Baixe o app para aproveitar ainda mais
Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Matéria Prof(a) Ãngela/Experimentos.pdf Planejamento de Experimentos Primeiro Semestre/2016 1 Exercício 1 • Suponha que um pesquisador queira estudar o efeito de cinco formulações diferentes de combustível para foguetes (utilizados no sistema de escape de aeronaves) quanto a taxa de queima observada. Cada formulação é misturada de uma remessa de materiais crus, grande o suficiente para testar apenas cinco formulações. Além disso, as formulações são preparadas por vários operadores, e pode haver diferenças na habilidade e experiência dos operadores. • Planeje esse experimento, indicando os passos tomados para respeitar os princípios básicos da experimentação. 2 Exercício 2 • Suponha que uma empresa de calculadoras esteja interessada em estudar o tempo para realizar cálculos em calculadoras de diferentes marcas, a fim de otimizar o tempo de cálculo da sua calculadora. Para tal, o responsável pela pesquisa adquiri 6 calculadoras de diferentes marcas (incluindo uma da própria empresa) e seleciona o seguinte cálculo: 1,687 − �� � �� + 9951 × ����� ���. Além das 6 calculadoras, a empresa pode liberar um máximo de 8 funcionários para participarem da pesquisa, e dado que eles perderão tempo de trabalho, o experimento deve ser completado em um mesmo período do dia. • Planeje esse experimento, indicando os passos tomados para respeitar os princípios básicos da experimentação. 3 Exercício 3 • Um engenheiro civil está interessado em estudar 4 maneiras distintas de misturar cimento, acreditando que os diferentes métodos de mistura de cimento podem afetar a resistência do mesmo. Para tal, ele pretende utilizar os diferentes métodos de mistura para criar corpos de prova e verificar suas resistências. A os ingredientes (areia, água e cimento) serão todos da mesma fonte, e as quantidades dos mesmos serão mantidas exatamente iguais. O próprio engenheiro será responsável por fazer as misturas. • Planeje esse experimento, indicando os passos tomados para respeitar os princípios básicos da experimentação. 4 Exercício 4 • Uma pesquisadora deseja testar o efeito de quatro elementos químicos na resistência de determinado tipo de tecido. Ela possui diferentes peças de tecido que podem ser utilizadas, e não sabe se a diferença na peça pode ter efeito ou não no resultado do experimento. A variável que será observada é a resistência do tecido (força necessária para rasga-lo, medida em Newtons) após a aplicação de um dos elementos químicos. • Planeje esse experimento, indicando os passos tomados para respeitar os princípios básicos da experimentação. 5 Exercício 5 • Um empresa de materiais médicos se especializa na produção de veias artificiais. Essas veias artificiais são produzidas pelo processo de extrusão de resina de politetrafluoretileno combinada com um lubrificante em tubos. É comum alguns dos tubos, de uma linha de produção, apresentarem saliências duras na superfície externa. Essas saliências são consideradas como defeitos, e as veias artificiais, apresentado esses defeitos, são rejeitadas. • O responsável pelo desenvolvimento do produto suspeita que a pressão de extrusão tem efeito na ocorrência das saliências e decide investigar essa hipótese. No entanto, a resina é produzida por um fornecedor externo, e é entregue à empresa em remessas. O engenheiro também suspeita da existência de uma variação significante de remessa para remessa, pois, ao mesmo tempo que o material deveria ser consistente quanto a parâmetros relativos a peso molecular, tamanho médio das partículas, retenção e razão de pico máximo, é impossível dizer se o fornecedor consegue repetir cada processo com exatidão e se não existe uma variação natural relativa ao material utilizado. • Qual o tipo de delineamento mais indicado para estudar o efeito das diferentes pressões de extrusão na criação de saliências? 6 Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/F de Snedecor.pdf TABELA VI Distribuição F de Snedecor α = 0,10 gl graus de liberdade no numerador denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 35 2,85 2,46 2,25 2,11 2,02 1,95 1,90 1,85 1,82 1,79 40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 45 2,82 2,42 2,21 2,07 1,98 1,91 1,85 1,81 1,77 1,74 50 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 1,73 100 2,76 2,36 2,14 2,00 1,91 1,83 1,78 1,73 1,69 1,66 F área = = 0,10 (valor tabulado) F TABELA VI Distribuição F de Snedecor α = 0,05 gl graus de liberdade no numerador denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 35 4,12 3,27 2,87 2,64 2,49 2,37 2,29 2,22 2,16 2,11 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 45 4,06 3,20 2,81 2,58 2,42 2,31 2,22 2,15 2,10 2,05 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 área = = 0,05 (valor tabulado) F TABELA VI Distribuição F de Snedecor α = 0,01 gl graus de liberdade no numerador denom. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4052,2 4999,3 5403,5 5624,3 5764,0 5859,0 5928,3 5981,0 6022,4 6055,9 2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 35 7,42 5,27 4,40 3,91 3,59 3,37 3,20 3,07 2,96 2,88 40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 45 7,23 5,11 4,25 3,77 3,45 3,23 3,07 2,94 2,83 2,74 50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 área = = 0,01 (valor tabulado) Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/Tabela Normal Padrão.pdf Tabela de Probabilidades Associadas à Cauda Direita da Distribuição Normal Padronizada Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/duncan.pdf ��������� �� �� �������������� ������������������������������������������������ ����� �������� � � � !�"� #�� $�%�������������� ����%����������� �������%������ ��� &� '� (� �� )� *� �� +� �#� �&� �(� �)� ��� &#� &&� �##� ���� ��&� ��'� ��(� ���� ��)� ��*� ���� ��+� �#� �* +*� ) #��� ( �#�� ' +&*� ' )'�� ' ()�� ' '((� ' &)�� ' �++� ' ���� �* +*� ) #��� ( ��)� ( #�'� ' *(+� ' ��*� ' (**� ' '++� ' ''+� ' &+'� �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' *+*� ' )(+� ' �(�� ' (*�� ' (&#� ' '*)� �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+(� ' )��� ' �(+� ' �#&� ' ()� �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&&� ' �)� ' �&'� ' (�+ �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*�� ' �')� ' �#� �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*+� ' �((� ' ��) �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )�)� ' �*+� ' �((� ' ��) �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )�)� ' �*+� ' �(*� ' �&& �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*+� ' �(*� ' �&)� �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*+� ' �(*� ' �&) �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*+� ' �(*� ' �&) �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*+� ' �(*� ' �&) �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*+� ' �(*� ' �&) �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*+� ' �(*� ' �&) �* +*� ) #��� ( ��)� ( #''� ' ��(� ' )+*� ' )&)� ' �*+� ' �(*� ' �&) � ��� �&� �'� �(� ��� �)� �*� ��� �+� &#� � ' ��'� ' #�&� ' #��� ' #''� ' #�(� & ++�� & +�(� & +*�� & +)#� & +�#� � ' &�)� ' &&�� ' &##� ' �*�� ' �)#� ' �((� ' �'#� ' ���� ' �#*� ' #+*� � ' '(&� ' '�'� ' &�+� ' &)�� ' &�#� ' &'�� ' &&&� ' &�#� ' �++� ' �+#� � ' '+*� ' '*#� ' '(�� ' '&+� ' '�&� ' &+�� ' &��� ' &*(� ' &)(� ' &�� � ' ('�� ' (�#� ' '�+� ' '*&� ' '�)� ' '('� ' ''�� ' '&�� ' '��� ' '#' � ' ()&� ' ('+� ' (�+� ' (#'� ' '�+� ' '*)� ' '))� ' '�)� ' '(*� ' ''+ � ' (�#� ' (�+� ' ((&� ' (&)� ' (�'� ' (#&� ' '+&� ' '�'� ' '*�� ' ')� � ' (+'� ' (*(� ' (��� ' (((� ' ('&� ' (&&� ' (�&� ' (#�� ' '+*� ' '+� � ' �#�� ' (�(� ' (*#� ' (�*� ' (()� ' ('*� ' (&+� ' (&�� ' (��� ' (#+ � ' �#+� ' (+)� ' (�(� ' (*(� ' ()�� ' (��� ' (��� ' ((�� ' ((#� ' (')� � ' ��#� ' (++� ' (+#� ' (�&� ' (*)� ' (*#� ' ()�� ' ()#� ' (�)� ' (�' � ' ��#� ' (++� ' (+#� ' (�(� ' (�#� ' (**� ' (*'� ' (*#� ' ()*� ' ()( � ' ��#� ' (++� ' (+#� ' (��� ' (��� ' (*�� ' (*)� ' (*(� ' (*&� ' (*# � ' ��#� ' (++� ' (+#� ' (��� ' (��� ' (*�� ' (*)� ' (*(� ' (*(� ' (*' � ' ��#� ' (++� ' (+#� ' (��� ' (��� ' (*�� ' (*)� ' (*(� ' (*(� ' (*( � ' ��#� ' (++� ' (+#� ' (��� ' (��� ' (*�� ' (*)� ' (*(� ' (*(� ' (*( � &(� '#� (#� )#� �&#� ,� � & +�+� & ���� & ���� & �&+� & �##� & **&� � ' #))� ' #'�� ' ##)� & +*)� & +(*� & +��� � ' �)#� ' �'�� ' �#&� ' #*'� & #(�� ' #�*� � ' &&)� ' �++� ' �*�� ' �('� ' ��)� ' #�+ � ' &*)� ' &�#� ' &&(� ' �+�� ' �*&� ' �() � ' '��� ' &+#� ' &))� ' &(�� ' &�*� ' �+' � ' '(�� ' '&&� ' '##� ' &**� ' &�(� ' &'& � ' '*#� ' '(+� ' '&�� ' '#*� ' &�*� ' &)� � ' '+#� ' '*�� ' '�&� ' '''� ' '�(� ' &+( � ' (&#� ' (#�� ' '+#� ' '*(� ' '�+� ' '('� � ' ((�� ' ('#� ' (��� ' (#)� ' '+(� ' '�& � ' (�)� ' ((*� ' ('+� ' ('�� ' (&'� ' (�( � ' ()�� ' ()#� ' (�)� ' (��� ' (()� ' ((& � ' (*�� ' (*#� ' ()+� ' ()*� ' ())� ' ()) � ' (*�� ' (**� ' (*+� ' (��� ' (�'� ' (�) � ' (**� ' (�)� ' �#(� ' �'*� ' )+�� ' *'� � �������� ��� ��� ����� ����� �� ������������� ������� �� � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��� ��� ��� � �� � ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� �� � ������ ����� ���� � ��� �� ������ ������ ������ ������ ������ ������ � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ �� ��� ������ ������ ���� � � ������ ����� ���� � ����� ������ ������ ������ ������ ������ ������ � ������ ����� ���� � ������ ������ ��� �� ������ �� ��� ������ ���� � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ �� ��� ������ ���� � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ��� �� ������ ������ ����� � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ ������ �� �� ��� � � ������ ����� ���� � ������ ������ ���� � ������ ������ �� ��� ����� � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ ���� � �� ��� ����� � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ ������ �� ��� ������ � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ ��� �� �� ��� �� �� � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ ��� �� ������ �� � � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ ��� �� ������ �� �� � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ ��� �� ������ �� �� � ������ ����� ���� � ������ ������ ������ ������ ��� �� ������ �� �� � ������ ����� ���� � ����� ������ ������ ������ ��� �� ������ �� �� � � �� �� �� �� �� �� �� �� ��� � ������ ������ ������ ��� �� �� ��� �� � � ������ ���� � ������ ������ � ������ ������ ������ ���� � ������ ������ ������ ������ ������ �� ��� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ���� � ������ ������ ��� �� � ������ ������ ������ ���� � ������ ������ ������ ������ ��� �� ����� � ���� � ������ ������ ������ ��� �� ������ ������ ������ ������ ����� � ������ ��� �� ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ��� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ���� � ������ ����� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ��� �� ����� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ��� � � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ��� � ������ ������ � ���� � ������ ��� �� ������ ������ ������ ���� � ������ ������ ���� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ����� � ������ ������ ������ ��� �� ������ ������ ��� �� ������ ���� � ���� � ������ ������ ������ ���� � ������ ������ ������ ����� ������ ����� � ���� � ��� �� ������ ������ ������ ������ ������ ���� � ������ ����� � ���� � ��� � ������ ������ ��� �� ������ ������ ������ ������ ����� � ��� ��� ��� ��� ��� !� � ������ ������ ������ ������ ������ ������ � �� ��� ������ ������ ������ ������ ������ � ������ �� ��� ������ ���� � ������ ������ � ������ ������ �� ��� �� � ������ ����� � ������ ��� �� ������ �� ��� �� ��� ����� � ������ ������ ������ ������ �� ��� ���� � ������ ������ ������ ������ ������ �� �� � ��� �� ������ ������ ������ ������ �� �� � ������ ������ ������ ������ ������ ����� � ������ ������ ���� � ������ ������ ���� � � ������ ������ ������ ������ ������ ����� � ������ ���� � ������ ������ ��� �� ����� � ������ ������ ������ ������ ������ ����� � ��� �� ������ ���� � ������ ������ ����� � ������ ������ ��� � ������ ������ ����� � ������ ������ ������ ������ ������ ����� Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/dunnett.pdf ���������� � �� �������������� ������������� ������������� ����� ���� ����!��������� !���� � ��� ��� ���������������"���� #�� �� � � � � ��$� %&� ������ ��� �� '� (� )� &� *� +� ,� �� ��&� ��*� ��+� ��,� ���� ' %'� � �)� � ,�� � ,*� � ,(� ' ))� ' ()� ' '+� ' ''� ' �,� ' *,� ' &*� ' ),� ' )'� ' (+� ' ,&� ' +�� ( *'� ' &&� ' &%� ' �,� ' ,(� ' +(� ' **� ' *%� ( %,� ' �'� ' ,'� ' +)� ' *,� ( �*� ( %%� ' ,�� ' ,�� ' +&� ( ')� ( %+� ' �&� ' ,+� ' ,�� ( (%� ( �'� ( %�� ' �'� ' ,*� � �%� ��� �'� �(� �)� � � ,�� � ,%� � +,� � ++� � +*� � ' �&� ' �(� ' ��� ' %�� ' %,� � ' ()� ' (�� ' '�� ' '+� ' '&� � ' )+� ' ))� ' )�� ' (�� ' (+� � ' &*� ' &(� ' &%� ' ),� ' )*� � ' *)� ' *%� ' &,� ' &&� ' &(� � ' +%� ' *+� ' *)� ' *�� ' &�� � ' +*� ' +'� ' *�� ' *&� ' *)� � ' ,�� ' ++� ' +)� ' +�� ' *�� � �*� �,� '%� (%� *%� � � +&� � +(� � +'� � +%� � *+� � ' %*� ' %)� ' %(� � ��� � �&� � ' '(� ' '�� ' ��� ' �&� ' �%� � ' ()� ' ('� ' (%� ' '&� ' '�� � ' )(� ' )�� ' (�� ' ((� ' ',� � ' &%� ' ),� ' )*� ' )%� ' (&� � ' &*� ' &(� ' &�� ' )&� ' (�� � ' *�� ' &,� ' &*� ' &%� ' ))� � ' *&� ' *'� ' *%� ' &)� ' ),� � �'%� -� � � **� � *)� � � �(� � �'� � ' %,� ' %*� � ' �,� ' �*� � ' '*� ' '(� � ' ('� ' '�� � ' (+� ' ()� � ' )�� ' (,� � ' )&� ' )'� � � � � � � � � � � � ��$� %�� ������ ��� �� '� (� )� &� *� +� ,� �� ��&� ��*� ��*� ��,� ���� ( (+� ( �)� ( %%� ' �%� ' ,'� ( �%� ( *�� ( )'� ( '�� ( ��� ) '�� ( ,,� ( **� ( &�� ( )%� ) )(� ) %+� ( ,(� ( *+� ( &&� ) *%� ) '�� ( �*� ( +�� ( **� ) +(� ) ((� ) %+� ( ,,� ( +&� ) ,&� ) )(� ) �&� ( �*� ( ,'� ) �)� ) &�� ) '(� ) %(� ( ,�� & %(� ) &�� ) (%� ) %�� ( �)� � �%� ��� �'� �(� �)� � ' +*� ' +'� ' *,� ' *&� ' *'� � ( ��� ( %*� ( %�� ' �+� ' �)� � ( (�� ( '&� ( ��� ( �&� ( ��� � ( )&� ( (,� ( ('� ( '+� ( '(� � ( &*� ( ),� ( )'� ( (+� ( ('� � ( *)� ( &*� ( &%� ( ))� ( )%� � ( +�� ( *(� ( &*� ( &�� ( )*� � ( +,� ( *�� ( *'� ( &*� ( &�� � ( ,(� ( +)� ( *+� ( *�� ( &*� � �*� �,� '%� (%� *%� � ' &,� ' &&� ' &(� ' )*� ' (�� � ' ,,� ' ,)� ' ,�� ' +'� ' *)� � ( %&� ( %�� ' �+� ' ,+� ' +,� � ( �+� ( �'� ( %,� ' �+� ' ,+� � ( '*� ( '�� ( �+� ( %&� ' �)� � ( ((� ( '+� ( '(� ( ��� ( %%� � ( (�� ( ((� ( '�� ( �*� ( %)� � ( ))� ( (,� ( ()� ( '�� ( %,� � ( ),� ( )'� ( (,� ( ')� ( �'� � �'%� -� � ' (*� ' ((� � ' *%� ' &*� � ' +(� ' *,� � ' ,'� ' ++� � ' ,�� ' ,)� � ' �)� ' ,�� � ' ��� ' �(� � ( %(� ' �+� � ( %*� ( %%� Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/hartley.pdf Table Critical values for the Hartley test (right-sided) Level of significance ���� = 0.01 k n - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 60 � 199 47.5 23.2 14.9 11.1 8.89 7.50 6.54 5.85 4.91 4.07 3.32 2.63 1.96 1.00 448 85 37 22 15.5 12.1 9.9 8.5 7.4 6.1 4.9 3.8 3.0 2.2 1.0 729 120 49 28 19.1 14.5 11.7 9.9 8.6 6.9 5.5 4.3 3.3 2.3 1.0 1036 151 59 33 22 16.5 13.2 11.1 9.6 7.6 6.0 4.6 3.4 2.4 1.0 1362 184 69 38 25 18.4 14.5 12.1 10.4 8.2 6.4 4.9 3.6 2.4 1.0 1705 216* 79 42 27 20 15.8 13.1 11.1 8.7 6.7 5.1 3.7 2.5 1.0 2069 249* 89 46 30 22 16.9 13.9 11.8 9.1 7.1 5.3 3.8 2.5 1.0 2432 281* 97 50 32 23 17.9 14.7 12.4 9.5 7.3 5.5 3.9 2.6 1.0 2813 310* 106 54 34 24 18.9 15.3 12.9 9.9 7.5 5.6 4.0 2.6 1.0 3204 337* 113 57 36 26 19.8 16.0 13.4 10.2 7.8 5.8 4.1 2.7 1.0 3605 361* 120 60 37 27 21 16.6 13.9 10.6 8.0 5.9 4.2 2.7 1.0 *The third-digit figures for n - 1 = 3 are uncertain. Level of significance ���� = 0.05 k n - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 30 60 � 39.0 15.4 9.6 7.15 5.82 4.99 4.43 4.03 3.72 3.28 2.86 2.46 2.07 1.67 1.00 87.5 27.8 15.5 10.8 8.38 6.94 6.00 5.34 4.85 4.16 3.54 2.95 2.40 1.85 1.00 142 39.2 20.6 13.7 10.4 8.44 7.18 6.31 5.67 4.79 4.01 3.29 2.61 1.96 1.00 202 50.7 25.2 16.3 12.1 9.70 8.12 7.11 6.34 5.30 4.37 3.54 2.78 2.04 1.00 266 62.0 29.5 18.7 13.7 10.8 9.03 7.80 6.92 5.72 4.68 3.76 2.91 2.11 1.00 333 72.9 33.6 20.8 15.0 11.8 9.78 8.41 7.42 6.09 4.95 3.94 3.02 2.17 1.00 403 83.5 37.5 22.9 16.3 12.7 10.5 8.95 7.87 6.42 5.19 4.10 3.12 2.22 1.00 475 93.9 41.1 24.7 17.5 13.5 11.1 9.45 8.28 6.72 5.40 4.24 3.21 2.26 1.00 550 104 44.6 26.5 18.6 14.3 11.7 9.91 8.66 7.00 5.59 4.37 3.29 2.30 1.00 626 114 48.0 28.2 19.7 15.1 12.2 10.3 9.01 7.25 5.77 4.49 3.36 2.33 1.00 704 124 51.4 29.9 20.7 15.8 12.7 10.7 9.34 7.48 5.93 4.59 3.39 2.36 1.00 Kanji, Gopal K. 100 Statistical Tests. London : SAGE Publication Ltd., 1993. Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/lilliefors.pdf Table O Lilliefors’s Test for Normal Distribution Critical Values Table entries for any sample size N are the values of a Lilliefors’s random variable with right-tail probability as given in the top row. Sample Size Significance level (N) 0.100 0.05 0.010 0.001 4 .344 .375 .414 .432 5 .320 .344 .398 .427 6 .298 .323 .369 .421 7 .281 .305 .351 .399 8 .266 .289 .334 .383 9 .252 .273 .316 .366 10 .240 .261 .305 .350 11 .231 .251 .291 .331 12 .223 .242 .281 .327 14 .208 .226 .262 .302 16 .195 .213 .249 .291 18 .185 .201 .234 .272 20 .176 .192 .223 .266 25 .159 .173 .202 .236 30 .146 .159 .186 .219 40 .127 .139 .161 .190 50 .114 .125 .145 .173 60 .105 .114 .133 .159 75 .094 .102 .119 .138 100 .082 .089 .104 .121 Over 100 :816= ffiffiffiffiffi N p :888= ffiffiffiffiffi N p 1:038= ffiffiffiffiffi N p 1:212= ffiffiffiffiffi N p Source: Adapted from R. L. Edgeman and R. C. Scott (1987), Lilliefors’s tests for transformed variables, Brazilian Journal of Probability and Statistics, 1, 101–112, with permission. APPENDIX OF TABLES 599 Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/t de Student.pdf TABELA IV Distribuição t de Student 0 t Área na cauda superior gl 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005 1 1,000 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6 2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60 3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92 4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610 5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,894 6,869 6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959 7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408 8 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041 9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781 10 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587 11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437 12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 4,318 13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 4,221 14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,140 15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015 17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965 18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 3,922 19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883 20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850 21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819 22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792 23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 3,768 24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745 25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725 26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707 27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,689 28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674 29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,660 30 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646 35 0,682 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 2,996 3,340 3,591 40 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551 45 0,680 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 2,952 3,281 3,520 50 0,679 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496 z 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291 área indicada (valor tabulado) Matéria Prof(a) Ãngela/Tabelas testes/tukey.pdf Table: Q scores for Tukey’s method α = 0.05 k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 df 1 18.0 27.0 32.8 37.1 40.4 43.1 45.4 47.4 49.1 2 6.08 8.33 9.80 10.88 11.73 12.43 13.03 13.54 13.99 3 4.50 5.91 6.82 7.50 8.04 8.48 8.85 9.18 9.46 4 3.93 5.04 5.76 6.29 6.71 7.05 7.35 7.60 7.83 5 3.64 4.60 5.22 5.67 6.03 6.33 6.58 6.80 6.99 6 3.46 4.34 4.90 5.30 5.63 5.90 6.12 6.32 6.49 7 3.34 4.16 4.68 5.06 5.36 5.61 5.82 6.00 6.16 8 3.26 4.04 4.53 4.89 5.17 5.40 5.60 5.77 5.92 9 3.20 3.95 4.41 4.76 5.02 5.24 5.43 5.59 5.74 10 3.15 3.88 4.33 4.65 4.91 5.12 5.30 5.46 5.60 11 3.11 3.82 4.26 4.57 4.82 5.03 5.20 5.35 5.49 12 3.08 3.77 4.20 4.51 4.75 4.95 5.12 5.27 5.39 13 3.06 3.73 4.15 4.45 4.69 4.88 5.05 5.19 5.32 14 3.03 3.70 4.11 4.41 4.64 4.83 4.99 5.13 5.25 15 3.01 3.67 4.08 4.37 4.59 4.78 4.94 5.08 5.20 16 3.00 3.65 4.05 4.33 4.56 4.74 4.90 5.03 5.15 17 2.98 3.63 4.02 4.30 4.52 4.70 4.86 4.99 5.11 18 2.97 3.61 4.00 4.28 4.49 4.67 4.82 4.96 5.07 19 2.96 3.59 3.98 4.25 4.47 4.65 4.79 4.92 5.04 20 2.95 3.58 3.96 4.23 4.45 4.62 4.77 4.90 5.01 24 2.92 3.53 3.90 4.17 4.37 4.54 4.68 4.81 4.92 30 2.89 3.49 3.85 4.10 4.30 4.46 4.60 4.72 4.82 40 2.86 3.44 3.79 4.04 4.23 4.39 4.52 4.63 4.73 60 2.83 3.40 3.74 3.98 4.16 4.31 4.44 4.55 4.65 120 2.80 3.36 3.68 3.92 4.10 4.24 4.36 4.47 4.56 ∞ 2.77 3.31 3.63 3.86 4.03 4.17 4.29 4.39 4.47 α = 0.01 k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 df 1 90.0 135 164 186 202 216 227 237 246 2 13.90 19.02 22.56 25.37 27.76 29.86 31.73 33.41 34.93 3 8.26 10.62 12.17 13.32 14.24 15.00 15.65 16.21 16.71 4 6.51 8.12 9.17 9.96 10.58 11.10 11.54 11.92 12.26 5 5.70 6.98 7.80 8.42 8.91 9.32 9.67 9.97 10.24 6 5.24 6.33 7.03 7.56 7.97 8.32 8.61 8.87 9.10 7 4.95 5.92 6.54 7.00 7.37 7.68 7.94 8.17 8.37 8 4.75 5.64 6.20 6.62 6.96 7.24 7.47 7.68 7.86 9 4.60 5.43 5.96 6.35 6.66 6.91 7.13 7.33 7.49 10 4.48 5.27 5.77 6.14 6.43 6.67 6.87 7.05 7.21 11 4.39 5.15 5.62 5.97 6.25 6.48 6.67 6.84 6.99 12 4.32 5.05 5.50 5.84 6.10 6.32 6.51 6.67 6.81 13 4.26 4.96 5.40 5.73 5.98 6.19 6.37 6.53 6.67 14 4.21 4.89 5.32 5.63 5.88 6.08 6.26 6.41 6.54 15 4.17 4.84 5.25 5.56 5.80 5.99 6.16 6.31 6.44 16 4.13 4.79 5.19 5.49 5.72 5.92 6.08 6.22 6.35 17 4.10 4.74 5.14 5.43 5.66 5.85 6.01 6.15 6.27 18 4.07 4.70 5.09 5.38 5.60 5.79 5.94 6.08 6.20 19 4.05 4.67 5.05 5.33 5.55 5.73 5.89 6.02 6.14 20 4.02 4.64 5.02 5.29 5.51 5.69 5.84 5.97 6.09 24 3.96 4.55 4.91 5.17 5.37 5.54 5.69 5.81 5.92 30 3.89 4.45 4.80 5.05 5.24 5.40 5.54 5.65 5.76 40 3.82 4.37 4.70 4.93 5.11 5.26 5.39 5.50 5.60 60 3.76 4.28 4.59 4.82 4.99 5.13 5.25 5.36 5.45 120 3.70 4.20 4.50 4.71 4.87 5.01 5.12 5.21 5.30 ∞ 3.64 4.12 4.40 4.60 4.76 4.88 4.99 5.08 5.16 Matéria Prof(a) Ãngela/aula 1.pdf Planejamento de Experimentos Primeiro Semestre/2016 Objetivos • Apresentar os conceitos de delineamento e análise de experimentos: • Fornecer os princípios básicos da experimentação; • Introduzir os delineamentos experimentais mais comuns, juntamente com os modelos matemáticos a eles relativos; • Utilizar a teoria da Análise da Variância na análise dos dados obtidos; • Estudar técnicas de contraste e comparação entre médias. Referência Bibliográfica • Montgomery, D.C. Design and analysis of experiments. 6ªed., John Wiley: New York, 1978. • Barbin, D. Planejamento e análise estatística de experimentos agronômicos. Editora Midas: Araponga, PR, 2003. Avaliação • Primeira prova – 25 pontos • Segunda prova – 30 pontos • Terceira prova – 30 pontos • Listas – 5 pontos (média de todas as listas entregues no semestre, cada uma valendo 10 pontos) • Trabalhos – 10 pontos • Alunos com presença inferior à 75% serão reprovados por frequência insuficiente. ���� = �� + � + � + � + � Segunda Chamada • Aqueles alunos que perderem alguma avaliação terão o direito de fazer a Segunda Chamada, sendo que: • Para ter o direito de fazer a segunda chamada da matéria contemplada na prova perdida o aluno deverá fazer um requerimento de Segunda Chamada – com justificativa da falta – num prazo de 72 horas da data da avaliação perdida (o qual poderá ser deferido ou não) • Aqueles alunos que tiverem seu pedido indeferido, ou que deixem de fazer o requerimento, também terão o direito de fazer a Segunda Chamada, porém da matéria do período todo, e não apenas a contemplada na Avaliação perdida. Avaliação Substitutiva • Aqueles alunos que tiverem feito as 3 avaliações e não conseguirem uma nota final de 60 poderão fazer uma Avaliação Substitutiva no dia final do semestre. • Os alunos que tiverem perdido uma, ou mais provas, terão o direito de fazer a Segunda Chamada no mesmo dia da Avaliação Substitutiva, mas não terão o direito de fazer a Avaliação Substitutiva. • A Avaliação Substitutiva é opcional e tem as seguintes qualidades: • A nota tirada na Substitutiva substituirá a menor nota das 3 Avaliações feitas, se e somente se, a nota da Substitutiva for superior à menor nota, caso contrário a nota da Substitutiva será ignorada; • Aqueles alunos que tiverem perdido uma ou mais avaliações não terão o direito a fazer a Avaliação Substitutiva. Introdução • O que é um experimento? • Um teste ou série de testes nos quais mudanças propositais são feitas nas variáveis inseridas em um processo de maneira a poder identificar e observar as causas de mudanças que podem ser observadas no resultado. (Montgomery, 2005) Introdução • A experimentação ocorre naturalmente; • Acompanha a evolução humana: • Técnicas de caça, • Técnicas de construção, • Agricultura, • Medicina, • ... • Sua formalização veio do trabalho de sir Ronald A. Fisher (1890-1962) na Estação Experimental de Agricultura de Rothamstead (Inglaterra). Introdução • Variação ao acaso: • Toda a variação devida a fatores não controlados. Delineamento Estatístico de Experimentos • Processo de planejamento de experimentos: • Resulta (quando feito corretamente) em observações confiáveis e apropriadas, permitindo que os dados coletados ao final do processo sejam analizados por métodos estatísticos e que as conclusões tiradas sejam objetivas e válidas; • Necessário quando se deseja tirar conclusões confiáveis dos dados observados; • Envolve dois aspectos: o delineamento do experiemento e a análise dos dados observados. Terminologia • Parcela ou Unidade Experimental: • Indivíduos, animais, plantas ou quaisquer outros elementos/objetos que receberão os tratamentos. • Tratamento: • O que se deseja comparar. • Testemunha ou Controle: grupo de parcelas que não recebe nenhum tratamento. • Variação ao Acaso: • Toda a variação devida a fatores não controláveis. • Erro Experimental: • Erro proveniente da variação ao acaso. • Bordadura: • Utilizado na experimentação agronômica, quando a proximidade entre parcelas pode acarretar em mistura dos tratamentos aplicados. Princípios Básicos da Experimentação • Repetição: • Mais de uma parcela ou unidade experimental deve receber cada tratamento; • Forma de estimar o erro experimental e de confirmar a resposta das unidades experimentais ao tratamento. • Aleatorização: • Os tratamentos devem ser designados às unidades experimentais de maneira aleatória; • Forma de controlar o viés e de “garantir” a independência dos erros. • Controle Local: • Necessário apenas quando existir heterogeneidade na: área experimental, parcelas; • Ou na presença de outros fatores, controláveis e sem interesse prático, que podem afetar os resultados do experimento. OBRIGATÓRIOS O Fator Homem – Experimentos na Área da Saúde • Experimentos Cegos: • Quando o responsável por observar as parcelas não sabe o tratamento a elas designados. • Experimentos Duplamente Cegos: • Quando as parcelas são seres humanos; • A pessoa que recebe o tratamento não deve saber a qual tratamento foi assinalada; • Nenhum técnico ou pesquisador, envolvido no trato dos indivíduos, deve conhecer a divisão de tratamentos. Unidade Experimental ou Parcela • Indivíduos, animais ou objetos que devem receber um determinado tratamento e fornecer os dados (resposta ao tratamento); • De um modo geral, para materiais homogêneos, as parcelas podem ser menores e, para materiais heterogêneos (até certo ponto) as parcelas podem ser maiores. • No caso de não existirem experimentos anteriores, ou informações confiáveis sobre o tamanho da parcela para determinado material, pode ser útil instalar um experimento “em branco” (experimento que não contém tratamentos); • Mede-se a Variância dentro das parcelas �� � e a variância entre parcelas �� � : • Se �� � > �� � deve-se aumentar o tamanho da parcela; • Se �� � ≤ �� � pode-se manter ou até diminuir o tamanho da parcela. Unidade Experimental ou Parcela • Em muitos casos, usam-se dados de ensaios “em branco” ou de simulação de dados e aplica-se o método da curvatura máxima (Federer, 1955). • Esse método consiste em colocar os tamanhos das parcelas no eixo das abscissas e os Coeficientes de Variação nas ordenadas; • Traça-se a curva e, no ponto de curvatura máxima, obtém-se a abscissa que nos dá o tamanho ideal da parcela. • Porém, nem sempre a solução ideal é possível. É necessário levar em consideração a quantidade de material disponível para a instalação do experimento. • Se a escolha ficar entre aumentar o número de repetições, ou o número de indivíduos por parcela, a escolha de aumentar o número de repetições costuma ser a mais acertada. Etapas do Planejamento Experimental 1. Reconhecer o problema e Definir os objetivos; 2. Selecionar a variável resposta; 3. Reconhecimento e classificação das variáveis/fatores envolvidos no experimento; 4. Escolha do delineamento experimental; 5. Implantação do experimento; 6. Análise estatística dos dados; 7. Conclusões e recomendações. Reconhecer o problema e Definir os objetivos • Deve-se reconhecer os tipos de problemas que podem ser resolvidos através da Experimentação; • Com o conhecimento do problema, é necessário estabelecer de maneira clara o objetivo do experimento; • É indicado construir uma lista de problemas ou questões específicas que serão abordadas pelo experimento. Selecionar a variável resposta • A variável resposta deve ser escolhida de maneira a, realmente, fornecer informações úteis sobre o processo estudado; • Costuma ser de fundamental importância a identificação de possíveis problemas relacionados com a definição e mensuração da variável resposta antes do início do experimento. Reconhecimento e classificação das variáveis/fatores envolvidos no experimento • O experimentador deve considerar os fatores que podem influenciar a performance do processo e, então, classificá-los em: • Fatores em potencial: aqueles que o experimentador pode querer variar durante o experimento (tratamentos) • Fatores de perturbação: podem ter efeitos que devem ser lavados em consideração, e no entanto, não haver interesse em estudá- los no experimento em questão. Podem ser classificados de três maneiras: • Controláveis; • Não controláveis, porém mensuráveis; • Não controláveis e não mensuráveis. Reconhecimento e classificação das variáveis/fatores envolvidos no experimento • Fatores de Perturbação: • Controláveis: aquele cujos níveis podem ser definidos e controlados pelo experimentador (controle local); • Incontroláveis: • Mensurável: pode ser utilizado como uma co-variável, sendo utilizado um processo de análise de covariância para compensá-lo; • Não Mensurável: denominado de fator de ruído, são aqueles não mensuráveis, ou não controláveis, que irão inflacionar a variação do acaso. No caso de haverem fatores de ruído, deve-se procurar por um processo robusto, para que haja um impacto mínimo dos mesmos. • Após selecionados os fatores do delineamento, o experimentador, juntamente com o pesquisador, deve definir o quanto que esses fatores deverão variar e os níveis específicos que serão utilizados no experimento, devendo ser definido como esses fatores serão controlados e/ou medidos. Escolha do delineamento experimental • Se os três passos iniciais tiverem sido feitos corretamente, a parte da escolha do delineamento fica relativamente fácil. • A escolha do delineamento envolve considerações sobre: • número de repetições, • necessidade ou não de controle local, • ordem de aplicação dos tratamentos (quando necessário), • como será feita a aleatorização. Implantação do experimento • Deve-se monitorar a implementação e desenvolvimento do experimento, já que erros nesses passos podem afetar gravemente os resultados do experimento e a validade das conclusões. Análise estatística dos dados • Se os cinco passos anteriores tiverem sido seguidos corretamente os métodos estatísticos apropriados não costumam ser complexos; • Existem muitos softwares estatísticos equipados para lidar com a análise de dados provenientes de experimentação; • Costuma ser de grande utilidade: • Gráficos ilustrativos, • Testes de hipóteses, • Intervalos de confiança, • Análise da variância, • ... Conclusões e recomendações • Após a análise dos dados, o experimentador deve apresentar as conclusões de maneira clara, objetiva e prática, interpretando os resultados e recomendando uma estratégia a ser tomada pelo pesquisador; • Lembrando que a interpretação e recomendação deve ter por base o objetivo inicial do experimento. Exemplo • Suponha que você quer planejar um experimento visando estudar a proporção de milhos de pipoca que não estouram. Complete as etapas de 1 a 3 dadas no slide anterior. Existe alguma fonte de variação que seja forte e difícil de controlar? Matéria Prof(a) Ãngela/aula 10.pdf Planejamento de Experimentos Primeiro Semestre/2016 1 Recapitulação • Quadro de sinais para os contrastes de interesse em um experimento fatorial 2�: 2 Contrastes 000 100 010 001 110 101 011 111 Y� = Y� = efeito de A - + - - + + - + Y� = Y� = efeito de B - - + - + - + + Y� = Y�= efeito de C - - - + - + + + Y� = Y��= efeito de AxB + - - + + - - + Y� = Y��= efeito de AxC + - + - - + - + Y = Y��= efeito de BxC + + - - - - + + Y = Y���= efeito de AxBxC - + + + - - - + Confundimento no Fatorial � • Num experimento de nutrição mineral de plantas, geralmente, a interação tripla N × P × K não é significativa; • Logo, é o efeito dessa interação que costuma-se confundir com o efeito de blocos; • Pelo quadro de sinais dos contrastes tem-se: • É esse o contraste que mede o efeito da interação tripla. 3 Contrastes 000 100 010 001 110 101 011 111 Y = Y���= efeito de AxBxC - + + + - - - + Confundimento no Fatorial � • Tem-se, então: • ��� = −���� + ���� + ���� + ���� − ���� − ���� − ���� + ���� ou ��� = ���� + ���� + ���� + ���� − (���� + ���� +���� + ����); • Para efetuar o confundimento deste contraste com o efeito de blocos, deve-se repartir um bloco com os 8 tratamentos, em dois blocos (ou sub-blocos) de 4 tratamentos cada um; • De modo que: • Um deles tenha os tratamentos com sinal (+) no contraste ���, e • O outro, com os tratamentos com sinal (−). 4 Confundimento no Fatorial � • Neste caso, • ����� = ����� � = �� ���� + ���� − � � � 5 1° Bloco 2° Bloco Total 100 000 010 110 001 101 111 011 ��� ��� �� Método Alternativo – Geometria Finita • Pode-se utilizar a geometria finita como ferramenta para fazer o confundimento; • Utiliza-se as seguintes equações: • ��� + �� + � = 0�� + �� + � = 1, • Em que: • �� representa os níveis de N (0, 1); • �� representa os níveis de P (0, 1); • � representa os níveis de K (0, 1). • Admite-se o módulo 2, toda soma cuja divisão por 2 der resto zero terá os tratamentos em um bloco. As divisões cujos restos forem 1, terão os tratamentos no outro bloco 6 Método Alternativo – Geometria Finita • Em outras palavras, toda soma par terá os tratamentos em um sub-bloco, e toda soma ímpar terá os tratamentos no outro sub-bloco: 7 �� �� �� ∑ Bloco 0 0 0 0 Par 2° 0 0 1 1 Ímpar 1° 0 1 0 1 Ímpar 1° 0 1 1 2 Par 2° 1 0 0 1 Ímpar 1° 1 0 1 2 Par 2° 1 1 0 2 Par 2° 1 1 1 3 Ímpar 1° Método Alternativo – Geometria Finita 8 1° Bloco 2° Bloco 100 000 010 110 001 101 111 011 OBS: Ambos os métodos chegam ao mesmo resultado. Confundimento no Fatorial � 9 Bl 1 010 111 000 001 101 110 011 100 Bl 1 010 100 001 111 Fatorial 2� sem confundimento e 2 repetições Fatorial 2� com confundimento e 2 repetições Bl 2 100 000 110 001 011 010 111 101 Bl 2 101 000 011 110 Bl 3 111 001 010 100 Bl 4 011 101 000 110 Sorteio 1 Sorteio 2 Sorteio 1 Sorteio 2 Sorteio 3 Sorteio 4 Repetição 1 Repetição 2 Repetição 1 Repetição 2 Somas de Quadrados • As SQ’s para esse esquema com confundimento e duas repetições são obtidas pelas expressões: • ���� �� = ∑ �� �� ,�,�, − �; • � = �� ���� ; • ����� = � � ∑ T� − � − ���� T���� + T���� − � ; • ����� � = � (��� �� ) ∑ T��� − �; • ���� = ���� �� − ����� − ����� � . • O método de calcular as somas relativas ao fatorial não muda, lembrando que não se calcula a soma da interação tripla. 10 Esquema da ANOVA Supondo 2 Repetições Causa de Variação GL – Sem Confundimento GL – Com Confundimento Nitrogênio (N) 1 1 Fósforo (P) 1 1 Potássio (K) 1 1 Int NxP 1 1 Int NxK 1 1 Int PxK 1 1 Int NxPxK 1 --- (Trat) (7) (6) Blocos 1 3 Resíduos 7 6 Total 15 15 11 Fatorial � • Assim como o fatorial 2 , o fatorial 3 é muito utilizado em experimentos de adubação de solo, com os 3 nutrientes principais N, P e K, em três níveis cada N�, N�, N�, P�, P�, P�, K�, K�, K� ; • No total são considerados 27 tratamentos, obtidos através das combinações dos 3 níveis de cada nutriente; • Como a presença de 27 tratamentos pode afetar a homogeneidade da área experimental, esse tipo de fatorial é normalmente instalado utilizando o confundimento de 2 graus de liberdade da interação tripla N × P × K, com blocos. 12 Fatorial � 13 Ausência de N Ausência de P Dose 1 de P Ausência de K Dose 1 de K 000 002Dose 2 de K Ausência de K Dose 1 de K Dose 2 de K Dose 2 de P Dose 1 de K Dose 2 de K Ausência de K 001 010 012 011 020 022 021 Fatorial � 14 Dose 1 de N Ausência de P Dose 1 de P Ausência de K Dose 1 de K 100 102Dose 2 de K Ausência de K Dose 1 de K Dose 2 de K Dose 2 de P Dose 1 de K Dose 2 de K Ausência de K 101 110 112 111 120 122 121 Fatorial � 15 Dose 2 de N Ausência de P Dose 1 de P Ausência de K Dose 1 de K 200 202Dose 2 de K Ausência de K Dose 1 de K Dose 2 de K Dose 2 de P Dose 1 de K Dose 2 de K Ausência de K 201 210 212 211 220 222 221 Confundimento no Fatorial � • Diferentemente do 2 o 3 tem 8 graus de liberdade na Interação tripla; • Costuma-se confundir 2 desses 8 graus de liberdade com blocos; • Logo, cada bloco de 27 tratamentos é dividido em 3 blocos de 9 tratamentos cada. 16 Esquema da ANOVA Causa de Variação GL – Sem Confundimento GL – Com Confundimento Nitrogênio (N) 2 2 Fósforo (P) 2 2 Potássio (K) 2 2 Int NxP 4 4 Int NxK 4 4 Int PxK 4 4 Int NxPxK 8 6 (Trat) (26) (24) Blocos 1 5 Resíduos 26 24 Total 53 53 17 Obtensão dos Grupos de Confundimento • Para se obterem os grupos de confundimento usam-se as equações: • �� + �� + �� = 0,1,2 (�) 2�� + �� + �� = 0,1,2 (�) �� + 2�� + �� = 0,1,2 (�) �� + �� + 2�� = 0,1,2 (�) • �� representa as doses de N (0, 1 ou 2); • �� representa as doses de P (0, 1 ou 2); • �� representa as doses de K (0, 1 ou 2). • Admite-se o módulo 3, de forma que: • Se o resto da divisão da soma por 3 der zero, o tratamento é designado ao primeiro dos 3 sub-blocos; • Se der 1 será designado ao segundo sub-bloco; • Se der 2 será designado ao terceiro sub-bloco. 18 Obtensão dos Grupos de Confundimento • Cada uma das 4 equações: • �� + �� + �� = 0,1,2 (�) 2�� + �� + �� = 0,1,2 (�) �� + 2�� + �� = 0,1,2 (�) �� + �� + 2�� = 0,1,2 (�) • Dá um grupo de confundimento diferente; • São portanto 4 grupos de confundimento, aos quais Yates denominou de W, X, Y e Z; • A cada grupo correspondem 2 dos 8 graus de liberdade da Interação N × P × K; • Sendo que cada grupo é constituído de 3 sub-blocos com 9 tratamentos cada um. 19 Exemplo • Tomemos como exemplo, os dados de produção de algodão herbáceo, em kg/ha, de um experimento de adubação N, P, K (3 ), com confundimento de 2 graus de liberdade da Interação N × P × K, em que se usou o grupo W de Yates. • Foram feitas 2 repetições. • As doses utilizadas foram: • N: 0 – 40 – 80 kg de N/ha; • P: 0 – 60 – 120 kg deP�O�/ha; • K: 0 – 60 – 120 kg de K�O/ha. 20 Obtenção dos Grupos de Confundimento 21 x1 x2 x3 2(x1)+x2+x3 x1+2(x2)+x3 x1+x2+2(x3) x1+x2+x3 Trat N P K W X Y Z 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 2 1 3 0 0 2 2 2 4 2 4 0 1 0 1 2 1 1 5 0 1 1 2 3 3 2 6 0 1 2 3 4 5 3 7 0 2 0 2 4 2 2 8 0 2 1 3 5 4 3 9 0 2 2 4 6 6 4 10 1 0 0 2 1 1 1 11 1 0 1 3 2 3 2 12 1 0 2 4 3 5 3 13 1 1 0 3 3 2 2 14 1 1 1 4 4 4 3 15 1 1 2 5 5 6 4 16 1 2 0 4 5 3 3 17 1 2 1 5 6 5 4 18 1 2 2 6 7 7 5 19 2 0 0 4 2 2 2 20 2 0 1 5 3 4 3 21 2 0 2 6 4 6 4 22 2 1 0 5 4 3 3 23 2 1 1 6 5 5 4 24 2 1 2 7 6 7 5 25 2 2 0 6 6 4 4 26 2 2 1 7 7 6 5 27 2 2 2 8 8 8 6 Obtenção dos Grupos de Confundimento 22 Bloco 1 resultado (módulo 3) = 0 Bloco 2 resultado (módulo 3) = 1 Bloco 3 resultado (módulo 3) = 2 W Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 OOO OO1 OO2 O12 O1O O11 O21 O22 O2O 1O1 1O2 1OO 11O 111 112 122 12O 121 2O2 2OO 2O1 211 212 21O 22O 221 222 X Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 OOO OO1 OO2 O11 O12 O1O O22 O2O O21 1O2 1OO 1O1 11O 111 112 121 122 12O 2O1 2O2 2OO 212 21O 211 22O 221 222 Y Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 OOO OO2 OO1 O11 O1O O12 O22 O21 O2O 1O1 1OO 1O2 112 111 11O 12O 122 121 2O2 2O1 2OO 210 212 211 221 22O 222 Z Bloco 1 Bloco 2 Bloco 3 OOO OO1 OO2 O12 O1O O11 O21 O22 O2O 1O2 1OO 1O1 111 112 11O 12O 121 122 2O1 2O2 2OO 21O 211 212 222 22O 221 Exemplo – Dados Sub-bloco 1 Trat Rep1 Rep2 Total 000 868 319 1187 012 951 521 1472 021 694 868 1562 101 972 486 1458 110 1319 1139 2458 122 812 868 1680 202 951 1076 2027 211 1493 1146 2639 220 1076 1215 2291 Total 9136 7638 16774 23 Exemplo – Dados Sub-bloco 2 Trat Rep1 Rep2 Total 001 625 764 1389 010 1319 1042 2361 022 1042 729 1771 102 729 833 1562 111 764 1215 1979 120 806 625 1431 200 1285 604 1889 212 972 1153 2125 221 1042 729 1771 Total 8584 7694 16278 24 Exemplo – Dados Sub-bloco 3 Trat Rep1 Rep2 Total 002 465 1181 1646 011 833 729 1562 020 1069 660 1729 100 1215 937 2152 112 729 1083 1812 121 660 625 1285 201 1076 972 2048 210 1250 1139 2389 222 1076 1264 2340 Total 8373 8590 16963 25 Exemplo - Fatorial P� P� P� Totais de N N� 4222 5395 5062 14679 N� 5172 6249 4396 15817 N� 5964 7153 6402 19519 Totais de P 15258 18797 15860 50015 26 N� N� N� Totais de K K� 5277 6041 6569 17887 K� 4513 4722 6458 15693 K� 4889 5054 6492 16435 P� P� P� K� 5228 7208 5451 K� 4895 6180 4618 K� 5235 5409 5791 Exemplo - ANOVA CV GL SQ QM F N 2 711582,37 355791,18 6,59** P 2 383420,26 191710,13 3,55* K 2 138879,70 69189,85 1,28 Int N×P 4 147562,96 36890,74 0,68 Int N×K 4 68241,19 17060,30 0,32 Int P×K 4 267152,63 66788,16 1,24 Int N×P×K 6 282311,45 47051,91 0,88 (Trat/n.c.) (24) (1998650,56) ---- Blocos 5 185195,20 37039,04 Resíduos 24 1294817,00 53950,71 Total 53 3478662,76 27 CV(%) = 25,08% Conclusões • Como não houve significância para as Interações (tripla ou duplas) pode-se tirar conclusões para N, P e K independentemente; • Embora um teste de comparações múltiplas pudesse ser utilizado, costuma-se fazer um estudo de regressão polinomial quando se estuda um experimento com fatores quantitativos ao invés de qualitativos; • Cada fator principal (N, P e K) possui 2 graus de liberdade, logo, pode-se estabelecer regressões de 1° e 2° grau; • Mesmo sendo não significativo será feito o estudo para K. 28 Regressão Polinomial • SQRegressão Linear = ���� = ∑ ����� � ∑ ��� � , • SQRegressão Quadrática = ���� = ∑ ����� � ∑ ��� � , • Em que: • �� representa o total do nutriente na dose ; • � representa o coeficiente polinomial, obtido em tabela para a regressão linear, ou na tabela para a regressão quadrática, respectivamente; • � representa o número de parcelas somadas para se obterem os totais ��. 29 Exemplo Níveis Coeficientes Totais �� �� N P K 0 -1 1 14679 15358 17887 1 0 -2 15817 18797 15693 2 1 1 19519 15860 16435 M 1 3 Total 50015 30 Exemplo CV GL SQ QM F N’ 1 650711,11 650711,11 12,06 ** N’’ 1 60871,26 60871,26 1,13 ns P’ 1 7000,11 7000,11 0,13 ns P’’ 1 376420,15 376420,15 6,68 * K’ 1 58564,00 58564,00 1,08 ns K’’ 1 79815,70 79815,70 1,48 ns Resíduo 24 1294817,00 53950,71 31 ���� � �� = 1�� = 24 → 4,26 5% ; 7,82 (1%) Interpretação • Como o teste F para a regressão linear em N, e o teste F para a regressão quadrática em P foram significativos, deve-se construir as equações de regressão linear para N e regressão quadrática para P, a fim de tirar conclusões sobre as doses ótimas de cada nutriente; • Confirmou-se o fato de que a adição de potássio no solo não traz diferença na produção de algodão, ou seja, pode-se dizer ao pesquisador que não se deve desperdiçar tempo ou dinheiro com esse nutriente. 32 Obtensão das Equações de Regressão • Para N (Regressão Linear): • Y�� − Y = B�M�P�, • Em que: • Y�� é a produção em função de doses de N; • Y� é a média geral do experimento; • B� é o coeficiente angular dado por B� = ∑ ��� ��� � ∑ �� � ; • M� é um coeficiente obtido em tabela e que foi usado na obtenção de números inteiros para os coeficientes polinomiais; • P� é o polinômio de 1º grau P� = � � ; • Em que: • X são as doses do nutriente; • X� é a média das doses; • q é a distância entre duas doses consecutivas. 33 Obtensão das Equações de Regressão • Y�� = 791,76 + 3,361. X • Essa equação nos dá a estimativa da produção de algodão em kg/ha em função de diferentes doses de N (X), com X ∈ 0; 80 . Vê-se que, para cada kg de N obtém-se um acréscimo de 3,361kg de algodão/ha. • Verificação da precisão da interpolação da Regressão Linear: 34 X Y(obs) Y(est) Desvio 0 815,5 791,76 23,74 40 878,72 926,20 -47,48 80 1084,39 1060,64 23,75 ∑ 0,01 Obtensão das Equações de Regressão • Para P (Regressão Quadrática): • Y�� − Y� = B�M�P� + B�M�P�, • Em que: • Y��, Y , B� , M� , P� tem o mesmo significado já visto; • B� é o coeficiente angular dado por B� = ∑ �� �� � ∑ ��� � ; • M� é um coeficiente obtido em tabela e que foi usado na obtenção de números inteiros para os coeficientes polinomiais; • P� é o polinômio de 2º grau P� = � � � � − ���� �� ; • Em que: • � é o número de níveis dentro do fator (� = 3) 35 Obtensão das Equações de Regressão • Y�� = 853,219 + 6,1361. X − 0,0492. X � • Essa equação nos dá a estimativa da produção de algodão em kg/ha em função de diferentes doses de P (X), com X ∈ 0; 120 . • Verificação da precisão da interpolação da Regressão Quadrática: 36 X Y(obs) Y(est) Desvio 0 853,22 853,21 -0,01 60 1044,28 1044,25 -0,03 120 881,11 881,05 -0,06 ∑ -0,1 Interpretação • Como o coeficiente de X� é negativo, temos um ponto de máximo que ocorre para X = 62,358kg de P�O�/ha; • A produção máxima correspondente é de 1044,523kg de algodão/ha. 37 Coeficiente de Determinação • � � = ���_____ ��� �� � (quantifica a porcentagem da produção que é dependente da Regressão); • ��� � = ����� ��� = ���.���,�� ���.���,�� = 0,9144 ou 91,44%, • a produção de algodão é explicada em 91,44% pela Regressão Linear em N; • ��� � = ����� ��� = ���.���,�� ���.���,�� = 0,9817 ou 98,17%, • a produção de algodão é explicada em 98,17% pela Regressão Quadrática em P. 38 Matéria Prof(a) Ãngela/aula 2.pdf Planejamento de Experimentos Primeiro Semestre/2016 Exemplo • Um pesquisador pretende comparar 4 cultivares de pêssego quanto ao enraizamento de estacas. • A área experimental disponibilizada para o experimento é um viveiro em condições controladas com capacidade para 20 parcelas. • O pesquisador pode conseguir um máximo de 100 estacas por cultivar. • Na literatura o número de estacas por parcela varia de 8 a 15. Experimento Inteiramente Casualizado • Sem a necessidade de controle local; • Exemplo (Barbin, 2003): • Objetivo: Comparar 4 cultivares de pêssego quanto ao enraizamento de estacas; • Var. Resp.: número de estacas enraizadas por parcela; • Fator em potencial / Trat: 4 cultivares de pêssego. • Fator de perturbação: Não tem, pois a área experimental é um viveiro em condições controladas. • Parcela: 20 estacas. • Área Exp.: Viveiro em condições controladas com capacidade para 20 parcelas. • Cada tratamento foi repetido 5 vezes; • Os tratamentos foram designados às parcelas por meio de sorteio. Experimento Inteiramente Casualizado Croqui da Área Experimental P1 P5 P9 P13 P17 P2 P6 P10 P14 P18 P3 P7 P11 P15 P19 P4 P8 P12 P16 P20 V2 V1 V4 V3 Urna com 5 rep. de cada cartão V2 V4 V1 V1 V3 V3 V4 V2 V3 V4 V1 V2 V3 V4 V1 V2 V1 V3 V4 V2 Em cada parcela serão plantadas 20 estacas provenientes da variedade a ela designada. Passado o tempo necessário será observado o número de estacas enraizadas por parcela. Experimento Inteiramente Casualizado Resultados: Tratamentos Repetições Total 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Var 1 (A) 2 2 1 1 0 6 Var 2 (B) 1 0 0 1 1 3 Var 3 (C) 12 10 14 17 11 64 Var 4 (D) 7 9 15 8 10 49 122 Análise dos Dados • Análise da Variância: • Nem sempre pode ser utilizada; • Só é indicada se o modelo matemático respeitar certas exigências. • Modelo Matemático: • Representação simplificada da realidade; • Na experimentação é a representação da variável resposta levando em consideração os fatores envolvidos no experimento. Exemplo: Variedades de Pêssego ��� = � + �� + ��� Número de estacas, da variedade i (i = 1, ..., 4), fixadas na repetição j (j = 1, ..., 5), Média geral (número médio de estacas fixadas por parcela, independente de tratamento ou repetição) Efeito do tratamento i, ou variedade i. Erro aleatório ligado à variedade i na repetição j. Pressuposições da Análise da Variância (ANOVA) • O modelo deve ser aditivo; • Os erros devem ter distribuição normal; • Os erros devem ser independentes; • Os erros dever ter a mesma variância (Homocedasticidade dos erros). Pressuposições da Análise da Variância (ANOVA) • É comum unir as 3 últimas exigências na seguinte expressão: ��� ~ N I D ( 0 , � � ) Erro Experimental Segue uma distribuição Normal Independentemente Distribuida Média 0 Variância constante �� Verificação das Pressuposições • Geralmente considera-se o modelo como aditivo por hipótese: • Teste de não aditividade de Tukey. • Normalidade dos erros: • Teste de ��; • Teste de Lilliefors; • Teste de Shapiro Wilk; • Teste de Kolmogorov-Smirnov. • Independência dos erros: • Princípio da casualização; • Verificação gráfica. • Homocedasticidade das variâncias: • Teste de Hartley ou da razão máxima (Fmáx); • Teste de Cochran e de Bartlett. Análise de Resíduos • Para aplicar um teste de normalidade dos erros, primeiro, é necessário obter as estimativas dos erros; • Quanto mais simples o modelo matemático e o delineamento experimental, mais simples a obtenção das estimativas dos erros experimentais; • A análise de resíduos permite a verificação da normalidade dos erros, homocedasticidade das variâncias e independência dos erros. Como Obter os resíduos? • Basta conhecer o modelo matemático: • No caso do delineamento inteiramente casualizado, tem-se: • ��� = � + �� + ���, em que i representa o tratamento (de 1 a I) e j as repetições (de 1 a J) • A estimativa da média geral (�� ) é dada por: • �� = � �� , em que � = ∑ ����,� . • As estimativas dos efeitos de tratamento (�̂�) são dadas por: • �̂� = ��� −�� , em que �� = ∑ ���� . • As estimativas dos erros são dadas por: • �̂�� = ��� −�� − �̂�. Exemplo Trat Repetições �� �� � ��� 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Var 1 (A) 2 2 1 1 0 6 1,2 1,2 – 6,1 = -4,9 Var 2 (B) 1 0 0 1 1 3 0,6 0,6 – 6,1 = -5,5 Var 3 (C) 12 10 14 17 11 64 12,8 12,8 – 6,1 = 6,7 Var 4 (D) 7 9 15 8 10 49 9,8 9,8 – 6,1 = 3,7 Total 122 �� = 122 20 = 6,1 Trat Repetições 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Var 1 (A) 0,8 0,8 -0,2 -0,2 -1,2 Var 2 (B) 0,4 -0,6 -0,6 0,4 0,4 Var 3 (C) -0,8 -2,8 1,2 4,2 -1,8 Var 4 (D) -2,8 -0,8 5,2 -1,8 0,2 Tabela dos erros: Trat Repetições 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Var 1 (A) 2 2 1 1 0 Var 2 (B) 1 0 0 1 1 Var 3 (C) 12 10 14 17 11 Var 4 (D) 7 9 15 8 10 Tabela dos resultados: �̂�� = ��� − 6,1 − �̂� �̂� = −4,9�̂� = −5,5�̂� = 6,7�̂� = 3,7 Exemplo Exemplo de Teste de Normalidade • Teste de Lilliefors: • Consiste em se obter os valores D = supr|�( �) − �( �)| ou D = supr|�( �) − �( �� )|. • Em que �( �) são as probabilidades da variâvel normal reduzida: • � = ���� , no nosso caso, � = ���, sendo assim � = 0 e � é a estimativa do desvio padrão médio dos erros: � = ��� ̅ = �� = desvios padronizados; �̅ = �̅�; �̅� = ∑ ���� �(���) = ∑ � � � ; • �( �) = ��, em que � é o número de desvios ≤ ���, e � representa o número total de observações, em outras palavras �( �) representa a frequência acumulada dos erros. Exemplo de Teste de Normalidade Trat Repetições 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Total �� � Var 1 (A) 0,64 0,64 0,04 0,04 1,44 2,8 0,7 Total / (5-1) Var 2 (B) 0,16 0,36 0,36 0,16 0,16 1,2 0,3 Var 3 (C) 0,64 7,84 1,44 17,64 3,24 30,8 7,7 Var 4 (D) 7,84 0,64 27,04 3,24 0,04 38,8 9,7 Total 73,6 4,6 Média (�̅�) Total / 16 4,6 Tabela contendo os valores dos erros elevados ao quadrado (����) � � − 1 = 4 5 − 1 = 16 Trat Repetições 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Var 1 (A) 0,373 0,373 -0,093 -0,093 -0,560 Var 2 (B) 0,187 -0,280 -0,280 0,187 0,187 Var 3 (C) -0,373 -1,306 0,560 1,958 -0,839 Var 4 (D) -1,306 -0,373 2,425 -0,839 0,093 Tabela dos desvios padronizados: Trat Repetições 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Var 1 (A) 0,8 0,8 -0,2 -0,2 -1,2 Var 2 (B) 0,4 -0,6 -0,6 0,4 0,4 Var 3 (C) -0,8 -2,8 1,2 4,2 -1,8 Var 4 (D) -2,8 -0,8 5,2 -1,8 0,2 Tabela dos erros: �� = ��� �̅ Exemplo Exemplo erros freq �� F(��) S(��) |F(��)-S(��)| |F(��)-S(����)| -2,8 2 -1,3 0,0968 0,10 0,0032 0,0968 -1,8 2 -0,84 0,2005 0,20 0,0005 0,1005 -1,2 1 -0,56 0,2877 0,25 0,0377 0,0877 -0,8 2 -0,37 0,3557 0,35 0,0057 0,1057 -0,6 2 -0,28 0,3897 0,45 0,0603 0,0397 -0,2 2 -0,09 0,4641 0,55 0,0859 0,0141 0,2 1 0,09 0,5359 0,60 0,0641 0,0141 0,4 3 0,19 0,5753 0,75 0,1747 0,0247 0,8 2 0,37 0,6443 0,85 0,2057 0,1057 1,2 1 0,56 0,7123 0,9 0,1877 0,1377 4,2 1 1,96 0,9750 0,95 0,0025 0,0750 5,2 1 2,42 0,9922 1 0,0078 0,0432 Exemplo • Após montada a tabela basta comparar o maior valor das distâncias calculadas com o valor tabelado. • D = supr|�(��) − �(��)| = 0,2057 (Valor observado) • Os valores obtidos pela tabela de Lilliefors com = 20 e = 0,05 ou = 0,01 são: • � ��(� ; , �) = 0,190 e � ��(� ; , ) = 0,231. • Como 0,2057 > 0,190, rejeita-se a hipótese inicial de que os erros sigam uma distribuição normal. Q-Q Plot O Q-Q Plot é um gráfico bastante útil na análise dos resíduos. Se os resíduos se posicionarem de maneira a formar uma reta (aproximada), tem-se evidência de normalidade dos mesmos, se não, tem-se evidência de falta de normalidade (como é o caso do exemplo dado). Histograma O histograma dos resíduos também é um bom indicador de normalidade dos dados. Se os resíduos forem normais, o seu histograma deve representar uma amostra retirada de uma distribuição normal com média zero. Novamente, o gráfico produzido com os dados do exemplo é um indicativo da falta de normalidade dos resíduos. Verificação das Pressuposições • Já não é indicado aplicar a ANOVA aos dados do experimento de estacas de pessegueiro (não hà normalidade dos erros); • Antes de procurar soluções para esse problema, vamos verificar a homocedasticidade das variâncias (graficamente). • Para testar a Homocedasticidade vamos utilizar o teste de Hartley, ou da razão máxima (��á�) Exemplo de Teste de Homocedasticidade • Para calcular a estatística do teste de Hartley basta conhecer as variâncias dos erros para cada tratamento: • O teste consiste em calcular a razão entre a maio e a menor variância: Trat �� � Var 1 (A) 0,7 Var 2 (B) 0,3 Var 3 (C) 7,7 Var 4 (D) 9,7 4,6 ��á� = ��á� � ����� = 9,7 0,3 = 32,33 ��á�(���) � � = 4 variâncias� = 4 g. l. (por ���)� 20,6 (5%) 49,0(1%) 32,33 > 20,6 Rejeita-se a hipótese inicial de homocedasticidade das variâncias Visualização Gráfica -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 14 E r r o s P a d r o n i z a d o s Valores Preditos Preditos vs Erros Padronizados Indicativo de uma possível heterogeneidade das variâncias Verificação das Pressuposições • O experimento respeita 2 pressuposições: Aditividade do modelo (por hipótese); Independência dos erros (aleatorização). • Porém duas pressuposições não foram respeitadas: Normalidade dos erros (Lilliefors); Homocedasticidade das variâncias (Hartley). • Os problemas de falta de Homocedasticidade e/ou Normalidade podem ser resolvidos (algumas vezes) com a transformação dos dados. • Qual transformação usar? Transformação de Dados • Mais Comuns: • � + �, com � sendo uma constante positiva, para dados de contagem; • ��� ��� �/100, para dados de percentagem, geralmente para 0 ≤ � ≤ 30% ou 70 ≤ � ≤ 100%; • log (� + �), quando hà proporcionalidade entre médias e desvios padrões. • Box Cox: • log ��� = � ∗ log(�� �) + �; • � = 1 − �� �� . • � ≠ 0 → �∗ = ��; • � = 0 → �∗ = log(�); �� Transformação 0 1 Nenhuma 1 1/2 2 0 log ( ) 3 -1/2 1 � 4 -1 1 � Exemplo de Transformação de Dados Trat Repetições 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª total �� � ��� Var 1 (A) 2 2 1 1 0 6 1,2 0,7 Var 2 (B) 1 0 0 1 1 3 0,6 0,3 Var 3 (C) 12 10 14 17 11 64 12,8 7,7 Var 4 (D) 7 9 15 8 10 49 9,8 9,7 Tabela com os dados do experimento, média e variância por tratamento: Trat ���(�� �) ���(���) ��� �� � ∗ ���(���) ���(�� �) � Var 1 (A) 0,079181 -0,1549 -0,01227 0,00627 Var 2 (B) -0,22185 -0,52288 0,116 0,049217 Var 3 (C) 1,10721 0,886491 0,981531 1,225914 Var 4 (D) 0,991226 0,986772 0,978114 0,982529 Total 1,955769 1,195482 2,06338 2,26393 Média 0,488942 0,29887 Tabela de auxílio para o cálculo de b: Alternativas à Transformação • Existem casos em que não é possível encontrar uma transformação que resolva todos os problemas e permita a utilização da técnica da ANOVA. • Nesses casos, recomenda-se: • Análises não paramétricas; ou • Modelos Lineares Generalizados. Transformação dos dados Trat Repetições total mi si2 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Var 1 (A) 1,581 1,581 1,225 1,225 0,707 6,319 1,264 0,128 Var 2 (B) 1,225 0,707 0,707 1,225 1,225 5,088 1,018 0,078 Var 3 (C) 3,536 3,240 3,808 4,183 3,391 18,158 3,632 0,139 Var 4 (D) 2,739 3,082 3,937 2,915 3,240 15,914 3,183 0,214 Total 45,479 A tranformação recomendada foi �, porém, como existem parcelas com observações iguais a zero, recomenda-se a soma de uma constante dentro da raiz, logo a transformação utilizada foi: � + 0,5 ��á� = �, !"�,�#$ = ,#% < �,& Corrigido o problema da heterogeneidade das variâncias Q-Q Plot dos Resíduos – pós transformação dos dados Pode-se notar que os resíduos estão bem mais aproximados da reta após a transformação dos dados, o que indica uma alta possibilidade de não se rejeitar a hipótese da normalidade dos resíduos após a transformação dos dados . Histograma dos Resíduos – pós transformação dos dados Assim como o Q-Q Plot, o histograma dos resíduos encontrados após a transformação dos dados, também indica uma possível normalidade dos mesmos. Gráfico – Dados Transformados -6 -4 -2 0 2 4 6 0 1 2 3 4 E r r o s P a d r o n i z a d o s Valores Preditos Preditos vs Erros Padronizados (Dados Transformados Pressuposições – Dados Transformados • Após a transformação dos dados passamos a respeitar todas as pressuposições do modelo matemático; • Se torna possível a utilização do método da ANOVA na análise dos resultados do experimento. Análise da Variância • Como fazer a Análise da Variância? • Primeiro passo: Definir o esquema da ANOVA Causa da Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio F Tratamentos I-1 SQTrat QMTrat QMTrat/QMRes Resíduos I(J-1) SQRes QMRes Total IJ-1 SQTotal Somas de Quadrados • As Somas de Quadrados (SQ) são obtidas pelas seguintes expressões: • SQTotal = ∑ �����,� − ∑ ����,� � �� ; • em que ∑ ����,� � �� = ' é denominado correção • SQTrat = � ∑ ��∙�� − � = �∑ ���� − �; • SQRes = SQTotal − SQTrat. Quadrados
Compartilhar