Resposta em Baixa Frequência

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Introdução Diagrama de Bode Margens do sistema Critério de Nyquist
Resposta em Frequência
Prof. Ohara Kerusauskas Rayel
Disciplina de Sistemas de Controle 1 - ET76H
Curitiba, PR
24 de maio de 2016
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Rayel, O.K. — Resposta em Frequência
Introdução Diagrama de Bode Margens do sistema Critério de Nyquist
Introdução
Resposta em frequência
Resposta em regime estacionário de um sistema submetido a
um sinal senoidal. (Nyquist, 1932. Bode, 1945. Evans, 1953)
Figura: Harry Nyquist Figura: Hendrik Wade Bode
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Introdução Diagrama de Bode Margens do sistema Critério de Nyquist
Metodologia
Aplica-se um sinal x(t) senoidal na entrada, varia-se a frequência e
estuda-se os efeitos na saída y(t)
O sinal variará em amplitude e fase
Vantagens:
Análise de estabilidade através do critério de Nyquist
Determinação experimental de funções de transferência via análise
da resposta em frequência
Projetos de sistemas de controle robusto à presença de ruído
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Rayel, O.K. — Resposta em Frequência
Introdução Diagrama de Bode Margens do sistema Critério de Nyquist
Resposta em regime permanente
Considere o seguinte sistema:
A função de transferência é:
G(s) =
Y (s)
X(s)
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Resposta em regime permanente
Em um sistema estável, se a entrada for:
x(t) = Xsen(ωt)
a saída será:
y(t) = Y sen(ωt+ φ)
com
Y = X|G(jω)|
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Resposta em regime permanente
O ângulo da função de transferência é igual ao deslocamento na
fase, dado por:
φ = ∠G(jω) = ∠
Y (jω)
X(jω)
= arctan
[
Imag(G(jω))
Real(G(jω))
]
E o módulo da função de transferência é o ganho/redução da
amplitude:
|G(jω)| = |Y (jω)||X(jω)|
Portanto, para determinar a resposta em frequência basta fazer
s = jω na função de transferência
G(jω) =
Y (jω)
X(jω)
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Definições
Atraso de fase: valor negativo de fase
Avanço de fase: valor positivo de fase
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Tipos de gráficos
Alguns gráficos podem ser traçados para representar a resposta em
frequência. Os 3 principais são:
Diagrama de Bode
Diagrama de Nyquist
Diagrama de resposta logarítmica vs ângulo de fase (Nichols)
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Diagrama de Bode
Apresenta dois gráficos (em função de log10(ω)):
Primeiro gráfico: Magnitude (logarítmica) →
MdB(ω) = 20 log10 |G(jω)|
Segundo gráfico: Fase → φ(ω) = ∠G(jω)
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Exemplo
Determinar as expressões analíticas de magnitude e fase da
resposta de frequência de:
G(s) =
1
(s+ 2)(s + 4)
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Exemplo
|G(jω)| = 1√
(8− ω2)2 + (6ω)2
φ =


0o − arctan
(
|6ω|
|8−ω2|
)
se ω ≤ √8
0o −
[
pi − arctan
(
|6ω|
|8−ω2|
)]
se ω >
√
8
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Exemplo
−80
−60
−40
−20
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102
−180
−135
−90
−45
0
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Vantagens de utilizar-se a escala logarítmica
O gráfico de magnitude tem uma contribuição para cada pólo e
zero, no caso de utilizarmos logaritmos, elas se somam.
G(s) =
K(s+ z1)(s + z2) · · · (s+ zk)
sm(s+ p1)(s + p2) · · · (s+ pk)
|G(jω)| = K |(s+ z1)| |(s+ z2)| · · · |(s+ zk)||sm| |(s+ p1)| |(s+ p2)| · · · |(s + pk)|
∣∣∣∣∣
s=jω
Basta estudar o efeito de cada termo na contribuição total
de magnitude e fase
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Ganho K
Magnitudes maiores que 1 possuem valores positivos em dB
Magnitudes menores que 1 possuem valores negativos em dB
G(0) = 20 log
10
(K)
∠G(0) = 0
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Fatores integrativos
(
1
s
)
20 log
10
∣∣∣∣ 1jω
∣∣∣∣ = −20 log10(ω) dB
∠
(
1
jω
)
= 0o − 90o
Uma oitava é o intervalo de frequência entre ω1 e 2ω1, sendo
qualquer ω1
Uma década é o intervalo de frequência entre ω1 e 10ω1
A inclinação da reta é −20 dB por década com ganho 0 em
ω = 1
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Fatores derivativos (s)
20 log
10
|jω|= 20 log
10
(ω) dB;
∠ (jω) = 90o
A inclinação da reta é 20 dB por década com ganho 0 em
ω = 1.
E se houver mais de um termo?
20 log10|(jω)n|= n20 log10(ω)
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Resumo gráfico
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Magnitude de
1
1 + jωT
20 log
10
∣∣∣∣ 11 + jωT
∣∣∣∣ = −20 log10(√1 + ω2T 2)
ω <<
1
T
:
−20 log
10
(
√
1 + ω2T 2) = −20 log
10
(1) = 0
ω >>
1
T
:
−20 log
10
(
√
1 + ω2T 2) = −20 log
10
(ωT )
Aproximamos para duas retas:
0 dB → 0 < ω < 1
T
−20 dB/dec → 1
T
< ω <∞
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Fase de
1
1 + jωT
ω = 0→ φ = 0o − 0o
ω = 1
T
→ φ = 0o − arctan(1/1) = −45o
ω = 10
T
→ φ = 0o − arctan(10) ≈ −90o
ω =∞→ φ = −90o
Três retas:
0o → 0 < ω < 1
10T
−45o /dec → 1
10T
< ω < 10
T
−90o → 10
T
< ω <∞
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Resumo gráfico
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Termos de primeira ordem - erros
Fizemos aproximações assintóticas para ω << 1
T
e 1
T
<< ω.
E quando a aproximação não valer?
O valor máximo do erro é aproximadamente 3 dB
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Termos de primeira ordem - zeros
Mesma análise para os pólos, mas com sinal trocado:
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Termos quadráticos
Termo na forma:
1
1 + 2ζ(j ω
ωn
) + (j ω
ωn
)2
Cuja resposta em frequência é:
20 log
10
∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ω
ωn
) + (j ω
ωn
)2
∣∣∣∣∣ = −20 log10
√(
1− ω
2
ω2n
)2
+
(
2ζ
ω
ωn
)2
ω << ωn:
−20 log
10
(1) = 0
A assíntota de baixa frequência é uma reta em 0 dB
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Termos quadráticos
Resposta em frequência (novamente):
20 log
10
∣∣∣∣∣ 11 + 2ζ(j ω
ωn
) + (j ω
ωn
)2
∣∣∣∣∣ = −20 log10
√(
1− ω
2
ω2n
)2
+
(
2ζ
ω
ωn
)2
ω >> ωn:
−20 log
10
(
ω2ω2n
)
= −40 log
10
(
ω
ωn
)
A assíntota de alta frequência é uma reta com inclinação de
40 dB/década
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Termos quadráticos
A fase é:
φ = ∠
1
1 + 2ζ(j ω
ωn
) + (j ω
ωn
)2
= 0o − arctan

 2ζ ωωn
1−
(
ω
ωn
)2


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Resposta de termos quadráticos
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Termos quadráticos - Erro
Observa-se que o erro assintótico torna-se elevado quando o
coeficiente de amortecimento é baixo.
Soluções:
Utilizar tabelas de correção
Utilizar computador para traçar o diagrama
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Sumário das assíntotas
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Exemplo 1
Esboce o diagrama de bode para a seguinte função de transferência:
G(s) = 100
(s+ 1)
(s + 10)
É desejável normalizar G(s) para que o ganho em G(0) seja
calculado corretamente
G(s) = 10
s+ 1(
s
10
+ 1
)
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Exemplo
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Exemplo
20
25
30
35
40
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102 103
0
30
60
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Exemplo 2
Esboce o diagrama de bode para a seguinte função de transferência:
G(s) = 200
(s+ 1)
(s + 10)2
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Exemplo 2
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Rayel, O.K. — Resposta em Frequência
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Exemplo 2
−10
0
10
20
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102 103
−90
−45
0
45
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Análise de estabilidade
K G(S)+ -
U(S) Y(S)
H(S)
A análise de estabilidade deve avaliar o ganho quando a fase é 180o
(inversão de fase)
Ganhos maiores que 1 indicam instabilidade!
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Margens do sistema
Margem de Ganho:
Quanto o ganho pode ser
aumentado mantendo o
sistema estável
Margem de Fase: Quanto
a fase pode ser alterada sem
que exista ganho positivo
em 180o
Explicação vem da equação
característica quando
s = jω: KG(jω) = −1
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Exemplo 3
Determine as margens de fase e ganho para o sistema, com K = 10
G(s) =
1000K
(s+ 1)(s + 10)(s + 100)
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Exemplo 3
−150
−100
−50
0
50
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10−2 10−1 100 101 102 103 104
−270
−180
−90
0
Ph
as
e 
(de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
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Coeficiente de amortecimento e Kp
O coeficiente de amortecimento está relacionado à margem de fase
(consequentemente o ovrshoot):
ζ ≈ MF
100
A constante de erro de posição pode ser deduzida do valor de inicial
do diagrama já que Kp = lim
s→0
G(s) = G(0)
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Critério de Nyquist
Z = N + P
N = no de envolvimentos do ponto −1 + j0 no sentido horário
(negativo para sentido anti-horário)
P = no de pólos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s
Z = no de zeros de 1 +G(s)H(s) no semiplano direito do plano s
(pólos do sistema em malha fechada)
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Critério de Nyquist
Para determinar N , basta traçar uma linha partindo de −1 + j0 que
cruze com a parte do diagrama de Nyquist que envolve −1 + j0.
Verificar nos pontos de cruzamento o sentido de rotação, somando
1 em N para sentido horário e −1 para sentido anti-horário.
P = 0. Logo N deve ser 0 para o sistema ser estável, pois
precisamos que não existam polos em malha fechada à direita do
eixo jω!
Sistema estável, pois N = −1 + 1 = 0, logo Z = 0!
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Introdução Diagrama de Bode Margens do sistema Critério de Nyquist
Exercícios
Exercícios para estudo: refazer os realizados em sala de aula, além
dos seguintes Exercícios de Avaliação (Skill-Assessment) do livro
“Engenharia de sistemas de controle": 10.1 (menos letra c), 10.2 e
10.6.
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Introdução Diagrama de Bode Margens do sistema Critério de Nyquist
Próxima Aula:
Projeto de
compensadores!
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	Introdução
	Introdução
	Diagrama de Bode
	Parâmetros do sistema utilizando diagrama de bode
	Margens do sistema
	Critério de Nyquist