funcao composta

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Função composta 
 
Função composta é uma função obtida compondo uma função com consigo ou com 
outras funções, usando a definição. 
 
Apresentação de uma função composta: 
Se f(x) e g(x), duas funções distintas. 
Chamamos de f(g(x)) ou fog(x) a composição de f em g e g(f(x)) ou gof(x), a função 
composta de g em f. 
 
Montagem de uma função composta. 
Usando a definição: 
Se f(x) = 2x – 1 e g(x) = 1- x² 
 
Se fosse f(1), substituiríamos x por 1 e obtínhamos 
F(1) = 2.1-1 
F(1) = 1 
 
Da mesma forma, se fosse f(-3) = 2.(-3)-1= -7; f(a) = 2.a - 1 e assim, basta substituir o 
x pelo valor desejado. 
Se é f(g(x)), funciona do mesmo jeito. 
F(g(x)) = 2g(x) -1, como g(x) = 1-x², basta substituir 
F(g(x)) = 2(1-x²) – 1 
F(g(x)) = 2 – 2x² -1 
F(g(x)) = 1-2x² 
 
Talvez você estranhe se não escrever f(1-x²), mas isso não é necessário, uma vez que a 
pergunta é f(g(x)). 
 
G(f(x)) = 1- (f(x))² 
G(f(x)) = 1 – (2x -1)² 
G(f(x)) = 1 – (4x² - 2.2x.1 + 1) 
 
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G(f(x)) = 1- 4x² + 4x – 1 
G(f(x)) = - 4x² + 4x 
 
 
Regra para obter 
A função composta: 
Use a definição, trocando o x da função externa pela 
função externa. 
f(x) = 2x – 1 e g(x) = 1- x² 
determine f(g(x)) : 
função interna: g(x); 
função externa: f(x) 
f(g(x)) = 2(g(x)) -1 
f(g(x)) = 2(1-x²) -1 
f(g(x)) = 2 – 2x² -1 
f(g(x)) = 1-2x² 
 
Ex1: Dado f(x) = 2x – 1 e g(x) = 1- x², determine: 
a)fof(x) 
Fof(x) = 2(2x-1) -1 
Fof(x) = 2x -2 -2 
Fof(x) = 2x -4 
*** não esquecer que f(f(x)) é mesmo que fof(x) 
 
b) gof(-2) 
Resolução: 
Calcular f(-2): 
F(-2) = 2.-2 -1 = -5 
Gof(-2) = g(3) = 1 – (-5)² = -24 
 
Ex2. dado f(x) = -x + 3 e g(x) = x² -1, calcule x, tal que f(g(x)) = 0 
F(g(x)) = -(x²-1) + 3 
0 = -x² +1 +3 
X² = 4 
X = -2 ou x = +2 
 
Ex3. Se f(x) = 3x + 4 e g(x) = 2x + 2k, calcule o valor de x, para que se tenha 
 fog(x) = gof(x). 
f(g(x)) = 3(g)x + 4 e g(f(x)) = 2(f(x)) + 2k 
como 
fog(x) = gof(x) 
3(g)x + 4 = 2(f(x)) + 2k 
3(2x + 2k) + 4 = 2(3x + 4) + 2k 
6x + 6k + 4 = 6x + 8 + 2k 
6x + 6k - 6x - 2k = 8 – 4 
 
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4k = 4 
K = 1 
 
Tem-se a composta e não tenho a 
função interna... Use a definição: 
Troque x da função externa por g(x) e 
resolva a igualdade, isolando g(x) 
 
Como assim? 
 
Ex4: Seja f(x) = 3x + 5 e f(g(x)) = 6x – 13 
 
Resolução: 
Fg(x)) = 3(g(x)) + 5 
6x – 13 = 3(g(x)) + 5 
6x – 13 – 5 = 3(g(x)) 
6x -18 = 3(g(x))(dividindo todos os termos por 3): 
G(x) =3x -6 
 
Tem-se a composta e não tenho a 
função externa... 
Use o princípio da igualdade, observe o 
tipo de função que será a função 
procurada. 
 
 
Não entendi... 
 
Ex5: 
Seja f(x) = 3x + 5 e g(f(x)) = 3x + 3, determine g(x). 
 
Resolução: 
Como g(f(x)) = 3x + 3 é uma função de 1º grau, g(x), obrigatoriamente é do tipo ax + b 
g(f(x)) = a(f(x)) +b = 3x + 3 
 a(3x + 5) + b = 3x + 3 
 3ax + 5 + b = 3x + 3 
Pela igualdade de termos semelhantes: 
3ax = 3x → a = 1 
5 +b = 3 → b = -2 
G(x) = 1x -2 
 
Exercícios: 
1. Sejam f e g funções reais tais que f(x) = 3x +1 e g(x) = x-2, determine: 
a) f(g(5)) 
b) g(f(-1) 
c) f(g(x)) 
d) calcule x, tal que g(f(x)) = -2 
2. (FGV-SP) Se f e g são tais que f(x) = 3x -1 e f(g(x)) = x, determine g(x). 
 
3. Sendo f(x) = 2x² e g(x) = x + 1, calcule f(g(2)) e g(f(2)). 
 
 
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4. Dada as funções f(x) = 2x -1 e f(g(x)) = 6x+ 11, determine g(x) 
5. Dada as funções f(x) = x+1 e f(g(x)) = 6x²-2x , determine g(x) 
 
 
 
6. Se 3x)x(f = e 4x)x(g = , mostre que .goffog = 
 
7. Sejam 1−= x)x(f e 352 2 +−= xx)x(g ,. Determine os domínios das funções 
.goffog e 
 
8. Considere as funções: 
baxxg
xxf
+=
+=
)(
32)(
 
 Determine o conjunto C dos pontos 2R∈)b,a( tais que .goffog = 
 
9. Dadas as funções mx)x(f += 2 e 2+= ax)x(g , qual a relação que a e m devem 
satisfazer para que se tenha )x)(gof()x)(fog( = ? 
 
10. Sejam as funções reais 53 −= x)x(f e 32 −= x)x(fog . Determine a lei da função g. 
 
 11. Sejam as funções reais 23 −= x)x(g e 139 2 +−= xx)x(fog . Determine a lei da 
função f 
 
Respostas: 1ª) 10; 1b) -4; 1c) 3x-5 d) -1/3 
2) g(x) = (x + 1)/3 
3) 18 e 9, respectivamente 
4) g(x) = 3x + 4 
5) g(x) = 6x²-2x-1 
6) use os conceitos da função composta e equacione. 
7) ID = { }61/ ≥−≤∈ ouxxIRx 
8) b = 3(a-1) 
9) use o mesmo raciocínio do 6 e 8 
10) (x² + 2)/3 
11) f(x) = x² + 3x + 3