APOSTILA DE EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU E BIQUADRADA (9ANO)

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PROFESSOR CAUÊ SILVA.
DISCIPLINA: MATEMÁTICA
ALUNO (A):
DATA:
ENSINO FUNDAMENTAL: 9º ANO.
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU:
ax2+bx+c=0
São elementos que consistem em igualdades, pelos quais podem ser de 1 até 3 componentes, cujo
primeiro tem duas letras que multiplicam em que a segunda é elevada ao quadrado, isto é, ao
expoente 2.
Sobre as equações, podem ser completa ou incompleta e, sobre a igualdade, terá que ser igual a
zero (0).
Sobre a completa, ela possui os três elementos, pelos quais são “ax2+bx+c=0” e a incompleta é ‘ax2+
+bx=0; “ax2=0”; “ax2+c=0”.
Como calcular?
Vamos começar pela incompleta.
ax2+bx=0
x.(ax+b)=0
x1=0.
ax+b=0
ax=-b
x=-b/a.
ax2=0
x2=0
x=√0
x=0.
ax2+c=0
ax2=-c
x2=-c/a.
x=√−c /a
[Não existe raiz de números negativos para todos reais (IR)].
ax2-c=0
ax2=c
x2=c/a
x=±√c /a
Vamos para a completa.
Primeiro método:
#Delta e Báskara.
ax2+bx+c=0
Énecessário valores de a, b e c;
Depois calcule o delta;
Após isso, use a fórmula de Báskara;
a)Como calcular o delta?
 =b2-4.a.c
Delta > 0=Positivo (x1 é diferente x2). Logo, podemos ter (+,-,-,+,+,+).
Delta = 0 (x1=x2). Portanto, podemos ter (+,+,-,-).
Delta < 0=Negativo. Portanto, não terá raízes quadradas de números negativos para todos os
reais.
b)Como usar Báskara?
x=−b±√delta
2a
x1=
−b+√delta
2a
x2=
−b−√delta
2a
S(x1, x2) = (
−b+√delta
2a
, −b−√delta
2a
)
Segundo método:
Está relacionado com a multiplicação e adição, uma vez que “a” e o “b” da equação, cuja somatória
tem que dá “a” e a multiplicação o “b”. Mas, esse “a” e esse “b” tem que está na igualdade da
soma e produto. Veja:
____+_____=a
____.______=b
Se o “a” for diferente de 1, existem duas fórmulas que calculam esses números, os quais serão
aqueles que serão inclusos na relação (+/X). veja:
S= −b
a
; P= c
a
Se o a=1, joga direto na soma e produto (+/x). daí, não é preciso “-b/a” e “c/a.”
Condição de existência:
ax2+bx+c=0
a diferente de zero; b=0 ou b diferente de 1; c=o ou diferente zero.
Exemplo: Identifique o valor de a, b e c.
a)8x2+8+7x=0
a=8; b=7;c=8.
b)8+2x2=0
a=2; b=0; c=8.
c)7x+5x2=0
d)10x+8x2=8
e)7x2-78x=-7
f)4x2+5x-8=0
Exemplo 2: Calcule o valor de x.
a)8x2+7x-1=0
b)x2+x-2=0
Vamos resolver?
Primeiro passo: Identificar os valores de a, b e c.
Segundo passo: Calcular o delta.
Terceiro passo: Aplicar na fórmula de Báskara.
Então vamos começar:
a=1; b=1; c=-2.
Delta= b2-4.a.c
Delta= 12-4.1. (-2)
Delta= 1-(-8).
Delta= 1+8.
Delta= 9.
x= −b±√delta
2a
x= −1±√9
2.1
x= −1±3
2
x1=
−1+3
2
x1=
2
2
x1=1
x2=
−1−2
2
x2=
−3
2
x2=-1,5
c)2x2+8x=0
d)2x2-10x=0
Vamos resolver?
Primeiro passo: Colocar o fator comum da equação em evidência.
Segundo passo: Igualar o x a zero, pois se trata da primeira raiz.
Terceiro passo: Tirar a equação de dentro do parêntese.
Então vamos começar:
Para colocar o fator em evidência, pegue o elemento em comum. Daí, ao analisarmos x2 e o outro x
que não tá ao quarado, é válido que na evidência iremos colocar o x, pois fica fácil a divisão do que
está no expoente e o que está sem o expoente, uma vez que for feita a propriedade distributiva e
resultar na mesma equação.
Então a equação fica assim:
x(2x-10)=0
x1=0
2x-10=0
2x=10
x=10/2
x=5
e)x2-x=2
EQUAÇÃO BIQUADRADA:
É aquela que tem o expoente 4, conhecida como equação do 4º grau. E, é formada por:
ax4+bx2+c=0
Condição de existência:
a diferente de 0; b=0 ou b diferente de zero; c=0 ou c diferente de zero.
Classificação:
-Completa: possui 3 elementos.
Exemplo: ax4+bx2+c=0
-Incompleta: possui um ou dois elementos.
Exemplo: ax4+bx2=0;ax4+c=0; ax4=0.
Como resolver?
1)ax4+bx2+c=0
Primeiro passo: transformar ax4 em uma potência de potência, em que o expoente 4 vira o 2. E, a
partir daí, depois, é só colocar os parênteses e elevar ao quadrado, o que contribuirá para potência
de potência. Mas, nessa potência de potência, ela tem que ser montada de uma forma que no ato
da multiplicação, resulte o expoente 4. Após isso, é só completar a equação e, quanto ao bx2, será
mantido na equação junto ao c que será zerado após a igualdade. Veja a montagem da equação:
ax4=(ax2)2
Segundo passo: montar os três elementos (a, b e c) e igualar a zero. Veja a montagem:
(ax2)2+bx2+c=0
Terceiro passo: pegar o x2 e igualar a qualquer letra que não seja x, isto é, chamar de qualquer
letra. Exemplo:
x2=letra qualquer.
Quarto passo: achar o valor da letra escolhida, uma vez que vira uma equação do segundo grau.
Quinto passo: achar o valor de x, após o encontro da letra escolhida.
Então, vamos resolver:
(ax2)2+bx2+c=0
x2=B
aB2+bB+c=0
Delta=b2-4.a.c
B= −b±√delta
2a
B1=
−b+√delta
2a
B2=
−b−√delta
2a
x2=B1
x= √B1
x2=B2
x= √B2
2)ax4+bx2=0
(ax2)2+bx2=0
x2=C
aC2+bC=0
C(C+b)=0
C1=0
C+b=0
C=-b
x2=C1
x= √C1
x2=C2
x= √C2
[Não existe raiz quadrada de números negativos para todos os reais (IR)]
3)ax4+c=0
(ax2)2+c=0
x2=T
aT2+c=0
T2=-c
T= √−c
Não existe raiz quadrada de números negativos para todos os reais. 
4)ax4=0
(ax2)2=0
s=x2
x2=s
as2=0
s2=0/a
s2=0
s= √0
s=0
x2=0
x= √0
x=0
x2=0
x= √0
x=0
exemplo: Calcule o valor de x:
a)8x4+7x2-1=0
b)x4+x2-2=0
c)2x4-20x2=0
d)10x4+3x2=1
Como resolver?
Primeiro passo: repita a equação.
10x4+3x2=1.
Segundo passo: uma vez repetida a equação, traga o número 1 que está do outro lado da
igualdade, só que negativo. E a partir daí, a equação passa a ser igual a zero. Veja:
10x4+3x2-1=0.
Terceiro passo: repita a equação montada já no segundo passo e a partir daí faça a transformação
do ax4 em potência de potência. Veja:
10x4=(10x2)2
Quarto passo: monte na equação a relação do terceiro passo e, com os elementos b e c. Veja:
(10x2)2+3x2-1=0.
Quinto passo: repita a equação montada no quarto passo e a partir da ideia que foi desenvolvida,
resolva:
(10x2)2+3x2-1=0
x2=Q
10Q2+3Q-1=0
Delta=b2-4.a.c
Delta=32-4.10.(-1)
Delta=9-(-40)
Delta=9+40
Delta=49
Q= −b±√delta
2a
Q= −3±√49
2.10
Q= −3±7
20
Q1=
−3+7
20
Q1=
4
20
Q1=
4÷4
20÷4
Q1=
1
5
Q2=
−3−7
20
Q2=
−10
20
Q2=
−1
2
x2=Q1
x2= 1
5
x= √ 15
x= ±1
√5
x2=Q2
x2= −1
2
x= √−12
Não existe raiz quadrada de números negativos para todos os reais.