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Estruturas em Treliça EESSTTRRUUTTUURRAASS EEMM TTRREELLIIÇÇAA São estruturas lineares, formadas por barras que no conjunto devem formar uma estrutura indeformável. Estruturas em Treliça 1 Estrutura deformável 11.. TTIIPPOOSS DDEE TTRREELLIIÇÇAA 11..11 -- TTrreelliiççaass PPllaannaass Suas barras estão num mesmo plano. 11..22 -- TTrreelliiççaass TTrriiddiimmeennssiioonnaaiiss Suas barras estão todas em planos diferentes. As treliças são utilizadas para coberturas, pontes, como vigas de lançamento, etc. 22.. HHIIPPÓÓTTEESSEESS PPAARRAA OOSS VVÁÁRRIIOOSS PPRROOCCEESSSSOOSS DDEE CCÁÁLLCCUULLOOSS 22..11 – As barras da treliça são ligadas entre si por intermédio de articulações sem atrito. 22..22 – As cargas e reações aplicam-se somente nos nós da estrutura. 22..33 – O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações (como nas estruturas lineares). Satisfeitas todas as hipóteses mencionadas, as barras da treliça só serão solicitadas por forças normais. 33.. EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS Forças Normais As tensões provocadas por estas forças são chamadas tensões primárias. N S (verificação da resistência da peça) Barra indeformável tração compressão N N N N A A B B seção da peça Estruturas em Treliça 2 Observações: 1. Na prática não se consegue obter uma articulação perfeita, sem atrito. As articulações são formadas por chapas rebitadas ou soldadas, que podem ser consideradas praticamente rígidas. 2. Devido ao fato de não termos uma articulação perfeita aparecerá momento fletor e força cortante, porém este estudo não é parte do nosso curso. 3. Também o peso próprio da barra provoca flexão na mesma, só que é desprezível por ser muito pequeno. O peso da barra vai aplicado nos nós. 44.. TTRREELLIIÇÇAASS IISSOOSSTTÁÁTTIICCAASS EE HHIIPPEERREESSTTÁÁTTIICCAASS Dados os valores das forças P1, P2, P3 e P4, se conseguirmos determinar, pelas equações da estática, os valores de R1 e R2 e os esforços nas barras, ela é isostática. Se determinarmos somente as reações de apoio ela é dita internamente hiperestática A B P/2 P/2 P1 P2 R1 P3 R2 P4 Estruturas em Treliça 3 (as incógnitas são as forças normais). Quando nem as reações se determinam ela é dita externamente hiperestática. As incógnitas a se determinarem são: As reações de apoio HA, VA e VB, chamadas de vínculos representados pela letra V. Esforços normais nas barras representados pela letra b. Logo o número de incógnitas é (b + V). Portanto, para cada nó da estrutura nós temos duas equações, logo se a estrutura possuir N nós, teremos 2N equações. Portanto, para uma treliça ser isostática, devemos ter b V 2N Treliça hiperestática b + V > 2N. O grau de hiperestaticidade de uma treliça é dado pela equação: g = (b + V) – 2N Se g = 0 a treliça é isostática. Exemplos: HA P2 A VB B VA P N1 N2 N3 x x y y N P 0 N P 0 Estruturas em Treliça 4 v = 3, b = 11, N = 7 v = 3, b = 9 b + v = 14 2N = 14 N = 6 b + v = 12 2N = 12 Isostática Isostática v = 4, b = 13, N = 8 v = 3, b = 14, N = 8 b + v = 17 2N = 16 b + v = 17, 2N = 16 Hiperestática (g = 1) Hiperestática (g = 1) Incógnita: uma das reações de Incógnita: esforço de uma das apoio – externamente barras- internamente hiperestática. hiperestática. 55 –– TTRREELLIIÇÇAASS SSIIMMPPLLEESS Geralmente quase todas as treliças são formadas a partir de um triângulo inicial. Para cada novo nó introduzido, basta acrescentar duas barras não colineares. Se o número de vínculos relativos às treliças acima mencionadas forem iguais a 3, as treliças serão sempre isostáticas b + 3 = 2N Observações: 1. A treliça hiperestática com 3 vínculos, conforme desenho acima, tem uma barra a mais, logo não entra nesta classificação. Estruturas em Treliça 5 66.. PPRROOCCEESSSSOOSS DDEE RREESSOOLLUUÇÇÃÃOO 66..11 –– PPrroocceessssoo ddooss NNóóss Seja o nó C, da treliça ABCDEF. Nele concorrem as barras conforme a figura abaixo: Conforme já dissemos, cada nó apresenta duas equações e, se admitirmos que todas as barras estejam tracionadas, teremos: Nó C: 1 1 3 2 4 1 1 3 2 2 H 0 P cos N cos N 0 V 0 P sen N sen N 0 Genericamente, teremos: Ncos H (componente horizontal de P1) = 0 Nsen V (componente vertical de P1) = 0 As componentes verticais em função do seno. As componentes horizontais em função do cosseno. Os valores de H e V podem ser positivos ou negativos, se as forças forem de tração e compressão, respectivamente. Convenção: H e V 66..22 –– CCaassooss ddee SSiimmpplliiffiiccaaççããoo Para carregamentos particulares pode acontecer que uma treliça possua barra C D E 4 5 2 3 1 A 6 7 9 8 F B P1 N2 N3 N4 P1 C 2 1 + + Estruturas em Treliça 6 ou barras não solicitada(s), ou então solicitadas pela mesma força normal. Em muitos casos a identificação destas barras é imediata, simplificando bastante o cálculo da treliça. Seja a treliça abaixo: Nó A duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N1 = N4 = 0 as barras não estão solicitadas. Nó C duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N5 = 0 N2 = N6 Nó B duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N17 = -P3 (compressão). N16 = 0 Nó D duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N10 = N14 N13 = 0 Nó E duas barras não coaxiais sem forças externas aplicadas. N8 = N12 N9 = - P2 (compressão). A E2 4 8 1 3 2 5 7 9 6 C B P1 12 16 11 10 13 15 17 14 D P2 P3 Estruturas em Treliça 7 66..33 –– PPrroocceessssooss ddooss CCooeeffiicciieenntteess ddee FFoorrççaa Esse processo é análogo ao dos nós, mas leva muito mais vantagens se houver muitas barras com inclinações diferentes, principalmente se os comprimentos dessas barras forem obtidos por simplesmedição num esquema da estrutura. Vamos supor uma barra AB qualquer de comprimento l de projeções h e v (horizontal e vertical, respectivamente). Da figura, tiramos: v h sen e cos , sendo l l o ângulo que a barra AB faz com a horizontal. Voltando ao processo dos nós, onde tínhamos: N cos H 0 , substituímos os valores do cos e sen , ficando: N sen V 0 h N H 0 l v N V 0 l onde N, h, v e l em cada parcela das somatórias, referem-se a uma mesma barra. O coeficiente de forças de uma barra é obtido da relação: N t l , que substituindo nas equações acima nos dá: th H 0 tv V 0 Através das equações acima, determinamos os valores de t correspondentes às A B h v l horizontal Estruturas em Treliça 8 diversas barras da estrutura. Em seguida, obtemos as forças normais, multiplicando- se os valores de t pelos comprimentos das respectivas barras. Exercício: Resolver a treliça dada nos exemplos anteriores pelo processo dos coeficientes de força. Nó Equação Barra t (tf/m) l (m) N (tf) A V 3,97 + 3t1 = 0 1 -1,32 3 -3,96 H 5,2 + 4t2 = 0 2 -1,3 4 -5,2 B V -3t1 - 3t3 = 0 3 1,32 5 6,6 H 4t4 + 4t3 = 0 4 -1,32 4 -5,28 C V -2-3t5 - 3t7 = 0 5 -1,32 3 -3,96 H -4t4 + 4t7 + 4t8 = 0 6 0,02 4 0,08 D V +3t3 + 3t5 = 0 7 0,65 5 3,25 H -4t2 - 4t3 + 4t6 = 0 8 -1,97 4 -7,88 E V -4 - 3t9 - 3t11 = 0 9 -0,65 3 -1,95 H -4t8 + 4t12 + 4t11 = 0 10 0,68 4 2,72 F V 3t9 + 3t7 = 0 11 -0,68 5 -3,4 H -4t7 - 4t6 + 4t10 = 0 12 -1,29 4 -5,16 G V -6cos60º - 3t13 = 0 13 -1 3 -3 H 66..44 –– PPrroocceessssoo ddaass SSeeççõõeess oouu ddee RRiitttteerr Como vimos no processo dos nós, admitimos cortadas todas as barras da treliça e consideramos sucessivamente as condições de equilíbrio (H = 0 e V = 0) relativas a todos os nós, um a um. Esse processo é utilizado quando se deseja determinar as forças normais em todas as barras. B E 4 8 1 3 2 5 7 9 6 D A 2tf 12 16 11 10 13 3 m HA=5,2 tf H F 30º C G 4tf 6tf 4 m VB=5,03 tf 4 m 4 m VA=3,97 tf Estruturas em Treliça 9 No processo das seções temos condições de obter a força normal em apenas algumas barras ou somente em uma única. Neste caso, estabelecemos as condições de equilíbrio do reticulado que resulta, quando aplicamos os cortes naquelas barras cujas forças normais procuramos. Este processo permite, com sucesso, a resolução de diversos casos de treliças simples e compostas (associação de uma ou mais treliças que não podem ser obtidas seguindo-se a lei da formação das treliças simples) tornando-se, entretanto, impraticável no caso das treliças complexas. Ao partirmos a barra CE a treliça se transforma em dois reticulados geométricos indeformáveis e interligados pela articulação F. Logo os momentos relativos a quaisquer forças de um lado ou de outro lado dos reticulados devem ser nulos. Tomando, por exemplo, a parte situada à esquerda de F, temos: 3NCE 2x 4 3,97x8 0 3NCE 23,76 NCE 7,92 tf Calcular a força normal na barra CF diagonal: B E D A 2tf 3 m 5,2 tf H F 30º C G 4tf 6tf 4 m 5,03 tf 4 m 4 m 3,97 tf B E D A 2tf 3 m 5,2 tf H F 30º C G 4tf 6tf 4 m 5,03 tf 4 m 4 m 3,97 tf NCE NCE Banzo sup. B E 2tf 30º C G 4tf 6tf Estruturas em Treliça 10 Nestas condições os dois reticulados estão ligados por duas barras biarticuladas paralelas CE e DF, incapazes de impedir o deslocamento na direção vertical. Desta forma, para não acontecer movimento relativo das partes, fazemos V 0 . Relativo a um ou outro reticulado. Tomando o reticulado da esquerda, temos: V 0 3,97 2 NCFsen 0 1,97 1,97 0,6NCF NCF 3,28 tf 0,6 Os reticulados estão interligados por duas retas paralelas BC e DF. Também neste caso os reticulados são incapazes de impedir o deslocamento na direção vertical. Logo temos que fazer V 0. Vamos pega os reticulado da esquerda, logo teremos: 3 m B E D A 2tf 5,2 tf H F 30º C G 4tf 6tf 4 m 5,03 tf 4 m 4 m 3,97 tf NCD NCD Estruturas em Treliça 11 O da esquerda: V 0 3,97 NCD 0 NCD 3,97tf. O da direita: 2 NCD 4 5,03 6 x0,5 0 9 5,03 NCD NCD 3,97 tf. Exercício: Dado o sistema reticulado abaixo, pede-se: Calcular as reações de apoio. Calcular os esforços normais em todas as barras. Obs: Utilizar duas casas decimais. AH 0 H 3 3 0 AH 6KN A B A BV 0 V V 2 2 2 0 V V 6KN AV 6,8KN A B BM 0 5V 3x5 2x3 2x7 3x3 0 5V 4KN BV 0,8KN cos sen 0,71 3 cos 0,83 3,61 sen 0,55 2 cos 0,55 3,61 3 sen 0,83 3,61 Nó E + + + 3 m 2 m 5 7 6 90 90 90 90 3 4 1 A D 3 KN B C E 2 KN 3 KN 2 KN 2 KN 3 m 2 m 2 m HA = 6 KN VA = 6,8 KN VB = -0,8 KN + Estruturas em Treliça 12 6 7 6 6H 0 3 N N x0,55 0 3 2,41x0,55 N N 1,67KN 7 7V 0 2 N x0,83 0 N 2 /0,83 2,41KN Nó D 2 2H 0 3 N x0,83 0 N 3/0,83 3,61KN 1 1V 0 2 N 3,61x0,55 0 N 3,99KN Nó A 1 3 3 3V 0 6,8 N N x0,71 0 6,8 3,99 N x0,71 N 3,96KN 3 4 4H 0 6 N x0,71 N N 3,19KN Nó B 5 7V 0 0,8 N x0,83 N x0,83 0 5 50,8 2,41x0,83 N x0,83 N 2,8 /0,83 3,37KN cos 0,6 sen 0,8 cos sen 0,71 2 KN 3 KN N6 N7 3 KN + 2 KN N2 N1 90 N4 6 KN N3 N1 90 6,8 KN N4 6 KN N7 N5 90 -0,8 KN 90 90 10 kn 6 kn 2 1 90 A HA = -5,14 KN 4 m Estruturas em Treliça 13 5 cos 0,86 5,83 3 sen 0,51 5,83 A BH 0 2 8 H H 0 A B BH H 10KN H 15,14KN BV 0 V 4 6 0 BV 10,00KNBB M 0 V 4x9 8x3 6 x 4 A7H 0 AH 5,14KN Nó A 2H 0 N x0,71 5,14 2N 7,24KN 1 2V 0 N N x0,71 0 1N 5,14KN Nó C 4V 0 N x0,51 4 4N 7,84KN 5H 0 2 7,84x0,86 N 5N 8,75KN Nó B 1 3 3V 0 N N x0,6 10 0 5,14 10 N x0,6 3N 8,1KN Prova: 3 3H 0 15,14 8,75 N x0,8 6,39 N x0,8 3N 7,99KN + + 90 N2 N1 90 -5,14 KN N4 2 KN 4 KN N5 + + N5 N3 15,14 KN N1 10 KN 90 A B D 2 VA = 6,75 KN VB = 3,25 KN 5 3 KN HB = 10 KN 3 m 3 7 90 90 90 90 90 1 6 Estruturas em Treliça 14 NÓS EQUAÇÕES BAR RAS N (KN) A H 2 1 2N N cos 0 N 8,13x0,55 2 -4,47 V 1 16,75 N sen 0 N 6,75 /0,83 1 8,13 C H 4 44 8,13x0,55 3,87x0,71 N 0 N 3,22 4 3,22 V 1 3N sen N cos 4 3 38,13x0,83 N x0,71 4 N 2,75 /0,71 3 -3,87 B H 5 7 N 10 N x0,71 0 5 5N 10 3,25 0 N 6,75 5 -6,75 V 7 73,25 N x0,71 0 N 3,25 /0,71 7 4,58 E H 4 6 7N N xcos N cos 6 0 6 63,22 4,58x0,71 6 N x0,89 N 0,47 /0,89 6 -0,53 V H 2 3 cos 0,55;sen 0,83 3,61 3,61 sen cos 0,71 cos sen 0,71 V 6 3 cos 0,89 sen 0,45 6,71 6,71 2 3 cos 0,55 sen 0,83 sen cos 0,71 3,61 3,61 6 3 cos 0,89 sen 0,45 cos sen 0,71 6,71 3,61 N1 N2 6,75 KN 90 N1 N4 4 KN 90 N3 4 KN N7 10 KN 6,75 90 N5 N6 6 KN N4 90 3 KN N7 1 KN B 1 KN D 1 KN F 1 KN H 2 KN 2 m 1 KN J A 6,4 90 Estruturas em Treliça 15 H 0 AH 5 KN A JV 0 V V 4KN AV 2,07KN A M 0 1x2 1x 4 1x9 1x12 2x2 2x2 J14V JV 1,93KN NDE DEV 0 N 1 2,07 0 DEN 1,07KN (Ret. a esq.) NDG DG DGV 0 N x0,63 1 1 2,07 0 0,63N 0,07 DGN 0,11KN (Ret. a esq.) NEG EGD M 0 1x2 2,07x 4 5x2 N x 4 0 EGN 0,93KN (Ret. a esq.) NFH FHI M 0 N x 4 2x 4 1,93x2 1x2 0 FHN 3,47KN (Ret. a dir.) + 1 KN 2 KN 3 m 2 m HB=4KN K I G E C A VA=2,69KN 2 KN Estruturas em Treliça 16 BH 0 2 2 H 0 BH 4 KN A BV 0 V V 5KN AV 5 2,31 2,69KN A M 0 2x3 1x1,5 1x 1,5 B1x5,5 1x7,5 1x12,5 2x3 4x5 V x14,5 0 B14,5V 33,5KN BV 2,31KN NIK IK IKL M 0 3N 2x3 2,31x2 4x1 0 3N 2,62KN IKN 0,87KN (Ret. a dir.) NFH FHE M 0 N x3 1x3 2,69x1,5 0 FHN 0,35KN (Ret. a esq.) NGJ GJ GJV 0 1 N x0,83 1 2,31 0 N 0,31 /0,83 0,37KN GIN 0,37KN (Ret. a dir.) 2 3 cos 0,55 sen 0,83 3,61 3,61 NIJ IJ IJV 0 N 1 2,31 0 N 1,31KN IJN 1,31KN (Ret. a dir.) + 6 t 6 t 6 t HC VC C B D 5 3 4 2 m Estruturas em Treliça 17 5 sen 5 2 5 cos 5 2 5 sen 5 5 cos 5 Reações de Apoio A C A C C C A A V 0 V V 12t V 12t H 0 H 12t V 0 M 0 V x6 6x6 6x6 0 V 12t Equilíbrio dos Nós Nó A A 1 2 2 V 0 V N N sen 0 H 0 6 N cos 0 Nó B 1 3 5 3 V 0 6 N N sen45º 0 H 0 6 N N cos45º 0 Nó C C 4 C 5 4 V 0 V 6 N sen 0 H 0 H N N cos 0 1 2 N 0 N 6 5t 3 4 5 N 6 2 t N 6 5 t N 0 D E F 6 7 8 5 m P1=500kg P2=1500kg Estruturas em Treliça 18 Nó Equação A V A 1V 5T 0 H 5 T2 = 0 B V VB + 5T3 + 10T4 + 10T5 = 0 H -HB – 5T2 – 5T3 – 5T4 = 0 C V -5T1 – 5T3 + 5T7 + 5T9 =0 H - 12T9 + 5T3 = 0 D V -P2 – 10T5 = 0 H -5T6 = 0 E V -5T7 – 10T4 = 0 H -12T8 + 5TA + 5T6 = 0 F V -P1 – 5T9 = 0 H 12T8 + 12T9 = 0 Exercício: Reações VA 1700 VB 300 HB 0 T L Normal 1 -340 5 -1700 2 0 5 0 3 -240 7,07 -1697 4 240 11,18 2683 5 -150 10 -1500 6 0 5 0 7 -480 5 -2400 8 100 12 1200 9 -100 13 -1300 2t E 5 4 3t 1,5 m Estruturas em Treliça 19 Nó Equação B V 91 N 0 H 1 2N N 0 E V 9 5 42 N N sen N sen 0 H 5 4N cos N cos 0 F V 5 7 63 N sen N sen N 0 H 5 7N cos N cos 0 D V 4 8N sen N sen 3 0 H A 85 N cos N cos 0 C V C 3 7V N N sen 0 H 2 7N N cos 0 A V A 6 8V N N sen 0 H A 1 8H N N cos 0 1. Calcular as forças normais nas barras da treliça: 3t 5t 2t D 7 E 6 Estruturas em Treliça 20 2. a) Verificar se a treliça é isostática. b) Calcular a força normal em todas as barras da treliça, utilizar o processo dos nós ou o processo dos coeficientes de força. 3. Dada a treliça, determinar as reações de apoio e a força normal nas barras: 1000 kgf A B 1 2 3 C 500 kgf 4 D 5 6 7 E 8 4 m 9 F 2 m 3 m 3 m 5 m 3 m 3t 2t C D Estruturas em Treliça 21 4. Determinar as forças normais da treliça abaixo (qualquer método): 5. Dada a treliça abaixo, pede-se verificar se a mesma é isostática, suas reações de apoio e as forças normais em todas as suas barras. NÓS EQUAÇÕES N (EM KN) 6 m 4 m 3 m 3 m 7 m A E B C D F 5 t 2 t 4 m A B 4 3 1 2 C D 7 3 m 8 6 5 3 m E F 3 m 11 12 10 92 KN G 13 2,54 KN 4 KN 60º Estruturas em Treliça 22 A H V B H V C H V D H V E H V F H V G H V H H V
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