Roteiro de Estudos - O plano no espaço ✨ GA

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by êmepe ✨
O plano noO plano no
espaçoespaço
- ROTEIRO DE ESTUDOS -
todo dia me perguntando
onde
fuimemeter
Equação geral do planoEquação geral do plano
✨Considere que exista um plano π, e nele exista pontos A= (x0,
y0, z0) e o ponto P = (x, y, z), além disso, a um vetor normal n
= (a, b, c) que corta o plano transversalmente (faz um ângulo
de 90º com π). Por isso, cada reta contida no plano é ortogonal
ao vetor normal. Então. seguindo o raciocínio, se eu montar
um vetor AP, ele vai ser ortogonal com o vetor normal, ou seja,
(AP • n) = 0.
qualquer vetor paralelo ao vetor normal, também é um vetor
normal ao plano (tipo, existe infinitos vetores normais)
para encontrar pontos do plano, basta atribuir valores à x, y, z
que satisfação a equação.
✨OBSERVAÇÕES:
✨Ao desmontar a equação, ou seja, escrever do mesmo jeito
mas para cada componente (x, y, z) do ponto P, é possível então
escrever esse plano de forma paramétrica: 
Equações paramétricas do planoEquações paramétricas do plano
✨Imagine um plano π, que seja paralelo aos vetores u = (u1, u2,
u3) e v = (v1, v2, v3), agora imagine que esses vetores tenham
origem comum no ponto A = (x0, y0, z0). Agora pense que
existe um ponto P = (x, y, z) que pertence ao plano. Isso
significa que há um jeito de escrever AP por meio dos vetores
u e v.
✨é chamada de 
 paramétrica, já que β
e α, são parâmetros, e
os vetores u e v são os
diretores
✨observação: lembre que a a reta normal ao plano é equivalente ao produto
vetorial dos vetores diretores, basicamente : n = (u ⨉ v)
Posições relativas entre planosPosições relativas entre planos
✨Falar de posições relativas entre planos é a mesma coisa que
falar "o que esses planos são entre si?", por exemplo, os planos
podem ser paralelos ou transversais. Para saber isso sobre o
plano é necessário analisar como seus vetores normais
interagem. 
Posições relativasPosições relativas
✨Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores
normais precisam ser paralelos entre si:
pa
ralelos:
pa
ralelos:
Paralelos coincidentes
com π1 = π2
Paralelos distintos
com planos não iguais
✨Planos que se encontram, mas não são idênticos,
(planos com vetores normais que se cortam):tr
an
sversais:
tra
nsversais:
ângulo entre dois planosângulo entre dois planos
planos com ângulo de 0º são paralelos
planos com ângulo de 90º são ortogonais e (n1* n2 ) = 0
✨Para encontrar o ângulo entre planos, é a mesma ideia do
ângulo entre vetores.
OBS.:
Posições relativas entrePosições relativas entre
uma reta e um planouma reta e um plano
✨Para que uma reta e um plano sejam paralelos, o
vetor normal do plano e o vetor diretor da reta
precisam ser ortogonais entre si:(v * n2 ) = 0
pa
ralelos:
pa
ralelos:
com a reta contida no
plano
com a reta
estritamente paralela
✨Para achar o ponto P que intersecta o plano, é necessário
pegar a equação geral do plano (π : ax + by + cz + d = 0),
substituir o x, y e z pelas equações paramétricas da reta
(aquela coisa que tem um grande chave '{' e coloca 'x = x0 + λa')
A partir da substituição: terá uma gigante equação com λ como
variável, descobre o valor de λ e a volta para a as equações
paramétricas da reta, dai descobre x, y e z ▶ o ponto P ◀
✨Neste caso, a reta r intersecta o plano π em um único
ponto:
tra
nsversais:
tra
nsversais:
projeção de um ponto sobreprojeção de um ponto sobre
um planoum plano
✨imagine que existe um plano π e um ponto B = (x, y, z), para
saber qual seria o ponto equivalente/projetado no plano , é
importante ter umas coisas em mente, a menor distância é uma
reta com um ângulo de 90º com o plano, ou seja, uma reta que
tenha como vetor diretor, o vetor normal do plano, então basta
pensar que o ponto projetado é o ponto de intersecção de uma
reta com vetor diretor = vetor normal que passa pelo ponto B:
primeiramente encontra a equação vetorial da reta
descobrir o ponto de intersecção da reta com o plano, que
na imagem é o ponto B*
descobrir o segmento de reta BB*
dobrar esse segmento de reta de tamanho e descobrir BB'
saber que BB' = B' - B, e fazer BB' + B = B', assim é uma
maneira de achar esse ponto.
✨Percebe-se que o ponto B* na imagem é o ponto médio, então
se tem o vetor BB*, o vetor BB' vai ser o dobro do tamanho,
ordem de coisas para descobrir para achar B':
Simétrico de um pontoSimétrico de um ponto
em relação a um planoem relação a um plano
✨Um ponto simétrico em relação a um ponto é basicamente um
ponto que está do outro lado do plano comparado a outro
ponto: 
Semi-espaços determinadosSemi-espaços determinados
por um planopor um plano
✨Pensa que tem o plano, um ponto pode estar em relação a
esse plano de 3 formas diferentes, "em cima" (no semi-espaço),
pode estar dentro do plano, e pode estar "embaixo" (fora do
semi-espaço).
✨aqui está uma imagem para referência:
se o vetor PQ e o vetor normal tiverem um ângulo agudo
então ▶ o ponto vai estar no semi-espaço
se o vetor PQ e o vetor normal tiverem um ângulo reto
então ▶ o ponto vai estar no plano
se o vetor PQ e o vetor normal tiverem um ângulo obtuso
então ▶ o ponto não vai estar no semi-espaço
✨é possível perceber que é relativo ao vetor normal a parte de
estar dentro ou não do semi-espaço do plano.
MAS COMO SABER:
Pensa que o ponto de origem do vetor normal é o P, e que o
ponto que quer saber aonde está é o ponto Q: