 1)’ = 4cos(4x + 1) 
 
c) t(x) = cos-2(x) 
Resolução: 
t(x) = cos-2(x) ⇒ t(x) = [cos(x)]-2 
Seja t(x)= f(g(x)). Então, f(g(x)) = (g(x))-2 e g(x) = cos(x) 
Como t’(x) = f ’(g(x)).g’(x) ⇒ t ’(x) = -2(g(x))-3.g’(x) = -2cos-3(x).[-sen(x)] = 2sen(x)cos-3(x) 
Podemos continuar se optarmos em fazer as substituições pelas identidades 
trigonométricas: 
t’(x) = 2sen(x)cos-3(x) = )x(sec)x(sen2
)x(cox
1)x(sen2 33 = 
 
2.9 FUNÇÃO INVERSA 
 
2.9.1 Função bijetora 
 
Se em uma relação de dois conjuntos A e 
B, cada elemento em sua imagem B corresponder 
exatamente a umelemento em seu domínio A, ou 
x
y
x1
f(x1)
f(x2)
x2 x3
f(x3)
x4
f(x4)
f(x) = ax + b
Fig. 2.2 – Função do 1º grau é bijetora 
 52
seja, para todo x1 e x2 no domínio se x1 ≠ x2, então f(x1) ≠ f(x2) dizemos que essa 
relação é uma função bijetora. 
Uma função do 1º grau é uma função bijetora, pois o seu domínio é o 
conjunto dos números reais e sua imagem também, porém para cada x1 ≠ x2 do domínio 
da função, temos f(x1) ≠ f(x2) em sua imagem, veja a figura 2.2: 
 
Observe que x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ x4 e (x1) ≠ f(x2) ≠ f(x3) ≠ f(x4) 
 
Uma função do 2º grau com domínio em todos os números reais não é 
bijetora e isso pode ser observado na figura 2.3 (a). Já, se redefinirmos o domínio 
dessa função e admitirmos o domínio sendo, por exemplo, os números reais maiores 
que a abscissa do 
vértice da parábola da função do 2º grau ela passa a ser uma função bijetora, 
veja isso na figura 2.3 (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
Fig. 2.3 – Função do 2º grau bijetora e não bijetora 
 
Observe que a função representada na figura 2.3 (a) x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ x4 e f(x1) 
= f(x4) e f(x2) ≠ f(x3) e na figura 2.3 (b) x1 ≠ x2 e f(x1) ≠ f(x2). 
Acima apresentamos dois exemplos básicos de funções para explicarmos a 
função bijetora, pois é necessário que o leitor entenda essa ideia para compreender a 
definição da função inversa. É importante compreender que esses exemplos são os 
mais básicos. 
2 
x
y
x1
f(x1)
f(x2)
x2 x3
f(x3)
x4
f(x4)
f(x) = ax + bx +c
x
y
x1
f(x1)
f(x2)
x2
f(x) = ax + bx +c2 
 53
2.9.2 Função inversa 
 
Para entendermos o que é uma função inversa vamos pensar em duas 
operações inversas, temos que uma desfaz a outra. Por exemplo, a adição e a 
subtração são operações inversas: se 2 for adicionado a “x”, a soma será x + 2; então 
se 2 for subtraído dessa soma, a diferença será “x”. Vamos estudar três casos. 
 
a) Seja f(x) = x + 2 e g(x) = x – 2 
Note que em f(x) foi adicionado 2 a “x” e em g(x) foi subtraído 2 de “x”. 
Observe o que ocorre ao compormos as duas funções, ou seja, ao determinarmos a 
f(g(x)) e a g(f(x)). 
 
f(g(x)) = f(x-2) = (x-2) + 2 = x 
g(f(x)) = g(x+2) = (x+2) – 2 = x 
 
b) Seja f(x) = x² para x ≥ 0 e g(x) = x 
x)x()x(f))x(g(f 2 === 
xx)x(g))x(f(g 22 === 
 
c) Seja f(x) = 5x e g(x) = 
5
x 
x
5
x.5
5
xf))x(g(f =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 
x
5
x5)x5(f))x(f(g =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛== 
 
Nos três casos podemos observar que f(g(x)) = g(f(x)) = x, para o x de cada uma 
das funções. Essa relação ocorre apenas para funções inversas. 
Observe na figura 2.4 os gráficos de cada um desses casos. 
 
 54
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) (c) 
Fig. 2.4 – Gráficos de funções, suas inversas e a relação com a função identidade 
 
Nos três gráficos das funções com suas inversas temos que: 
• o gráfico da função identidade é um eixo de simetria entre o gráfico da 
função f(x) e de sua inversa g(x). Isso nos leva a afirmar que os gráficos 
de duas funções inversas são simétricos em relação a bissetriz dos 
quadrantes ímpares. 
• a função f definida pela f(x) são funções bijetoras. 
• O Domínio A da função f (Dom(f)) é a imagem da função g (Im(g)), ou 
seja, o domínio de uma função é a imagem de sua inversa e a imagem B 
da função f (Im(f)) é o domínio da função g (Dom(g)). 
 
A partir de agora, a função “g” que estamos chamando de função inversa 
passará a ser representada por f -1. 
Portanto, dizemos que uma função inversa de f: A → B será f-1: B → A. 
 
Então, se f é bijetora, podemos definir uma função, indicada por f-1, do seguinte modo: se y 
está na Im(f), f-1 leva o y no único “x” de Dom(f) tal que y = f(x), ou seja, f-1(y) = x. 
 
 Combinando y = f(x) e f-1(y) = x, obtemos y = f(f-1(y)) e f-1(f(x)) =x, o que 
reforça a nossa escrita do início do tópico 2.9.2 que o que uma função faz a outra 
desfaz. 
x
y f(x) = x+2
f(x) = x-2
x
x
y
f(x) = x
f(x) = 
x
2 
√x 
x
y f(x) = 5x
f(x) = x/5
x
 55
Mas a partir de uma função bijetora, o que devemos fazer para determinar a 
sua inversa? 
Vamos ver isso em mais três casos: 
 
a) Vamos escrever a inversa da função f dada por f(x) = x + 2. 
y = x + 2 (Introduzimos a variável y) 
x = y - 2 (Isolamos o x) 
f-1(y) = y - 2 (Pois, na definição temos que f-1(y) = x) 
f-1(x) = x - 2 (Trocamos y por x, pois é costume indicar a variável independente por x) 
 
b) Vamos escrever a inversa de f dada por f(x) = x² para x ≥ 0 
y = x² (Introduzimos a variável y) 
yx ±= (Isolamos o x) 
yx = (Pois, pelo enunciado x ≥ 0) 
f-1(y) = y (Pois, na definição temos que f-1(y) = x) 
f-1(x) = x (Trocamos y por x, pois é costume indicar a variável independente por x) 
 
c) Vamos escrever a inversa de f dada por f(x) = 5x 
 
y = 5x (Introduzimos a variável y) 
5
yx = (Isolamos o x) 
f-1(y) = 
5
y (Pois, na definição temos que f-1(y) = x) 
f-1(x) = 
5
x (Trocamos y por x, pois é costume indicar a variável independente por x) 
 
Observações: 
 
i) Se f é bijetora, ela tem inversa f-1. Conforme vimos, o que uma faz a outra desfaz. 
Isso nos leva a concluir que a inversa de f-1é a f, pois f desfaz o que f-1 faz. Ou seja, 
 56
 
(f-1)-1 = f 
 
ii) O símbolo f-1 não é o mesmo de 1/f. Vamos ilustrar isso por meio de um exemplo. 
 Se f(x) = x² -2, para ∀x ∈ R, podemos considerar a função 
f
1 , definida por 
2x
1
)x(f
1)x(
f
1
−==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ . Como a f(x) = x² - 2 não é bijetora, ela não apresenta inversa, 
logo não existe f-1. Isso evidencia que 
f
1f 1 ≠− . 
 
2.9.3 Derivada da função inversa 
 
Se uma função y = f(x) admite uma função inversa x = f-1(y), 
então a função inversa tem derivada dada por 
 
0)x('f,
)x('f
1)y()'f( 1 ≠=− 
 
Demonstração: 
Pela definição de função inversa temos que f-1(y) = x, ou seja f-1(f(x)) = x. 
Vamos derivar os dois membros. Como o primeiro membro dessa igualdade é uma 
função composta, iremos derivá-lo usando a regra da cadeia. Como o segundo membro 
é a função identidade, temos que sua derivada é igual a 1. Então: 
 
f-1(f(x)) = x (Definição de inversa) 
)x(
dx
d))]x(f(f[
dx
d 1 =− (Derivando os dois membros) 
(f-1)’(f(x)).f’(x) = 1 (Derivada da função composta no 1º membro foi usada a regra da cadeia e no 2º 
membro derivada da função identidade) 
Web 
Função inversa e 
sua derivada 
 57
)x(f
1))x(f()'f( '
1 =− Dividimos os dois membros por f ’(x) 
)x(f
1)y()'f( '
1 =− y = f(x) 
 
2.9.3.1 Exemplo2 
 
 A função f(x) = x5 + 2x³ + 2x + 3 admite inversa. Determine (f-1)’(8). 
Resolução: 
 O enunciado afirma que a função f(x) tem inversa, desta forma não é necessário 
provar e determinar a inversa, pois a derivada da função inversa é dada por 
)x(f
1)y()'f( '
1 =− . Para usar essa fórmula devemos derivar a função f(x). 
Como f’(x) = 5x4 + 6x² + 2, temos que 
2x6x5
1)y()'f( 24
1
++=
− . 
Como pretendemos determinar a (f-1)’(8), temos que o y = 8. Para determinarmos o 
valor do x a ser substituído em
2x6x5
1)y()'f( 24
1
++=
− , devemos determinar o valor do x 
para y = 8. Então faremos: 
x5 + 2x³ + 2x + 3 = 8. É possível “adivinhar” que para essa igualdade o x = 1. 
Desta forma, 
13
1
265
1
21.61.5
1)8()'f( 24
1 =++=++=
− 
 
 
2.10 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Se f(x) = ax (a > 0 e a≠ 1), então a f’(x) = axln(a) 
 
 
2 Este exemplo foi elaborado e resolvido por BOULOS, (1999, P.158). 
 58
Demonstração:Pela definição de derivada, temos que: 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
−+= → (1) 
Como a função é dada por “f(x) = ax”, então temos que 
f(x+h) = a(x + h) e f(x) = ax (2) 
 
Substituindo (2) em (1), vem que: 
h
aalim)x('f
xhx
0h
−=
+
→ 
h
aa.alim)x('f
xhx
0h
−= → (Propriedade de potência “Produto de mesma base”) 
h
)1a(alim)x('f
hx
0h
−= → (Colocando o “ax” em evidência) 
h
)1a(limalim)x('f
h
0h
x
0h
−⋅= →→ (Propriedade limite do produto é o produto dos limites) 
)aln(a)x('f x ⋅= (Limite fundamental: 
)aln(
h
)1a(lim
h
0h
=−→
) 
 
Portanto, se f(x) = ax, com a )aln(a)x('f x= 
 
)aln(a]a[
dx
d)x('f)1ae0a(,a)x(f xxx ==⇒≠>= 
 
Caso particular: 
 
xxxx e)eln(e]e[
dx
d)x('fe)x(f ===⇒= 
 
2.10.1 Exemplos 
 
 Derive as funções: 
 
a) f(x) = 5x 
 59
Resolução: 
Observando a regra acima, temos que se f(x) = 5x ⇒ f ’(x) = 5xln(5) 
 
b) f(x) = 53x 
Resolução: 
Observe que a f(x) é uma função composta e uma das formas de resolver essa 
derivada é reescrever a função como f(x) = (5x)3. 
 
])5[(
dx
d)x('f 3x= (Representando a derivada de duas formas) 
)'5]'.()5[()x('f x3x= (Aplicando a regra da cadeia) 
)5ln()5.()5.(3)x('f x2x= (Regra da potência e a regra da exponencial) 
)5ln(5.3)x('f x3= (Propriedade de “produto de potência de mesma base”) 
 
Também podemos resolver por outro procedimento. Veja: 
f(x) = 53x 
Seja u = 3x e h(x) = 5u 
Então: 3)u(
dx
d = e )5ln(5)]x(h[
du
d u= 
Como f’(x) = )u(
dx
d)].x(h[
du
d)]x(f[
dx
d = , vamos ter que: 
3).5ln(5)x('f u= 
)5ln(5.3)x('f x3= 
 
c) f(x) = xe 
Seja u = x ⇒ u = x1/2 e h(x) = eu 
Então: 2
1
2
1
x
2
1x
2
1)u(
dx
d 1 −− == e ue)]x(h[
du
d = 
Como f’(x) = )u(
dx
d)].x(h[
du
d)]x(f[
dx
d = , vamos ter que: 
 60
2
1
x
2
1.e)x('f u −= 
2
1
x2
1.e)x('f x= 
xe
x2
1)x('f = 
 
2.11 DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Se f(x) = loga(x)(a > 0 e a ≠ 1) então .)aln(x
1)x('f = 
 
Demonstração: 
A função logarítmica y = f(x)=loga(x) é a inversa da função exponencial x = f-1(y) = 
ay. Podemos então, usar o resultado da derivada da função inversa para determinar 
f’(x), assim: 
)aln(x
1
)aln(a
1
)y()'f(
1)x(f y1
' === − , portanto: 
 
)aln(x
1)]x([log
dx
d)x('f)1ae0a(),x(log)x(f aa ==⇒≠>= 
 
Caso particular: 
 
x
1
)eln(x
1)]x[ln(
dx
d)x('f)xln()x(log)x(f e ===⇒== 
 
2.11.1 Exemplos 
 
 61
Derive as funções: 
 
a) f(x) = log5(x) 
Resolução: 
Observando a regra acima, temos que se f(x) = log5(x) ⇒ f ’(x) = )5ln(x
1 
 
b) )x3x2ln()x(f 2 += 
Resolução: 
Seja u = (2x² + 3x) e h(x) = ln(u) 
Então: 3x4)u(
dx
d += e 
u
1)]x(h[
du
d = 
Como f’(x) = )u(
dx
d)].x(h[
du
d)]x(f[
dx
d = , vamos ter que: 
)3x4.(
u
1)x('f += 
 
)x3x2(
)3x4()x('f)3x4.(
)x3x2(
1)x('f 22 +
+=⇒++= 
 
2.12 DERIVADAS DE ORDEM SUPEROR 
 
A derivada de f’ é a derivada segunda de f e se representa por f’’, ou seja, 
).x("f)]x('f[
dx
d = 
A derivada de f’’ é a derivada terceira de f e se representa por f’’’, ou seja, 
).x('"f)]x(''f[
dx
d = 
 Continuando esse processo, obtêm-se as derivadas de ordem superior 
de f. 
 
 62
2.12.1 Exemplo 
 
Determine as derivadas primeira, segunda e terceira da função f(x) = 3x4 – 5x². 
 
Resolução: 
f´(x)= =)]x(f[
dx
d
x10x12]x5x3[
dx
d 324 −=− 
f”’(x)= =)]x(''f[
dx
d
10x36]x10x12[
dx
d 23 −=− 
f”(x)= =)]x('f[
dx
d
x72]10x36[
dx
d 2 =− 
 
2.13 DERIVADA DA FUNÇÃO IMPLÍCITA 
 
Se f(x) = {(x,y) / y = 3x³ - 2x² + 6}, então a equação y = 3x³ - 2x² + 6 define a 
função f explicitamente. Mas, nem todas as funções estão definidas dessa forma. Por 
exemplo, se tivermos a equação 
x³ + 2x = 2y³ + y² - 2 (1) 
não poderemos resolver y em termos de x; além disso, podem existir uma ou mais 
funções f, para as quais y = f(x), a equação (1) estará satisfeita, isto é, tais que a 
equação 
x³ + 2x = 2[f(x)]³ +[f(x)] ² - 2 
seja válida para todos os valores de x do domínio de f. Nesse caso, a função está 
definida implicitamente pela equação dada. 
Com a hipótese de que (1) define y como uma função derivável de x, a 
derivada de y em relação a x pode ser determinada por derivação implícita. 
A equação (1) envolve x e y, pois pode ser escrita de forma que todos os 
termos envolvendo x estejam em um membro e os termos envolvendo y estejam no 
outro termo da equação. 
Web 
Derivada 
da 
Função Implícita 
 63
O lado esquerdo de (1) é uma função de x e o lado direito é uma função de y. 
Seja F uma função definida pelo lado esquerdo e G uma função definida pelo lado 
direito. Assim, 
F(x) = x³ + 2x G(x) = 2y³ + y² - 2 
onde y é uma função de x, digamos y = f(x). Desta forma, (1) pode ser escrita como 
F(x) = G(f(x)) 
essa equação está satisfeita por todos os valores de x no domínio de f para os quais 
G(f(x)) existe. 
Então, para todos os valores de x para os quais f é derivável, 
)2yy2(
dx
d)x2x(
dx
d 233 −+=+ (2) 
A derivada do primeiro membro de (2) é dada por 
2x3)x2x(
dx
d 23 +=+ (3) 
A derivada do segundo membro será determinada usando a regra da cadeia 
'yy2'yy6)2yy2(
dx
d 223 +=−+ (4) 
Substituindo os valores de (3) e (4) em (2), obtemos 
'yy2'yy62x3 22 +=+ 
colocando o y’ em evidência 
'y)y2y6(2x3 22 +=+ 
 
E isolando o y’, vamos ter 
'y
)y2y6(
2x3
2
2
=+
+ 
Observe que ao usarmos a derivação implícita, obtivemos uma expressão 
para y’ ou 
dx
dy que envolve ambas as variáveis, x e y. 
 
2.13.1 Exemplos 
 
 64
a) Dada (x + y)4 - (x - y)4 = x6 + y6, determine 
dx
dy 
Resolução: 
)x('f'y
dx
dy == 
dx
dyy6x6)yx(
dx
d)yx(4)yx(
dx
d)yx(4 5533 +=−−−++ 
(Aplicar a regra da cadeia, tendo 
como referência a função 
potência) 
dx
dyy6x6y
dx
dx
dx
d)yx(4y
dx
dx
dx
d)yx(4 5533 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ (Propriedade “derivada da soma 
é a soma das derivadas”) 
dx
dyy6x6
dx
dy1)yx(4
dx
dy1)yx(4 5533 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ 
( dx
dy fica dessa forma pois não 
“podemos” determinar o y em 
função do x, portanto “não 
sabemos” quem é o “y”. Logo, 
sua derivada fica apenas 
indicada) 
dx
dyy6x6
dx
dy)yx(4)yx(4
dx
dy)yx(4)yx(4 553333 +=−+−−+++ (Distributiva da multiplicação em 
relação a adição e a subtração) 
335533 )yx(4)yx(4x6
dx
dyy6
dx
dy)yx(4
dx
dy)yx(4 −++−=−−+++ (Colocar no 1º membro todos os 
fatores com dx
dy
) 
[ ] 335533 )yx(4)yx(4x6
dx
dyy6)yx(4)yx(4 −++−=−−+++ (Colocar dxdy em evidência) 
533
335
y6)yx(4)yx(4
)yx(4)yx(4x6
dx
dy
−−+++
−++−= (Isolar dx
dy
, ou seja, apresentar a 
derivada dx
dy
) 
 
 
2.14 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 
 
Nos exercícios de 1 a 20, derive a função dada, aplicando as regras de derivação 
demonstradas nesse capítulo. 
1) f(x) = 5x – 3 2) f(x) = 6 3) g(x) = -7x² + 2x – 1 4) h(x) = x10 – 3x8 + 6x – 3 
5) 3x
2
1x
3
2x
4
1)x(f 234 ++−= 6) 2x2x2x2)x(m 23 +++= 7) x
x
1)x(t −= 
Web 
Técnicas de 
derivação 
(parte 1 e 2) 
 65
8) v(x) = πx² 9) 42 x4
1
x
4)x(u += 10) d(x) = (3x³ + 1)(4x³ + 2x² + 3) 11) 
x2
x)x(l