4ª Lista - Funções Trigonométricas

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Quarta lista de exerc´ıcios de Ca´lculo I
Eng. Metalu´rgica - PUC Minas
Profa Daiane C. Soares
Func¸o˜es Trigonome´tricas:
1. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es especificando domı´nio e imagem e per´ıodo:
(a) y = −sen(x) (b) y = sen
(x
2
)
(c) y = |sen(x)| (d) y = sen
(
x− pi
2
)
(e) y = sen2(x)
2. Determine os valores reais de m, para que se verifiquem as igualdades abaixo:
(a) sen2(x) = m2 − 1
(b) sen(x) = 2 + 4m
(c) sen(x) = m2 − 3m+ 1
(d) sec(x) = m+ 2, com 0 < x <
pi
2
(e) cossec(x) = m− 1
3. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es especificando domı´nio e imagem e per´ıodo:
(a) y = 2 · cos(x) (b) y = cos
(
x+
pi
2
)
(c) y = |cos(x)| (d) y = 2 + cos(x)
(e) y = cos2(x) (f) y = − cos(x)
4. Qual o valor ma´ximo da expressa˜o y = 5− 2 · cos(x), quando x varia em R?
5. Determine o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a) y = tg
(
x+
pi
4
)
(b) y = tg(3x)
(c) y = tg
(x
2
)
6. Determinar os valores de α, sabendo que 0 6 α 6 2pi, α 6= pi
2
,α 6= 3pi
2
, para os quais
a func¸a˜o f : R → R, dada por f(x) = 2x2 − x + tg(α), assume seu valor mı´nimo
igual a −9
8
.
7. Dados sen(x) = −
√
2
2
e cos(x) =
√
2
2
determinar o valor de cotg(x) e identificar o
quadrante em que se situa o arco de x.
8. Sendo f(x) =
1
2
· cossec(3x), calcule:
(a) f
(pi
2
)
(b) f
(
−pi
9
)
1
9. Sabendo que tg(x) =
5
12
e que
pi
2
< x < pi, calcular o valor de cos(x).
10. Sabendo que sen(x) = −
√
3
2
e que pi < x <
3pi
2
, calcular o valor de cos(x).
11. Sabendo que sen(x) =
3
5
e sabendo que x esta´ no segundo quadrante , determinar
cos(x), tg(x), cotg(x), sec(x) e cossec(x).
12. Determine os valores de m de modo que as igualdades sen(x) =
1
m
e cos(x) =√
1 +m
m
se verifiquem simultaneamente.
13. Sabe-se que sen(x) = a 6= 0 e que cos(x) = b 6= 0. Determine o valor de tg(x) +
cotg(x).
14. Mostre que
cos(x)
sec(x)
= 1− sen(x)
cossec(x)
15. Quando Pedrinho comprou sua bicicleta, o pneu era bem borrachudo e tinha 35 cm
de raio. Nessa e´poca, para ir de sua casa a` escola, o pneu girava 365 vezes. Depois
de muito uso, o pneu ficou “careca”, tendo perdido 0, 5 cm de sua casca. Quantas
vezes a roda da bicicleta devera´ girar para fazer o mesmo trajeto, agora com pneu
“careca”? (Usar pi = 3, 14).
16. Na figura abaixo, vemos dois roletes circulares. Quando o rolete maior gira, o atrito
faz com que o menor gire tambe´m. Considerando que os raios dos roletes medem
45 cm e 25 cm, responda:
(a) Quantas voltas completas dara´ o pequeno, se o grande der 68 voltas?
(b) Quantas voltas completas dara´ o grande, se o pequeno fez 1251 voltas?
17. A distaˆncia de uma pessoa de uma a´rvore e´ de 45 m. Essa pessoa tem 1, 80 m
de altura e o aˆngulo de elevac¸a˜o segundo o qual ela veˆ o topo da a´rvore e´ de 45o.
Determine a altura aproximada dessa a´rvore.
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18. Um helico´ptero e um carro de pol´ıcia perseguem um carro de bandidos. O he-
lico´ptero esta´ a 250 m de altura; o carro da pol´ıcia esta´ bem abaixo do helico´ptero.
Do helico´ptero o carro dos bandidos e´ avistado segundo um aˆngulo de 60o. Qual a
distaˆncia entre o carro da pol´ıcia e o dos bandidos?
19. Um foguete e´ lanc¸ado a 200m/s, segundo um aˆngulo de inclinac¸a˜o de 60o. Deter-
minar a altura do foguete apo´s 4s, supondo a trajeto´ria retil´ınea e a velocidade
constante. Fazer o desenho da situac¸a˜o.
20. Num triaˆngulo retaˆngulo, um aˆngulo agudo mede a metade do outro. O menor
cateto mede 25 m. Determine a medida dos outros lados do triaˆngulo.
21. Um avia˜o esta´ a 500 m de altura, quando dele se veˆ a cabeceira da pista de pouso
segundo um aˆngulo de declive de 30o. A que distaˆncia o avia˜o esta´ da cabeceira da
pista?
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