John MacQuarrie- GAAL

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Aula 5
Equac¸o˜es de Retas e Planos
Planos
O espac¸o e´ cheio de planos.
Exemplo. O plano horizontal de “altitude”2 e´ o conjunto dos pontos (x, y, z)
tais que
0x+ 0y + z − 2 = 0.
Como especificar um plano no espac¸o?
Pegue um vetor na˜o nulo N e um ponto P0 = (x0, y0, z0). O conjunto de
todos os pontos P (incluindo P0) tais que
−−→
P0P e´ perpendicular ao vetor N e´ um
plano.
Este plano se chama o plano perpendicular a N que passa por P0.
O vetor N e´ um vetor normal ao plano (= perpendicular ao plano).
Exemplo. O vetor N = (0, 0, 1) e´ normal ao plano do exemplo anterior e o
ponto P0 = (1, 1, 2) pertence ao plano. Logo este plano e´ o plano perpendicular
a N que passa por P0 = (1, 1, 2).
Proposic¸a˜o. A equac¸a˜o geral de um plano pi perpendicular a N = (a, b, c) que
passa por P0 = (x0, y0, z0) e´
ax+ by + cz + d = 0,
onde d = −(ax0 + by0 + cz0).
Demonstrac¸a˜o. Sabemos que o vetor
−−→
P0P (P um ponto) e´ perpendicular a N
⇐⇒ N · −−→P0P = 0.
Seja P = (x, y, z). Enta˜o
−−→
P0P = (x− x0, y − y0, z − z0).
O ponto P pertence a pi ⇐⇒ N · −−→P0P = 0
⇐⇒ (a, b, c) · (x− x0, y − y0, z − z0) = 0
⇐⇒ ax− ax0 + by − by0 + cz − cz0 = 0
⇐⇒ ax+ by + cz − (ax0 + by0 + cz0) = 0.
Este ca´lculo demonstra o resultado.
Exemplo. Encontre a equac¸a˜o geral do plano pi que passa pelos pontos
P0 = (1, 0, 0), P1 = (0, 1, 0), P2 = (0,−1, 1).
R: Observe que estes pontos especificam um plano, pois eles na˜o sa˜o colineares.
Vamos achar um vetor N normal ao plano pi. Os vetores
−−−→
P0P1,
−−−→
P0P2 sa˜o
paralelos a pi, logo N =
−−−→
P0P1 × −−−→P0P2 e´ perpendicular a pi (pela definic¸a˜o do
produto vetorial). −−−→
P0P1 = (−1, 1, 0)
1
−−−→
P0P2 = (−1,−1, 1),
logo
N = (−1, 1, 0)× (−1,−1, 1)
= (1, 1, 2).
O plano pi e´ o plano perpendicular a N = (1, 1, 2) que passa por P0 = (1, 0, 0)
(ou P1, ou P2). Pela proposic¸a˜o, pi tem a forma
1x+ 1y + 2z + d = 0,
onde
d = −(1 · 1 + 1 · 0 + 2 · 0) = −1.
Logo a equac¸a˜o geral de pi e´
x+ y + 2z − 1 = 0.
Equac¸o˜es Parame´tricas
Sejam u, v dois vetores paralelos ao plano pi, mas na˜o paralelos entre si.
Considere as representantes de u, v com pontos iniciais um ponto P0 ∈ pi.
Observe que toda combinac¸a˜o linear su + tv (s, t ∈ R) e´ paralelo a pi: para
ver isso, seja N um vetor perpendicular a pi. Enta˜o
(su+ tv) ·N = su ·N + tv ·N (propriedades do produto escalar)
= 0 + 0
= 0.
Noutra direc¸a˜o, para qualquer ponto P ∈ pi, o vetor −−→P0P e´ combinac¸a˜o linear
de u, v (deixamos a demonstrac¸a˜o – vamos estudar combinac¸o˜es lineares mais
em frente).
Sejam
P0 = (x0, y0, z0)
P = (x, y, z)
u = (u1, u2, u3)
v = (v1, v2, v3).
2
Se P for combinac¸a˜o linear de u, v enta˜o vamos ter
−−→
P0P = su+ tv (alguns s, t ∈ R)
=⇒ (x− x0, y − y0, z − z0) = (su1 + tv1, su2 + tv2, su3 + tv3).
Logo, o ponto P = (x, y, z) pertence a pi se, e so´ se, existem s, t ∈ R com
x = x0 + su1 + tv1
y = y0 + su2 + tv2
z = z0 + su3 + tv3.
Estas equac¸o˜es sa˜o equac¸o˜es parame´tricas do plano.
Exemplo. Encontre equac¸o˜es parame´tricas do plano pi que passa pelos pontos
P0 = (1, 0, 0), P1 = (0, 1, 0), P2 = (0,−1, 1).
R: Precisamos de dois vetores paralelos a pi (mas na˜o paralelos entre si) e um
ponto (qualquer) de pi.
Vetores :
−−−→
P0P1 =(−1, 1, 0)
−−−→
P0P2 =(−1,−1, 1)
Ponto : (0, 1, 0)
As equac¸o˜es correspondentes sa˜o
x = − s − t
y = 1 + s − t
z = t
Logo os pontos do plano teˆm a forma
(−s− t, 1 + s− t, t) (s, t ∈ R).
Obtemos outros pontos do plano pi por escolher valores de s, t arbitraria-
mente. Por exemplo
s = −1, t = 0 =⇒ P = (1− 0, 1− 1− 0, 0)
= (1, 0, 0) (= P0)
s = −1, t = 1 =⇒ P = (1− 1, 1− 1− 1, 1)
= (0,−1, 1) (= P2)
s = 2, t = 3 =⇒ P = (−2− 3, 1 + 2− 3, 3)
= (−5, 0, 3).
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Retas
Seja r uma reta no espac¸o paralelo ao vetor v = (a, b, c) e passando pelo ponto
P0 = (x0, y0, z0).
O ponto P = (x, y, z) pertence a r se, e so´ se,
−−→
P0P e´ mu´ltiplo escalar de v.
Ou seja, se −−→
P0P = tv (algum t ∈ R).
Em termos dos componentes:
(x− x0, y − y0, z − z0) = (ta, tb, tc).
Segue que o conjunto dos pontos de r e´ o conjunto dos pontos (x, y, z) que
satisfazem 
x = x0 + ta
y = y0 + tb , t ∈ R.
z = z0 + tc
Estas equac¸o˜es sa˜o equac¸o˜es parame´tricas da reta r.
Um vetor na˜o nulo v paralelo a r se chama um vetor diretor da reta r.
OBSERVAC¸AˆO: podemos pensar na varia´vel t sendo “tempo”. Uma part´ıcula
esta´ mudando ao longo nossa reta r. O ponto
P = (x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc)
e´ a posic¸a˜o dela no momento t.
Exemplo. Ache equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por P0 = (−3, 2, 7) e
e´ paralelo ao vetor v = (1, 2,−3). Ache a intersec¸a˜o da reta com o plano xz.
R: Diretamente da definic¸a˜o, obtemos equac¸o˜es
x = −3 + t
y = 2 + 2t , t ∈ R.
z = 7− 3t
O plano xz tem equac¸a˜o y = 0. Queremos achar o valor de t correspondente.
Temos
y = 2 + 2t,
logo quando y = 0,
0 = 2 + 2t =⇒ t = −1.
Das outras equac¸o˜es, quando t = −1 obtemos
x = −3 + t = −3− 1 = −4,
z = 7− 3t = 7 + 3 = 10.
Logo a intersec¸a˜o procurada e´ o ponto (−4, 0, 10).
4
Quando os componentes a, b, c do vetor diretor v sa˜o todos na˜o nulos (ou
seja, v na˜o e´ paralelo aos planos xy, xz, yz) podemos reescrever as equac¸o˜es
parame´tricas de r para isolar t:
x = x0 + ta t =
x− x0
a
y = y0 + tb ! t =
y − y0
b
z = z0 + tc t =
z − z0
c
.
Obtemos as equac¸o˜es na forma sime´trica de r:
x− x0
a
=
y − y0
b
=
z − z0
c
Exemplo. A forma sime´trica das equac¸o˜es do exemplo anterior e´
x+ 3 =
y − 2
2
=
z − 7
−3
Exemplo. Sejam r1, r2 as retas
r1 :

x = −1 + 2t
y = 1 + t , t ∈ R
z = 0
r2 :

x = 2 + s
y = 4 + 2s , s ∈ R.
z = 3
Ache a equac¸a˜o parame´trica da reta r3 que intercepta as retas r1, r2 e e´ perpen-
dicular a`s duas.
R: Pontos Pr1 , Pr2 nas retas r1, r2 teˆm as formas
Pr1 = (−1 + 2t, 1 + t, 0)
Pr2 = (2 + s, 4 + 2s, 3).
O vetor ligando eles e´
−−−−→
Pr1Pr2 = (3 + s− 2t, 3 + 2s− t, 3).
Queremos achar s, t tais que
−−−−→
Pr1Pr2 e´ perpendicular aos vetores diretores
v1 = (2, 1, 0)
v2 = (1, 2, 0).
Logo, queremos resolver simultaneamente{−−−−→
Pr1Pr2 · v1 = 9 + 4s− 5t = 0
−−−−→
Pr1Pr2 · v2 = 9 + 5s− 4t = 0.
A soluc¸a˜o e´ s = −1, t = 1.
5
Temos enta˜o que
Pr1 = (1, 2, 0), Pr2 = (1, 2, 3)
e nosso vetor diretor e´
v3 =
−−−−→
Pr1Pr2 = (0, 0, 3).
Obtemos enta˜o que
r3 :

x = 1
y = 2 , t ∈ R.
z = 3t
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