Aula 00 (Parte 2) - Uma Breve Introdução ao Cálculo

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Uma Breve Introdução aos Problemas do Cálculo.
Objetivos da Aula
• Apresentar os problemas clássicos da tangente e da área;
• Comentar intuitivamente como o cálculo ajuda a resolver os problemas da tangente e da área;
• Reconhecer, através de exemplos, a aplicação do cálculo nas mais diversas áreas do conhecimento.
1 O Problema da Tangente
Considere uma curva de equação y = f(x) e um ponto (x0, f(x0)) sobre a mesma. Queremos resolver
o seguinte problema:
Como determinar a equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (x0, f(x0))?
Sabemos que o ponto (x0, f(x0)) pertence à reta tangente e também que a equação de uma reta
qualquer, dado um ponto e o seu coeficiente angular m, é dada por
y − f(x0) = m(x− x0)
Logo, o problema consiste em determinarmos o coeficiente angular da reta tangente. Intuitivamente,
podemos pensar na reta tangente ao gráfico de f , como sendo uma reta que "toca" apenas no ponto
(x0, f(x0)).
Figura 1: Reta Tangente ao gráfico de uma função em um ponto dado.
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Sendo assim, podemos tentar uma aproximação por retas da seguinte forma: Considere um ponto
(x1, f(x1)) sobre o gráfico de f e tracemos a reta que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x1, f(x1))
Figura 2: Reta Secante ao gráfico de uma função y = f(x).
Essa reta é chamada secante ao gráfico de f e sabemos que o seu coeficiente angular m1 é dado por
m1 = tg θ1 =
f(x1)− f(x0)
x1 − x0
Se escolhermos agora um ponto (x2, f(x2)) da seguinte forma:
Figura 3: Reta Secante ao gráfico de uma função y = f(x).
temos que o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f que passa pelos ponto (x0, f(x0)) e
(x2, f(x2)) é dado por
m2 = tg θ2 =
f(x2)− f(x0)
x2 − x0
Prosseguindo assim, podemos tomar pontos x3, x4, x5, ... cada vez mais próximos de x0 e assim, as retas
secantes que passam em x0 e esses outros pontos se aproxima da reta tangente que queremos.
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Figura 4: As retas secantes se aproximando da reta tangente.
Desse modo, é natural deduzirmos que o valor dos coeficientes angulares das retas secantes se aproximará
do valor do coeficiente angular da reta tangente. Matematicamente, dizemos que se tomarmos pontos muito
próximos de x0, ou seja, x tende a x0, o que denotamos por x→ x0, dizemos que o valor dos coeficientes
angulares das retas secantes se aproxima do valor de m. Costuma-se utilizar a seguinte notação para essa
afirmação:
m = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
e lê-se que m é o limite da função
f(x)− f(x0)
x− x0 quando x tende a x0. Dessa forma, se soubermos
determinar o valor desse limite, podemos calcular a equação da reta tangente. A discussão do problema
da tangente, deu origem a um ramo do cálculo chamado cálculo diferencial e será estudado por nós ao
decorrer do curso com mais detalhes.
2 O Problema da Área
Suponha que f : [a, b]→ R é uma função não - negativa, ou seja, f(x) ≥ 0, para qualquer x ∈ [a, b] e
considere o seguinte problema:
Qual a área da região entre o gráfico da função f e o eixo x, limitada entre as retas x = a e
x = b?
Essa questão de cálculo surgiu na época dos gregos. Pelo menos 2.500 anos atrás, discutia-se a ideia de
área e como calculá-la. Uma técnica muito conhecida na época era decompor a figura desejada em figuras
que se conhecia a forma de calcular a área e somar essas áreas para obter a da figura inicial, por exemplo,
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Figura 5: Decompondo uma figura plana em triângulos para calcular a sua área.
Um problema surgiu quando se discutia o cálculo de áreas para figuras planas "curvas", como o círculo.
Uma forma utilizada por eles foi o chamado método da Exaustão, que consistia em inscrever e circunscrever
o círculo, como polígonos e então aumentar o número de lados desse polígono, por exemplo,
Figura 6: Exemplificação de uma parte do Método da Exaustão.
A ideia central desse método era que ao aumentarmos o número de lados dos polígonos que inscrevem
e circunscrevem o círculo, a área desses polígonos fosse se aproximando da área do círculo, ou seja, se
considerarmos as áreas desses polígonos de lado n como sendo An e a área do círculo A, teríamos que
lim
n→+∞An = A
A notação n → +∞ pode ser entendida que o número n está assumindo valores positivos cada vez mais
maiores. O grego Eudoxus utilizou esse método para mostrar que a área do círculo era pir2, onde r é o raio
do mesmo. A ideia apresentada para resolver o nosso problema inicial é semelhante ao método da Exaustão
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e foi introduzido por August Cauchy e depois melhorado por outros. Vamos supor que a região em questão
seja dada por:
Figura 7: Região cuja área queremos calcular.
Sendo assim, vamos tomar três pontos no intervalo [a, b] da seguinte forma:
a = x0 < x1 < x2 = b
Dessa forma, construímos dois retângulos; o primeiro tem como base o segmento [x0, x1] e altura f(x0)
e o segundo tem como base o segmento [x1, x2] e altura f(x1), como mostra a figura abaixo:
Figura 8: Primeira aproximação.
E denotando por A1 e A2 as áreas desses retângulos, calculamos:
A1 +A2 = f(x0)(x1 − x0) + f(x1)(x2 − x1)
Nossa intenção é aproximar a área da região desejada pela soma das áreas desses retângulos, contudo com
dois retângulo ainda cometemos um erro muito grande, pois ainda não conseguimos uma boa aproximação,
e esse erro pode ser constatado pelas "partes"abaixo do gráfico de f que não estão sendo "cobertas"pelos
retângulos. Sendo assim, escolhemos quatro pontos no intervalo [a, b] da seguinte forma:
a = x0 < x1 < x2 < x3 = b
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E construímos três retângulos de modo semelhante ao descrito anteriormente, e obtemos que
A1 +A2 +A3 = f(x0)(x1 − x0) + f(x1)(x2 − x1) + f(x3)(x3 − x2)
Figura 9: Segunda aproximação.
Podemos notar que a área que faltava "cobrir"está diminuindo, porém ainda não é o que desejamos. E,
prosseguindo com esse processo, podemos notar que escolhemos cada vez mais pontos, como abaixo:
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Figura 10: Aproximações: 10,20,50 e 100 retângulos, respectivamente.
E assim, teremos que a soma das áreas de todos os retângulos representará uma boa aproximação para
a área da região desejada. Generalizando, para n retângulos, a soma é denotada por
A1 +A2 + ...+An = f(x0)(x1 − x0) + f(x1)(x2 − x1) + ...+ f(xn−1)(xn − xn−1)
Se n assumir valores positivos cada vez maiores, então a soma acima se aproxima do valor da área A
da região que queremos. Matematicamente, escrevemos
lim
n→+∞(A1 +A2 + ...+An) = A
Esse problema da área é central no ramo do cálculo chamado cálculo integral e durante o nosso curso
apresentaremos técnicas para calcular a área de diversas regiões, bem como volume, centro de massa e
outras ferramentas utilizadas por engenheiros, matemáticos, físicos e outros profissionais.
3 Algumas aplicações do cálculo
Nessa última seção, gostaríamos de listar alguns problemas que o cálculo pode resolver na engenharia e
na física que a princípio surgiram dos problemas apresentados aqui, uma vez que na tentativa de resolvê-los,
os matemáticos tiveram de definir precisamente as bases do cálculo e portanto, permitir que as ferramentas
dessa fabulosa área da matemática estivesse a disposição das outras áreas do conhecimento. Alguns deles
são:
(1) Qual é o melhor lugar para se sentar em um cinema e assistir seu filme favorito?
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(2) Como projetar uma montanha-russa com um percurso suave?
(3) A qual distância de uma aeroporto um piloto deve começar a descida para o pouso?
(4) Como podemos juntar curvas para desenhar formas que representam letras em uma impressora a laser?
(5) Umabola lançada para cima leva mais tempo para atingir sua altura máxima ou para cair de volta à
sua altura original?
(6) Como você pode distribuir o escoamento de água entre as turbinas de uma usina hidrelétrica de modo
a maximizar a energia total produzida?
(7) Como você pode explicar o fato de planetas e satélites se moverem em órbitas elípticas?
(8) Se uma bola de gude, uma barra de aço e um cano de ferro rolarem por uma encosta, qual deles atingirá
o fundo primeiro?
Esperamos que agora, você possa aproveitar essa disciplina da melhor forma possível, conte conosco do
projeto Newton, e bons estudos!
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção inicial do livro texto.
Dica importante
Procure conversar com os professores do seu curso para verificar mais aplicações do cálculo na sua área
de estudo.
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