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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´ CAMPUS UNIVERSITA´RIO DE CASTANHAL FACULDADE DE MATEMA´TICA Disciplina: Algebra I Professor: Ma´rcio Almeida Entrega: Ate´ o dia da prova (10.08.2016). Lista de Exerc´ıcios 1. Prove que o conjunto dos nu´meros reais R com a operac¸a˜o ∗ definida por x ∗ y = 3 √ x3 + y3 e´ um grupo abeliano. 2. Considere o grupo G = R− {3} cuja operac¸a˜o ∗ e´ definida por a ∗ b = (a− 3)(b− 3) 3 + 3 (a) Determine o elemento neutro de G. (b) Determine o elemento inverso de 4 ∈ G. 3. Seja G um grupo de ordem n, com 13 ≤ n ≤ 35. Se G possui subgrupos de ordem 2, 3 e 8. Determine n. 4. Verifique se o grupo multiplicativo Z∗7 e´ c´ıclico. Determine seus geradores, caso existam, bem como a ordem de todos os elementos de Z7. 5. Seja G um grupo e a ∈ G. Se o(G) = n e o(a) = m, enta˜o an = eg. 6. Sejam G = (Z12,+) um grupo e H = {0, 4, 8} um subgrupo de G. Construa a ta´bua do grupo quociente de (G/H,+), identifique seu elemento neutro e os inversos aditivos de 1 + H e 2 + H. 7. Prove que se G e´ um grupo abeliano, enta˜o G/H e´ abeliano. 8. Determine os elementos e a tabela da operac¸a˜o soma do grupo quociente Z24/〈4〉. 9. Prove que se G e´ abeliano, enta˜o G/H e´ abeliano. 10. Prove que se G e´ c´ıclico, enta˜o G/H e´ c´ıclico. 11.
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