Resposta Temporal de um Sistema

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Introdução Sistemas de 1a Ordem Sistemas de 2a Ordem Sistemas de Ordem Superior
Resposta Temporal de Sistemas
Prof. Ohara Kerusauskas Rayel
Disciplina de Sistemas de Controle 1 - ET76H
Curitiba, PR
22 de março de 2016
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Rayel, O.K. — Resposta Temporal de Sistemas
Introdução Sistemas de 1a Ordem Sistemas de 2a Ordem Sistemas de Ordem Superior
Relembrando
Na aula passada, vimos como obter o comportamento matemático
de sistemas físicos
Após correto modelamento, é possível escrever a função de
transferência do sistema
De posse da função de transferência, devemos agora verificar se o
comportamento transitório e permanente corresponde ao desejado
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Resposta de um Sistema
A resposta de um sistema de controle e é constituída por duas
partes: resposta transitória e resposta estacionária.
Resposta Transitória (ou Resposta Natural): é a resposta que vai
do estado inicial ao estado final.
Resposta Estacionária (ou Resposta Forçada): é o comportamento
do sinal de saída do sistema à medida que t tende ao infinito.
Assim, a resposta c(t) do sistema pode ser descrita como:
c(t) = ctr(t) + css(t),
sendo = ctr(t) a resposta transitória e css(t) a resposta estacionária.
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Resposta de um Sistema
Como analisaríamos a resposta de um sistema com base em sua
função de transferência ou nas equações diferenciais que o
caracterizam?
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Resposta de um Sistema
Como analisaríamos a resposta de um sistema com base em sua
função de transferência ou nas equações diferenciais que o
caracterizam?
Seria necessário aplicar a Transformada Inversa de Laplace, ou resolver as
equações diferenciais. São técnicas que consomem muito tempo! Não
seria desejável uma técnica que permitisse ter uma noção básica da
resposta apenas inspecionando a função de transferência?
Através da análise dos pólos e zeros da função de transferência isto
é possível!
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Resposta de um Sistema
Exemplo:
C(s) =
s+ 2
s+ 5
Resposta ao degrau =
s+ 2
s(s+ 5)
=
A
s
+
B
s+ 5
A =
s+ 2
s+ 5
∣∣∣∣∣
s→0
=
2
5
B =
s+ 2
s
∣∣∣∣∣
s→−5
=
3
5
Então
L−1
[
2/5
s
+
3/5
s+ 5
]
=
2
5
+
3
5
e−5t
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Resposta de um Sistema
Conclusões que se pode tirar a partir dos pólos e zeros:
1 O pólo da função de entrada (o degrau no caso) gera a resposta
forçada (ou estacionária) → 2/5
2 O pólo da função de transferência gera a resposta natural (ou
transitória) → e−5t
3 Pólos reais geram respostas exponenciais na forma e−at, onde −a é
a localização do pólo. Portanto, quanto mais negativo for este
valor, mais rápido a resposta natural chegará a zero
4 Pólos e zeros em conjunto definem a amplitude tanto da resposta
transitória, como da resposta estacionária
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Sistemas sem zeros
Sistema de 1a Ordem sem Zeros
Transformada Inversa para entrada degrau unitário:
c(t) = css(t) + ctr(t) = 1− e
−at
a é o parâmetro que descreve a resposta transitória!
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Sistemas sem zeros
1/a é a constante de tempo do sistema, ou o tempo que a resposta
ao degrau leva para atingir 63% do seu valor final
→ 1− e−a
1
a = 1− e−1 = 0, 63
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Sistemas sem zeros
Tempo de Subida Tr: É o tempo para que a forma de onda vá de
10% a 90% do seu valor final. Basta resolver 1− e−at = 0, 1 e
1− e−at = 0, 9
ln(0, 9) = −at→ t = 0, 11/a
ln(0, 1) = −at→ t = 2, 31/a
Logo Tr = 2, 2/a para sistemas de 1a ordem sem zeros
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Sistemas sem zeros
Tempo de Estabelecimento Ts: É o tempo para que a forma de
atinja e se mantenha a 2% do seu valor final. Basta resolver
1− e−at = 0, 98
ln(0, 02) = −at→ t ≈ 4/a
Logo Ts = 4/a para sistemas de 1a ordem sem zeros
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Identificação de Sistemas
Muitas vezes não é possível obter a função de transferência
analiticamente. Solução: obter empiricamente! Exemplo: Obtenha
a FT para a resposta ao degrau obtida em laboratório:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
System: untitled1
Time (seconds): 0.152
Amplitude: 0.458
System: untitled1
Time (seconds): 1.19
Amplitude: 0.719
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Identificação de Sistemas
Muitas vezes não é possível obter a função de transferência
analiticamente. Solução: obter empiricamente! Exemplo: Obtenha
a FT para a resposta ao degrau obtida em laboratório:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
System: untitled1
Time (seconds): 0.152
Amplitude: 0.458
System: untitled1
Time (seconds): 1.19
Amplitude: 0.719
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
Como o valor final é aproximadamente 0,72, 63% = 0,4536, o que
ocorre em t = 0, 15. Portanto, a = 1/0, 15 = 6, 67.
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Identificação de Sistemas
Como a resposta é de um sistema de 1a ordem, sabe-se que
C(s) = Ks(s+a) =
K/a
s −
K/a
s+a
Logo, K/a = 0, 72→ K = 4, 8. Portanto, a FT é dada por
G(s) = 4,8s+6,67
Trace no Matlab!
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Resposta à Rampa
A transformada de Laplace para uma entrada rampa é dada da
seguinte forma:
R(s) =
1
s2
.
Então a saída de um sistema de primeira ordem é:
C(s) =
1
s2
×
1
Ts+ 1
.
Expandindo C(s) temos:
C(s) =
1
s2
−
T
s
+
T 2
Ts+ 1
.
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Resposta à Rampa
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace temos,
c(t) = t− T + Te−
t
T .
Então, o sinal de erro é:
e(t) = r(t)− c(t),
= T (1− e−
t
T ).
Para t→∞, a equação tente a T . A figura a seguir ilustra a resposta de um
sistema de primeira ordem a uma entrada rampa.
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Resposta ao Degrau
A transformada de Laplace para uma entrada degrau unitário é
dada da seguinte forma:
R(s)=
1
s
.
Então a saída de um sistema de primeira ordem é:
C(s) =
1
s
×
1
Ts+ 1
.
Expandindo C(s) temos:
C(s) =
1
s
−
T
Ts+ 1
.
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Resposta ao Degrau
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace temos,
c(t) = 1− e−
t
T .
Então, o sinal de erro é:
e(t) = r(t)− c(t),
= e−
t
T .
Para t→∞, a equação tente a 0.
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Resposta ao Impulso Unitário
Para uma entrada impulso unitário δ(s) = 1 a um sistema de primeira ordem, a
resposta obtida é:
C(s) =
1
Ts+ 1
.
Aplicando a transformada inversa de Laplace tem-se:
c(t) =
1
T
e
−
t
T .
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Respostas de Sistemas LIT
Propriedade de Sistemas LIT
Se sabemos a resposta de um sistema para determinado sinal de
entrada, a resposta deste mesmo sistema à derivada deste sinal de
entrada pode ser obtida prontamente ao devivarmos a resposta ao
sinal original.
Resposta à rampa: c(t) = t− T + Te−
t
T
Resposta ao degrau unitário: c(t) = 1− e−
t
T
Resposta ao impulso unitário: c(t) = 1T e
− t
T
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Sistemas de 2a Ordem
Considere o diagrama de bloco de um sistema de segunda ordem
descrito a seguir:
Neste caso a equação de saída é dada por:
Y (s) =
G(s)
1 +G(s)
R(s) =
K
s2 + ps+K
R(s).
A forma generalizada para a FTMF sistema de 2a ordem,
considerando a existência de um ganho adicional Ka é:
Y (s)
R(s)
=
Kaω
2
n
s2 + 2ζωns+ ω2n
.
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Sistemas de 2a Ordem
Y (s)
R(s)
=
Kaω
2
n
s2 + 2ζωns+ ω2n
.
1 ωn: frequência natural de oscilação
2 ζ: coeficiente de amortecimento
3 Pólos: s12 = −ζωn ± jωn
√
1− ζ2
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Sistemas de 2a Ordem
Exemplo: Encontrar o valor do coeficiente de amortecimento e da
frequência natural da seguinte função de transferência
Y (s)
F (s)
=
25
s2 + 10s+ 25
.
Temos:
ω2n = 25⇒ ωn = 5,
2ζωn = 2ζ5 = 10⇒ ζ = 1.
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Respostas Naturais (Transitórias)
Respostas Superamortecidas
Pólos: 2 pólos reais em −σ1 e −σ2.
Resposta Natural: duas exponenciais com constante de tempo igual
à localização dos pólos
c(t) = K1e
−σ1t +K2e
−σ2t.
Respostas Subamortecidas
Pólos: 2 pólos complexos em −σd ± jωd.
Resposta Natural: resposta com senoide amortecida envolvida por
uma exponencial cuja constante de tempo é igual à parte real do
pólo. A frequência da senoide é igual à parte imaginária do pólo.
c(t) = Ae−σdt cos(ωdt− φ).
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Respostas Naturais (Transitórias)
Respostas Oscilatórias
Pólos: 2 pólos imaginários em ±jωd.
Resposta Natural: resposta com senoide não amortecida com
frequência igual à parte imaginária do pólo
c(t) = A cos(ωdt− φ).
Respostas Criticamente Amortecidas
Pólos: 2 pólos reais em −σd.
Resposta Natural: resposta com uma exponencial com constante de
tempo igual à parte real do pólo e uma exponencial multiplicada por
t com constante de tempo igual à parte real do pólo
c(t) = K1e
−σdt +K2te
−σdt.
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Respostas Naturais (Transitórias)
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Respostas Naturais (Transitórias)
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Sistema Superamortecido - ζ > 1
1
s2 + 12s+ 32
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole−Zero Map
Real Axis (seconds−1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is 
(se
co
nd
s−
1 )
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Sistema Criticamente Amortecido - ζ = 1
1
s2 + 2s+ 1
0 2 4 6 8 10 12
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
−2 −1.5 −1 −0.5 0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole−Zero Map
Real Axis (seconds−1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is 
(se
co
nd
s−
1 )
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Sistema Sub-Amortecido - 0 < ζ < 1
1
s2 + 4s+ 8
−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
−3
−2
−1
0
1
2
3
Pole−Zero Map
Real Axis (seconds−1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is 
(se
co
nd
s−
1 )
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Sistema Não-Amortecido - ζ = 0
1
s2 + 1
−1 −0.5 0 0.5 1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Pole−Zero Map
Real Axis (seconds−1)
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is 
(se
co
nd
s−
1 )
0 5 10 15
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Step Response
Time (seconds)
Am
pl
itu
de
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Análise de Desempenho
Iremos focar em sistemas subamortecidos, visando Tr → 0, Ts → 0
e overshoot (ultrapassagem do valor final) mínimo.
Considerando-se um degrau unitário aplicado a um sistema de
segunda ordem típico temos:
Y (s) =
ω2n
s(s2 + 2ζωns+ ω2n)
.
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace, obtemos:
y(t) = 1−
1
β
e−ζωnt cos(ωnβt− θ).
sendo β =
√
1− ζ2 e θ = arctan(ζ/
√
1− ζ2).
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Análise de Desempenho
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Índices de Desempenho
Tempo de Pico (Tp): é o tempo onde a resposta atinge o máximo
valor. O tempo de pico, Tp pode ser obtido por
Tp =
pi
ωn
√
1− ζ2
O valor de pico é dado por
cmax = 1 + e
− ζpi√
1−ζ2
Tempo de Subida (Tr): não há relação direta com o coeficiente de
amortecimento. É preciso obter empiricamente.
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Índices de Desempenho
Porcentagem de Overshoot %OS: a ultrapassagem percentual,
%OS, é dada pelaseguinte expressão,
%OS = 100×
(
cmax − cfinal
cfinal
)
%,
sendo
cmax = valor máximo da resposta,
cfinal = valor de regime permanente.
Para o degrau unitário, cfinal = 1, então
%OS = 100e
− ζpi√
1−ζ2 %.
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Índices de Desempenho
Também é possível encontrar o coeficiente de amortecimento para
um dada porcentagem de overshoot
ζ = −
ln(%OS/100)√
pi2 + ln2(%OS/100)
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Índices de Desempenho
Tempo de Estabelecimento (Ts):
Ts ∼=
4
ζωn
.
A resposta transitória pode ser descrita por dois fatores:
1 Rapidez da resposta: pode ser projetada pela escolha adequada do
tempo de pico e o tempo de subida.
2 Proximidade da resposta com a resposta desejada: pode ser
atingida projetando-se um sistema de controle com uma
porcentagem de overshoot e tempo de estabelecimento adequado.
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Índices de Desempenho
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Efeito da Variação dos Pólos
c(t) = Ae−σdt cos(ωdt− φ)
p1,2 = −σd ± jωd
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Efeito da Variação dos Pólos
c(t) = Ae−σdt cos(ωdt− φ)
p1,2 = −σd ± jωd
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Efeito da Variação dos Pólos
c(t) = Ae−σdt cos(ωdt− φ)
p1,2 = −σd ± jωd
ζ = cos(θ) e θ = arctan(−ωd/σd)
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Efeito de um 3o Pólo
Considere o sistema de terceira ordem descrito a seguir:
T (s) =
1
(s2 + 2ζs+ 1)(γs + 1)
,
sendo ωn = 1.
Este sistema pode ser aproximado para um sistema de segunda
ordem se
|1/γ| ≥ 10|ζωn|.
Em outras palavras a resposta de um sistema de terceira ordem
pode ser aproximada pelas raízes dominantes do sistema de
segunda ordem quando a parte real das raízes dominantes for
inferior a 1/10 da parte real da terceira raiz.
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Efeito de um 3o Pólo/3o Zero
A idéia de pólo dominante deve ser utilizada quando a função de
transferência não possuir zeros próximos aos pólos dominantes.
Em situações no qual a função de transferência possuir zeros
próximos ao pólos dominantes, a resposta será afetada
significativamente.
A resposta a um degrau de um sistema com um zero e dois pólos é
afetada pela localização do zero.
A porcentagem de overshoot para uma entrada degrau, em função
de a/ζωn, sendo a a posição do zero, é ilustrada a seguir.
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Efeito de um 3o Zero
a/ζωn em Função da Porcentagem de Overshoot
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Efeito de um 3o Zero
Pólos em −1± j2, 828
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Efeito de um 3o Zero
Se o 3o Zero estiver no semiplano direito, a resposta pode ser
inicialmente inversa!
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Exercícios
Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além
dos seguintes Exercícios de Avaliação (Skill-Assessment) do livro
“Engenharia de sistemas de controle": 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 e
4.7 (olhar Exemplo 4.10).
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Próxima Aula:
Estabilidade!
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	Sistemas de 1ª Ordem
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