Noções de Eletrotécnica

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154 rroçõns DE ELETROTÉCNICA
PROBLEMAS A RESOLVER
9.1. Dois condutores muito longos e paralelos, separados um do outro de
20,32 em, transportam correntes, em direções diferentes, de valor igual a 40 am-
peres, Calcular o campo em um ponto médio no eixo entre os condutores.
R. 1,58 oersteds.
9.2. Calcular o campo magnético a 5 em de um condutor retilíneo longo
percorrido por uma corrente de 10 amperes.
R. 4 oersteds.
CAPíTULO X
FERROMAGNETISMO
9.3. Calcular a força de repulsão que se verifica para cada metro entre dois
condutores paralelos que distam entre si 2 em e transportam 15 amperes cada um.
R. 225 dinas.
10-1 - Curva de saturação ou curva B-H
Se imantarmos gradualmente uma barra de ferro, antes com-
pletamente desimantada, colocando-a no campo de um solenoide e
aumentando a corrente excitadora a partir de zero, a densidade da
indução B cresce, porém não proporcionalmente ao campo H.
A Fig. 10-1 representa curvas B-H para chapas para dínamos
e para o ferro fundido.
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.000 (. para dínamo ' .
:..:-- í'it: .
/ Ferro fundido
'(
o
t
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~Io,ooo
tQ
o 100 200- H oersted-s-
Fig. 10-1 - Curvas de imantação
Para. valores crescentes de H, essas curvas apresentam inicial-
mente um gradiente pequeno, a seguir têm um andamento retilíneo,
e finalmente se encurvam para a direita, prosseguindo com pequena
inclinação; um grande aumento da força magnetizante (lI) será
necessário para produzir pequeno acréscimo na indução (B). Diz-se
que o material está saturado.
A permeabilidade J.L = B/H não é constante, e varia entre limites
muito grandes. A curva da permeabilidade (Fig. 10-2) mostra-nos
'6 + H
TABELA 10-1
VALaRES MÉDIOS DE B, H e J1.
F1!lRROFORJADO AÇO DOCE· FERRO FUNDIDO CHAPAS DE FERRO OU AÇO
DOCE RECOZIDAS
B I H I J1. B I H I ~ B I H I J1. B I H I J1.
1000 0,34 3040 1000 0,28 3570 1000 1,19 840 1000 0,20 5000
2000 0,658 3040 2000 0,56 3570 2000 2,56 780 2000 0,40 5000
3000 0,985 3040 3000 0,845 3550 3000 4,50 666 3000 0,612 4900
4000 1,32 3030 4000 1,13 3530 4000 7,03 570 4000 .0,84 4770
5000 1,68 2980 5000 1,43 3500 5000 10,69 470 5000 1,11 4540
6000 2,07 2900 6000 1,75 3430 5500 13,60 404 6000 1,39 4320
7000 2,50 2800 7000 2,12 3300 6000 17,3 347 7000 1,68 4165
8000 3,02 2650 8000 2,57 3110 6,500 24,0 252 8000 2,05 3900
9000 3,64 2470 9000 3,04 2960 7000 34,0 206 9000 2,51 4460
10 000 4,53 2200 10000 3,76 2660 7500 48,5 155 10 000 3,08 3200
11 000 5,77 1900 11 000 4,70 2335 8000 64,5 124 11 000 3,83 2870
12000 7,85 1530 12000 5,95 2015 8500 85,5 99 12000 4,77 2520
13000 11,25 1155 13000 8,00 1625 9000 102,5 88 13000 6,30 2040
14000 17,2 814 14000 11,74 1190 9500 125,7 76 14 000 8,9 1570
14500 23,4 620 14500 15,5 935 10000 149,5 67 14500 11,44 1270
15000 37,1 404 15000 22,5 667 10500 178,0 59 15000 15,7 955
15500 59,1 262 15500 40,2 386 11 000 207,0 53 15500 26,4 585
16000 81,7 196 16000 65,00 246 11500 235,0 49 16000 44,5 360
16500 112,5 147 16500 92,8 178 16500 73,5 224
17000 190,0 121 17000 122,0 139 17000 101,3 168
17500 182,5 96 17500 161,0 108,5 17500 136,5 128
18000 216,2 83 18000 198,0 91,5 18000 173,5 104
18500 262,5 70,5 18500 . 242,0 76,4 18500 221,5 87,5
19000 264,0 72
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C~IIi gr~dé área Ú'ig,'lO-4(I)f. .t .us~dop~ra: -~'partes dqeii'~uito '
i" magnético. em .que a, densida.de da.indllçãO'é·:bai~ã:·e'ttún :'dlréção,
...•..co~stiin~:« Não:seprest~.pa:ra. emprego'd~: rá:pidas' iIiY~rnões. da: .
. )~a4~aç~. '.' '.' .....·t,· ". "" . "". •• .',' . '.~ .. '.;
'.::'.~OÇ<5ES.~E.~~E~RO~~CNIC.A.,'
-v.:
:':'..;~i!:~taie~~~a·P;~~am~ihirt~t:e ~:~fu!b;'o~::~~~:;lofe2~!~·,,··.·
.malloyde 78,5,% (:20,5% Fe, 78;5% Ni~0,2%Cuytema'pem.ell;blliélâd{·
inicial 900 e ~ máxima 105000.'. O,per~a1l6Y·contém~80.a'90por.:
.'.cénto de-níquel, e foi .inicielmente fab~ícad(j:éÍn cl:iâpas;'~;'pâra' ..
'.' reduzir asperdas. devidas.às.C~rreiites de.F~úcalilÇ:~asfreqüênciás
•.elevad3.\l,êleé red~zido ..a~m pó fino, ea;S i)!LrUé1l1as'~agl~ti'nadas~
. coinma tez:i~ljsolan te, sen,éloentão·~bni.primicia,; ,o~m~hap~f \'0.,:
: permalloy. é muito :empre.gádonamanufittur~·, de' tririsfórÍriadóres
, "er~ceptoréspani teiefQ'hes,·~elés., etc>" . --' ... .
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.O:X~o)[undido t~m;~~eabilida:demuito' niaíor,e: menor área '1.';
:do/cicl()'âe,his.teres~:'· Substitui o 'ferro fundídoquando ~e necessitá', V ' .
~de,.p'~~éà.bÜi,da:des'elevadas, ou quando a ~ecç~do IiúéI~' deve'!!
se! 'reduzida' [Fig. 10-4(2)].' :'.. ' " " ' . ji
'.'.in~"',!p~i':';'ch:;~:f::P:Dr:1~Jfl~:~~~:~<..)J ..
'àsc<?IT,entils de.F,bucauIV. Apresentari:J. ciclos 'co~pe:quena;krea;' ..' .. . .' C.'
,...•.~gB~~~~!~t.s":k=.,d[âp~~;.';t~:;;;lf:~:'·;~,;;r:;Z,f.'. ." ....;
. i, o núcleo dost'ransformitdore.s.., . ' .. ~,.: ..;
'·>:9 açoao 8iiú~~coIl;t~mpequ~na poicéntag;ei:n·:de,siliçi6;':~üe:teiÓ:".·'
,apropriedacle deredusir-a perda porhisterese e.aumentera resiatêÍlCia.''.
. elétrica, redll,~illdo,8. perda devida às correntes' de Foucawt:',~' ....
'~hap·a.i'de ,~ço:ao silf~io re~ebem o n~m~ 'de ~eu éinp~gó:, 'chàpas";' .
..•..::;,Pa.~;W~:::t~;:r~!r~:r::r ~~i::~a~ente. jmport~tes:80.b·g ,
póntpde' Vista magnético ....,Permitem· obter ~ .propriedadesdoferro-". ,
·r~~~~~~l:'~!t:~~€tG~t2:~~~$:'·
... Fig. 10-4 .i. Çiclos d~~tej-é~ .de diverso; materiais" .'
, .: . .... .' ,.:.,:. . - .;' .. ' :;., . ..~,. ,'.: - .. -, '. ... .
. '" '.
'·,Fig -.10-57 Relé de~mporegúiá~el a~tc;ciático',.()/reto~q.
..', .\,
'l·.
10-i ..Qu~;vem ..a .~e~para~a~etiso:6!;' diiún~gii:~tiSin~:~Jerrom a~étismo?, .
1~2': :QtÍeBlL6c~~. d.e.~~~etizaç~'7. ': . .
.lif3 Que relação existe eritr~os ~~toies.B.eH? .
, .. 10:4c,~aça a' cÍescriç~o~ompieta de um ciciod~ his~rese;'
10-5Q~e ~ sat~açãO' magnéÚca? '
1~ .Mo~tr~ c~clos'de hist~resêde alguns materiais ferroma~lticos.
:~'~;;;;4~;~~t=~~t:':'u::\btLdO~·.Qwili;~eq~açõeS quidefineril'o vetor,B?
Faça ,u~a~~a-,de per~eabilicÍadé; .
..;'.:. '
'.-':.'
192 NOÇ~ES DE ELETROTÉCNICA
12.2. Uma espira retangular de 5 em X 10 em encontra-se em um campo
magnético de 10~ weber/m2 perpendicular'às linhas de indução.
a) Qual o fluxo através a. espira?
b) Se o campo magnético cai até zero em 3 segundos, qual a diferença. de
potencial induzida entre os extremos da espira durante esse período?
R. 5 X 10-6 weber; 1,67 X 10-6 volt.
12.3. Uma bobina de 400 espiras foi enrolada sobre um núcleo de ferro de
forma cilíndrica. O comprimento do núcleo é 61 em e seu diâmetro 2,.54cm.
a) Qual a indutância da. bobina se a permeabilidade do ferro for igual a LOOO?
b) Qual seria a íudutância com núcleo de ar?
R. 16,7 henrys; b) 0,0167 henry.
,'i'.
CAPÍTULO xnr
CORRENTES E VOLTAGENS ALTERNADAS
13-1 - Força eletlromotriz de um. alterriador eleIllentaJ1'
Um allernaclor elementar (Fig. 13-1) é formado por uma espira
de fio condutor AA', cujas extremidades são ligadas a dois ane'!3,
e que gira com velocidade constante em um campo magnético uni-
forme. Sobre os dois anéis se apóiam duas escovas fixas, e, e', às
quais se ligam os condutores que constituem o circuito de utilização
da corrente, de resistência total R (Fig. a).
R
'''A <,
J:~--~~['.:\_.- -I----.- '"1-~"'=- :;:. -----" -,
Fig. 13-1 - Alternador elementar
o fluxo 4> encadeado com a espira varia à medida que ela gira.
em torno de seu eixo, e uma Le.m. nela se induz.
Quando o plano da espira está perpendicular às linhas de indu-
ção, o fluxo é máximo, e cl4>/dt = o.
Sejam: (Fig. b)
4>m = fluxo máximo encadeado com a espira, em we15ers;
w = velocidade angular da espira, em radianos por segundo;
a = wt = ângulo formado- pelo plano da espira com o plano
perpendicular às linhas de fluxo.
........
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induZídana espiraserá:'," :-
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196 NOÇÕES DE ELETROTÉCNICA CORRENTEs E VOLTAGENS ALTERNADAS 197
A quantidade w = 2; = 27rJ chama-se pulsação da voltagem ou
da corrente, sendo designada e:n radianos (elétricos) por segundo.
Substituindo o valor de w ria equação (13-5) tem-se:
Tem-se, pois, a expressão da freqüência
p .
f = - X N hertz2 (13-9)
sendo P = número de palas e N = rotações por segundo.
Sendo a velocidade angular igual a w = 271' .~N radianosjseg.,
teremos, substituindo em (13-8): .
e == Em sen 27r1.t volts (13-6)
Chama-se ângulo elétrico (a,), correspondente ao ângulo geomé-
trico (a) formado por dois raios de uma máquina de P palas, o produ-
to do ângulo a entre esses raios, pelo número. de pares de polos (Pj2).
Tem-se, por definição:,
~
1
\
i
,I
;/
.~
.!
l
w. = ~ X 271'N = PN X 71' = 27rJ = W
P
a, = '2 Xa que nos mostra ser a velocidade angular elétrica igual à pulsaçãoda corrente.(13-7)
expresso em graus elétricos ou radianos elétricos, conforme a unidade
em que for expresso a.
Chama-se velocidade angular elétrica (w.) de uma máquina o
produto de sua velocidade angular (w) pelo número de pares de polos.
Tem-se, por definição:
Freqüências usuais
Citaremos primeiramente' a freqü~ncia normal que é de:
50 Hz (sistema Rio-Light; Europa);
60 Hz (sistemas da Região Centro-Sul; Estados Unidos).
Estas freqüências são empregadas nos sistemas de luz e de força.
Outras freqüências são empregadas para fins especiais:
25 Hz, em alguns sistemas de tração elétrica;
250 Hz a 2 700 Hz, na telefonia comercial;
25 a 40 quilohertzjseg (k:Hz), na sondagem submarina (ultra-
sons) ;
30 kHz, na telegrafia sem fios;
150 kHz, na radiodifusão (ondas longas);
500 a 1 500 kHz, na radiodifusão (ondas médias de 200 a 600 m);
30 megahertzjseg (MHz) , na radiodifusão (ondas curtas até
10 m),
w.= P-Xw2 (13-8)
No caso dos alternadores, quando a velocidade angular é ex-
pressa em radianos por segundo, a velocidade elétrica é igual à pul-
sação da corrente .
. Com efeito, para um gerador de dois pelos, cada rotação gera
um ciclo. Para este gerador o número de ciclos por segundo, ou
seja a freqüência, é igual ao número (N) de rotações por segundo.
Se duplicarmos. sucessivamente o número de polos do gerador,
teremos:
I
. ,[
Uma função senoidal do tempo tem a forma particular
P = 2 ; f = N 1 grau mecânico = 1 grau elétrico
P = 4 ; J = 2N 1 grau mecânico = 2 graus elétricos
P = 8 ; J = 4N ; 1 grau mecânico = 4 graus elétricos
13-3 - Fase e diferença de fase
A sendo a sua amplitude, que convém considerar sempre como
positiva; a variável (wt + O) é chamada ânçulo de fase ou simples-
mente fase.
f(t) = A sen (wt + (J)
P· p 1 P N A' Para - po os, j = '2 X ; 1 grau mecamco = '2 graus elé-
tricos.
NoçÕES DE ELETROTÉCNICA CORRENTES E VOLTAGENS ALTERNADAS
te alternada i = 1m sen a pode ser achado int.egrando a senoide
entre O e 71":
I11Údio = ~ -(1C i; sen a da = 1m [ - cos aJ:
71" )0 71"
L« . 2= _ (1 + 1) = - 1m = 0,637 1m. (13-11)
71" 71"
Donde:
1m .
--t;> 1= V2 = 0,707 L;
Analogamente, O valor eficaz de uma f. e.m. alternada e =
= Em sen « é
Analogamente, para uma f.e.m. e ~ E sen a,
E Em= V2 = 0,707 Em
2
E11Údio =.- Em = 0,637 Em.
71"
Nota:
Uma grandeza alternada a = Am sen (wt - O) pode também ser
escrita sob a forma
13-5 - Valor eficaz
O valor eficaz de uma corrente alternada i = 1m sen a é o valor
de uma corrente contínua que produz o mesmo efeito joule ao passar
em uma mesma resistência.
A energia transformada em calor por uma corrente contínua I
em uma resistência R é I2R watts por segundo.
A energia transformada em calor pela corrente alternada i na
mesma resistência é, a cada instante, i2R watts.
Tem-se, por definição:
I2RT ., lT i2Rdt (13-12)
a = A V2 sen (wt - O),
sendo A o seu valor eficaz.
Os voltímetros e amperímetros de corrente alternada indicam
os valores eficazes da voltagem e da corrente.
13-6 - Fator de forma
O fator de forma de uma grandeza periódica é definido pela re-
lação
1. Valor eficaz
Fator de forma = Valor médio (13-15)
sendo T = 271" O intervalo de um período.
Da expressão (13-12) tiramos:
Para a sepoide o fator de forma é igual a 1,11.
O fator de forma não rios dá uma indicação verdadeira do tipo
de onda, mas apenas aproximada: para uma onda mais pontuda
que a senoíde, ele é maior do que 1,11; para uma onda mais acha-
tada ele fica compreendido entre este valor e 1.
(13-13)
da qual decorre a definição:
O valor eficaz de uma corrente (j.e.m.) periódica é a raiz quadrada
da média dos quadrados dos valores insianttlneos da corrente (j.e.m.)
tomados em um período.
Substituindo em (13-12) a expressão de i e desenvolvendo:
13·7 - Representação vetorial das grandezas senoidais,
Uma grandeza alternada senoidal pode ser representada por
. um ueior rotatório. Seja, com efeito, a corrente
i = 1m sen wt
1iT I2 1211"( 1 1 )I2 = - I; sen? 01. 00.= ~ - - - cos 201. da =
T o 271" o 2 2
= j;n [a _ sen 201. J211" = I; (13-14)
471" 2 o 2
Suponhamos na Fig. 13-7 um círculo de raio OlA = L; (em
escala), e que OlA gire em torno de 01 no sentido trigonométrico
com uma. velocidade angular uniforme w radianos por segundo, par-
. /
201
CORRENTES E VOLTAGENS ALTERNADAS
•.:Fig, 13~9~:\=
. ",' .~-;.
.:.
" ..;" .
, 2.A diferençaide fase 1entre 'duas. gran'd~zas: altern~das' .:pode ,
ser ~epr.esentad~ vetorialrnent'; .. A Fig. j3'-Q~C!sm~)si~~Óyétof,O:8::
em avanço de (}g~al1ssobre ~ "yetor 94. ' $e'0-!3 ~'PA'represeD:~ani'
"osV:alores máximos das voltagens el'ee2, resp'(!ctiv.am~nte,elas serão,
::" .",.:.. . ':" .':'. ".: • ": - . _, • '"'' •• '-".:'" ~ .. " ..: -'o .' .' . .:.", o', .- r-,
",,'lilx:BresslLSpor" "-
,I
/. " ,..,~
" "SÓp~demOssoniàr~arrdezas serioid~~~~i1E!_~~(l--.f.:~.i~~~~~C!:a"
defa-;agem;'entr.e' 'elaS pernianece;l3empreá ",~~s):ll~,'illd~Pendente:;' ':
, mente. d~;instantê consÚlérado., ,EstaconsideraçãiJ,é ':imp'órt~nte/::: '·;~~~~~;~;,;~i;~!~t;~~~m~~o~al~r.~.~~~-;.;
204 CORRENTES E VOLTAGENS ALTERNADAS 205NoçõES DE ELETROTÉCNICA
Notemos ainda o fato de que pode ser utilizada a projeção hori-
zontal em vez da projeção vertical do veto r, para obter a senoide.
para indicar um vetor; adotaremos o ponto sobre a letra maiús-
cula (Á).
Tem-se, então:y
I.'\.encltl
JI,,2S~I'\·2
 = a + jb = A cos a + jA sen a = A (cos a + j sen a) (13-16)
Abreviadamente: A = A cjsa, que se lê: A coseno-j-seno a.
Esta notação é chamada forma trigonométrica ou circular; a no-
tação Ã. = a + jb é chamada forma retangular. .
Exemplo:
Uma voltagem de 100 volts está em avanço de 1200 em rela-
ção ao eixo de referência OX. Sua expressão complexa será:
Fig. 13-10
Em nosso estudo empregaremos somente a projeção vertical,
O gráfico representativo da soma de duas ou mais grandezas
alternadas se chama diagrama uetorial.
li= 100 (cos 120° + j sen 120°) = 100 (- 0,5 + jO,866) =
= - 50 + j86,6.
13·3 - Métodos dos cornp'[exos
Um vetor pode ser representado pela notação complexa da for-
ma a + jb, sendo j = -vi - 1, a e b sendo números algébricos. Na
Fig. 13-11 o vetor A faz um ângulo a com o eixo. de referência OX.
As componentes retangulares do vetor são:
a = A cos e,= componente horizontal;
jb = jA sen·a = componente vertical.
A = -vi a2 + b2 é o modulo do vetor.
Operador j
O símbolo j indica uma rotação, da quantidade por ele precedida,
de um ângulo de + 90° (isto é, no sentido positivo). As componen-
tes do vetor não precedidas por j situam-se no eixo dos x (reais), e
as que contêm j, no eixo dos y (imaginários).
A Fig. 13-12 mostra-nos a rotação do veto r li= a + jb me-
diante o uso operador i. o vetor fV = j (a + jb) = - b + [a, está
em avanço de 90° sobre o vetor V.
y
<no'C
À:a+Jb.'"t::
'SJ;
'"a J6
xo a ReaiS
Fig. 13-11 - Representação complexa de um vetor Fig. 13-12
Pelo método dos complexos ou simbólico o vetor A é representado
pela notação  = a + jb. A fase a do vetor é o argumento da gran-
deza complexa. Em Eletrotécnica empregam-se diversas notações
Têm-se:
+ jV = rotação de + 90°
',' ,:( +j2V'''5~,V,~'J;~tàçã;<>~e+}800,
,:.~ ~:~;=.-~jv'~::o_t~çã;~.de:t:·:i9~·
, ' + J-V= Y,= rotação de +~360
0'.: ,_
-: .::'
,.- '. "'< ~.
,. '
"Multiplicando pôr (cos e + j sen e), edesenvolvendo: '~ . . " ",. . ,," ... -. .
" <:.,.
..... :' ..-
A;;;' A (~asa + jS,en ay(cos'e:,+jseil 8).=::- , . "
='A [cos(a +e)+Jsenc(af8)1;';;i cj&(a'+'8),
. O vetor AI tern a inesin~:~and~zaqúê'o:;eiór)'-,po~€~. ac~~~sé'
avanç~d~"deum ângillo .(a+.B) ~obre'o;e~x9de,'refe;êiicj~>: ': "
, 'Ràciocínio' idêntica f~ríamósp~~a(c6se, S:..j s-e~e), ,ili.?stn1udo,"
que Q 'vetar resi.uta~te fic~ria defas~do~e'~m~ngulo .(X,~ e éIll~~~
'laçã.ó ao eixo de 'referência: ' ,," '~~ ". '. . . '.
.', _,-o .
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"Fo'rma exponencia~:do o~~radoT
.Nesta expressão o ân~lo g é,clad()
escrev~lo: também eIp-gTaus.., '>Assim::
.,.:" ..., .
'Â,~ Ú)(~oS40o+js~n4~~)~1~.; 40~, e~sigriifi~aqUr1k~~:,
~.' ". ,) - - ', ..' " :,_. ;,:-' ','
, ,
; i'
,'I,
NoçõES DE ELETROTÉCNICA CORRENTES E VOLTAGENS ALTERNADAS 209
As quantidades e±ie e e-i() são operadores exponenciais que,
aplicados a um vetor, produzem o mesmo efeito que os operadores
(cos e + j sen e) e (cos e - j sen e), respectivamente, isto é, produ-
zem a rotação do vetor de um ângulo + e ou - e.
Nas aplicações das grandezas complexas utilizam-se as formas
polar ou exponencial para os produtos e quocientes; para as somas
e subtrações servimo-nos das formas retangular e trigonométrica.
Multiplicação e divisão de duas grandezas complexas
A multiplicação e a divisão das quantidades complexas faz-se
facilmente sob a forma polar ou exponencial. O operador duplo
/fh /eB gira o vetor ao qual se liga de um ângulo eA + eB. Se-
gue-se que:
13-9- Potência instantânea. Potência m.édia
Em um circuito de corrente contínua a potência é igual ao pro-
duto da voltagem aplicada V pela corrente na carga I:
P = 'VI watts.
A X B = A /0 A X B /0 B = (AB) /0 A +OB (13-21)
No circuito de corrente alternada a potência varia a cada ins-
tante com o tempo. Seu valor instantâneo é
p = ei (potência gerada)
sendo e e i os valores instantâneos da f.e.m. e da corrente.
Tem-se, igualmente:
Á A /OA A
-r-r- = -= = - /OA - OB
B B/OB B
1-,.
Potência instantânea
expressões que nos permitem concluir:
l. O produto de' duas' grandeias complexas tem por módulo o
produto dos módulos das duas grandezas e por argumento a soma dos
seus argumentos
2. O quociente de urna grandeza Á por uma grandeza É. tem por.
rnódulo o quociente dos módulos (A/B) e por argumento a diferença
(eA - O'B) dos argumentos das grandezas.
Suponhamos e =J}/(wt-e i = L; sen (wt - 8). A potência ins-
tantânea é
p = ei = EmIm sen cai • sen (wt - O)
Aplicando a esta expressão a relação trigonométrica
(13-22)
1sen A . sen B = "2 [cos (A - B) - cos (A + B)],
tem-se:
Aplicação às correntes alternadas senoidais
As grandezas senoidais são representadas por vetores, e estes
por grandezas complexas; podemos, então, representar as primeiras
por complexos. Assim, a f.e.m, e = V2 E sen (wt - O), será repre-
sentada por E = Em / - 8 e a corrente i = V2 I sen (wt - O - ip)
será representada por j = Im/- (e + ip),
O interesse do método dos complexos provém de que ele se apli-
ca aos valores eficazes da voltagem e da corrente, e dá às fórmulas
de corrente alternada formas semelhantes às relativas à corrente
contínua. Se quiséssemos aplicar as leis de Kirchhoff à corrente
alternada, teríamos que 'levar em conta as f.e.ms, de auto-indutância
e de capacitância, e o problema seria complicado. Os métodos ve-
torial e dos complexos permitem simplificar a solução.
p = Em 1m [cos (_ 8) _ cos (2 t»t - O)] =
2
Em' t;
= V2 X V2 [cosO - cos (2 wt - O)] '=
= EI cos 8 - ,EI cos (2 wt - O) (13-23)
1 c.. +-t.. I '--_ •.__ ... :;;:, -: ,. ~~:~-~"l~ r;. o f.j~, (J~ F".') I, ri., .:.....i' r
sendo E e I os valores eficazes. '
Vemos que a potência instantânea se compõe de um termo cons-
tante EI cos O, e de um termo variável EI cos (2 wt - O) de pulsa-
ção dupla da corrente. Este' termo é às vezes chamado potência
jlutuante, e poderá ser ora positivo, ora negativo.
Consideremos um alternador fornecendo energia elétrica a um
circuito, tomemos um sentido arbitrário como sentido positivo da
corrente, e consideremos a d.d.p. como positiva quando ela tende a
.,_... ; .~,". '
..::""~', '... ' CORRENTES E VOLTAGENS
'.. ~pró~u~L 'u~a corf:~nt~ "pb~iiiva: CPJll' :est~~~nve~çõ~s~e '.siniüs,
",: p = eisera: positiva "qu'an:di)o~iternadOi'fomece potên~ia ao 'cir-
." .. T;~uito~A f6rm~la (í~~2:3)mostrá que, d.:uià~teuma.partedo,perici •. -
...~...:-....~ .;\.- do; .0: a:~ter~~d?~fornecepctência. e .no ·~~es·~ante.:do .~p·erlôdo~·ele·::á.·ab-·~·. _.
.. ~, sorve; mas a pOtênCia média' é positiva; põis que elefórllece mai~ .
Ld~q~e' recebê .•0 aJternad~r é; .portanto; nare~lidáde, 'uin:',gerad()f,
=, :2:fE$5~f;j~~~!~F~!;=à~:'!:'iJ::~;,,:·"
".:'
r •• :" ••• .: . .:
Sefame'='Emsen (;jt e Ci == lm:'sen·(úJt.~:}J)· ..'
potê:~ci~:méÇlia será:", .'
'.' C~os par#cularú " .,..,.
,,,·,.t~S"[::'n::~'i:':'=~;~;,:-i:,e~~i;i1lr~:ió:;
a.;potênda ·fornecida.'pelo al~e~adot é c0D:S~roi~âno-circuitç. ••. '.
, 2; 'C:n.r~té' ~ ..quad;dtúra~;m' a J)~lt~-erií: "T~m~s~::O: .::90°,:
, e':c~se ;=0 .: NesÚ c~oaSpárteshachuriadassio>igí.íàisàkpart,es
'nã~ hàchuri.ad~; istàé •. a p~tênCia média é igual ~ zero,' ..
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NOÇÕES DE ELETROTÉCNICA
13·ll - Potência ativa. Potência aparente. Potência reativa
o produto ~L?OS ~. chama.-se também potência ~~'0!11_r~alou
. vE'da~~i1~0e é medida pelos wattímetros, em watts ou kW.
Esta potência representa a parte da potência que é realmente
consumida pelo circuito.
P_ar.a_(1.:__Q,__P.=~J, __sendo .. 9.I:t_~!llada.potência aporeru«, dada
em volt-arnperes ou k VA. Os aparelhos de cO~Te~t~aiternada são
em geral caracterizados por sua potência aparente. Por exemplo,
um alternador de 100 kVA poderá fornecer 100 kW a um circuito
em que cos 8 = 1, ou 80 kW a um circuito em que cos 8 = 0,8. O
fator de potência igual à unidade é a condição ideal para qualquer
circuito elétrico. Nas instalações industriais (trifásicas) os valores
de cos 8 são da ordem de:
Circuitos de luz, resistores
Circuitos de força e luz
Motores de indução, com plena. carga
Motores de indução, com 1/2 a 3/4 de carga
Motores funcionando sem carga
cos e = 1
cos e = 0,8
cos e = 0,9
cos e = 0,8
cos e = 0,2
Chamllcll-ª.po4tnc.iiLre.Ct~~~_a...0. ~~~~\lto EI sen 8, sendo se~_~__~~a-
mado fator reaiiuo ..
Tem-se:
(EI)2 = (EI cos 8)2 + (EI sen 8)2 (13-26)
Exemplos de potência reativa:
1. Bobina de reaiância, de resistência desprezível. A potência
média absorvida pela bobina é igual a zero, visto que, neste caso,
a corrente está em quadratura com a voltagem aplicada.
2. Capacitores. Tem-se ainda P = o.
Nos dois casos citados, há uma troca de energia entre o alter-
nado r e o circuito contendo a indutância ou a capacitância pura,
porém a potência média, em cada caso, é igual a zero.
Os dois exemplos acima serão estudados no Capítulo XIV.
QUESTÕES
13-1 Deduza a equação do f.e.m. de um alternador elementar.
13-2 Fazer o gráfico de uma função periódica senoidal, indicando os seus ele-
mentos.
CORRENTES E VOLTAGENS ALTERNADAS 213
!r
13-3 Qual a distinção entre velocidade angular mecânica e velocidade angular
elétrica?
13-4 Deduzir a expressão da frequência em função do número de polos e do
número de rotações .
13-5 Indicar as frequências usuais para iluminação, força, telefonia, rádio-difu-
são e tração elétrica.
13-6 O que é fase em uma função periódica senoidal?
13-7 Que vem a ser defasagem e concordância de fase?
13-8 Definir valor médio de uma senoide e deduzir a sua expressão.
13-9 Definir valor eficaz de uma corrente alternada e deduzir a sua expressão.
13-10 Construir o gráfico senoidal representativo de uma corrente e uma volta-
gem alternada nos seguintes casos:
a) corrente e voltagem em fase;
b) corrente em atraso de 900 sobre a voltagem;
c) corrente em atraso de 300 sobre a voltagem;
d) corrente e voltagem em oposição,
13-11 Idem, empregando a representação vetoria!.
13-12 Construir o gráfico das senoides representativas de três voltagens alter-
nadas defasadas de 1200 uma da outra.
13-13 Idem, representação vetoriaI.
13-14 Deduzir a expressão da potência instantânea da corrente alternada.
13-15 Idem, da potência média.
13-16' Traçar as curvas das potências instantânea e média.
13-17 Explicar o que é corrente ativa e corrente reativa.
13-18 Explicar o que é potência ativa e potência reativa .
PROBLEMAS RESOLVIDOS
13.1. Un fluxo de 1,5 X 106 linhas se encadeia com uma bobina de 350 es-
piras,
Supondo que o fluxo varie, de maneira uniforme, do seu valor máximo até
zero, em 0,2 segundo, qual é a f.e.m. induzida?
Solução:
e = n· ~~ . 10-8 volts = 350· 1.5~~2000 • 10-8 = 26,25 volts.
13.2. Um condutor DA, de 30 cm de comprimento, gira com 20 r.p.s. em torno
do ponto O, em um plano normal às linhas de indução de um campo magnético
de 5.000 gauss. Determinar o valor da f.e.m. induzida no condutor.
.'.': ··~~;s~t~~~f~~!~;~J.~;~~f~;~~f~~:i..,·.'
"o.valords f.e.m, induzida ria bobina de 1000E':spll:as:~-' '"",' " ' :,' .'
,'o _,._. •....
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á<=45°' e ";2><5.000 x40'xi256 X 0;107x 10:"8';'3,55volts ,......··;:::::;:T~::.~!:;:~~Ó:70~~:~::;;~~i;="
,'-13;4.:/Uin~ b6biÍ1~'adh~ieénroiidà':\h1.iiotin~:~~tes~b;e~~riei dé'fe~w",. '
sendopercorríde po;urn:8;;:c6m';~tede:'l' ainpêre. :'Néstas cbndiç~es,:ose{J,ciJ"fí~', ,',,:
,,'Ciente de; autó-indução é "L = -i5,4 h~rid';: Inte~ro;npecse biuscaIIÍ~Iite o CircuÚq
, " ',e ve~:~;:~:~ ::::~::n1~f:J::~ea a:ti:d~~~~O~~~~dS:~:~::~in~;: ..; ';" " ','
:P~t~~ 1',000'es~ir;:;;d~b:obih~' restf~~;" '
Ó,037~: X 1.000;' 37,5 ~VOltB.; :
. - .. . ". '.~..~.
.s.Ór 13,1. Um motordeinduç,[o :'rilOilOfáSi.60,alirri~rit,adópori'unllo.liri~a ~e22~
" volts absorveumà corrente 'd'e:24 ampei'esem'atraso.de, 3Qo 'sobrEl'a'yoltage~:.;- '
·'~~~:-S:o:o~~!~totdePàtê~b;a;; ~b) a;t:btê:Cias, iJ.~anintEi,' reid:ereatiy~for~
216 NOçõES DE ELETROTÉCNICA
quando o valor da f.e.m, instantânea for zero e a voltagem crescer na direção po-
sitiva?
R. a) 3.395 volts; b) 1.996 volts.
,,~~ 13.4. Uma bobina de resistência desprezível e de indutância i~al a 0,05
. I iáx: é 20A e CUJa írequên-'henry é percorrida por uma corrente CUJO va ar m ximo •
cia é 50 Hz. Determinar
a) a equação dos valores instantâneos da corrente;
b) a equação da f. e. m, a. induzida;
c) a equação da f.e.m, aplicada ao circuito.
CAPÍTULO XIV
Resposta:
a) 20 sen 314 t.
b) e = - 314 cos,314 t.
c) V = 314 cos 314 t.
CIRCUITOS CONTENDO RESIST~NGIA,
INDUTÂNCIA OU CAPACITÂNCIA
14~1 - Considerações preliIninares
Neste capítulo serão analisados os efeitos dos parâmetros -
resistência, indutômcia e capacitância - isoladamente, estabelecendo-se
em cada caso as relações entre voltagens e correntes para condições
estáveis do circuito, em termos dos valores eficazes (E, I), que são
os únicos de importância prática, reservando-se o uso dos valores
instantâneos (e, i) para as deduções teóricas.
14-2 - Resistência efetiva. Efeito pelicular. Efeito de vizi-
nhança
A resistência de um circuito de corrente alternada tem o nome
de resistência efetiva, e é definida por
P
R. = J2 ohms (14-1)
na qual P é a potência média, em watts, e I o valor eficaz da cor-
rente, em arnperes.
A :r~J3ist~nciaefetJv~-ª~_.~~_c.º~~':lt_or(I?!lj()r do qlle a sua re-
,!"istência ohmica, pelas seguintes causas:
1. Efeito pelicular ou cortical
É assim chamado o fenômeno pelo qual a densidade da corrente
alternada em um condutor maciço é maior na periferia do que na
parte central do condutor.
Suponhamos, com efeito, que o condutor seja formado por tubos
cilíndricos concêntricos de pequena espessura. Uma corrente alter-
nada em cada tubo produz um fluxo alternado somente externo, ao,
\,\
.:.,' '.:', .
-", :,' .:••',:!~j~~~~.poo:~ii;~:.~~~~:e_:~~!:a~~i~~f;~/:;tf:~~~:~~••iK1~!~~~:.~.
. ,-umá-f.e.m., ~,:ãssim;,ás.f.e.m. :geradas 'são inaiores no centro do que,
.•,~aperiferiado:cori,dútOr; a d.d.p.tresultante tendé a forçar:a corrente
:,principal' dó 'c~ritrópara ~p,eriferüi..: Em co~seqciência, riás citm~das
·.·'Jubtilire~'.m~ls, pr6-ximas'da superfície ,a '.deilsidadêdi(:correhte'_f r-,
m~10t; ;' -- ' .: .';" . - . -
•'':/, ,'Aseéção;~taC ef~~i~~d~:;cOnd~to~fi~~;á 'iedu~ida;:p~rt;titó;a.
~:'~~~~~:orc~~~id:~::nf:::~o co~, ~~q~aç~o(3~2Y~ resistên~la;'
::',:"'" .
conteIik~::om~~t~,re~i~têri~i~,::--
·não··i'::~~:~o'O~:.re~Jb:\;iJ!,1(:[do~~1i~~lli~~:~
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:".1
1,1;;
·:.. i
potência e energia
A potência instantâneaé
I 2 wt-. _ E seu wt X I m sen wt = Em m sen -p=e~- m
(
1 - cos 2wt) = EI (1 - cos 2 wt)
= EmIm 2
. .I é igual ao termo constante da
A potência média em um CICo 'di do termo oscilat6rio E1 CO&
~ (14 3) visto que o valor me oexpressao -, "
2wt, em um ciclo, e Igual a zero.
220
NoçÕES DE ELETROTÉCNICA
n,
. I,' CIRCUITOS CONTENDO RESISTÊNCIA OU CAPACITÂNCI,>\ 221
Potência média:
; 4'
" E = ~~ = 1202V2 = 60 V2
I 12 _r
I = ":...= ---=.= 6 v 2V2 V2 .
P = EI = 60 V2 X 6 V2 = 720 watts
,I
(14-3)
(14-4)
(14-5) I
Energia dissipada:
TV = I2Rt = (6 V2)2 X 10 X 3 600 = 2592000 joules.
14-4 - Circuito contendo sorrierrte indutâB!Cia
. Tem-se: P = flJI watts
bé P = J2R wattsComo E = IR, resulta tam em:
R sob a forma de calor,é
A energia' dissipada na resistência ,
W = I2Rt joules
o circuito indutivo possui também resistência; quando esta
resistência é desprezível o circuito pode ser considerado como pura-
mente indutivo .. Na prática, a aproximação que se obtém deste cir-
cuito é a bobina de reatância (choke), que consiste em um enrolamento
de fio de cobre de grande secção sobre um núcleo de ferro laminado.
A Fig. 14-2(a) representa um circuito puramente indutivo, de
indutância L henrys. Supondo que no circuito circule uma corrente
i = 1m sen cot, e sendo a f.e.m. aplicada igual e oposta à f.e.m. de
auto-indução, ec, tem-se a cada instante:
(14-6)
sendo 't' o tempo em segundos. . írecü ência
a otência varia com_uma requ .
A Fig. 14-1(b) mostra que I P é nunca se torna negatIva.
dupla da corrente, de O a E",. m por. mt a energia consumida no
A ' b a curva da potênCla represen a .area so
circuito durante um ciclo.
I
\
~
e = - eu = - (-L ~~) = + L :t (I m sen ~t) = + wLIm cos t»t =
= wL1m sen (wt + 90°) (14-7)
= Em sen (wt + 90°)
A expressão (14-7) dá a f.e.m. aplicada, representada por uma
função coseno e, conseqüentemente, em avanço de 90° sobre a corrente,
representada pela função seno.
Na Fig. 14-2(b); a f.e.m. aplicada e é mostrada em linha cheia
antecedendo a senoide da corrente i de um ângulo de 90°; a f.e.m.
de auto-indução eu sendo igual e oposta à f.e.m. aplicada, fica defa-
sada de 90° em atraso sobre a corrente.
A Fig. 14-2(c) é o diagrama vetorial do circuito.
A relação entre os valores eficazes é:
Exemplo:
t j = 60 hertz, é aplicada a uma
, Uma voltagem e = 120 sen w, tê . ins tantânea, quando t :,
A' O h Qual a po encia . ···dresistencla de 1 o ms. A' édia.? Qual a anergia dissipa a
= 1{240 seg.? Qual a potencla m .
durante uma hora?
Solução;
X 60 X _1_ = 120 = Em
Para t = 1{240, e = 120 sen 271" 240
120 X 60 X _1_ = 12 = i;
i = 10 sen 271" 240
potência instantânea:
. .:...120 X 12 = 1 440 watts
'[J = e~-
EL = wLI = IXL (14-8)
na qual XL = osl. = 27rjL é a reatância indutiva do circuito .
__ -------. __ o - -
-:: ';'.' "
....Aie·aÚnci~ Xiéexpressaemohms:
··'.~ioriarã:fregüêndia" .. ' r ••.• '. "... • .... '.'
'. ,':
"\ ~'. .~}~2~~2~.::~~~:ot&Z~;:mf:".,'~:~::*~r.'~~$~.··
'A"área da curva ~bà.iXó.M ei~~:d~s""tem:p~stipi"es-entiâ'.e#ergia .
'.' restituída pelo-campo' rÍíaggétic~ q~ando c~cQrrent-e:di[ruÍi~de.~se~·,
':Va]o~ rnáximo"Im' a'zero,e~-áféa~cima do 'eixbdosÚmpos' representa:'.·
.·4:::t~·::::;~t~OA'":,:;i~=:~:;'t~~:=':i
-. ,.::::'~..
""' ... '
I I "\...:'.. ,;.. '"'--;
" .~ _....: ....
' ...'.
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.\
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. j =';L":~ '~~~;'_?;~A;I ~ ~}V2~O;{V,2={6;56~,.';'.'
:i-=' I;,,'sên:C;;(~'º:~64se~314f" .
. ,-." ....- ....:., ..
.... , .. _...
. ',
.~. ' ;'"
j4-5~:Circuitocontendo sornen te c~p~~itâ~~ia
"'. :'l' ,.
224 NOÇÕES DE ELETROTÉCNICA
Por outro lado, a carga sendo a quantidade de eletricidade adqui-
rida pelo capacitar, tem por expressão
,/
q = ia idt
sendo i a corrente de carga, e, portanto:
!at idt = Ce
Diferenciando em relação a i, e substituindo o valor de e:
i = C ~; C = ~ (Em sen wt) = t» CEm cos cal =
= w CEm sen (wt + 90°) (14-12)
e assim, a corrente que circula no capacitar é uma senoide em qua-
dratura, em avanço sobre a f.e.m. aplicada. Seu valor máximo é
: -o- l\) ~cT
I (a)
LO
(b)
" - Em1m = wCE", =--- - Xc
E
I =wCE --- Xc
(14-13)
\
\
\
\
\
\ " ,)p'- - ~/
eu
2n
(c)
Fig. 14-3
a) Circuito C; b) diagrama senoidal: c) diagrama vetaria!
1 1 •
sendo Xc = -- - -- a reoiõncia capacitiva do circuito, expressawC - 27f'JC
em ohms,
cmCUITOS CONTENDO RESISTÊNCIA ou CAPACITÂNCIA
A Fig. 14-3(a) representa um circuito puramente capacitivo; na
Figo 14-3(b), a curva da corrente (i) está em avanço de 90° sobre a
da voltagem aplicada (e)j e a Figo 14-3(c) é o diagrama vetorial.
Da expressão (14-13) se obtém, tomando valores eficazes:
1= wCE = E
Xc
(14-14)
Exemplo:
'Calcular a reatância capacitiva de um circuito que contém um
capacitar de 100 microfarads, sendo a freqüência 50 hertz.
Solução:
1 106Xc = -- = = 31,8 ohms
27f' jC 314 X 100
rr
i
I
Potência e energia
Se a corrente for i =. L« sen cai, a voltagem será e = ·Em sen
(wt - 90°) e a potência instantânea:
p = ei = Em L; sen wt . sen (wt - 90°) ~ E1 sen 2 wt (14-15)
A potência média P = E1 cos () = E/cos 90° = O
A energia é armazenada no campo do dielétrico do capacitor,
quando a voltagem está aumentando (positiva ou negativamente),
e é ~estituída ao alternador quando a voltagem diminui. .
A energia total armazenada por um capacitor perfeito durante
um intervalo de tempo de t, a t2 é:
1/2 I' o f/2 deW = p . dt = eidi = e . C - . dt =I, I, /, dt
lE2 C= Cede = 2' (E22 - Et2) joulesE,
Na Figo 14-3(b), a área positiva da curva da potência representa
a energia armazenada no capacitor enquanto a f.e.m, está aumentando, .
e a área negativa representa a energia restituída pelo capacitor ao
circuito enquanto a f.e.m. está diminuindo. A quantidade máxima
de energia em cada caso é
C Em! . 1-2- JOU es.
225
CAPíTULO XV
CIRCUITOS S:ÉRIE
15-1 - Generalidades
Existindo vários elementos (R, L ou C) em série, as resistências,
indutâncias e capaeitâncias serão agrupadas em série, e depois será
computada a voltagem nos extremos de cada grupo R, L ou C, indi-
vidualmente, em grandeza e em fase. Tem-se, em resumo:
Voltagem nos extremos. do grupo R: ER = IR, em fase com a
corrente.
. Voltagem. nos extremos do grupo L: EL = [XL, em avanço de
90° sobre a corrente.
Voltagem nos extremos do grupo C: Ec = IXc, em atraso de
90° sobre a corrente:
15-2 - Resistência e reatâucia indutiva em série
A equação deste circuito é:
e = en + eu = iR + L :: (15-1)
Como a corrente i é a mesma em todo o circuito, é conveniente
tomá-Ia como referência e resolver a equação para a voltagem apli-
cada e. Se a corrente tiver a forma i = L« sen iot, teremos, subs-
tituindo em (15-1):
d . . .
e = RIm sen wt + L di (1m seu wt) = L« (R sen wt + w L cos wt) ~
(R XL)= I« (R sen wt + X L COSwt) = I m Z senwt· Z + cos wt . Z =
= [mZ (seu wt . cos e + cos wt . seu 8) = I mZ sen (wt.+ e) (15-2)
sendo Z = vi Il2 +X;2 ecos 8 = li
Z
cmCUITOS SÉRIE 229
Para os valores máximos, tem-se:
Em = IlI'Z (15-3).
E, para os valores eficazes:
E = IZ (15-4)
A quantidade Z é chamada a impedância do circuito, sendo
expressa em ohms. A equação E = IZ representa a •lei de Ohm
para o circuito, de modo que a impedância caracteriza a oposição
do circuito à circulação da corrente alternada.
A Fig. 15-1 mostra-nos os diagramas elétrico (a), vetorial (b),
e senoidal (c), respectivamente. A Fig. 15-1(d), chamada iriânçulo
, EQiRe
L ~XL\(J I, I !9 .
ER R
(a) (b) (d)
<ot
\
\
\
\
\
\,'-,
Fig. 15-1:
a) Circuito RL; b) diagrama senoidal; c) diagrama vetorial;
d) triângulo da impedância
' ....~
'iid;impeda:Jc~a'é' iün~éio<~e~6riiéode'iuarda,r' ~'
R;'Xr;'eZ;: " '''''"'' ' ,,' " ê"
'" ",Pel~'equaç~' (15~2) e'pelo~' diagramas' vê-s~~4ue'~:~yoltagerii',
a:;ie~ed~~co;i:é~ted'e'uÍri'ãn'gÜio'e, obtido poi: uÍnadM relaçÕes:,
····.·L::If;.d:i=',~1:;g:::·::~ob~,f~:~IR··~·.·E,,,e,'·
,eá cori1pôR~ntede"É'emquadratura em avan90 sobre.a corrente' é "
" .. '~- .... E~émplo: :",: ',' -' .':" '" _, ", ' ,,:' "," , '
, , Um circuito ,sériecont~Íriumâ .resistência ,R = 10 óhÍn!5,'euma
i~dtitância L = 0,2 hem:y;,~ob umâ'd~d,p:,de120yólts,5b'~hertz,"
Determinar ~' éor~ente e"as voltagens: nos extremos,dá'rê~istênciá, "e da: indutânci'a:" ",',' , ,,' " r, ',,', '. ",' ':<
, Sol~ç[io:,:' "
:,'. .. .. '.'
,,':1}L;;' ,DÜ'~'~ :flenO.'
',.' .
'Exempld: ,',' , " ,
, : Uinibobilla cmnnúCl~bde ar, t~;}do:~fu~'r~sistê~cüide'S'ohins: '~•
. . e Unia iridutÃ~cia d~' to rrillilienIys;.·é llgad'á ã: uma linhâ: de ":rio:';volis~> :'~/
50'he~tz.dai~ulàr(a)a;'ií:npedâIicia eo fatbr depotência-da bobinaç,
by a~orrenten~cir?uito;'c)', a:~otêl!-~iaDJ.édia:':',';,:;,': ,",~ •..., '"::" .
", ", {Aplic~çaodoinét~Ú dós,cóinpiexo~ ", " ',' ",' , - '
" Pela ins;eç~d~~ Fig~15-1(0) .;,ê-sé que a réi~ç'ão~ntre,~ voltagens.. ,:i
E, ER e~fP)dese~, ~xpressa pela: equação ';, ',,:::" " -r-Ó:s
.. - ..,.
NoçÕES DE ELETROTÉCNICA CIRCUITOS SÉRIE 233
na resistência uma queda ohmica es = iR, em fase com a corrente,
e nos extremos do capacitor uma f. c. e. m. ou queda capacitiva
ec = ~ f idt, em atraso de 90° sobre a corrente. A voltagem
aplicada e é igual, a cada instante, à soma vetorial destas duas quedas,
e ficará, portanto, em atraso sobre a corrente i de um ângulo e,
compreendido entre 0° e 90°.
Com efeito:
e = es + ec = iR + ~f idt = RIm sen wt + ~f Imsenwl dt =
1m= RIm sen wt - wC eos wt = 1m (R sen wt - Xc cos wt) =
= ImZ ( ; sen wt - ~c cos wt) =
= ImZ (cos e sen wt - sen ecos wt) = 1mZ sen (wt - e)
i
1
\.~ v "a
\ e '
.---~~--
I'
I \
\
.,
E
(a) IXo
(c)
(d)
e
Sob a forma complexa a impedância é expressa por Z = R - jXc.
Donde:
j
),.
[
i
\-
(15-8)
sendo Z = V R2 +X~ a impedâneia do circuito em ohms, e O o
ângulo de defasagem da voltagem sobre a corrente, em atraso.
Tem-se para os valores máximos
Em = ImZ
e para os valores eficazes
E = IZ (15-9)
(b}
iz =; IR - jiXc
ou
Fig. 15-2
a) Circuito Re; b) diagrama senoidal; c) diagrama vetorial;
d) triângulo da impedânciaE = ER - J"Ec.
Nas Figs. 15-2(b), (c), e (d) são mostrados os diagramas senoidal
e vetorial, e o triângulo da impedância do circuito RC.
Exemplo:
Uma resistência de 10 ohms é ligada em série com um capacitor
de 160 microfarads a uma linha de 120 volts, 50 hertz. Determinar:
a) a reatância capacitivaj b) a impedância; c) o fator de potência;
d) a corrente; e) a potência média.
Solução:
. 1
a) Xc = wC = 10
6 = 200hms
314 X 160
b) Z = V R2 + (- XC)2 = V102 + 202 = 22,4 ohms
R' 10
c) cos e = - = -- = o 45Z _ 22,4 '
.. .., .
:':...~.
p~' 12R;~ (5,4)'2:X 10~2~lwa~ts: .
. '.~ ...
>.:
, A voitag~m aplic-;'dap~deiá estarem av~riçoou em atraso
sobr~ a corrente conforme' XL seja maior ou menor do .que Xc .
.: : ' / .' .. -:. . .. - ,.'.. ..: :!:' : .. ":. ..... '
.... SeXi>'Xc, o circuito é indutivo, oângulo,eépositivo, e a
'voltágémestá, emavánço:.sob~é aco~reilte;'se XL;::: x'c, o circuito
.é capacitivo,' 0 ângulo'e l n;E;lgatiyo,:ea voltágem fica em .airasosobre
a corré~te. .~ ..Fi~.c 15-3«c'é d) ,são' os'diagranià:s. vetoriais-para
estes dois' 'casos. . " •. '
.. .. Sob' a forma c'oÍnplexa, 'a imped~ricia8erá Z'.';" ,R ±}X, sendo
X"= X~- 'Xc. 'R' é .a 'resiStência' total (locií:cl,lito. . . ,
A lei ~é Ohmpara ~ ~ir6uito.RLq ê'~~
.... ."
2;4.-:- d4,8
.• l·· •. ~
:(15.-13)
. "o
........... , ...
e~~p~~itâxi:Ci~em 8é~iec·c':::
..AFig.15~3(~):i .~.. 'esquema'~iétrico 'de umcircwto conteúdo'
'R,' L e' C em 's€ne (circuito 'RLÇy'Ó circuito ê~perco;ri.do 'po'r~iIriia'
'corrente'i;;; Tse'ri':U!t::A;eq~~çãb, 'dô' citcill:to, é" .' ......., -;
E
i
R
E L
Te
(a)
Ec (c)
ootr:I
I
I.
I!
li
'I
Ir
\i (b)
a) Circuito RLC;
(d)
Fig 15-3:
b) diagrama senoidal; c) diagrama vetorial para XL> XCi
d) diagrama vetorial para Xc < XL
CIRCUITOS SÉRIE 237
e)
E 120I = - = -- = 17 ampêres.
Z 7,07
f) P = EI cosO.= 120 X 17 X 0,707 = 1442watts.
Para o circuito RLC a impedância, sob a forma complexa, é
evidentemente:
Z = R + j(XL - Xc) (15-14)
e sob a forma polar
sendo
t O XL - Xcang = R (15-15)
XL a soma das reatâncias indutivas, Xc a soma das reatâncias capa-
citivas, e R a soma das resistências.
15-5 - Impedâncias em. série
A impedância resultante de um certo número de impedâncias
em série é:
(15-16)
o fator de potência da impedância equivalente é
"2 R
cosO =-z.
A Fig. 15-4(a) é um circuito contendo uma impedância indutiva
ZL = RL'+ JXL, e uma impedância capacitiva Zc = Rc - jXc.
O diagrama vetorial é o da Fig. 15-4(b), que nos mostra ser
EL = ]"vRi+ X1,
queda de voltagem na impedância ZL, constituída de duas compo-
nentes: IRL, em fase com a corrente, e IXL em quadratura com a
corrente, em. avanço sobre ela. A queda EL está em avanço sobre
a corrente de um ângulo OL,cuja tangente é XL/RL. Semelhantemente,
a queda
M~todà d~scompiexos . ""... . . ' ..
. . ." A c;~~~nte I,~endo"~ me~m~ e~ todó;ciiré~i,tà,étomada como
. ~eferê~cia,.istó é; nó:eiiôdósréais;: . .' . .
'.: ····Teni~seentão:, .
I
I I . ·i R' .> ··X,,·,
.t~nge == Ir,; coso = y;s~n 0= z.
Exem;zo: . " . 'i . ,'.... . .
..... .Um, circuito' jlLC,Úg~do .a "umaluih~'de 120vo1ts';:50hertz,
:é~~tê~ uma resistêriéia'n[o indutiv~RR.~H;óhni.s,:uínaj)objna
'con;' i~duiân~ia:'i =o,2'h~nry,'e'r~ilÍstê~ciâ R6=jOóh~F e ~m
'c~pacito~ dom ti~âcapa.citância- C~~lOO~c~ofaI:ad~_~.i~~istên~ia
li :despresível. ". J)et~rininar': a). ~co~reD.tee oj~tor de.' potência
. .do'. circuito; b).a P9têndâ absorvida;' ;:c).: as' quedasidervóltegem
·.~a b~bina e no:c~pacit~~,'com9s' respectivos â~gulos:de 'defasagem.
. - . ,- - .~ . .
No.ÇÕES DE ELETRo.TÉCNICA
P = EI cos B = 120 X 3 X 0,628 = 225 watts
au
P = J2R = 32 X 25 = 225watts
c) EL = IZL = 3 Y102 + 62,82 = 190,8 volts
Ec = IZc = 3 Y02 + 31,82 = 95,4 volts
XL 62,8
tang BL = RL = ---w- = 6,28; eL = 80° 57' em avança;
Bc = 90°, em atrasa.
A voltagem total é E = IZ = 3 X 39,8 = 119,4 (aprox. 120
volts) .
O ângulo. de defasagem:
X 31tan B = - = - = 1 24' e = 51°R 25. " ,
cama anteriormente,
15-6 - R~ssonância no circuito série
Um circuito. série RLC está em ressonância quando. se verifica
a condição
(15-20)
para a qual a corrente na circuito. é máxima:
I=!i= E E
Z -Y--;=R=2=+=(=X=L=-=X=C)=2=--= li (15-21)
A impedância da circuito. é mínima na condição de ressonância,
e igual à sua resistência tatal; se a voltagem aplicada for constante,
a corrente será limitada apenas pela resistência do circuito, O
cos B = 1, e a potência é máxima.
Da expressão (15-20) se obtém a freqüência de ressonância (jr):
cmcmros SÉRIE 241
Donde:
1
(15-22)
Senda XL = Xc, tem-se IXL = IXc ou EL = Ec. Estas duas
quedas de voltagem não. têm efeito. sobre a queda de voltagem ta tal .
da circuito, E. Elas são. muito maiores da que a voltagem aplicada
e podem atingir valores excessivas quando. a resistência da circuito
for pequena em comparação com as reatâncias indutiva e capacitiva.
Neste casa a corrente na circuito. pode tornar-se excessiva e as altas
·voltagens E e Ec produzem condições indesejáveis. Com efeito,
ina condição de ressonância, sendo I = E/R, tem-se:
(15-23)
sendo. ~ = Q o fator de mérito da circuito, cujo. valor é tão. mais
elevado quanto menor for a resistência R. A expressão (18-23)
mostra que a voltagem nas extremas da capacitância ou da indutância
é Q vezes maior da que a voltagem aplicada E.· Por ex., se Q = 10
e E = 120 volts, EL = Ec = 1200 volts.
Na Fig. 15-5 estão. representadas as curvas características da
freqüência na circuito. RLC. Os valores mais elevadas da corrente.. estão compreendidas entre os pontos i, e fz, que correspondem às
freqüências para as quais a potência é metade da correspondente à
I
ressonância, (50% Pjr) , e a corrente é igual aV 2 . A faixa de fre-
.qüências entre esses pontos se chama faixa de passagem,.e é quem
.determina a seletividade de um circuito. ressonante em rádio, isto. é,
a propriedade de discriminar as sinais de uma dada"freqüência.
Um circuito. RLC pode ser sintonizado para a ressonância va-
riando. L ou C. Geralmente prefere-se variar C par meia de um
capaciior variável.
Exemplo:
Uma bobina com indutância de 0,2 henry e resistêricia de 10 ohms
.é ligada em série com um capacitor de 100 microfarads, a uma linha
'. ,~
, c) ',' oii 'cliagrarilasvetoriâl e ,sen~idal' (sêíÍl'éscala) são os da~ - . - . . ~'. .. .. .
, ,Fig.15~6(a) e (b);,' '
a equação db
Idem;' do ,circuito c6riténdo R~ ÇéJD,séfüi; ,',
e L em série:'
Éstabeleeer ,~' equação' da:voltagem '~esultaíite ~6!>eitre~Ós~e um 'cir~,
""cuitocontendo impedâncias em ~é~;e:'
Estapelece; a ~qu~ã.oda. frequê~cia'de resSo~n~i~, ;'c:
Tr~~ar 'di~gr'aIDas Benàid~' ve~;ial do círciriw;essonànt~é#e::'
-.;."
·.".1
CAPÍTULO XVI
CIRCUITOS PARALELO E SÉRIE-PARALELO
16-1 - Circuito paralelo
A Fig. 16-1 é um circuito paralelo com dois ramos, cada um ,;
deles consistindo de um circuito série (RL e RC). A voltagem é .,.
a mesma nos extremos' de cada ramo. Tem-se, para cada ra//. o .. ,.'-
e para todo o circuito: .
. .É. É ..
a) Correntes: II = .i
1
; 12= Z2 ; i = i,+ t, (Kirchhé:,
.......•._----'
b) Ângulos de defasagem entre I e E:
Xl X2 X
tang é, = RI; tang é , = R
2
; tangO = R
c) Potências ativas: P1 = EII cos 01; P2 = EI2 COS Oz; .
P = EI cosO.
Ou P = PI + P2 (soma aritmética).
d) Potências reativas: QI = EI2 sen 01; Q2.= EI2 sen O2;
Q = EI senO.
Ou Q = QI + Q2 (soma algébrica).
Na resolução dos problemas dos circui-
. tos paralelos podemos empregar o diagrama
vetorial, ou, de preferência, a notação com-
plexa, como veremos no exemplo seguinte.
I
220 V
60 cps
Fig. 16-1 - Circuito
Exemplo: paralelo
No circuito da Fig. 16-1, RI = 10 ohms, Xl = 62,8 ohms, R2 = 20
ohms, Xz = 31,8 ohms, E = 220 volts, 60 hertz.
Calcular: a) a corrente; b) a potência real; c) a potência
reativa.
.:
"
cmCUITOS PARALELO E SÉRIE-PARALELO 245
Solução:
1. Método dos complexos. .
ZI = RI + jX1 = 10+ j62,8; Z2 = Rz - jX2 = 20 -j31,8
I· ~ - 220 + jO = 0,54 - )'3,4
1 = Zl - 10+ )'62,8
. É 220 + jO 3 1 + '4 912 = --;--= 20 - )'31,8 =, ),
• Z2
i = t,+ i, = 3,64 + j1,5 = 3,94 / 22° 24'
I = 3,94 ampêres
b) cos O = cos 22° 24' = 0,924 (em avanço)
P = EI cos O= 220 X 3,94 X 0,924 = 801 watts
c) Q = EI sen O = 220 X 3,94 X 0,381 = 330 vars (em avanço)
a)
2. Método do diagrama vetorial
A voltagem aplicada é tomada como vetor de referência.
ZI = v' 102+ 62,82 = 6360hms
Zz = v' 202+ 31,82 = 37,6ohms
E 220 ,
II = Zl = 63,6 = 3,46 ampares
tangOI = ~: = 6:~8 = 6,28; 01 = 80° 57' (em atraso)
E 220
12 = Z2 = 37,6 = 5,85 amperes
tang O2 = X2 = 31,8 = 1 59' O2 = 57° 50' (em avanço)R2 20 "
A Fig. 16-2 mostra-nos o diagrama vetorial correspondente, do
qual tiramos:
I = v' (lI COS 01 + L, cos f)2)2 + (lI sen 01 + 12 sen O2)2
12 = (3,46 cos 80° 57' + 5,85 cos 57° 50')2+
+ (- 3,46 sen 80° 57' + 5.85 sen 57° 50)2
i
I,,·I:~. ,
1I
~I
1/.
. ,
li,i:1.,
I,:.
:~
NOÇÕES DE ELETROTÉCNICA
CIRCUITOS PARALELO E SÉRIE-PARALELO
X
Chamando B = Z2 = BL - Bc a suscetância total do circuito,
escreveremos:
A admüéncia tem duas componentes: a condutância, componente
real ou em fase; e a susceiéncia, componente imagindria ou em quadratura.
Chama-se a atenção para o fato de que a condutância é o inverso
da resistência somente no caso de não haver reaiôncia no circuito paralelo;
semelhantemente, a susceiômcia é o inverso da reatância somente quando
não existe resistência associada com a bobina.
Y = G...:.. jB (16-6)
(+); seSe o circuito for capacitivo, Bc > BL, e jB terá o sinal
o circuito for indutivo, Bc < BL e jB terá o sinal (_).
f- ~z ' ~ Semelhante ao triângulo
da impedância, traçamos o
triângulo da admitância ten-
do para cateto horizontal G,
em fase com a voltagem, e
para cateto em quadratura
B = BL - Ec. (Fig. 16-3).
As correntes ~as várias
Fig. 16-3 - Definições das componentes da impedâncias poderão ser ex-
impedância e da admitâncis
pressas por
jx
Exemplo:
O circuito da Fig. 16-4 compõe-se de dois ramos em paralelo,
alimentados por uma tensão constante de 110 volts, 50 cicIos.
O primeiro ramo contém uma bobina A em série com um resistor
E, e o outro contém uma bobina C. Calcular, pelo método da admi-
tância: a) as admitâncias de cada ramo e a total, e os respectivos
ângulos de defasagem; b) as correntes em cada ramo e a total, e os
respectivos ângulos de defasagem.
R
i,
l
A corrente total:
Fig. 16-4 - Circuito elétrico do exemplo dado
(1ü-7) Xc
Rc
A corrente tem, pois, duas componentes: uma, ÉG = componente
ativa." em fase com a voltagem; e outra, jEB = componente reativa,
em quadratura.
O triângulo da admitância permite escrever:
j,
Dados numéricos, em ohms: RA = 3; XA = 10; RB = 2; Rc = 7;
Xc= 4.
I.
I
r
Solução:
a) ZA+B = 3 + jlO + 2 = 5 + jl0 ohms
G B Bcos e = y ;sen (J = y ;tang (J = C
As condutâncias são somadas aritmeticamente, e as suscetâncias
algebricamente.
Comparando as expressões correlatas: E = ÍZ e Í = ÉY·,
1
YA+B = --=--- = 0,04 - jO,08 Siemen~5 +jlO
- 0,08tang (Jl = ----=~:..... 2; (Jl = - 6302 I
0,04Z = R + jX e Y = G+ [B, resultam as definições:
1. A impedância é o vetar, operador pelo qual se multiplica a
corrente para obter a voltagem.
A admitância é o vetor operador pelo qual se multiplica a voltagem
para obter a corrente,
2. A impedância tem duas componentes: a resistência, componente
real ou em fase; e a reatância, componente imaginaria ou em quadratura.
Ytotal = Y A+B + Y C = 0,147 - J'O,141
249
252 NoçÕES DE ELETROTÉCNICA
A reatância do
:; I t'j- (~,)
"I ~ /. 230 I (., ,)
capacitor: Xc = -- = Zá6ôhms30;4' .".;' .~-tt;1?J
A capacitância: c = 106377 X 7,56 = 351 microfarads.
~)q.~.{F'::-
16-4 --:.Circuito ressonante paralelo
Um circuito paralelo contendo indutância e capacitância está.
em ressonância quando a corrente reativa no ramo indutivo for igual
à corrente reativa no ramo capacitivo. A corrente reativa total do
circuito é então igual a zero. Esta condição é mostrada na Fig. 16-6
para um circuito de dois ramos paralelos. A corrente no indutor I. , L,
está em atraso sobre a voltagem de linha. Sua componente reativa
é 11 enquanto que a corrente no capacitor, Ic, está em avanço, e
sua componente reativa é 1'f:.
Na condição de ressonância, tem-se, pois:
hl1 + Io" = O (16-8)
donde:
. .
EBL + EBe = O
e
ou Xc
Desta relação, substituindo as expressões de XL e Xc, tiramos
a expressão da freqüência de ressonância ir:
(16-9)
Se as resistências forem desprezíveis em face das. reatâneias,
. 1ir = ---=---
211' vi LC
(16-10)
expressão idêntica à da freqüência de ressonância no circuito série.
,
I
I
1.\.0y
CIRCUITOS PARALELO E SÉRIE-PARALELO 253
Desta forma, se uma bobina e
um capacitor, de baixa resistência, fi-
cam em ressonância para uma dada
freqüência quando ligados em série,
poderão igualmente ficar em resso-
nância, para a mesma freqüência,
quando ligados em paralelo. No caso
de resistências desprezíveis, a freqüên-
cia de ressonância será obtida fazen- Fig. 16-6 - Diagrama vetaria! de
do-se variar L ou C. Em geral prefe- um circuito ressonante paralelo
re-se variar a capacitância, por meio
de um capacitor ajustável. Para a ressonância, a corrente é m'ínima,
ao passo que a impedância é máxima.. O fator de potência é igual
à unidade. Entretanto, uma corrente de valor elevadocircula no
circuito que compreende a bobina e o capacitor. O valor desta.
corrente é
lU --~c 1c,I"
1 .',
1 <, -,
1 r -,
1 [ -,
ré. I d
• 1 I
I I
1 /
r" 1[1/
[-------
E
Eh = l c = - = E . wCwL
(16-11)
Na condição de ressonância o circuito tem a propriedade de
armazenar energia em um estado oscilante,' variando regularmente
de energia cinética, no campo magnético, a energia potencial, no
capacitor, e vice-versa. O capacitor completamente carregado passa
~+ oE
,...,
L 1 C 11 E
I'
'~ ..
4' ...I r-tl__J
(a)
Fig. 16-7 - Intercâmbio de energia no circuito ressonante paralelo
a fornecer energia à indutância, resultando a corrente mostrada em
linha cheia na Fig. 16-7, até que se descarregue completamente.
... . ~~.,.', . "' ..' - . '.' :.. -
....··.i:j:2t~~~,ti;i;~f)55;··.··..•.••..••...
z = Z~+ZP.= (3+j'4) + (Oi74+jO,24)=~-:- .
~"~:~3,;~~~~~~~J;~::~~~,\
.' ..... '''-., .'
,,-.;
. ,.'
•do "Ci'rcuito. paralelo
.~-':-:-:--',-::-+ 1
Ü~I2:jC ..·
.. :Ex.emplo:.
Os váÍores d~coristan~esdo~ircilitod~ 'Fig.i6:9 sãÓ o'~segcintes:
.:~,...~,' .~....' . .. .," .
. -,."."
.. -.. :,."
A }u;,pédânçia:éq~ivalente~:ip.é:
-1-',
:1
NOÇÕES DE ELETROTÉCNIGA
QUESTÕES \!
16-1 Fazer um esquema de um circuito paralelo com dois ramos, sendo um
indutivo e o outro capacitivo, e mostr ar como se obtém a corrente em
cada ramo e os respectivos ângulos de defasagem. '
1&-2 Aplicar ao circuito anterior o método da admitância, supondo o circuito
resistivo.
1&-3 Mostrar em um diagrama vetorial a impedânoin, a condutância e a sus-
estância indutiva e capacitiva.
16-4 Definir adrnitância e seus componentes.
1&-5 Definir impedância e seus componentes.
I&-6 Qual a utilidade da correção do fator de potência, e como se procede para
esse fim?
1&-7 Mostrar com um diagrama vetorial como se procede par>. fazer a corre-
ção do fator de potência.
1&-8 Deduzir a expressão da freqüência de ressonância no circuito ressonante
paralelo.
1&-9 Mostrar como a variaçao da frequência influi na variação da reatância
equivalente e na corrente de um circuito paralelo LC.
PROBLEMAS RESOLVIDOS
16.1. Um circuito contendo um capacitor de 50 J1.F e uma resistência variá-
vel é ligado a uma fonte de corrente alternada de 120 volts, 60 Hz.
Qual deve ser o valor da resistência para que a potência consumida seja
80 watts?
Solução:
P = RP-; 1= V
VR2 + Xc?
VZ
p = R2+ Xc? . R;
Xc 1
= Cw 1 = 530hms377 X 50 X 10 6
PR2 + PX2c - VZR = °
80R2 - 14.400 R + 80 X 532 = °
Donde:
RI = 1630hms e R2 = 170hms
16.2. Um so!enoide com 31 em (7r3) de comprimento, 5 em de raio e 1500
espiras é construído com fio de cobre de 0,6 mm de diâmetro (p = 1,8 microhm-cm).
. . d 2 . f d (2.000)Este solenoide é ligado em série com um capacitor e 21 nucro ara S 3-;-
e o conjunto em paralelo com outro capacitor igual ao primeiro e com. uma fonte
de corrente alternada de 50 Hz, 'cuja tensão máxima é 141,4 volts.
CIRCUITOS PARALELO E SÉRIE-PARALELO 257
Pergunta-se qual é, em rnódulo e fase, a corrente total que atravessa o cir-
cuito ?
Solução:
Cálculo da resistência R do solenoide:
I 27r X 5 X 1.500
R = p -; X 1,8 X 10-6 X = 30 ohms
7r X 0,062
4
Cálculo da induiôncia L:
L = 1,25 X Nl X J1. X S X 10-8 _ 1,2.5 X 15002 Xl X7r X 52 X 10-8
I - 31
1,25 X 225 X 104 X 'Ir X 25 X 10-8
7r3 = 0,0735 henry
Tem-se: rw = 27rj = 27r X 50 = 314
XL = w L = 314 X 0,0735 = 230hms
= Jõ ohms
V = 141,4 = 100 volts
1,41
Í'l = R + j(XL - Xc).= 30 + j8
. 1 30 - j8 .
Yl = 30 + j8 = 900 + 64 = 0,311 - JO,008
Í' = - j15
:ir = _1_ _ j 15 _ .
2 _ j 15 - 225 - J 0,0667
:ir = 0,311 + j(0,0667 - 0,008) = 0,311 + jO,059
'ir ..
I = -;- = V Y = 100(0,311 + jO,059) = 31,1 + j5,9
Z
I = V31,12 + 5,92 = 31,6 arnpêres
tg8 = 59,1 _- 019' 831,1 " = 10° 50' (corrente em avanço)
16.3: Considere o circuito da figura, ao qual se aplica.' uma Le.m, senoidal :
de freqüência 50 Hz.
Determinar:
a) Qual deverá ser a capacitância, para que o fator de potência do circuito
seja 0,8, e neste caso, dizer se a corrente estará em avanço ou em atraso?