Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP1 – Me´todos Determin´ısticos II – 12/09/2015 Questa˜o 1: (2,0pts) Se f(x) = √ x e g(x) = √ 2− x, encontre as expresso˜es de cada uma das func¸o˜es e seus dom´ınios: a) f ◦ g; b) g ◦ f ; c) f ◦ f ; d) g ◦ g. Soluc¸a˜o: (cada item vale 0,5pt: Sendo 0,3pt pela expressa˜o e 0,2pt pela calculo correto do dom´ınio) a) Iniciemos calculando a expressa˜o de (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(√2− x) = √√ 2− x = 4√2− x. Para calcular o dom´ınio desta expressa˜o, veja que: 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Logo o dom´ınio sa˜o x ∈ R : x ≤ 2. b) (g ◦ f)(x) = g(√x) = √ 2−√x. A expressa˜o esta bem definida desde que x ≥ 0, para podermos avaliar √x e 2−√x ≥ 0⇔ x ≤ 4, e dom´ınio sa˜o todos os x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 4. (f ◦ f)(x) = f(√x) = √√ x = 4 √ x. Logo, x ∈ R : x ≥ 0. (g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(√2− x) = √ 2− (√2− x) A expressa˜o esta bem definida se: 2− x ≥ 0, isto e´, x ≤ 2 e 2− (√2− x) ≥ 0⇔ 2 ≥ √2− x⇔ 4 ≥ 2− x⇔ x ≥ −2. Da´ı que o dom´ınio e´ x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 2. Questa˜o 2: (2,0pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x+ 2 e g(x) = x2 − 4 se x ≤ −2 x se |x| < 2 4− x2 se x ≥ 2 . Determine: a) Determine (g ◦ f) (−4); b) A lei de definic¸a˜o de g ◦ f . Soluc¸a˜o: (o item a) vale 0,8pts e o b) 1,2pt) a) iniciemos por observar que f(−4) = −2, logo g(f(−4)) = g(−2) = 0. Usamos a primeira regra de g. Alunos que calcularam g(f(−4)) = −4 depois g(f(−4)) = 0 e ainda que g(f(−4)) = 4 zerei este item, pois o aluno na˜o entendeu o conceito fundamental envolvido. b) Inicie por observar que f(x) = x + 2 ≤ −2 ⇔ x ≤ −4 e que f(x) = x + 2 ≥ 2 ⇔ x ≥ 0, da´ı temos g(f(x)) = (x+ 2)2 − 4 se x ≤ −4 x+ 2 se −4 < x < 0 4− (x+ 2)2 se x ≥ 0 = x2 + 2x se x ≤ −4 x+ 2 se −4 < x < 0 −x2 − 2x se x ≥ 0 Alunos que acertaram a regra, mas na˜o alteraram o dom´ınio da composta dei 0,6pt, isto e´, a metade do que valia este item. Questa˜o 3: (3,0pts) Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2 a) Se g(x) = x+1 2x+1 . Encontre a expressa˜o de g−1. b) Resolva a seguinte equac¸a˜o e5−3x = 10. c) Encontre os valores de x ∈ R que satisfazem a equac¸a˜o ln(x) + ln(1− x) = 1. Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) Chamando x de y e isolando o y temos x = y + 1 2y + 1 ⇒ 2yx+ x = y + 1⇒ 2yx− y = 1− x⇒ y = 1− x 2x− 1 . Portanto, g−1(x) = 1−x 2x−1 . b) Resolvendo temos e5−3x = 10⇒ 5− 3x = ln 10⇒ 3x = 5− ln 10⇒ x = 5− ln 10 3 . c) Inicialmente observe que ln(x) + ln(1− x) = 1⇒ ln(x− x2) = 1⇒ x− x2 = e⇒ x2 − x+ e = 0 Resolvendo a equac¸a˜o de grau 2 obtemos: x = 1 2 ( 1±√1− 4e) . Observe que 1− 4e < 0 e portanto, a na˜o existe x ∈ R que satisfac¸a esta questa˜o. So´ fui alertado de que o gabarito estava errado, agora no pedido de revisa˜o de uma aluna. Enta˜o na˜o vou diminuir a nota de ningue´m so´ vou aumentar a nota daqueles alunos que acertaram a questa˜o, mas como eu estava com o gabarito incorreto havia zerado. Questa˜o 4 (3,0pts) Calcule os seguintes limites: a) lim t→−3 t2 − 9 2t2 + 7t+ 3 b) lim h→0 (2 + h)3 − 8 h c) lim x→∞ 3x2 − x− 2 5x2 + 4x+ 1 Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) a) Inicialmente veja que t2− 9 = (t+3)(t− 3) e que ao dividirmos 2t2 + 7t+ 3 por t+ 3 obtemos 2t+ 1. lim x→−3 t2 − 9 2t2 + 7t+ 3 = lim x→−3 (t− 3)(t+ 3) (2t+ 1)(t+ 3) = lim x→−3 t− 3 2t+ 1 = 6 5 . b) Observe que (2 + h)3 = 8 + 12h+ 6h2 + h3 e lim h→0 (2 + h)3 − 8 h = lim h→0 12h+ 6h2 + h3 h = lim h→0 12 + 6h+ h2 = 12. c) lim x→∞ 3x2 − x− 2 5x2 + 4x+ 1 = lim x→∞ x2 x2 3− 1 x − 2 x2 5 + 4 x + 1 x = lim x→∞ 3− 1 x − 2 x2 5 + 4 x + 1 x = 3 5 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar