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Sumário a) 𝑦′′ + 2𝑦′ − 3𝑦 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 2𝜆𝑒𝜆𝑡 − 3𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 2𝜆 − 3 = 0 𝜆2 + 2𝜆 − 3 = 0 Raízes da equação 𝜆2 + 2𝜆 − 3 = 0 → 𝜆2 + ณ2 𝑆 𝜆 − ณ3 𝑃 = 0 → 𝜆 + 3 𝜆 − 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 −3𝑡 + 𝑘2𝑒 𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 b) 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 3𝜆𝑒𝜆𝑡 + 2𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0 𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0 Raízes da equação 𝜆2 + 3𝜆 + 2 = 0 → 𝜆2 + ณ3 𝑆 𝜆 + ณ2 𝑃 = 0 → 𝜆 + 2 𝜆 + 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 −2𝑡 + 𝑘2𝑒 −𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 c) 6𝑦′′ − 𝑦′ − 𝑦 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 6𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 − 𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 6𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0 6𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0 Raízes da equação 6𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0 → 𝑥 = 1 ± −12 + 4 6 2 6 → 𝜆 + 1 2 𝜆 − 1 3 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 − 1 2𝑡 + 𝑘2𝑒 1 3𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 d) 2𝑦′′ − 3𝑦′ + 𝑦 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 2𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 3𝜆𝑒𝜆𝑡 + 𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0 2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0 Raízes da equação 2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0 → 𝑥 = 3 ± −32 − 4 2 2 2 → 𝜆 − 1 𝜆 − 1 2 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝑡 + 𝑘2𝑒 1 2𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 e) 𝑦′′ + 5𝑦′ = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 5𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 5𝜆 = 0 𝜆2 + 5𝜆 = 0 Raízes da equação 𝜆2 + 5𝜆 = 0 → 𝜆 𝜆 + 5 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 −5𝑡 + 𝑘2 Passo 1 Passo 2 Passo 3 f) 4𝑦′′ − 9𝑦′ = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 4𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 9𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 4𝜆2 − 9𝜆 = 0 4𝜆2 − 9𝜆 = 0 Raízes da equação 4𝜆2 − 9𝜆 = 0 → 𝜆 4𝜆 − 9 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 9 4𝑡 + 𝑘2 Passo 1 Passo 2 Passo 3 g) 𝑦′′ − 9𝑦′ + 9𝑦 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 9𝜆𝑒𝜆𝑡 − 9𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 9𝜆 − 9 = 0 𝜆2 − 9𝜆 − 9 = 0 Raízes da equação 𝜆2 − 9𝜆 − 9 = 0 → 𝑥 = 9 ± −92 + 4 9 2 → 𝜆 + 9 + 3 13 2 𝜆 + 9 − 3 13 2 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 9−3 13 2 𝑡 + 𝑘2𝑒 9+3 13 2 𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 h) 𝑦′′ − 2𝑦′ − 2𝑦 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 2𝜆𝑒𝜆𝑡 − 2𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 2𝜆 − 2 = 0 𝜆2 − 2𝜆 − 2 = 0 Raízes da equação 𝜆2 − 2𝜆 − 2 = 0 → 𝑥 = 2 ± −22 + 4 2 2 → 𝜆 − 1 − 3 𝜆 − 1 + 3 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 1+ 3 𝑡 + 𝑘2𝑒 1− 3 𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Sumário a) 𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1 , 𝑦′ 0 = 1 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 − 2𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0 𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0 Raízes da equação 𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0 → 𝜆2 − ณ1 𝑆 𝜆 − ณ2 𝑃 = 0 → 𝜆 + 1 𝜆 − 2 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 −𝑡 + 𝑘2𝑒 2𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 0 = 1 𝑦′ 0 = 1 𝑦 = 𝑘1𝑒 −𝑡 + 𝑘2𝑒 2𝑡 → 𝑦′ = −𝑘1𝑒 −𝑡 + 2𝑘2𝑒 2𝑡 1 = 𝑘1 + 𝑘2 → 1 = −𝑘1 + 2𝑘2 Sistema ቊ 𝑘1 + 𝑘2 = 1 −𝑘1 + 2𝑘2 = 1 → 𝑘1 = 1 3 𝑘2 = 2 3 Solução particular 𝑦 = 1 3 𝑒−𝑡 + 2 3 𝑒2𝑡 Passo 4 Passo 5 Passo 6 b) 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 0, 𝑦 0 = 2 , 𝑦′ 0 = −1 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 4𝑒𝜆𝑡 + 3𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 4𝜆 + 3 = 0 𝜆2 + 4𝜆 + 3 = 0 Raízes da equação 𝜆2 + 4𝜆 + 3 = 0 → 𝜆2 + ณ4 𝑆 𝜆 + ณ3 𝑃 = 0 → 𝜆 + 1 𝜆 + 3 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 −𝑡 + 𝑘2𝑒 −3𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 0 = 2 𝑦′ 0 = −1 𝑦 = 𝑘1𝑒 −𝑡 + 𝑘2𝑒 −3𝑡 → 𝑦′ = −𝑘1𝑒 −𝑡 − 3𝑘2𝑒 −3𝑡 2 = 𝑘1 + 𝑘2 → 1 = 𝑘1 + 3𝑘2 (−1) Sistema ቊ 𝑘1 + 𝑘2 = 2 𝑘1 + 3𝑘2 = 1 → 𝑘1 = − 1 2 𝑘2 = 5 2 Solução particular 𝑦 = − 1 2 𝑒−𝑡 + 5 2 𝑒−3𝑡 Passo 4 Passo 5 Passo 6 c) 6𝑦′′ − 5𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 4 , 𝑦′ 0 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 6𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 5𝑒𝜆𝑡 + 𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 6𝜆2 − 5𝜆 + 1 = 0 6𝜆2 − 5𝜆 + 1 = 0 Raízes da equação 6𝜆2 − 5𝜆 + 1 = 0 → 𝑥 = 5 ± −52 − 4 6 2 6 → 𝜆 − 1 2 𝜆 − 1 3 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 1 2𝑡 + 𝑘2𝑒 1 3𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 0 = 4 𝑦′ 0 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 1 2𝑡 + 𝑘2𝑒 1 3𝑡 → 𝑦′ = 1 2 𝑘1𝑒 1 2𝑡 + 1 3 𝑘2𝑒 1 3𝑡 4 = 𝑘1 + 𝑘2 → 0 = 1 2 𝑘1 + 1 3 𝑘2 Sistema ቐ 𝑘1 + 𝑘2 = 4 1 2 𝑘1 + 1 3 𝑘2 = 0 → 𝑘1 = −8 𝑘2 = 12 Solução particular 𝑦 = −8𝑒− 1 2𝑡 + 12𝑒 1 3𝑡 Passo 4 Passo 5 Passo 6 d) 𝑦′′ + 3𝑦′ = 0, 𝑦 0 = −2 , 𝑦′ 0 = 3 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 3𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 3𝜆 = 0 𝜆2 + 3𝜆 = 0 Raízes da equação 𝜆2 + 3𝜆 = 0 → 𝜆 𝜆 + 3 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 −3𝑡 + 𝑘2 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 0 = −2 𝑦′ 0 = 3 𝑦 = 𝑘1𝑒 −3𝑡 + 𝑘2 → 𝑦 ′ = −3𝑘1𝑒 −3𝑡 −2 = 𝑘1 + 𝑘2 → 3 = −3𝑘1 Sistema ቊ 𝑘1 + 𝑘2 = −2 −3𝑘1 = 3 → 𝑘1 = −1|𝑘2 = −1 Solução particular 𝑦 = −𝑒−3𝑡 − 1 Passo 4 Passo 5 Passo 6 e) 𝑦′′ + 5𝑦′ + 3𝑦 = 0, 𝑦 0 = 1 , 𝑦′ 0 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 5𝑒𝜆𝑡 + 3𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 5𝜆 + 3 = 0 𝜆2 + 5𝜆 + 3 = 0 Raízes da equação 𝜆2 + 5𝜆 + 3 = 0 → 𝑥 = −5 ± 52 − 4 3 2 → 𝜆 + 5 + 13 2 𝜆 + 5 − 13 2 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 −5− 13 2 𝑡 + 𝑘2𝑒 −5+ 13 2 𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 0 = 1 𝑦′ 0 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 −5− 13 2 𝑡 + 𝑘2𝑒 −5+ 13 2 𝑡 → 𝑦 = −5 − 13 2 𝑘1𝑒 −5− 13 2 𝑡 + −5 + 13 2 𝑘2𝑒 −5+ 13 2 𝑡 1 = 𝑘1 + 𝑘2 → 0 = −5 − 13 2 𝑘1 + −5 + 13 2 𝑘2 Sistema ൞ 𝑘1 + 𝑘2 = 1 −5 − 13 2 𝑘1 + −5 + 13 2 𝑘2 = 0 → 𝑘1 = 13 − 5 13 26 𝑘2 = 13 + 5 13 26 Solução particular 𝑦 = 13 − 5 13 26 𝑒 −5− 13 2 𝑡 + 13 + 5 13 26 𝑒 −5+ 13 2 𝑡 Você pode trabalhar com números decimais sem problema, mas com arredondamentos e o tamanho dos números, o resultado se torna incerto. Passo 4 Passo 5 Passo 6 f) 2𝑦′′ + 𝑦′ − 4𝑦 = 0, 𝑦 0 = 0 , 𝑦′ 0 = 1 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 2𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 𝑒𝜆𝑡 − 4𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 2𝜆2 + 𝜆 − 4 = 0 2𝜆2 + 𝜆 − 4 = 0 Raízes da equação 2𝜆2 + 𝜆 − 4 = 0 → 𝑥 = −1 ± 12 + 4 2 (4) 4 → 𝜆 + 1 − 33 4 𝜆 + 1 + 33 4 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 −1+ 33 4 𝑡 + 𝑘2𝑒 − 1+ 33 4 𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 0 = 0 𝑦′ 0 = 1 𝑦 = 𝑘1𝑒 −1+ 33 4 𝑡 + 𝑘2𝑒 − 1+ 33 4 𝑡 → 𝑦 = −1 + 33 4 𝑘1𝑒 −1+ 33 4 𝑡 − 1 + 33 4 𝑘2 𝑒 − 1+ 33 4 𝑡 0 = 𝑘1 + 𝑘2 → 1 = −1 + 33 4 𝑘1 − 1 + 33 4 𝑘2Sistema ൞ 𝑘1 + 𝑘2 = 0 −1 + 33 4 𝑘1 − 1 + 33 4 𝑘2 = 1 → 𝑘1 = 2 33 33 𝑘2 = − 2 33 33 Solução particular 𝑦 = 2 33 33 𝑒 −1+ 33 4 𝑡 − 2 33 33 𝑒− 1+ 33 4 𝑡 Passo 4 Passo 5 Passo 6 g) 𝑦′′ + 8𝑦′ − 9𝑦 = 0, 𝑦 1 = 1 , 𝑦′ 1 = 0 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 8𝑒𝜆𝑡 − 9𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 + 8𝜆 − 9 = 0 𝜆2 + 8𝜆 − 9 = 0 Raízes da equação 𝜆2 + 8𝜆 − 9 = 0 → 𝑥 = −8 ± 82 + 4 9 2 → 𝜆 − 1 𝜆 + 9 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝑡 + 𝑘2𝑒 −9𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 1 = 1 𝑦′ 1 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝑡 + 𝑘2𝑒 −9𝑡 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝑡 − 9𝑘2𝑒 −9𝑡 1 = 𝑘1𝑒 + 𝑘2𝑒 −9 → 0 = 𝑘1𝑒 − 9𝑘2𝑒 −9 Sistema ൝ 𝑒𝑘1 + 𝑒 −9𝑘2 = 1 𝑒𝑘1 − 9𝑒 −9𝑘2 = 0 → 𝑘1 = 9 8𝑒 |𝑘2 = − 𝑒9 8 Solução particular 𝑦 = 9 8𝑒 𝑒𝑡 − 𝑒9 8 𝑒−9𝑡 → 𝑦 = 9 8 𝑒𝑡−1 − 1 8 𝑒9 1−𝑡 Passo 4 Passo 5 Passo 6 h) 4𝑦′′ − 𝑦′ = 0, 𝑦 −2 = 1 , 𝑦′ −2 = −1 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 4𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 4𝜆2 − 𝜆 = 0 4𝜆2 − 𝜆 = 0 Raízes da equação 4𝜆2 − 𝜆 = 0 → 𝜆 4𝜆 − 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 1 4𝑡 + 𝑘2 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 −2 = 1 𝑦′ −2 = −1 𝑦 = 𝑘1𝑒 1 4𝑡 + 𝑘2 → 𝑦 ′ = 1 4 𝑘1𝑒 1 4𝑡 1 = 𝑘1𝑒 − 1 2 + 𝑘2 → −1 = 1 4 𝑘1𝑒 − 1 2 Sistema 𝑘1𝑒 − 1 2 + 𝑘2 = 1 1 4 𝑘1𝑒 − 1 2 = −1 → 𝑘1 = −4𝑒 1 2|𝑘2 = 5 Solução particular 𝑦 = −4𝑒 3 4𝑡 + 5 Passo 4 Passo 5 Passo 6 Sumário 𝑦 = 𝑘1𝑒 2𝑡 + 𝑘2𝑒 −3𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑘1𝑒 2𝑡 + 𝑘2𝑒 −3𝑡 → 𝜆 − 2 𝜆 + 3 = 0 → 𝜆2 + 𝜆 − 6 = 0 EDO 𝜆2 + 𝜆 − 6 = 0 → 𝑦′′ + 𝑦′ − 6𝑦 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 − 𝑡 2 + 𝑘2𝑒 −2𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑘1𝑒 − 1 2𝑡 + 𝑘2𝑒 −2𝑡 → 𝜆 + 1 2 𝜆 + 2 = 0 → 𝜆2 + 5 2 𝜆 + 1 = 0 EDO 𝜆2 + 5 2 𝜆 + 1 = 0 → 𝑦′′ + 5 2 𝑦′ + 𝑦 = 0 Passo 1 Passo 2 Passo 1 Passo 2 Sumário 𝑦′′ − 𝑦′ = 0 , 𝑦 0 = 5 4 𝑦′ 0 = − 3 4 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 𝜆 = 0 𝜆2 − 𝜆 = 0 Raízes da equação 𝜆2 − 𝜆 = 0 → 𝜆 𝜆 − 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝑡 + 𝑘2 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados 𝑦 0 = 5 4 𝑦′ 0 = − 3 4 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝑡 + 𝑘2 → 𝑦 ′ = 𝑘1𝑒 𝑡 5 4 = 𝑘1 + 𝑘2 → − 3 4 = 𝑘1 Sistema 𝑘1 = − 3 4 |𝑘2 = 2 Solução particular 𝑦 = − 3 4 𝑒𝑡 + 2 Passo 4 Passo 5 Passo 6 Ponto máximo Vamos desenhar o gráfico positivo desta solução, para isso necessitamos do ponto quando 𝑦 = 0 e 𝑡 = 0. − 3 4 𝑒𝑡 + 2 = 0 → 𝑒𝑡 = 8 3 → 𝑡 = ln 8 3 = 1 𝑦 = − 3 4 𝑒0 + 2 → 𝑦 = − 3 4 + 2 = 5 4 Com esse pontos temos um gráfico inicial. Passo 7 Lembra-te do gráfico de uma função exponencial? Bom o problema é que ela segue ao infinito. Mas com as configurações dessa equação conseguimos travar um “limite”nos valores positivos, logo o valor máximo encontrado será positivo, pois o valor negativo é infinito. Agora veja que o maior ponto positivo possível é aquele a qual está em cima do eixo 𝑦, que é o valor que encontramos quando y = 0, logo o ponto máximo positivo é 1. Eu destaco que minhas respostas serão sempre fracionais, pois elas são as melhores e mais corretas, este é o meu conselho. Valor máximo 𝑦 = − 3 4 𝑒1 + 2 = −0,04 Valor máximo não significa que ele deve ser positivo Cuidado com a diferença entre ponto máximo e valor máximo Passo 8 Sumário 2𝑦′′ − 3𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦 0 = 2 , 𝑦′ 0 = 1 2 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 2𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 3𝑒𝜆𝑡 + 𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0 2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0 Raízes da equação 2𝜆2 − 3𝜆 + 1 = 0 → 𝑥 = 3 ± −32 − 4 2 4 → 𝜆 − 1 𝜆 − 1 2 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝑡 + 𝑘2𝑒 1 2𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ൞ 𝑦 0 = 2 𝑦′ 0 = 1 2 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝑡 + 𝑘2𝑒 1 2𝑡 → 𝑦′ = 𝑘1𝑒 𝑡 + 1 2 𝑘2𝑒 1 2𝑡 2 = 𝑘1 + 𝑘2 → 1 2 = 𝑘1 + 1 2 𝑘2 Sistema ቐ 𝑘1 + 𝑘2 = 2 𝑘1 + 1 2 𝑘2 = 1 2 → 𝑘1 = −1|𝑘2 = 3 Solução particular 𝑦 = −𝑒𝑡 + 3𝑒 1 2𝑡 Passo 4 Passo 5 Passo 6 Valor máximo e ponto que a solução se anula Vamos desenhar o gráfico positivo desta solução, para isso necessitamos do ponto quando 𝑦 = 0 e 𝑡 = 0. −𝑒𝑡 + 3𝑒 1 2𝑡 = 0 → 𝑒𝑡 −1 + 3𝑒− 𝑡 2 = 0 → 𝑒− 𝑡 2 = 1 3 → − 𝑡 2 = ln 1 3 → 𝑡 = −2 ln 1 3 = 2,2 𝑦 = −𝑒0 + 3𝑒0 → 𝑦 = −1 + 3 = 2 MASSSS, aqui temos uma coisa muito importante que não deve ser despercebida, temos duas funções somadas aí. Isso quer dizer que a trajetória da função terá algumas curvas a mais em meio ao gráfico e isso pode se tornar um ponto máximo que esteja fora dos eixos. Para este caso usamos o método do Cálculo I, a análise por pontos críticos e concavidades. Passo 7 Ponto crítico (primeira derivada) −𝑒𝑡 + 3 2 𝑒 1 2𝑡 = 0 → 𝑒𝑡 −1 + 3 2 𝑒− 𝑡 2 = 0 → 𝑒− 𝑡 2 = 2 3 → − 𝑡 2 = ln 2 3 → 𝑡 = −2 ln 2 3 = 0,81 Temos um ponto crítico, basta analisar se o mesmo é máximo Usamos a segunda derivada (concavidade) para a análise e temos: 𝑓′′ 𝑡 > 0 , 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑓′′ 𝑡 < 0 , 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑓′′ 𝑡 = 0 , 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜 Veredito −𝑒0,81 + 3 4 𝑒 0,81 2 < 0 Eis que 0,81 é o ponto máximo Nota: esse é o ponto máximo positivo, o negativo é infinito. Passo 8 Passo 9 Valor máximo 𝑦 = −𝑒0,81 + 3𝑒 0,81 2 = 2,25 Valor máximo não significa que ele deve ser positivo Cuidado com a diferença entre ponto máximo e valor máximo Passo 10 Sumário 𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑦 0 = 𝛼 , 𝑦′ 0 = 2 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝑒𝜆𝑡 − 2𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0 𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0 Raízes da equação 𝜆2 − 𝜆 − 2 = 0 → 𝑥 = 1 ± −12 + 4 2 2 → 𝜆 − 2 𝜆 + 1 = 0 𝑦 = 𝑘1𝑒 2𝑡 + 𝑘2𝑒 −𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 0 = 𝛼 𝑦′ 0 = 2 𝑦 = 𝑘1𝑒 2𝑡 + 𝑘2𝑒 −𝑡 → 𝑦′ = 2𝑘1𝑒 2𝑡 − 𝑘2𝑒 −𝑡 𝛼 = 𝑘1 + 𝑘2 → 2 = 2𝑘1 − 𝑘2 Sistema ቊ 𝑘1 + 𝑘2 = 𝛼 2𝑘1 − 𝑘2 = 2 → 𝑘1 = 𝛼 + 2 3 |𝑘2 = 2𝛼 + 10 3 Solução particular 𝑦 = 𝛼 + 2 3 𝑒2𝑡 + 2𝛼 + 10 3 𝑒−𝑡 Valor de α 𝑦 = 0, 𝑡 → +∞ 𝛼 + 2 3 𝑒2𝑡 = 0 → 𝛼 + 2 3 = 0 → 𝛼 + 2 = 0 → 𝛼 = −2 Passo 4 Passo 5 Passo 6 Passo 7 Veja que se 𝑡 estiver negativo a função 𝑒 irá tender a zero. Sumário 4𝑦′′ − 𝑦′ = 0 , 𝑦 0 = 2 𝑦′ 0 = 𝛽 Solução geral 𝑦 = 𝑘1𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2𝑒 𝜆𝑡 Equação característica 𝑦 = 𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′ = 𝜆𝑒𝜆𝑡 → 𝑦′′ = 𝜆2𝑒𝜆𝑡 4𝜆2𝑒𝜆𝑡 − 𝜆𝑒𝜆𝑡 = 0 𝑒𝜆𝑡 4𝜆2 − 𝜆 = 0 4𝜆2 − 𝜆 = 0 Raízes da equação 4𝜆2 − 𝜆 = 0 → 𝜆 4𝜆 − 1 = 0 → 𝑦 = 𝑘1𝑒 1 4𝑡 + 𝑘2 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Aplicar dados ቊ 𝑦 0 = 2 𝑦′ 0 = 𝛽 𝑦 = 𝑘1𝑒 1 4𝑡 + 𝑘2 → 𝑦 ′ = 𝑘1𝑒 1 4𝑡 2 = 𝑘1 + 𝑘2 → 𝛽 = 𝑘1 Sistema 𝑘1 = 𝛽|𝑘2 = 2 − 𝛽 Solução particular 𝑦 = 𝛽𝑒 1 4𝑡 − 𝛽 + 2 Valor de β 𝑦 = 0, 𝑡 → +∞ 𝛽𝑒 1 4𝑡 − 𝛽 + 2 = 0 → 𝑒 1 4𝑡 = 𝛽 − 2 → 𝑒 1 4𝑡 = 𝛽 − 2 𝛽 →𝑒 1 4𝑡 = 1 − 2 𝛽 → − 2 𝛽 = 𝑒 1 4𝑡 − 1 2 𝛽 = 1 − 𝑒 1 4𝑡 → 𝛽 2 = 1 − 𝑒 1 4𝑡 → 𝛽 = 2 − 2𝑒 1 4𝑡 Passo 4 Passo 5 Passo 6 Passo 7 Quando 𝑡 estiver positivo a função 𝑒 irá tender ao infinito, então dependendo do valor 𝑡 teremos um valor para 𝛽, você não pode simplesmente substituir o +∞ por que você não pode trabalhar matematicamente com um número tendendo ao infinito. Sumário a) 𝑡2𝑦′′ + 2𝑡𝑦′ − 1 = 0 , 𝑡 > 0 Substituir e organizar 𝑡2𝑣′ + 2𝑡𝑣 − 1 = 0 → 𝑣′ + 2 𝑡 𝑣 = 1 𝑡2 Fator integrante 𝜇 𝑡 = 𝑒 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑡 =2 ln 𝑡 = 𝑒ln 𝑡 2 = 𝑡2 Multiplicar fator integrante 𝑡2𝑣′ + 2𝑡𝑣 = 1 Simplificar 𝑡2𝑣′ + 2𝑡𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑡2𝑣′ + 2𝑡𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑡2] 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝑡2 = 1 → 𝑣𝑡2 = න𝑑𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 𝑣 = 𝑦′ Solução geral 𝑣𝑡2 = 𝑡 + 𝑐 → 𝑣 = 1 𝑡 + 𝑐 𝑡2 Retornar valores 𝑣 = 𝑦′ → 𝑣′ = 𝑦′′ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 𝑡 + 𝑐 𝑡2 Integrar 𝑦 = න 𝑑𝑡 𝑡 + 𝑐න 𝑑𝑡 𝑡2 → 𝑦 = ln 𝑘𝑡 − 𝑐 𝑡 Passo 5 Passo 6 Passo 7 b) 𝑡𝑦′′ + 𝑦′ = 1 , 𝑡 > 0 Substituir e organizar 𝑡𝑣′ + 𝑣 = 1 → 𝑣′ + 1 𝑡 𝑣 = 1 𝑡 Fator integrante 𝜇 𝑡 = 𝑒 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑡 =ln 𝑡 = 𝑒ln 𝑡 = 𝑡 Multiplicar fator integrante 𝑡𝑣′ + 𝑣 = 1 Simplificar 𝑡𝑣′ + 𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑡𝑣′ + 1𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑡] 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝑡 = 1 → 𝑣𝑡 = න𝑑𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Solução geral 𝑣𝑡 = 𝑡 + 𝑐 → 𝑣 = 1 + 𝑐 𝑡 Retornar valores 𝑣 = 𝑦′ → 𝑣′ = 𝑦′′ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 1 + 𝑐 𝑡 Integrar 𝑦 = න𝑑𝑡 + 𝑐න 𝑑𝑡 𝑡 → 𝑦 = 𝑡 + 𝑐 ln 𝑘𝑡 Passo 5 Passo 6 Passo 7 c) 𝑦′′ − 𝑡 𝑦′ 2 = 0 Substituir e organizar 𝑣′ − 𝑡𝑣2 = 0 Bernoulli 𝑢 = 𝑣1−𝑛 = 𝑣−1 → 𝑢′ = −𝑣−2𝑣′ −𝑣−2𝑣′ + 𝑣−2𝑡𝑣2 = 0 𝑢′ + 𝑡 = 0 Integração 𝑢′ = −𝑡 → 𝑢 = − 𝑡2 2 𝑢 = 1 𝑣 → 𝑣 = 1 𝑢 → 𝑣 = − 2 𝑡2 𝑣 = 𝑦′ 𝑦′ = − 2 𝑡2 → 𝑦 = 2 𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 d) 2𝑡2𝑦′′ + 𝑦′ 3 = 2𝑡𝑦′ , 𝑡 > 0 Substituir e organizar 2𝑡2𝑣′ + 𝑣3 = 2𝑡𝑣 → 𝑣′ + 1 2𝑡2 𝑣3 − 1 𝑡 𝑣 = 0 Bernoulli 𝑢 = 𝑣1−𝑛 = 𝑣−2 → 𝑢′ = −2𝑣−3𝑣′ −2𝑣−3𝑣′ − 1 𝑡2 𝑣−3𝑣3 + 2 𝑡 𝑣−3𝑣 = 0 𝑢′ + 2 𝑡 𝑢 − 1 𝑡2 = 0 Fator integrante 𝜇 𝑡 = 𝑒 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =2 1 𝑡𝑑𝑡 =2 ln 𝑡 = 𝑡2 Multiplicar fator integrante 𝑡2𝑢′ + 2𝑡𝑢 = 1 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Simplificar 𝑡2𝑢′ + 2𝑡𝑢 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑡2𝑢′ + 2𝑡𝑢 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑢𝑡2] 𝑑 𝑑𝑡 𝑢𝑡2 = 1 → 𝑢𝑡2 = 𝑡 Solução geral 𝑢𝑡2 = 𝑡 → 𝑢 = 1 𝑡 Integração 𝑢 = 1 𝑣2 → 𝑣2 = 1 𝑢 → 𝑣2 = 𝑡 → 𝑣 = 𝑡 1 2 𝑣 = 𝑦′ 𝑦′ = 𝑡 1 2 → 𝑦 = 2𝑡 3 2 3 + 𝑐 Passo 5 Passo 6 Passo 7 e) 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑒−𝑡 Substituir e organizar 𝑣′ + 𝑣 = 𝑒−𝑡 Fator integrante 𝜇 𝑡 = 𝑒 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = 𝑡 = 𝑒𝑡 Multiplicar fator integrante 𝑒𝑡𝑣′ + 𝑒𝑡𝑣 = 1 Simplificar 𝑒𝑡𝑣′ + 𝑒𝑡𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑒𝑡𝑣′ + 𝑒𝑡𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑒𝑡] 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝑒𝑡 = 1 → 𝑣𝑒𝑡 = 𝑡 + 𝑐 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Solução geral 𝑣𝑒𝑡 = 𝑡 + 𝑐 → 𝑣 = 𝑒−𝑡𝑡 + 𝑒−𝑡𝑐 Retornar valores 𝑣 = 𝑦′ → 𝑣′ = 𝑦′′ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑒−𝑡𝑡 + 𝑒−𝑡𝑐 Integrar 𝑦 = න𝑒−𝑡𝑡𝑑𝑡 + 𝑐න𝑒−𝑡𝑑𝑡 → 𝑦 = −𝑡𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡𝑐 + 𝑘 𝑦 = −𝑒−𝑡 𝑡 + 1 + 𝑐 + 𝑘 Passo 5 Passo 6 Passo 7 f) 𝑡2𝑦′′ = 𝑦′ 2 , 𝑡 > 0 Substituir e organizar 𝑡2𝑣′ − 𝑣2 = 0 → 𝑣′ − 1 𝑡2 𝑣2 = 0 Bernoulli 𝑢 = 𝑣1−𝑛 = 𝑣−1 → 𝑢′ = −𝑣−2𝑣′ −𝑣−2𝑣′ + 𝑣−2 1 𝑡2 𝑣2 = 0 𝑢′ + 1 𝑡2 = 0 Integração 𝑢′ = − 1 𝑡2 → 𝑢 = 1 𝑡 𝑢 = 1 𝑣 → 𝑣 = 1 𝑢 → 𝑣 = 𝑡 𝑣 = 𝑦′ 𝑦′ = 𝑡 → 𝑦 = 𝑡2 2 + 𝑐 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Sumário a) 𝑦𝑦′′ + 𝑦′ 2 = 0 Substituir e organizar 𝑦𝑣′ + 𝑣2 = 0 → 𝑦 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣2 = 0 →÷ 𝑣 → 𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣 = 0 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 1 𝑦 𝑣 = 0 Fator integrante 𝜇 𝑦 = 𝑒 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 = 1 𝑦 =ln 𝑦 = 𝑒ln 𝑦 = 𝑦 Multiplicar fator integrante 𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣 = 0 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Simplificar 𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 1𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑦] 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝑦 = 0 → 𝑣𝑦 = න0𝑑𝑡 Retornar valores 𝑣𝑦 = 𝑐 → 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑦 = 𝑐 → 𝑦𝑑𝑦 = 𝑐𝑑𝑡 Integrar න𝑦𝑑𝑦 = 𝑐න𝑑𝑡 → 𝑦2 2 = 𝑐𝑡 + 𝑘 𝑦2 = 2 𝑐𝑡 + 𝑘 𝑦 = 2 𝑐𝑡 + 𝑘 Passo 4 Passo 5 Passo 6 b) 𝑦′′ + 𝑦′ = 0 Substituir e organizar 𝑣′ + 𝑣 = 0 → 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣 = 0 → ÷ 𝑣 → 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 1 = 0 Variáveis separáveis 𝑑𝑣 𝑑𝑦 = −1 → 𝑑𝑣 = −𝑑𝑦 → 𝑣 = −𝑦 Retornar valores 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = −𝑦 → − 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑡 → − ln𝑦 = 𝑡 → 𝑦 = 𝑒−𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 c) 𝑦′′ + 𝑦 𝑦′ 3 = 0 Substituir e organizar 𝑣′ + 𝑦𝑣3 = 0 → 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑦𝑣3 = 0 →÷ 𝑣 → 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑦𝑣2 = 0 Integração 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑦𝑣2 = 0 → 𝑑𝑣 𝑑𝑦 = −𝑦𝑣2 → 𝑑𝑣 −𝑣2 = 𝑦𝑑𝑦 → 1 𝑣 = 𝑦2 2 + 𝑐 𝑣 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑦2 2 + 𝑐 → 𝑑𝑡 = 𝑦2 2 + 𝑐 𝑑𝑦 → 𝑦3 6 + 𝑦𝑐 = 𝑡 + 𝑘 Passo 1 Passo 2 d) 2𝑦2𝑦′′ + 2𝑦 𝑦′ 2 = 1 Variação de parâmetro 2𝑦2𝑦′′ + 2𝑦 𝑦′ 2 = 0 Substituir e organizar 2𝑦2𝑣′ + 2𝑦𝑣2 = 0 → 2𝑦2 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 2𝑦𝑣2 = 0 → 2𝑦2 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 2𝑦𝑣 = 0 2𝑦2 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 2𝑦𝑣 = 0 → 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 1 𝑦 𝑣 = 0 Fator integrante 𝜇 𝑦 = 𝑒 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 = 1 𝑦 =ln 𝑦 = 𝑒ln 𝑦 = 𝑦 Multiplicar fator integrante 𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣 = 0 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Simplificar 𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 1𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑦] 𝑑 𝑑𝑦 𝑣𝑦 = 0 → 𝑣𝑦 = 𝑐 Valor de c 𝑐′ 𝑦 = 𝑞 𝑦 𝜇 𝑦 → 𝑐′ 𝑦 = 𝑦 → 𝑐 𝑦 = 𝑦2 2 𝑣𝑦 = 𝑦2 2 → 𝑣 = 𝑦 2 Retornar valores 𝑣 = 𝑦 2 → 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑦 2 → 𝑑𝑦 2 𝑦 = 𝑑𝑡 → 2ln 𝑦 = 𝑡 + 𝑘 𝑦2 = 𝑒𝑡𝑘 → 𝑦2 − 𝑒𝑡𝑘 = 0 Passo 4 Passo 5 Passo 6 e) 𝑦𝑦′′ − 𝑦′ 3 = 0 Substituir e organizar 𝑣′ − 1 𝑦 𝑣3 = 0 → 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 1 𝑦 𝑣3 = 0 →÷ 𝑣 → 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 1 𝑦 𝑣2 = 0 Integração 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 1 𝑦 𝑣2 = 0 → 𝑑𝑣 𝑑𝑦 = − 1 𝑦 𝑣2 → 𝑑𝑣 −𝑣2 = 𝑑𝑦 𝑦 → 1 𝑣 = ln𝑦 + 𝑐 𝑣 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = ln 𝑦 + 𝑐 → 𝑑𝑡 = ln 𝑦 + 𝑐 𝑑𝑦 → 𝑦 ln 𝑦 − 𝑦 + 𝑦𝑐 = 𝑡 + 𝑘 Passo 1 Passo 2 f) 𝑦′′ + 𝑦′ 2 = 2𝑒−𝑦 Variação de parâmetro 𝑦′′ + 𝑦′ 2 = 0 Substituir e organizar 𝑣′ + 𝑣2 = 0 → 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣2 = 0 → 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑣 = 0 Fator integrante 𝜇 𝑦 = 𝑒 𝑝 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 =𝑦 = 𝑒𝑦 Multiplicar fator integrante 𝑒𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑒𝑦𝑣 = 0 Simplificar 𝑒𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑒𝑦𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑒𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑦 + 𝑒𝑦𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑒𝑦] 𝑑 𝑑𝑦 𝑣𝑒𝑦 = 0 → 𝑣𝑒𝑦 = 𝑐 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Valor de c 𝑐′ 𝑦 = 𝑞 𝑦 𝜇 𝑦 → 𝑐′ 𝑦 = 2𝑒−𝑦𝑒𝑦 → 𝑐 𝑦 = 2𝑦 𝑣𝑦 = 2𝑦 → 𝑣 = 2 Retornar valores 𝑣 = 2 → 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 2 → 𝑑𝑦 1 2 = 𝑑𝑡 →1 2 𝑦 = 𝑡 + 𝑘 Passo 6 Passo 7 Sumário a) 𝑡2𝑦′ + 2𝑡𝑦 − 𝑦3 = 0 , 𝑡 > 0 Organizar 𝑦′ + 2 𝑡 𝑦 = 1 𝑡2 𝑦3 Substituição 𝑣 = 𝑦−2 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑣′ = −2𝑦−3𝑦′ Multiplicar polinômio −2𝑦−3𝑦′ − 2𝑦−3 2 𝑡 𝑦 = −2𝑦−3 1 𝑡2 𝑦3 𝑣′ − 4 𝑡 𝑣 = − 2 𝑡2 Fator integrante 𝜇 𝑡 = 𝑒 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = −4 1 𝑡 = −4 ln 𝑡 = ln 𝑡 −4 = 𝑒ln 𝑡 −4 = 𝑡−4 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Multiplicar fator integrante 𝑣′ − 4 𝑡 𝑣 = − 2 𝑡2 → 𝑡−4𝑣′ − 𝑡−4 4 𝑡 𝑣 = −𝑡−4 2 𝑡2 𝑡−4𝑣′ − 4𝑡−5𝑣 = −2𝑡−6 Simplificar 𝑡−4𝑣′ − 4𝑡−5𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑡−4𝑣′ + −4𝑡−5𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑡−4] 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝑡−4 = −2𝑡−6 → 𝑣𝑡−4 = න−2𝑡−6𝑑𝑡 Integrar න−2𝑡−6𝑑𝑡 → −2න𝑡−6𝑑𝑡 = − 2𝑡−5 −5 + 𝑐 = 2 5𝑡5 + 𝑐 Passo 5 Passo 6 Passo 7 Solução geral 𝑣𝑡−4 = 2 5𝑡5 + 𝑐 𝑣 = 2 5𝑡 + 𝑐𝑡4 = 2 + 5𝑐𝑡5 5𝑡 Retornar valores 𝑣 = 1 𝑦2 → 𝑦2 = 1 𝑣 𝑦2 = 5𝑡 2 + 𝑐𝑡5 → 𝑦 = 5𝑡 2 + 𝑐𝑡5 Passo 8 Passo 9 b) 𝑦′ − 𝑟𝑦 + 𝑘𝑦2 = 0 , 𝑟 > 0, 𝑘 > 0 Substituição 𝑣 = 𝑦−1 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑣′ = −𝑦−2𝑦′ Multiplicar polinômio −𝑦−2𝑦′ + 𝑦−2𝑟𝑦 = 𝑦−2𝑘𝑦2 𝑣′ + 𝑟𝑣 = 𝑘 Fator integrante 𝜇 𝑡 = 𝑒 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑟 𝑑𝑡 =𝑟𝑡 = 𝑒𝑟𝑡 Multiplicar fator integrante 𝑒𝑟𝑡𝑣′ + 𝑒𝑟𝑡𝑟𝑣 = 𝑒𝑟𝑡𝑘 Simplificar 𝑒𝑟𝑡𝑣′ + 𝑒𝑟𝑡𝑟𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑒𝑟𝑡𝑣′ + 𝑟𝑒𝑟𝑡𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑒𝑟𝑡] 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑡 = 𝑒𝑟𝑡𝑘 → 𝑣𝑒𝑟𝑡 = න𝑒𝑟𝑡𝑘 𝑑𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Integrar න𝑒𝑟𝑡𝑘 𝑑𝑡 → 𝑘න𝑒𝑟𝑡 𝑑𝑡 = 𝑘 𝑟 𝑒𝑟𝑡 + 𝑐 Solução geral 𝑣𝑒𝑟𝑡 = 𝑘 𝑟 𝑒𝑟𝑡 + 𝑐 → 𝑣 = 𝑘 𝑟 + 𝑐𝑒−𝑟𝑡 Retornar valores 𝑣 = 1 𝑦 → 𝑦 = 1 𝑣 𝑣 = 𝑘 𝑟 + 𝑐 𝑒𝑟𝑡 → 1 𝑦 = 𝑘 𝑟 + 𝑐 𝑒𝑟𝑡 = 𝑘𝑒𝑟𝑡 + 𝑐𝑟 𝑟𝑒𝑟𝑡 𝑦 = 𝑟𝑒𝑟𝑡 𝑘𝑒𝑟𝑡 + 𝑐𝑟 Passo 6 Passo 7 Passo 8 c) 𝑦′ = 𝜖𝑦 − 𝜎𝑦3 , 𝜖 > 0, 𝜎 > 0 Substituição 𝑣 = 𝑦−2 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑣′ = −𝑦−3𝑦′ Multiplicar polinômio −𝑦−3𝑦′ + 𝑦−3𝜖𝑦 = 𝑦−3𝜎𝑦3 𝑣′ + 𝜖𝑣 = 𝜎 Fator integrante 𝜇 𝑡 = 𝑒 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 =𝜖 𝑑𝑡 =𝜖𝑡 = 𝑒𝜖𝑡 Multiplicar fator integrante 𝑒𝜖𝑡𝑣′ + 𝑒𝜖𝑡𝜖𝑣 = 𝑒𝜖𝑡𝜎 Simplificar 𝑒𝜖𝑡𝑣′ + 𝑒𝜖𝑡𝜖𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 → 𝑒𝜖𝑡𝑣′ + 𝜖𝑒𝜖𝑡𝑣 𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 → 𝑑 𝑑𝑡 [𝑣𝑒𝜖𝑡] 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝑒𝜖𝑡 = 𝑒𝜖𝑡𝜎 → 𝑣𝑒𝜖𝑡 = න𝑒𝜖𝑡𝜎𝑑𝑡 Passo 1 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Integrar න𝑒𝜖𝑡𝜎𝑑𝑡 → 𝜎න𝑒𝜖𝑡 𝑑𝑡 = 𝜎 𝜖 𝑒𝜖𝑡 + 𝑐 Solução geral 𝑣𝑒𝜖𝑡 = 𝜎 𝜖 𝑒𝜖𝑡 + 𝑐 → 𝑣 = 𝜎 𝜖 + 𝑐 𝑒𝜖𝑡 Retornar valores 𝑣 = 1 𝑦2 → 𝑦2 = 1 𝑣 𝑣 = 𝜎 𝜖 + 𝑐 𝑒𝜖𝑡 → 1 𝑦2 = 𝜎 𝜖 + 𝑐 𝑒𝜖𝑡 = 𝜎𝑒𝜖𝑡 + 𝑐𝜖 𝜖𝑒𝜖𝑡 𝑦2 = 𝜖𝑒𝜖𝑡 𝜎𝑒𝜖𝑡 + 𝑐𝜖 → 𝑦 = 𝜖𝑒𝜖𝑡 𝜎𝑒𝜖𝑡 + 𝑐𝜖 Passo 6 Passo 7 Passo 8 Sumário 𝑊 𝑡 = 𝑡𝑠𝑒𝑛2 𝑡 Ora, lembre-se que se o Wronskiano for igual a zero teremos que as soluções serão LD e caso for diferente teremos que as soluções serão L.I. Não temos valores aqui, hora de usar a lógica. Assumindo que as funções acima sejam L.D. 𝑡𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 0 Analise isso. Se essa equação é igual a zero, ou 𝑡 ou 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 são iguais a zero: ቐ 𝑡 = 0 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 0 Com esta afirmação temos que UMA FUNÇÂO DEPENDE DA OUTRA, se uma for zero a outra também será zero. Com isso afirmamos que as funções são Linearmente Dependentes. Sumário 𝑊 𝑡 = 𝑡2 − 4 Novamente aqui não se usa cálculos, use a lógica que você desenvolveu em álgebra linear II. Assumindo que as funções acima sejam L.D. 𝑡2 − 4 = 0 Analise isso. De uma coisa tenha certeza, quatro nunca será igual a zero, mas e 𝑡? Ora, assumiremos que 𝑡 = 0, logo. 02 − 4 = 0 → −4 = 0 Absurdo, contradição matemática. Com isso temos o seguinte, UMA FUNÇÃO É INDEPENDENTE DA OUTRA, se uma for zero a outra não será zero. Com isso confirmamos que as funções são Linearmente Independentes. Vou refrescar sua memória sobre Linearidade de álgebra linear II. Primeiro temos a combinação linear nula de elementos: 𝑣 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 = 0 Para que estes sejam Linearmente Independentes todos os coeficientes 𝑎1, 𝑎2 devem ser iguais a zero. Para que sejam Linearmente Dependentes nem todos os coeficientes devem ser iguais a zero. Isso implica que, existem combinações (espaços vetoriais) que só irão zerar se você multiplicar por zero, ou seja, uma função vai zerar e a outra não, então só multiplicando por zero mesmo, isso é independência linear. Mas existem outras que não há total necessidade de multiplicar por zero, pois uma função dependerá da outra e quando uma for zero a outra também seguirá o mesmo rumo. Sumário Vamos testar usando Wronskiano. Se a questão fala que 𝑦1, 𝑦2 é L.I. então quer dizer que 𝑊 𝑦1, 𝑦2 = 𝑦1 𝑦2 𝑦1 ′ 𝑦2 ′ = 𝑦1𝑦2 ′ − 𝑦2𝑦1 ′ ≠ 0 Então com a adição das constantes 𝑊 𝑐1𝑦1, 𝑐2𝑦2 = 𝑐1𝑦1 𝑐2𝑦2 𝑐1𝑦1 ′ 𝑐2𝑦2 ′ = 𝑐1𝑦1𝑐2𝑦2 ′ − 𝑐2𝑦2𝑐1𝑦1 ′ = 𝑐1𝑐2 𝑦1𝑦2 ′ − 𝑦2𝑦1 ′ Logo 𝑐1𝑐2 𝑦1𝑦2 ′ − 𝑦2𝑦1 ′ = 0 Esta afirmação não pode existir, 𝑐1 e 𝑐2 são constantes não nulas e 𝑦1𝑦2 ′ − 𝑦2𝑦1 ′ é diferente de zero. Com isso temos: 𝑐1𝑦1, 𝑐2𝑦2 são L.I. Sumário 𝑊 𝑦3, 𝑦4 = 𝑦3 𝑦4 𝑦3 ′ 𝑦4 ′ = 𝑦3𝑦4 ′ − 𝑦3𝑦4 ′ 𝑦3𝑦4 ′ − 𝑦3𝑦4 ′ → 𝑦1 + 𝑦2 𝑦1 ′ − 𝑦2 ′ + −𝑦1 ′ − 𝑦2 ′ 𝑦1 − 𝑦2 𝑦1𝑦1 ′ − 𝑦1𝑦2 ′ + 𝑦2𝑦1 ′ − 𝑦2𝑦2 ′ − 𝑦1𝑦1 ′ + 𝑦2𝑦1 ′ − 𝑦1𝑦2 ′ + 𝑦2𝑦2 ′ 2𝑦2𝑦1 ′ − 2𝑦1𝑦2 ′ 2 𝑦2𝑦1 ′ − 𝑦1𝑦2 ′ Temos então 2 𝑦2𝑦1 ′ − 𝑦1𝑦2 ′ = 0 Esta afirmação não pode ser feita por 2 nuca será zero e 𝑦2𝑦1 ′ − 𝑦1𝑦2 ′ é L.I. Sumário 𝑊 𝑦3, 𝑦4 = 𝑦3 𝑦4 𝑦3 ′ 𝑦4 ′ = 𝑦3𝑦4 ′ − 𝑦3𝑦4 ′ 𝑦3𝑦4 ′ − 𝑦3𝑦4 ′ → 𝑎1𝑦1 + 𝑎2𝑦2 𝑏1𝑦1 ′ − 𝑏2𝑦2 ′ + −𝑎1𝑦1 ′ − 𝑎2𝑦2 ′ 𝑏1𝑦1 − 𝑏2𝑦2 𝑎1𝑏1𝑦1𝑦1 ′ − 𝑎1𝑏2𝑦1𝑦2 ′ + 𝑎2𝑏1𝑦2𝑦1 ′ − 𝑎2𝑏2𝑦2𝑦2 ′ − 𝑎1𝑏1𝑦1𝑦1 ′ + 𝑎1𝑏2𝑦2𝑦1 ′ − 𝑎2𝑏1𝑦1𝑦2 ′ + 𝑎2𝑏2𝑦2𝑦2 ′ 2𝑎2𝑏1𝑦2𝑦1 ′ − 2𝑎1𝑏2𝑦1𝑦2 ′ 2 𝑎2𝑏1𝑦2𝑦1 ′ − 𝑎1𝑏2𝑦1𝑦2 ′ Temos então 2 𝑎2𝑏1𝑦2𝑦1 ′ − 𝑎1𝑏2𝑦1𝑦2 ′ = 0 A condição para que estas funções sejam L.I. é que os coeficientes 𝑎1, 𝑏1, 𝑎2, 𝑏2 sejam não nulos, dessa forma teremos nossas funções L.I. pois, 2 nunca será zero e 𝑦2𝑦1 ′ − 𝑦1𝑦2 ′ é L.I. Helder Guerreiro
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