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CEFET-RJ UnED NOVA FRIBURGO 5a Lista de Ca´lculo I para administrac¸a˜o- Profa Danielle Rezende 1. Para cada item abaixo, use a definic¸a˜o para calcular f ′(x0). (a) f(x) = x3 + 1 x0 = −1 (b) f(x) = 1 x2 x0 = 2 2. Para cada item abaixo, use a definic¸a˜o para calcular f ′(x). (a) f(x) = x2 + x (b) f(x) = √ 2 x 3. Seja f(x) = { x2, x ≤ 1 1, x > 1 (a) f e´ cont´ınua em x = 1? (b) f e´ diferencia´vel em x = 1? 4. Seja f(x) = { x2, −1 ≤ x < 0 −x2, 0 ≤ x ≤ 1 (a) f e´ cont´ınua em x = 0? (b) f e´ diferencia´vel em x = 0? 5. Seja f(x) = x2 + a x+ b. Determine a e b de modo que f(1) = −4 e f ′(2) = 5. 6. Calcule a derivada da func¸a˜o dada. (a) f(x) = x3 −√2 (b) f(x) = 1 6 x6 − 2 (c) f(x) = x3 − 4 x4 (d) f(x) = x2 − 1 x (e) f(x) = 2x lnx+ 3 √ x2 (f) f(x) = log1/5 x (g) f(x) = x log3 x (h) f(x) = ( 1 2 )x (i) f(x) = √ x2 + 2 x3 (j) f(x) = e2x 3+1 (k) f(x) = ( x+ 1 x2 + 1 )4 (l) f(x) = 1√ x2 − 2 (m) f(x) = 3 √ x2 + 2 (n) f(x) = pix (o) f(x) = 3 √ x− 1 x+ 1 (p) f(x) = ln2 ( x− 1 x+ 1 ) (q) f(x) = (x+ 2)x (r) f(x) = ln((x3 + 2) (x2 + 3)) (s) f(x) = ln(x+ √ 1 + x2) (t) f(x) = 3−x 2 7. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a curva f(x) = x2− 4x+4 que passa pelo ponto (1, 1). Esboce, em um mesmo sistema de refereˆncia, o gra´fico da func¸a˜o e da reta tangente encontrada. 8. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a curva f(x) = x3+1 no ponto de abscissa 0. Esboce, em um mesmo sistema de refereˆncia, o gra´fico da func¸a˜o e da reta tangente encontrada. 9. Seja f uma func¸a˜o tal que f(0) = −1 e f ′(0) = 2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g(x) = f(x) (x3 + x− 1) em x = 0. 10. Seja f : R→ R deriva´vel e seja g(x) = f(e2x). Supondo f ′(1) = 2, calcule g′(0). 11. Um pol´ıtico arrecada fundos com a venda de entradas para um jantar a $ 500. Ele paga $ 150 por cada jantar, ale´m dos custos fixos de $ 7000 para alugar um sala˜o e uma equipe de garc¸ons. Determine o lucro L como uma func¸a˜o de x, o nu´mero de jantares vendidos. Mostre que a derivada da func¸a˜o lucro e´ uma constante e e´ igual ao aumento do lucro por cada jantar vendido. 12. Um restaurante fast-food determinou que a demanda mensal por seu hambu´rgueres e´ dada por p = 60000− x 20000 (a) Determine o aumento da receita por hambu´rguer para vendas mensais de 20000 hambu´rgueres. (b) Suponha que o custo de produc¸a˜o de x hambu´rgueres seja C = 5000 + 0, 56x, 0 ≤ x ≤ 50000. Determine o lucro e o lucro marginal do n´ıvel de produc¸a˜o 30000. 13. O custo C (em do´lares) da produc¸a˜o de x unidades de um produto e´ dado por C = 3, 6 √ x+ 500 (a) Determine o custo adicional quando a produc¸a˜o aumenta de 9 para 10 uni- dades. (b) Determine o custo marginal quando x = 9. (c) Compare os resultados dos itens acima. 14. A func¸a˜o demanda de um produto e´ dada por p = 50√ x , 0 ≤ x ≤ 8000 e a func¸a˜o custo e´ dada por C = 0, 5x + 500, 0 ≤ x ≤ 8000. Determine o lucro marginal para x = 900. 15. Os pedidos e o transporte (em milhares de do´lares) dos componentes utilizados na fabricac¸a˜o de um produto sa˜o dados por um custo por unidade C, cuja fo´rmula e´ C = 100 ( 200 x2 + x x+ 30 ) , x ≥ 1 em que x e´ o tamanho do pedido (em centenas). Determine a taxa de variac¸a˜o de C em relac¸a˜o a x para cada tamanho de pedido. O que essas taxas de variac¸a˜o implicam sobre o aumento do tamanho do pedido? (a) x = 10 (b) x = 15 (c) x = 20 16. O valor V de uma ma´quina, t anos apo´s sua compra, e´ inversamente proporcional a` raiz cu´bica de t+ 1. O valor inicial da ma´quina e´ $ 10000 (a) Escreva V como func¸a˜o de t. (b) Determine a taxa de depreciac¸a˜o quando t = 1. 17. A func¸a˜o demanda para um produto e´ modelada por p = 3 0, 000001x3 + 0, 01x+ 1 em que p e´ medido em do´lares e x e´ medido em milhares de unidades. Determine a taxa de variac¸a˜o da demanda x em relac¸a˜o ao prec¸o p quando x = 100 18. O lucro L (em do´lares) de uma empresa que vende x unidades de um produto pode ser modelado por L = 500x− x 2 4 As vendas esta˜o aumentado a uma taxa de 10 unidades por dia. Determine a taxa de variac¸a˜o do lucro (em dolares por dia) quando 500 unidades tiverem sido vendidas. 19. O lucro de um produto esta´ aumentando a uma taxa de $ 5600 por semana. As func¸o˜es de custo e demanda para o produto sa˜o dadas por p = 6000 − 25x e C = 2400 x + 5200. Determine a taxa de variac¸a˜o das vendas em relac¸a˜o ao tempo, quando as vendas semanais sa˜o de x = 44 unidades. 20. Um fabricante de relo´gios pode produzir um determinado relo´gio a um custo de 15 reais por unidade. Esta´ estimado que se o prec¸o de venda do relo´gio for de x cada, enta˜o o nu´mero de relo´gio vendidos por semana sera´ 125 − x. Expresse o lucro semanal L do fabricante como uma func¸a˜o de x. Determine o lucro ma´ximo (isto ocorre no ponto onde a reta tangente e´ horizontal). 21. Suponha que num certo mercado que p seja o prec¸o de um engradado de laranjas, x o nu´mero de milhares de engradados ofertados diariamente, sendo a equac¸a˜o de oferta p x− 20 p− 3 x+ 105 = 0. Se a oferta dia´ria esta´ decrescendo a uma taxa de 250 engradados por dia, em que taxa os prec¸os esta˜o variando quando a oferta dia´ria e´ de 5000 engradados? 22. Uma fa´brica de equipamentos eletroˆnicos vende uma quantidade x de artigos (em milho˜es) quando o prec¸o e´ de p reais, por unidade. A relac¸a˜o entre prec¸o e demanda e´ dada por: x3 − 3 x2 p4 + p3 = 6x+ 1 Calcule p′ se p = f(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel, definida implicitamente. 23. Seja x o nu´mero de unidades de ma˜o de obra e y o capital investido num processo de fabricac¸a˜o. Quando 150000 unidades sa˜o produzidas, a relac¸a˜o entre ma˜o de obra e capital e´ modelada por: 300x0,75 y0,25 = 150000, chamada func¸a˜o de produc¸a˜o de Cobb-Douglas. Determine a taxa de variac¸a˜o de y em relac¸a˜o a x, quando x = 40000 e y = 1000000. Respostas: 1. (a) 3 (b) −1 4 2. (a) 2 x+ 1 (b) 1√ 2 x 3. (a) Sim (b) Na˜o 4. (a) Sim (b) Sim 5. a = 1 e b = −6 6. (a) f ′(x) = 3 x2 (b) f ′(x) = x5 (c) f ′(x) = −x3 + 16 x5 (d) f ′(x) = x2 + 1 x2 (e) f ′(x) = 2 ( lnx+ 1 + 1 3 3 √ x ) (f) f ′(x) = 1 x ln 1 5 (g) f ′(x) = lnx+ 1 ln 3 (h) f ′(x) = ( 1 2 )x ln ( 1 2 ) (i) f ′(x) = x+ 3 x2√ x2 + 2 x3 (j) f ′(x) = 6 x2 e2x 3+1 (k) f ′(x) = 4 (x+ 1)3 (−x2 − 2 x+ 1) (x2 + 1)5 (l) f ′(x) = −x√ (x2 − 2)3 (m) f ′(x) = 2 x 3 3 √ (x2 + 2)2 (n) f ′(x) = pix ln pi (o) f ′(x) = 2 3 1 (x+ 1)2 3 √( x+ 1 x− 1 )2 (p) f ′(x) = 4 x2 − 1 ln ( x− 1 x+ 1 ) (q) f ′(x) = (x+ 2)x ln(x+ 2) + x (x+ 2)x−1 (r) f ′(x) = 3 x2 x3 + 2 + 2 x x2 + 3 (s) f ′(x) = 1√ x2 + 1 (t) f ′(x) = −2 x (ln 3) 3−x2 7. y = −2x+ 3 8. y = 1 9. y = −3x+ 1 10. 4 11. L = 350 x− 7000 L′ = 350 12. (a) $ 1 (b) L(30000) = 23200 u.m e L′(30000) = −0, 56 u.m 13. (a) $ 0,58 (b) $ 0,60 (c) sa˜o pro´ximos 14. $ 0,33 15. (a) -38,125 (b) -10,37 (c) -3,80 Aumentar o tamanho do pedido reduz o custo por item. 16. (a) V = 10000 3 √ t+ 1 (b) -$ 1322,83 por ano 17. -75 mil unidades por do´lar 18. $ 2500 por dia 19. 4 unidades por semana 20. $ 3025 21. $ 0,05 por dia 22. p′ = 2− x2 + 2 x p4 p2 (1− 4 x2 p) 23. -75 unidades Refereˆncias: • Ca´lculo vol 1 George B. Thomas • Ca´lculo vol 1 James Stewart • Um curso de ca´lculo vol 1 Hamilton Luiz Guidorizzi • Ca´lculo a uma varia´vel vol 2 Iaci Malta, Sine´sio Pesco, He´lio Lopes • Ca´lculo aplicado: curso ra´pido Ron Larson • Matema´tica aplicada a` economia e administrac¸a˜o Louis Leithold • Matema´tica para administrac¸a˜o Hamilton Luiz Guidorizzi • Matema´tica:para os cursos de economia, administrac¸a˜o e cieˆncias conta´beis vol1 Sebastia˜o Medeiros da Silva, Elio Medeiros da Silva e Ermes Medeiros da Silva • Matema´tica aplicada a` economia e administrac¸a˜o Louis Leithold
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