Controle de sistemas dinâmicos - Texto 5

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Método da resposta em frequência 
 
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1. MÉTODO DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
 
INTRODUÇÃO 
 
Olá! 
O método da resposta em frequência é um método utilizado para o estudo do 
comportamento de sistemas dinâmicos, principalmente quando são submetidos à sinais 
de excitação (entrada) harmônicos. 
A análise do comportamento de um sistema submetido a esse tipo de força 
externa é de grande importância na engenharia, por abranger sistemas com sinais 
periódicos (harmônicos ou não). Os sinais periódicos, mas não harmônicos, como as 
forças geradas em um motor de combustão interna, por exemplo, podem ser representados 
como uma combinação de forças harmônicas, através da expansão em série de Fourier. 
Desta maneira, o método da resposta em frequência é uma ferramenta que permite o 
estudo de diversos sistemas dinâmicos na engenharia. 
Os sistemas dinâmicos, lineares e invariantes com o tempo, apresentam um sinal 
de resposta (saída) composto por duas parcelas: resposta transitória (ou resposta natural) 
e resposta estacionária (ou resposta forçada). 
Em sistemas estáveis, a parcela transitória do sinal de saída tende a desaparecer 
com o decorrer do tempo, enquanto a parcela referente ao comportamento forçado 
permanece enquanto houver um sinal de entrada atuante no sistema. Na grande maioria 
das vezes o sinal forçado de saída assume uma natureza semelhante ao sinal de entrada. 
Quando a análise de um sistema é feita com base em um sinal de entrada 
harmônico (senoidal), o sinal de saída irá apresentar o mesmo comportamento oscilatório. 
Vamos determinar a resposta forçada de um sistema linear invariante com o 
tempo (LIT) submetido a uma excitação harmônica. Seja um sinal de entrada do tipo 
harmônico, dado por: 
 
𝑢(𝑡) = 𝑈𝑚cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜃0) (1) 
 
Como o sinal de saída do sistema irá apresentar comportamento semelhando ao 
sinal de entrada, podemos escrever a parcela forçada do sinal de saída como: 
 
 Método da resposta em frequência 
 
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𝑦𝐹(𝑡) = 𝑌𝑚cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜃
′
0) (2) 
 
É possível notar que, embora a frequência dos dois sinais seja a mesma, a 
amplitude e o ângulo de fase, normalmente, são diferentes entre o sinal de entrada e o 
sinal de saída. Esse tipo de resposta do sistema é chamado de resposta harmônica do 
sistema. 
O método de resposta em frequência permite determinar os parâmetros dessa 
resposta harmônica do sistema, no domínio do tempo, diretamente a partir da função de 
transferência do sistema (dispensando a etapa de aplicação da transformada inversa de 
Laplace). 
Assim como o método do lugar das raízes desenvolvia o estudo do 
comportamento de um sistema a partir da variação de algum parâmetro dele, o método da 
resposta em frequência estuda o comportamento do sistema a partir da variação das 
frequências dos sinais de excitação e de reposta. Para representar a variação dos 
parâmetros do sinal de saída, a partir da modificação da frequência do sinal, são 
desenvolvidos uma série de gráficos (diagrama de Bode, diagrama de Nyquist ou carta de 
Nichols). 
Uma das maiores vantagens da utilização do método de resposta em frequência 
para o estudo e projeto de um sistema, consiste no fato de que os diagramas podem ser 
obtidos diretamente através dos dados experimentais, a partir de simulação de modelo ou 
medição de sinal no sistema real, sem a necessidade de desenvolver a função de 
transferência. Todos esses diagramas têm grande aplicação na engenharia, pois permitem 
analisar a estabilidade e o desempenho do sistema. 
 
FUNÇÃO HARMÔNICA 
 
Vamos começar a análise de sistemas sujeitos a sinais de excitação harmônicos 
sem ângulo de fase e com amplitude unitária. Dessa maneira, o sinal de entrada do sistema 
(eq. 1) se resume a: 
 
𝑢(𝑡) = cos⁡(𝜔𝑡) (3) 
 
 Método da resposta em frequência 
 
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Aplicando a transformada de Laplace nesse sinal, temos o sinal correspondente 
no domínio da frequência, dado por: 
 
 
𝑈(𝑠) =
𝑠
𝑠2+𝜔²
 (4) 
 
As raízes dessa função (polos do sistema) são complexos conjugados e iguais a 
±⁡𝑗𝜔. Da definição de função de transferência, e chamando essa função de G(s), o sinal 
de saída do sistema (com uma entrada e uma saída), é dado (no domínio da frequência) 
por: 
 
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)
𝑠
𝑠2+𝜔²
 (5) 
 
que pode ser reescrito como: 
 
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)
𝑠
(𝑠−𝑗𝜔)(𝑠+𝑗𝜔)
⁡ (6) 
 
A função de transferência pode ser expandida em frações parciais (resposta 
natural), assim como a função de excitação harmônica (resposta forçada). 
No domínio da frequência, a expansão em frações parciais de Y(s), resulta, para 
a parcela de resposta forçada do sistema: 
 
𝑌𝐹(𝑠) =
𝐶1
(𝑠−𝑗𝜔)
+
𝐶2
(𝑠+𝑗𝜔)
⁡ (7) 
 
para a qual os valores das constantes C1 e C2 são dados por 
1
2
𝐺(𝑗𝜔) e −
1
2
𝐺(𝑗𝜔), 
respectivamente. Podemos reparar que as constantes formam um par complexo 
conjugado, com mesmo módulo e ângulos de fase opostos. O ângulo de fase formado 
pelas constantes e o módulo são dados, respectivamente por: 
 
𝜙 = arctan⁡(
𝐼𝑚(𝐺(𝑗𝜔))
𝑅𝑒(𝐺(𝑗𝜔))
) (8) 
 
 Método da resposta em frequência 
 
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|𝐺(𝑗𝜔)| (9) 
 
 
 
Como tanto a amplitude como o ângulo de fase são fatores dependentes da 
função 𝐺(𝑗𝜔) essa função é chamada de função harmônica de transferência. 
Reescrevendo a parcela forçada do sinal de saída do sistema, no domínio da frequência e 
do tempo, temos que: 
 
𝑌𝐹(𝑠) =
1
2
|𝐺(𝑗𝜔)| [
𝑒𝑗𝜙
𝑠−𝑗𝜔
+
𝑒−𝑗𝜙
𝑠+𝑗𝜔
] (10) 
 
𝑦𝐹(𝑡) = |𝐺(𝑗𝜔)|cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜙) (11) 
 
Vamos agora ampliar a análise para sistemas sujeitos a sinais de excitação 
harmônico do tipo geral (eq. 1). 
Caso o sinal u(t) não apresente ângulo de fase, mas apresente amplitude diferente 
da unidade, a única diferença será na amplitude da resposta (y(t)) do sistema, que deverá 
ser multiplicada por Um. Como a amplitude da resposta será o produto entre a amplitude 
do sinal de excitação e o módulo da função de transferência harmônica, este módulo 
também é chamado de ganho de amplitude do sistema. 
Introduzindo agora um ângulo de fase inicial na função harmônica do sinal de 
excitação do sistema, e levando em consideração que as análises estão sendo feitas em 
sistemas lineares, o ângulo de fase resultante da parcela forçada deve ser igual à soma dos 
ângulos de fase da função de excitação e o ângulo de fase obtido pela (equação 8). Para 
o caso mais geral, a resposta forçada de um sistema, quando sob ação de uma força 
harmônica, é dada por: 
 
𝑦𝐹(𝑡) = 𝑈𝑚|𝐺(𝑗𝜔)|cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝜃0) (12) 
 
Para entendermos como determinar o sinal forçado de saída de um sistema a 
partir de sua função de transferência e um sinal de entrada harmônico, vamos resolver um 
exercício proposto por Maya e Leonardi (2014). 
Considereum sistema cuja função de transferência é dada por 
 Método da resposta em frequência 
 
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𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
100
𝑠+100
 (13) 
 
 
e com sinal de entrada senoidal igual a: 
 
𝑢(𝑡) = 5𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓 ∙ 𝑡) (14) 
 
Vamos fazer a análise para uma frequência do sinal de excitação igual a 15,916 
Hz. 
Sabemos que a velocidade angular, 𝜔, do sinal, é igual a 2 x 𝜋 x f. Nesse caso, 
o resultado da operação nos fornece o valor de 100 rad/s para 𝜔. 
O próximo passo da análise é fazer a substituição de s por j𝜔 na função de 
transferência, resultando em: 
 
𝐺(𝑗𝜔) =
100
𝑗𝜔+100
=
100
𝑗100+100
 (15) 
 
O resultado dessa operação nos fornece o valor de 0,707 para o módulo de 𝐺(𝑗𝜔) 
e ângulo de fase igual a -45º. A amplitude da resposta harmônica é obtida multiplicando 
o módulo de 𝐺(𝑗𝜔) pela amplitude do sinal de excitação, que nesse caso é igual 5. Logo 
a amplitude da resposta do sistema é igual a 3,536. Finalmente, podemos escrever o sinal 
harmônico de saída do sistema, no domínio do tempo, como: 
 
𝑦(𝑡) = 3,536𝑠𝑒𝑛(100𝑡 − 45𝑜) (16) 
 
GRÁFICOS DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
 
No método do lugar das raízes era importante plotar a variação das raízes do 
polinômio característico em função da variação do parâmetro K (ganho do sistema). No 
método da resposta em frequência vamos fazer algo parecido. Vamos representar 
graficamente a variação da função de transferência G(j𝜔) em função da variação da 
frequência, no intervalo de zero a infinito. Essa representação é normalmente feita de três 
maneiras: por meio de diagramas polares, também conhecidos como diagrama de 
 Método da resposta em frequência 
 
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Nyquist; diagramas logarítmicos, também conhecidos como diagrama de Bode; e por 
meio das cartas de Nichols (diagrama do logaritmo do módulo versus ângulo de fase). 
Os diagramas de Nyquist, também conhecidos como diagramas polares, são 
gráficos que representam a função harmônica de transferência nos eixos reais e 
imaginários. Na verdade, trata-se de um gráfico do módulo de G(j𝜔) versus o ângulo de 
fase de G(j𝜔), com 𝜔 variando de zero a infinito. No diagrama polar, um ângulo de fase 
positivo é medido no sentido anti-horário (e um ângulo de fase negativo, no sentido 
horário) a partir do eixo real positivo. Cada ponto no diagrama de Nyquist representa o 
ponto final de um vetor para determinado valor de 𝜔. Na figura 1 podemos ver um 
exemplo de representação de uma função G(j𝜔) através desse tipo de diagrama. É 
importante indicar os valores da frequência ao longo da curva. 
De acordo com Ogata (2010) uma das vantagens da utilização do diagrama de 
Nyquist é conseguir representar a função em toda a faixa de frequência em apenas um 
gráfico. Por outro lado, esse tipo de diagrama não indica claramente as contribuições de 
cada fator de maneira individual sobre a função de transferência de malha aberta. 
 
 
Figura 1: diagrama polar (Fonte: Ogata, 2010). 
 
Os diagramas de Bode (ou diagramas logarítmicos) de uma função de 
transferência senoidal na verdade é o conjunto de dois gráficos: o primeiro gráfico é o 
gráfico do logaritmo do módulo da função G(j𝜔) em relação à frequência (também em 
escala logarítmica); o segundo gráfico é o gráfico do ângulo de fase também em relação 
à frequência. Nesses dois gráficos a variável 𝜔 é representada em escala logarítmica no 
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eixo das abscissas e o ganho é dado em decibéis (dB) no eixo das ordenadas. Para fazer a 
conversão do módulo da função harmônica de transferência para decibéis é realizada a 
operação: 
 
 
𝑌𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔|𝐺(𝑗𝜔)| (17) 
 
O ângulo de fase é representado em escala linear (geralmente medido em graus). 
A vantagem de representar a frequência da função em escala logarítmica é justamente 
permitir que, dentro da limitação das dimensões de um gráfico, um amplo intervalo de 
variação da frequência seja englobado. A representação do ganho do sistema em decibéis 
é feita por tradição. 
Vamos ver o exemplo da representação do ganho e da fase de um sistema em 
escala linear e em escala logarítmica. Podemos observar claramente que a escala 
logarítmica permite analisar o comportamento da função para uma faixa muito mais 
ampla de frequências. 
Considerando um sistema cuja função de transferência é dada por: 
 
𝐺(𝑗𝜔) =
100
(1+
𝑗𝜔
20
)²
 (17) 
 
e substituindo na função alguns valores para a frequência, podemos montar a 
tabela 1. 
 
Tabela 1: valores da função de transferência. 
 
Fonte: MAYA E LEONARDI, 2014. 
 
Plotando esses valores de ganho e de ângulo de fase em função da variação da 
frequência (em escalas lineares e escalas logarítmicas) temos as figuras 2 a 5. 
 
 Método da resposta em frequência 
 
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Figura 2: módulo da função de transferência em escala linear (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
Figura 3: ângulo de fase em escala linear (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
Figura 4: módulo da função de transferência em escala logarítmica (Fonte: Maya e Leonardi, 
2014). 
 
 
Figura 5: ângulo de fase em escala logarítmica (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
É fácil notar que os dois gráficos representados em escala linear descrevem um 
parâmetro da função de transferência para a frequência entre 0 e 100 rad/s. Já os dois 
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gráficos elaborados em escalas logarítmicas amplificam essa faixa para frequências de 
até 1.000 rad/s. 
Vamos estudar os diagramas de Bode para as funções de transferência simples. 
De acordo com Maya e Leonardi (2014) uma função de transferência simples é uma 
função constante ou que possui apenas um polo ou um zero reais. Cinco casos são 
possíveis: 
 
➢ Função de transferência constante 
 
 
Em sistemas com função de transferência do tipo G(s) = Kg, o módulo (em 
decibéis) também será constante. É necessário apenas saber o valor de Kg para poder 
traçar os diagramas de Bode. Para valores do módulo de Kg acima ou igual a unidade seu 
valor em dB será positivo, caso contrário, será negativo. O ângulo de fase por sua vez 
será zero para valores positivos de Kg e negativo em caso contrário. Na figura 6 podemos 
ver um exemplo do diagrama de Bode para o caso em que Kg > 1. 
 
 
Figura 6: diagrama de Bode para Kg > 1 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
➢ Função de transferência com polo na origem 
 
No caso de funções de transferência com polo na origem, ou seja, funções do 
tipo G(s) = 1 / s, o ângulo de fase é constante e igual a -90º. A amplitude do sinal é igual 
a 𝑌𝑑𝐵 = −20log⁡(𝜔). É possível notar, nesse caso, que o diagrama de ganho do sistema 
é uma reta que intercepta a origem do gráfico, onde 𝑌𝑑𝐵 = 0 e 𝜔 = 1. O diagrama 
correspondente para esse tipo de função de transferência é mostrado na figura 7. 
 
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Figura 7: diagrama de ganho e de fase de um polo na origem (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
➢ Função de transferência com zero na origem 
 
É função de transferência com apenas um zero na origem funções do tipo G(s) = 
s. Nesse caso, a resolução da função harmônica fornece ângulo de fase constante e igual 
a 90º e ganho do sistema igual a 𝑌𝑑𝐵 = 20log⁡(𝜔). Podemos ver que é uma reta similar 
ao caso anterior, apenas com a mudança de sinal.Essa reta também irá interceptar a 
origem do sistema. Podemos ver o diagrama de Bode desse tipo de sistema na figura 8. 
 
 
 
Figura 8: diagrama de ganho e de fase de um zero na origem (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
➢ Função de transferência com polo real fora da origem 
 
 Método da resposta em frequência 
 
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Nos casos em que a função de transferência apresenta um polo real fora da 
origem, ela pode ser expressa por: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑎
(𝑠+𝑎)
 (18) 
 
e os cálculos nos levam ao ângulo de fase e ganho (em dB) dados por: 
 
𝜙 = −arctan⁡(
𝜔
𝑎
) (19) 
 
𝑌(𝑑𝐵) = 𝐺(𝑑𝐵) = −20𝑙𝑜𝑔 |1 +
𝑗𝜔
𝑎
| (20) 
 
Se substituirmos o valor 1 em 𝑎, o polo do sistema será -1 e o diagrama de Bode 
nesse caso específico seria o diagrama representado na figura 9. 
 
 
 
 
Figura 9: diagrama de ganho e de fase com um polo em -1 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
➢ Função de transferência com zero real fora da origem 
 
O último caso que vamos estudar é o caso em que a função de transferência 
apresenta um zero real fora da origem. Nesse caso a função de transferência é dada por: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑠+𝑏
𝑏
 (21) 
 
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O zero real nesse caso é igual a -b. Os cálculos nos levam ao ângulo de fase e 
ganho (em dB) dados por: 
 
𝜙 = arctan⁡(
𝜔
𝑏
) (22) 
 
𝑌(𝑑𝐵) = 𝐺(𝑑𝐵) = 20𝑙𝑜𝑔 |1 +
𝑗𝜔
𝑏
| (23) 
 
Tomando como o exemplo o caso que b é igual a 1, ou seja, o zero do sistema é 
igual a -1, o diagrama de Bode do sistema (figura 10) é dado por: 
 
 
 
 
 
Figura 10: diagrama de ganho e de fase com um zero em -1 (Fonte: Maya e Leonardi, 2014). 
 
 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
MAYA, Paulo Álvaro; LEONARDI, Fabrizio. Controle essencial. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2014. 
 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
 
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. 1. 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.