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CEFET-RJ UnED NOVA FRIBURGO
5a Lista de Ca´lculo I para administrac¸a˜o- Profa Danielle Rezende
1. Para cada item abaixo, use a definic¸a˜o para calcular f ′(x0).
(a) f(x) = x3 + 1 x0 = −1
(b) f(x) =
1
x2
x0 = 2
2. Para cada item abaixo, use a definic¸a˜o para calcular f ′(x).
(a) f(x) = x2 + x
(b) f(x) =
√
2 x
3. Seja f(x) =
{
x2, x ≤ 1
1, x > 1
(a) f e´ cont´ınua em x = 1?
(b) f e´ diferencia´vel em x = 1?
4. Seja f(x) =
{
x2, −1 ≤ x < 0
−x2, 0 ≤ x ≤ 1
(a) f e´ cont´ınua em x = 0?
(b) f e´ diferencia´vel em x = 0?
5. Seja f(x) = x2 + a x+ b. Determine a e b de modo que f(1) = −4 e f ′(2) = 5.
6. Calcule a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = x3 −√2
(b) f(x) =
1
6
x6 − 2
(c) f(x) =
x3 − 4
x4
(d) f(x) =
x2 − 1
x
(e) f(x) = 2x lnx+
3
√
x2
(f) f(x) = log1/5 x
(g) f(x) = x log3 x
(h) f(x) =
(
1
2
)x
(i) f(x) =
√
x2 + 2 x3
(j) f(x) = e2x
3+1
(k) f(x) =
(
x+ 1
x2 + 1
)4
(l) f(x) =
1√
x2 − 2
(m) f(x) = 3
√
x2 + 2
(n) f(x) = pix
(o) f(x) = 3
√
x− 1
x+ 1
(p) f(x) = ln2
(
x− 1
x+ 1
)
(q) f(x) = (x+ 2)x
(r) f(x) = ln((x3 + 2) (x2 + 3))
(s) f(x) = ln(x+
√
1 + x2)
(t) f(x) = 3−x
2
7. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a curva f(x) = x2− 4x+4 que passa pelo
ponto (1, 1). Esboce, em um mesmo sistema de refereˆncia, o gra´fico da func¸a˜o e
da reta tangente encontrada.
8. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a curva f(x) = x3+1 no ponto de abscissa
0. Esboce, em um mesmo sistema de refereˆncia, o gra´fico da func¸a˜o e da reta
tangente encontrada.
9. Seja f uma func¸a˜o tal que f(0) = −1 e f ′(0) = 2. Determine a equac¸a˜o da reta
tangente ao gra´fico de g(x) = f(x) (x3 + x− 1) em x = 0.
10. Seja f : R→ R deriva´vel e seja g(x) = f(e2x). Supondo f ′(1) = 2, calcule g′(0).
11. Um pol´ıtico arrecada fundos com a venda de entradas para um jantar a $ 500. Ele
paga $ 150 por cada jantar, ale´m dos custos fixos de $ 7000 para alugar um sala˜o
e uma equipe de garc¸ons. Determine o lucro L como uma func¸a˜o de x, o nu´mero
de jantares vendidos. Mostre que a derivada da func¸a˜o lucro e´ uma constante e e´
igual ao aumento do lucro por cada jantar vendido.
12. Um restaurante fast-food determinou que a demanda mensal por seu hambu´rgueres
e´ dada por
p =
60000− x
20000
(a) Determine o aumento da receita por hambu´rguer para vendas mensais de
20000 hambu´rgueres.
(b) Suponha que o custo de produc¸a˜o de x hambu´rgueres seja
C = 5000 + 0, 56x, 0 ≤ x ≤ 50000. Determine o lucro e o lucro marginal do
n´ıvel de produc¸a˜o 30000.
13. O custo C (em do´lares) da produc¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado por
C = 3, 6
√
x+ 500
(a) Determine o custo adicional quando a produc¸a˜o aumenta de 9 para 10 uni-
dades.
(b) Determine o custo marginal quando x = 9.
(c) Compare os resultados dos itens acima.
14. A func¸a˜o demanda de um produto e´ dada por
p =
50√
x
, 0 ≤ x ≤ 8000
e a func¸a˜o custo e´ dada por C = 0, 5x + 500, 0 ≤ x ≤ 8000. Determine o lucro
marginal para x = 900.
15. Os pedidos e o transporte (em milhares de do´lares) dos componentes utilizados na
fabricac¸a˜o de um produto sa˜o dados por um custo por unidade C, cuja fo´rmula e´
C = 100
(
200
x2
+
x
x+ 30
)
, x ≥ 1
em que x e´ o tamanho do pedido (em centenas). Determine a taxa de variac¸a˜o de
C em relac¸a˜o a x para cada tamanho de pedido. O que essas taxas de variac¸a˜o
implicam sobre o aumento do tamanho do pedido?
(a) x = 10
(b) x = 15
(c) x = 20
16. O valor V de uma ma´quina, t anos apo´s sua compra, e´ inversamente proporcional
a` raiz cu´bica de t+ 1. O valor inicial da ma´quina e´ $ 10000
(a) Escreva V como func¸a˜o de t.
(b) Determine a taxa de depreciac¸a˜o quando t = 1.
17. A func¸a˜o demanda para um produto e´ modelada por
p =
3
0, 000001x3 + 0, 01x+ 1
em que p e´ medido em do´lares e x e´ medido em milhares de unidades. Determine
a taxa de variac¸a˜o da demanda x em relac¸a˜o ao prec¸o p quando x = 100
18. O lucro L (em do´lares) de uma empresa que vende x unidades de um produto
pode ser modelado por
L = 500x− x
2
4
As vendas esta˜o aumentado a uma taxa de 10 unidades por dia. Determine a
taxa de variac¸a˜o do lucro (em dolares por dia) quando 500 unidades tiverem sido
vendidas.
19. O lucro de um produto esta´ aumentando a uma taxa de $ 5600 por semana. As
func¸o˜es de custo e demanda para o produto sa˜o dadas por p = 6000 − 25x e
C = 2400 x + 5200. Determine a taxa de variac¸a˜o das vendas em relac¸a˜o ao
tempo, quando as vendas semanais sa˜o de x = 44 unidades.
20. Um fabricante de relo´gios pode produzir um determinado relo´gio a um custo de
15 reais por unidade. Esta´ estimado que se o prec¸o de venda do relo´gio for de x
cada, enta˜o o nu´mero de relo´gio vendidos por semana sera´ 125 − x. Expresse o
lucro semanal L do fabricante como uma func¸a˜o de x. Determine o lucro ma´ximo
(isto ocorre no ponto onde a reta tangente e´ horizontal).
21. Suponha que num certo mercado que p seja o prec¸o de um engradado de laranjas,
x o nu´mero de milhares de engradados ofertados diariamente, sendo a equac¸a˜o de
oferta p x− 20 p− 3 x+ 105 = 0. Se a oferta dia´ria esta´ decrescendo a uma taxa
de 250 engradados por dia, em que taxa os prec¸os esta˜o variando quando a oferta
dia´ria e´ de 5000 engradados?
22. Uma fa´brica de equipamentos eletroˆnicos vende uma quantidade x de artigos
(em milho˜es) quando o prec¸o e´ de p reais, por unidade. A relac¸a˜o entre prec¸o e
demanda e´ dada por:
x3 − 3 x2 p4 + p3 = 6x+ 1
Calcule p′ se p = f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel, definida implicitamente.
23. Seja x o nu´mero de unidades de ma˜o de obra e y o capital investido num processo
de fabricac¸a˜o. Quando 150000 unidades sa˜o produzidas, a relac¸a˜o entre ma˜o de
obra e capital e´ modelada por:
300x0,75 y0,25 = 150000,
chamada func¸a˜o de produc¸a˜o de Cobb-Douglas. Determine a taxa de variac¸a˜o de
y em relac¸a˜o a x, quando x = 40000 e y = 1000000.
Respostas:
1. (a) 3 (b) −1
4
2. (a) 2 x+ 1 (b)
1√
2 x
3. (a) Sim (b) Na˜o
4. (a) Sim (b) Sim
5. a = 1 e b = −6
6. (a) f ′(x) = 3 x2
(b) f ′(x) = x5
(c) f ′(x) =
−x3 + 16
x5
(d) f ′(x) =
x2 + 1
x2
(e) f ′(x) = 2
(
lnx+ 1 +
1
3 3
√
x
)
(f) f ′(x) =
1
x ln 1
5
(g) f ′(x) =
lnx+ 1
ln 3
(h) f ′(x) =
(
1
2
)x
ln
(
1
2
)
(i) f ′(x) =
x+ 3 x2√
x2 + 2 x3
(j) f ′(x) = 6 x2 e2x
3+1
(k) f ′(x) =
4 (x+ 1)3 (−x2 − 2 x+ 1)
(x2 + 1)5
(l) f ′(x) =
−x√
(x2 − 2)3
(m) f ′(x) =
2 x
3 3
√
(x2 + 2)2
(n) f ′(x) = pix ln pi
(o) f ′(x) =
2
3
1
(x+ 1)2
3
√(
x+ 1
x− 1
)2
(p) f ′(x) =
4
x2 − 1 ln
(
x− 1
x+ 1
)
(q) f ′(x) = (x+ 2)x ln(x+ 2) + x (x+ 2)x−1
(r) f ′(x) =
3 x2
x3 + 2
+
2 x
x2 + 3
(s) f ′(x) =
1√
x2 + 1
(t) f ′(x) = −2 x (ln 3) 3−x2
7. y = −2x+ 3
8. y = 1
9. y = −3x+ 1
10. 4
11. L = 350 x− 7000 L′ = 350
12. (a) $ 1 (b) L(30000) = 23200 u.m e L′(30000) = −0, 56 u.m
13. (a) $ 0,58 (b) $ 0,60 (c) sa˜o pro´ximos
14. $ 0,33
15. (a) -38,125 (b) -10,37 (c) -3,80
Aumentar o tamanho do pedido reduz o custo por item.
16. (a) V =
10000
3
√
t+ 1
(b) -$ 1322,83 por ano
17. -75 mil unidades por do´lar
18. $ 2500 por dia
19. 4 unidades por semana
20. $ 3025
21. $ 0,05 por dia
22. p′ =
2− x2 + 2 x p4
p2 (1− 4 x2 p)
23. -75 unidades
Refereˆncias:
• Ca´lculo vol 1
George B. Thomas
• Ca´lculo vol 1
James Stewart
• Um curso de ca´lculo vol 1
Hamilton Luiz Guidorizzi
• Ca´lculo a uma varia´vel vol 2
Iaci Malta, Sine´sio Pesco, He´lio Lopes
• Ca´lculo aplicado: curso ra´pido
Ron Larson
• Matema´tica aplicada a` economia e administrac¸a˜o
Louis Leithold
• Matema´tica para administrac¸a˜o
Hamilton Luiz Guidorizzi
• Matema´tica:para os cursos de economia, administrac¸a˜o e cieˆncias conta´beis vol1
Sebastia˜o Medeiros da Silva, Elio Medeiros da Silva e Ermes Medeiros da Silva
• Matema´tica aplicada a` economia e administrac¸a˜o
Louis Leithold

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