APOSTILA_MATEMÁTICA FINANCEIRA II

Prévia do material em texto

Programa CIEE de Educação à Distância 
 
1 
 
APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA II 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
AULA 1 – Juros simples e compostos ......................................................................... 02 
AULA 2 – Desconto ..................................................................................................... 12 
AULA 3 – Fluxo de caixa e série de pagamentos ....................................................... 18 
AULA 4 – Sistemas de amortização ............................................................................ 28 
Referências ................................................................................................................. 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
2 
 
AULA 1 – JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
 
Imagine que uma pessoa tenha realizado várias compras com cartão de crédito e, ao 
receber a fatura, leva um tremendo susto, percebendo que não conseguirá pagá-la. No 
demonstrativo do cartão aparecem algumas informações: taxa de parcelamento: 
15,60% a.m. e taxa por atraso no pagamento: 13% por período. Essas informações 
correspondem aos juros, ou seja, o valor que essa pessoa pagará, caso não consiga 
saldar o valor total da fatura ou tenha que parcelar o valor gasto. Vamos aos conceitos 
para um melhor entendimento, começaremos pelos juros simples. 
 
O regime de juros simples corresponde ao juro de cada intervalo de tempo, incidindo 
somente sobre o Capital, que nada mais é, que o valor inicialmente emprestado ou 
aplicado, sem os juros. Relembre a fórmula dos juros: 
 
J = C . i . t 
 
Imagine uma aplicação de R$ 1.000,00 pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples 
de 12% ao mês. Qual o juro produzido? 
 
 J = C . i . t 
 J = 1.000 . 0,12 . 3 
 J = R$ 360,00 
 
O juro produzido será de R$ 360,00. 
 
Como vimos no curso “Matemática Financeira I”, se somarmos os juros com o capital 
temos o montante ou valor futuro aplicados no regime de juros simples, cuja fórmula é: 
 
M = C . ( 1 + i . t ) 
ou 
FV = PV . ( 1 + i . t ) 
 
Inversamente, se quisermos calcular o capital ou valor presente, devemos utilizar a 
seguinte equação: 
 
C = M 
 (1 + i . t) 
ou 
PV = FV 
 (1 + i . t) 
 
O regime de juros compostos corresponde aos juros gerados a cada período, incidindo 
sobre o capital e sobre os juros do período anterior. A fórmula para cálculo é: 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
3 
 
M = C . (1 + i)n 
ou 
FV = PV . (1 + i)n 
 
Utilizando o mesmo exemplo, imagine uma aplicação de R$ 1.000,00 pelo prazo de 3 
meses à taxa de juros compostos de 12% ao mês. Qual o juro produzido? 
 
M = C . (1 + i)n 
M = 1.000 . (1 + 0,12)3 
M = 1.000 (1,12)3 
M = 1000.1,405 
M = 1.405,00 
 
Para encontrarmos somente os juros, basta subtrairmos o capital do montante: 
 
J = M – C 
J = 1.405 – 1.000 
J = 405,00 
 
REFLEXÃO 
 
No exemplo apresentado, se a aplicação fosse capitalizada com base em juros 
simples, eles seriam de R$ 360,00 e se a mesma aplicação fosse capitalizada com 
base em juros compostos, eles seriam de R$ 405,00. Notou a diferença? 
 
Quando usamos os juros simples e compostos? 
 
Normalmente os juros compostos são utilizados na maioria das operações financeiras 
que envolvem dinheiro, como: compras de médio e longo prazos, cartão de crédito, 
empréstimos bancários, caderneta de poupança. Já os juros simples são utilizados 
para operações de curtíssimo prazo e no processo de desconto simples de duplicatas 
que veremos nas próximas aulas. 
 
Imagine que você tivesse aplicado R$ 100,00 em um investimento com rendimento de 
2,5% a.m., sob o regime de capitalização composta. Quanto teria acumulado ao final 
de 7 meses? 
 
Acompanhe mês a mês: 
Mês Capital Juros Montante 
1 R$ 100,00 R$ 2,50 R$ 102,50 
2 R$ 102,50 R$ 2,56 R$ 105,06 
3 R$ 105,06 R$ 2,63 R$ 107,69 
4 R$ 107,69 R$ 2,69 R$ 110,38 
5 R$ 110,38 R$ 2,76 R$ 113,14 
6 R$ 113,14 R$ 2,83 R$ 115,97 
7 R$ 115,97 R$ 2,90 R$ 118,87 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
4 
 
Observe que os juros compostos foram calculados sobre o capital mais os juros 
acumulados dos meses anteriores. Portanto, ao final de sete meses você teria 
acumulado R$ 118,87. 
 
Utilizando o mesmo exemplo, vamos aplicar a fórmula dos juros compostos para ver se 
chegaremos ao mesmo resultado. 
 
Relembrando o problema: se tivesse aplicado R$ 100,00 em um investimento com 
rendimento de 2,5% a.m., sob o regime de juros compostos. Quanto teria acumulado 
ao final de 7 meses? 
 
Dados: 
C ou PV = R$ 100,00 
i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. 
n = 7 meses 
M ou FV = ? 
 
FV = PV . (1 + i)n 
FV = 100 . (1 + 0,025)7 
FV = 100 . (1,025)7 
FV = 100 . (1,1887) 
FV = R$ 118,87 
 
Perceba que o resultado foi atingido! Agora, acompanhe o cálculo na HP 12C: 
 
100 [CHS] Inversão de sinal. Indica que saiu dinheiro do fluxo de caixa. 
 [PV] Indica que a quantia corresponde ao valor presente. 
2,5 [i] Taxa de juros 
7 [n] Período 
 [FV] Dado que pretende encontrar. Nesse caso, o valor futuro. 
R$ 118,87 
 
Você aprendeu a calcular o Montante ou Valor Futuro sob a modalidade de juros 
compostos. Agora, veja como encontrar o Capital utilizando a mesma modalidade. 
 
Já sabemos que a fórmula básica para calcular juros compostos é: 
 
FV = PV . (1 + i)n 
 
Como desejamos encontrar o Capital, esse elemento deve ser isolado. Veja como fica 
a fórmula: 
 
PV = FV__ 
 (1 + i)n 
 
Acompanhe um exemplo: 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
5 
 
Calcule o capital de uma aplicação a juros compostos, sabendo que o montante obtido 
foi de R$ 875,00 pelo período de 4 meses à taxa de 1,5% a.m. 
 
Dados: 
M ou FV = R$ 875,00 
i = 1,5% a.m. ou 0,015 a.m. 
n = 4 meses 
C ou PV = ? 
 
PV = FV__ 
 (1 + i)n 
PV = 875___ 
 (1 + 0,015)4 
PV = 875_ 
 (1,015)4 
PV = 875___ 
 1,061363551 
PV = R$ 824,41 
 
Cálculo na HP 12C 
 
875 [CHS] 
 [FV] 
1,5 [i] 
4 [n] 
 [PV] 
824,41 
 
Agora, aprenda a calcular o tempo em uma operação a juros compostos. Para isso, 
devemos isolar a variável n ou t e trabalhar com logaritmos de base 10. Para calculá-
los, utilize uma calculadora científica. 
 
Já sabemos que a fórmula básica para calcular juros compostos é: 
 
FV = PV . (1 + i)n 
 
Agora, acompanhe o processo de isolamento da variável n: 
 
FV = PV . (1 + i)n 
 
(1 + i)n = 
 
log (1 + i)n = log ( ) 
 
 
n . log (1 + i) = log ( ) 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
6 
 
 
n = log ( ) 
 log (1 + i) 
 
Como vimos há pouco, para o cálculo de logaritmo precisamos de uma calculadora 
científica. 
 
Para acessá-la do seu computador, acesse o “Menu Iniciar”, “Acessórios” e 
“Calculadora”. 
 
Na barra de ferramentas, selecione o item “Exibir” e “Científica”. 
 
Pronto! A calculadora pode ser utilizada para realizar os cálculos necessários. 
 
Acompanhe um exemplo: 
Quantos meses serão necessários para que um capital de R$ 12.000,00 aplicado à 
taxa de juros compostos de 2% a.m., atinja um montante de R$ 15.833,75? 
 
Dados: 
C ou PV = R$ 12.000,00 
i = 2% a.m. ou 0,02 a.m. 
M ou FV = R$ 15.833,75 
n = ? 
 
n = log ( ) 
 log (1 + i) 
 
n = log ( ) 
 log (1 + 0,02) 
 
n = log 1,319479167 
 log 1,02 
 
n = 0,120402537 
 0,008600172 
 
n = 14 
 
Portanto, serão necessários 14 meses para se atingir o montante desejado. 
 
Cálculo na HP 12C 
12.000 [CHS] 
 [PV] 
15.833,75 [FV] 
2 [i] 
 [n] 
14Para calcular os logaritmos, acesse a 
calculadora científica, pressione os valores 
apresentados no problema e a tecla log. 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
7 
 
Agora, basta aprendermos a calcular a taxa de juros em uma operação a juros 
compostos. Para isso, devemos isolar a variável i. 
 
FV = PV . (1 + i)n 
 
FV = PV . (1 + i)n 
 
 = (1 + i)n 
 
 
√ = √ (1 + i)n 
 
 
√ = 1 + i 
 
 i = √ - 1 
 
Acompanhe o exemplo: 
Por um empréstimo de R$ 3.250,00 durante um período de 10 meses, uma pessoa 
pagará ao banco o montante de R$ 4.500,00 sob o regime de capitalização composta. 
Qual a taxa de juros da aplicação? 
 
C ou PV = R$ 3.250,00 
M OU FV = R$ 4.500,00 
n = 10 
i = ? 
 
 
 i = √ - 1 
 
i = √ - 1 
 
i = √1,384615385 - 1 
 
i = 1,033077529 – 1 
 
i = 0,033077529 
 
O valor obtido corresponde ao valor da taxa de juros na forma decimal. Como já 
estudamos, para transformá-la em porcentagem, temos que multiplicá-lo por 100. 
 
0,033077529 . 100 = 3,3% a.m. 
 
Logo, a taxa de juros dessa aplicação será de 3,3% a.m. 
 
n 
10 
10 
Utilize a HP 12C para realizar o cálculo da raiz décima de 1,384615385. 
 
1,384615385 [ENTER] Valor do radicando 
10 [1/x] Valor do índice 
 [yx] Dado que desejamos encontrar. Nesse 
 caso, a raiz décima. 
1,033077529 
n n 
n 
n 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
8 
 
Cálculo na HP 12C 
 
3.250 [CHS] 
 [PV] 
4.500 [FV] 
10 [n] 
 [i] 
3,3% a.m. 
 
Já sabemos que para realizar qualquer cálculo, a taxa de juros e o período devem 
possuir a mesma unidade de tempo. 
 
Quando uma taxa é fornecida em uma unidade de tempo diferente daquela a que se 
refere o prazo da operação, basta modificarmos a sua unidade de tempo utilizando 
uma taxa equivalente. Por exemplo, imagine que uma dívida de R$ 4.500,00 fosse 
liquidada 18 dias após o seu vencimento à taxa de juros de 6% ao mês. 
Quanto seria necessário para liquidar a dívida? 
 
Observe que, neste caso, a unidade de tempo da taxa de juros é diferente daquela a 
que se refere o prazo da operação. Portanto, para modificarmos a unidade de tempo da 
taxa, precisamos conhecer os conceitos de taxa nominal, taxa efetiva e taxa 
equivalente que geram muitas dúvidas na matemática financeira. 
 
Acompanhe os conceitos: 
 
Taxa nominal: ocorre quando o prazo de incorporação de juros não coincide com 
aquele que a taxa se refere. 
 
Taxa efetiva: taxa real utilizada para o cálculo de juros, que pode ser estabelecida de 
duas formas: 
 
a) Taxas equivalentes: são taxas de juros utilizadas no regime de juros 
compostos, que, apesar de serem fornecidas em unidades de tempo diferentes, 
levam a um mesmo montante acumulado, quando aplicadas a um mesmo capital 
durante o mesmo prazo. Por exemplo, uma taxa de juros de 0,5 % ao mês é 
equivalente a 6,1678% ao ano. 
 
b) Taxas proporcionais: são taxas de juros utilizadas no regime de juros simples e 
são calculadas pela divisão ou multiplicação dos períodos. Por exemplo, uma 
taxa de juros de 0,5% ao mês é proporcional a 6% ano, pois 0,5% . 12 = 6%. 
 
Imagine que o montante de um capital de R$ 1.000,00 fosse aplicado por 18 meses à 
taxa de juros compostos de 12% ao ano. Sabemos que, nesse caso, a taxa nominal é 
de 12% a.a. e a taxa efetiva mensal pode ser calculada de duas formas: 
• Taxa proporcional mensal, obtida pela divisão da taxa anual (12%) por 12 (meses) = 
1% a.m. 
• Taxa equivalente mensal, obtida pela fórmula: iq = (1+ it)
q/t - 1 onde: 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
9 
 
iq = taxa equivalente para o prazo que eu quero. 
it = taxa para o prazo que eu tenho. 
q = prazo que eu quero. 
t = prazo que eu tenho. 
 
Portanto: 
 
iq = (1+ it)
q/t - 1 
iq = (1 + 0,12)
1/12 - 1 
iq = (1,12)
0,083333 – 1 
iq = 0,009489 a.m. ou 0,949% a.m. 
 
Cálculo na HP 12C 
 
1 [ENTER] 
0,12 [+] 
 [ENTER] 
1 [ENTER] 
12 [:] 
 [yx] 
1 [-] 
100 [x] 
0,949% a.m. 
 
Agora, resolveremos o problema utilizando a taxa efetiva mensal: 
a) pela convenção da taxa proporcional: 
M = C . (1 + i)n 
M = 1.000 (1 + 0,01)18 
M = 1.000 . 1,196147 
M = R$ 1.196,15 
 
b) pela convenção da taxa equivalente: 
M = C . (1 + i)n 
M = 1000 (1 + 0,009489)18 
M = 1.000 . 1,185296 
M = R$ 1.185,29 
 
Para comprovar que a taxa de 0,948% a.m é equivalente a taxa de 12% a.a, basta 
calcular o montante utilizando a taxa anual, neste caso teremos que transformar 18 
meses em anos para fazer o cálculo, ou seja: 18 / 12 = 1,5 por ano. Assim: 
 
M = C . (1 + i)n 
M = 1000 (1 + 0,12)1,5 
M = 1.000 . 1,185297 
M = R$ 1.185,29 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
10 
 
Algumas informações que você precisa saber: 
1) a taxa nominal indicada no problema foi de 12% a.a., pois não foi aplicada no cálculo 
do montante. Normalmente a taxa nominal vem sempre ao ano; 
2) a taxa efetiva mensal, como o próprio nome diz, é aquela utilizada para o cálculo do 
montante. Pode ser uma taxa proporcional mensal (1% a.m.) ou uma taxa 
equivalente mensal (0,949% a.m.); 
3) qual a taxa efetiva mensal que devemos utilizar? Em se tratando de concursos 
públicos, a maioria das bancas examinadoras utiliza a convenção da taxa 
proporcional. Já no mercado financeiro, utiliza-se a taxa equivalente. 
 
Também podemos utilizar para o cálculo de períodos não inteiros a taxa efetiva linear 
ou a taxa efetiva exponencial. Veja a diferença: 
 
Convenção linear 
É aquela que admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e 
juros simples para a parte fracionária. 
 
 
FV = PV . (1 + i)n . (1 + i . ) 
 
 
 
Exemplo: 
Luana fez um empréstimo de R$ 20.000 à taxa de 25% ao ano, pelo prazo de 3 anos e 
8 meses. Calcule o montante ou valor futuro desse empréstimo pela convenção linear. 
 
Dados: 
PV = R$ 20.000,00 
i = 25% a.a. 
n = 3 anos 
m = 8 meses 
k = 12 meses 
FV = ? 
 
FV = PV . (1 + i)n . (1 + i . ) 
 
FV = 20.000 . ( 1 + 0,25 )3 . (1 + 0,25 . 8 ) 
 12 
FV = 20.000 . (1,25)3 . (1 + 0,25 . 0,6666667) 
FV = 20.000 . (1,953125) . (1,166666667) 
FV = 20.000 . 2,278645834 
FV = R$ 45.572,92 
 
O valor futuro desse empréstimo será de R$ 45.572,92 pela convenção linear. 
 
 
 
Onde: 
FV = Valor Futuro 
PV = Valor Presente 
n = período 
m = período fracionário 
k = período de referência 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
11 
 
Convenção exponencial 
A convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período 
(parte inteira e parte fracionária). 
 
 
FV = PV . ( 1 + i )n + 
 
 
 
Exemplo: 
Luana fez um empréstimo de R$ 20.000 à taxa de 25% ao ano, pelo prazo de 3 anos e 
8 meses. Calcule o montante ou valor futuro desse empréstimo pela convenção 
exponencial. 
 
Usando o mesmo exemplo anterior, temos: 
 
Dados: 
PV = R$ 20.000,00 
i = 25% a.a. 
n = 3 anos 
m = 8 meses 
k = 12 meses 
FV = ? 
 
FV = PV . ( 1 + i )n + 
 
FV = 20.000 . (1 + 0,25)3 + 8/12 
FV = 20.000 . (1,25)3 + 0,666666667 
FV = 20.000 . (1,25)3,666666667 
FV = 20.000 . 2,266400798 
FV = R$ 45.328,02 
 
Note a diferença dos valores obtidos: 
• pela convenção linear: R$ 45.572,92 
• pela convenção exponencial: R$ 45.328,02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
FV = Valor Futuro 
PV = Valor Presente 
n = período 
m = período fracionário 
k = período de referência 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
12 
 
AULA 2 – DESCONTO 
 
Já falamos sobre desconto no curso “Matemática Financeira I”, mas agora, nos 
aprofundaremos nos conceitos, portanto, passo a palavra ao Gerson que falará mais 
sobre o assunto. 
 
Outra abordagem para desconto está relacionada à diferença entre o valor futuro de 
um título e seuvalor atual na data da operação. É o nome dado ao abatimento 
concedido quando se resgata um título de crédito antes do seu vencimento. 
 
A operação de desconto pode ser descrita como o custo financeiro do dinheiro pago 
em função da antecipação de recurso. Costuma-se dizer que é uma operação inversa 
ao cálculo de juros. 
 
Pode-se dizer, ainda, que é a parcela que o banco cobra por descontar (antecipar 
recursos), para os clientes que possuem duplicatas ou títulos a receber. 
 
A operação de Desconto é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (o 
valor do título no seu vencimento) e se quer determinar o seu valor presente (o valor do 
título hoje), obtida por meio da fórmula: 
 
 
D = N – P 
 
 
Nas movimentações financeiras, existem algumas variações de desconto, associados à 
taxa de juros: o desconto simples e o desconto composto. Vamos conhecer cada um 
detalhadamente, começaremos pelo desconto simples. 
 
Desconto simples 
É o valor a ser deduzido do título, calculado a juros simples, por antecipação do 
resgate. Ele pode ser “por fora” ou “por dentro”, acompanhe: 
 
A) Desconto simples bancário, por fora ou comercial: é a parcela a ser deduzida do 
título, calculada a juros simples sobre o valor nominal do título. 
 
 
 
Db = N . i . n 
 
 
 
O valor atual bancário é dado por: 
 
A = N – Db 
 
 
Onde: 
D = valor do desconto 
N = valor nominal (valor de resgate ou valor futuro) 
P = valor presente da operação 
 
Onde: 
Db = desconto bancário 
N = valor nominal 
i = taxa de desconto 
n = número de períodos 
 
Onde: 
A = valor atual bancário 
N = valor nominal 
Db = desconto bancário 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
13 
 
 
Acompanhe o exemplo: 
Um título de R$ 60.000,00 será descontado à taxa de juros simples de 2,1% ao mês. 
Faltando 1,5 meses para o seu vencimento. Com base nas informações determine: 
 
a) O valor do desconto bancário. 
N = R$ 60.000,00 
i = 2,1% a.m 
n= 1,5 meses 
 
Db = N . i . n 
Db = 60.000 . 0,021 . 1,5 
Db = R$ 1.890,00 
 
b) O valor atual comercial. 
A = N – Db 
A = 60.000 – 1.890 
A = R$ 58.110,00 
 
B) Desconto simples racional, por dentro ou real: é a parcela a ser deduzida do 
título, calculada a juros simples sobre o valor atual. 
 
Dr = Db ou Dr = N . i . n 
 1 + i . n 1 + i . n 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor atual racional é dado por: 
 
A = N – Dr ou PV = FV 
 (1 + i . n) 
 
 
 
 
 
 
Aplicaremos o mesmo conceito no exemplo que estudamos há pouco: um título de R$ 
60.000,00 será descontado à taxa simples de 2,1% ao mês, faltando 1,5 meses para o 
vencimento. Com base nas informações determine: 
 
a) O valor do desconto racional 
Onde: 
Db = desconto bancário 
Dr = desconto racional 
i = taxa de desconto 
n = número de períodos 
N = valor nominal 
 
A utilização de uma fórmula ou outra dependerá das informações disponíveis no problema. 
Se o valor do desconto bancário for informado no exercício, utilize a primeira fórmula. 
Onde: 
A = valor atual racional 
N = valor nominal 
Dr = desconto racional 
PV = valor presente 
FV = valor futuro 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
14 
 
Dados: 
N = R$ 60.000,00 
i = 2,1% a.m. 
n = 1,5 meses 
Dr = ? 
 
Dr = N . i . n 
 1 + i . n 
 
Dr = 60.000 . 0,021 . 1,5 
 1 + 0,021 . 1,5 
 
Dr = 1.890 
 1 + 0,031500 
 
Dr = 1.890 
 1,031500 
 
Dr = R$ 1.832,28 
 
b) O valor atual racional 
 
A = N – Dr 
A = 60.000 – 1.832,28 
A = R$ 58.167,72 
 
Ou 
 
PV = FV 
 (1 + i . n) 
 
PV = 60.000 
 (1 + 0,021 . 1,5) 
 
PV = 60.000 
 1,0315 
 
PV = 58.167,72 
 
Compare os dois resultados: 
- desconto simples bancário: R$ 1.890,00 
- desconto simples racional: R$ 1.832,28 
 
Atualmente no mercado é praticado o desconto bancário. Sendo assim, caso o 
exercício não mencione o tipo de desconto simples utilizado, adote o “desconto 
bancário ou por fora”. 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
15 
 
Desconto Composto 
Da mesma forma como o desconto simples, o desconto composto também possui dois 
tipos: o “por fora” ou o “por dentro”. O desconto composto “por fora”, não é utilizado no 
Brasil, pois não tem nenhuma utilização prática conhecida, já o desconto “por dentro” 
ou racional consiste na diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, 
determinado com base no regime de capitalização composta e calculado por meio da 
fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
Nas situações de desconto racional composto, talvez seja necessário encontrar o valor 
atual do título, para isso, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já para encontrar o valor nominal, futuro ou de resgate, utilizamos a fórmula: 
 
 
N = A . (1 + i)n ou FV = PV . (1 + i)n 
 
 
 
 
 
Acompanhe alguns exemplos: 
 
1) Encontre o valor do desconto composto racional de um título de R$ 50.000,00, 
sabendo-se que o prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao 
mês. 
 
Dados: 
N = R$ 50.000,00 
n = 5 meses 
d = 3,5% ao mês 
Dcr = ? 
 
 
 
Dcr = N . ( 1 + d )n - 1 
 ( 1 + d )n 
A = N ou PV = FV 
 ( 1 + i)n ( 1 + i)n 
 Para encontrar o valor atual, note que 
utilizamos a mesma fórmula para 
cálculo do Valor Presente. 
Para encontrar o valor nominal ou 
futuro, utilizamos a mesma fórmula 
para cálculo do Valor Futuro. 
Onde: 
Dcr = desconto composto racional 
N = valor nominal 
d = taxa de desconto racional composto 
n = número de períodos 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
16 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dcr = R$ 7.901,34 
 
Cálculo na HP 12C 
 
50.000 [FV] 
5 [n] 
3,5 [i] 
 [PV] 
 [RCL] 
 [FV] 
 [+] 
7.901,34 
 
2) Qual o valor nominal de um título que, descontado 6 meses antes do seu 
vencimento, à uma taxa composta de 7% a.m., determinou o valor de resgate de R$ 
5.000,00? 
 
Dados: 
A ou PV = R$ 5.000,00 
i = 7% a.m. 
n = 6 meses 
N ou FV = ? 
 
FV = PV . (1 + i)n 
FV = 5.000 . (1 + 0,07)6 
FV = 5.000 . (1,07)6 
FV = 5.000 . 1,500730352 
FV = R$ 7.503,65 
 
Dcr = N . ( 1 + d )n - 1 
 ( 1 + d )n 
Dcr = 50.000 . ( 1 + 0,035 )5 - 1 
 ( 1 + 0,035 )5 
Dcr = 50.000 . ( 1,035 )5 - 1 
 ( 1,035 )5 
Dcr = 50.000 . ( 1,035 )5 - 1 
 ( 1,035 )5 
Dcr = 50.000 . 0,187686306 
 1,187686306 
Dcr = 50.000 . 0,158026833 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
17 
 
Cálculo na HP 12C 
 
5.000 [CHS] 
 [PV] 
7 [i] 
6 [n] 
 [FV] 
7.503,65 
 
3) Determine o valor atual de um título de valor nominal de R$ 17.400,00, com 
desconto racional composto de 8 meses antes do seu vencimento a uma taxa de 4% 
a.m. 
 
Dados: 
N ou FV = R$ 17.400,00 
i = 4% a.m. 
n = 8 meses 
A ou PV = ? 
 
PV = FV 
 ( 1 + i)n 
 
PV = 17.400 
 ( 1 + 0,04)8 
 
PV = 17.400 
 1,368569050 
 
PV = R$ 12.714,01 
 
Cálculo na HP 12C 
 
17.400 [CHS] 
 [FV] 
8 [n] 
4 [i] 
 [PV] 
12.714,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
18 
 
AULA 3 – FLUXO DE CAIXA E SÉRIE DE PAGAMENTOS 
 
Um fluxo de caixa representa graficamente a previsão de entradas e saídas de dinheiro 
por determinado período de tempo (ano, trimestre, mês, dia ou até horas). Essa 
visualização prévia das sobras e faltas no caixa permite planejar melhor as ações 
futuras ou desempenho, além de fornecer informações importantes para a tomada de 
decisões. 
 
O fluxo de caixa é representado por uma linha horizontal que indica o período de 
tempo. As setas para cima indicam as entradas de dinheiro e as para baixo indicam as 
saídas. 
 
Acompanhe o fluxo de caixa de uma pessoa que realizou um empréstimo bancário de 
R$ 10.000,00 e pagará12 parcelas de R$ 1.000,00. 
 
 
 
 
 
 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 
 
Agora, acompanhe outro exemplo: uma pessoa comprou um carro por R$ 24.000,00 e 
pagará em 24 parcelas de R$ 1.200,00 a partir do mês seguinte à compra. 
 
 
 
 
 
 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 
 
Uma pessoa comprou um produto por R$ 5.000,00 e pagará em 7 parcelas variáveis 
que começam com R$ 600,00 e vão aumentando R$100,00 por mês, sendo a primeira 
parcela paga a partir do mês seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 R$ 600,00 R$ 700,00 R$ 800,00 R$ 900,00 R$ 1.000,00 R$ 1.100,00 
 
R$ 1.000,00 
R$ 10.000,00 
0 1 2 3 4 5 ... 12 
R$ 1.200,00 
R$ 24.000,00 
0 1 2 3 4 5 ... 24 
R$ 1.200,00 
0 1 2 3 4 5 6 7 
R$ 5.000,00 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
19 
 
Resumindo, fluxo de caixa constitui o conjunto de pagamentos e recebimentos ao longo 
de “n” períodos. Para esse processo damos o nome de série de pagamentos. 
 
Uma série de pagamentos que se inicia após a data zero recebe o nome de 
POSTECIPADO. Se iniciar na data zero, recebe o nome de ANTECIPADO. 
 
Pagamentos no início dos períodos: fluxo ANTECIPADO 
 
 
 
 
 
 
 
Pagamentos no final dos períodos: fluxo POSTECIPADO 
 
 
 
 
 
 
 
O conceito de fluxo de caixa está totalmente relacionado com série de pagamentos 
que, como próprio nome já diz, consiste em uma sequência de pagamentos ou 
recebimentos. 
 
Existem vários tipos de séries de pagamentos, dos quais podemos destacar: 
 
1) acumulação de capital; 
2) formação de capital; 
3) valor atual; 
4) cálculo de prestações. 
 
 
 
 
1) ACUMULAÇÃO DE CAPITAL 
 
Consiste em descobrir o montante ou valor futuro de uma série uniforme de 
pagamentos iguais com base em uma determinada taxa de juros por determinado 
período. 
 
R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 
0 1 2 3 4 5 6 7 
R$ 5.000,00 
 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 
0 1 2 3 4 5 6 7 
R$ 5.000,00 
Nesse caso, a primeira saída de caixa ocorre junto com a entrada. 
Nesse caso, a primeira saída de caixa ocorre em período diferente da entrada. 
Clique sobre as séries de pagamentos para conhecê-las. Atente-se para as diferentes fórmulas dos fluxos 
postecipado e antecipado. 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
20 
 
Para o cálculo de acumulação de capital devemos considerar os fluxos postecipado e 
antecipado. 
 
Fluxo postecipado 
 
Se uma pessoa aplicar R$ 200,00 por mês em um fundo de renda fixa a uma taxa 
mensal de 1%, qual será o montante ao final de 10 anos, considerando que as 
aplicações iniciarão a partir do mês seguinte? 
 
Dados: 
PMT = R$ 200,00 
i = 1% a.m. 
n = 10 anos ou 120 meses 
FV = ? 
 
FV = PMT (1 + i)n – 1 
 i 
 
FV = 200 (1 + 0,01)120 – 1 
 0,01 
 
FV = 200 (1,01)120 – 1 
 0,01 
 
FV = 200 3,300386895 – 1 
 0,01 
 
FV = 200 2,300386895 
 0,01 
 
FV = 200 . 230,0386895 
 
FV = R$ 46.007,74 
 
Cálculo na HP 12C 
 
200 [CHS] 
 [PMT] 
1 [i] 
120 [n] 
 [PV] 
46.007,74 
 
Fluxo antecipado 
 
Onde: 
FV = valor futuro ou montante 
PMT = parcela 
n = tempo 
i = taxa de juros 
A tecla PMT (Periodic Payment Amount) é utilizada para o cálculo de 
parcelas na HP 12C. 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
21 
 
Se uma pessoa aplicar R$ 200,00 por mês em um fundo de renda fixa a uma taxa 
mensal de 1%, qual seria o montante ao final de 10 anos, considerando que as 
aplicações iniciaram este mês? 
 
Dados: 
PMT = R$ 200,00 
i = 1% a.m. 
n = 10 anos ou 120 meses 
FV = ? 
 
FV = PMT . (1 + i) (1 + i)n – 1 
 i 
 
FV = 200 . (1 + 0,01) (1 + 0,01)120 – 1 
 0,01 
 
FV = 200 . (1,01) (1,01)120 – 1 
 0,01 
 
FV = 202 3,300386895 – 1 
 0,01 
 
FV = 202 2,300386895 
 0,01 
 
FV = 202 . 230,0386895 
 
FV = R$ 46.467,82 
 
Cálculo na HP 12C 
 
 [g] 
 [BEG] 
200 [CHS] 
 [PMT] 
1 [i] 
120 [n] 
 [FV] 
46.467,82 
 
2) FORMAÇÃO DE CAPITAL 
 
Consiste em descobrir o valor da parcela a ser depositada em cada período com base 
em uma determinada taxa de juros, pretendendo alcançar um montante 
preestabelecido. 
 
Nesse caso, também consideramos os fluxos postecipado e antecipado. 
As teclas [g] [BEG] são utilizadas para indicar um fluxo de pagamento 
antecipado. 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
22 
 
 
Fluxo postecipado 
 
Um investidor deseja resgatar R$ 1.000.000,00 ao final de 10 anos de um fundo de 
renda fixa que remunera o capital investido a 3% a.m. Quanto ele deverá depositar ao 
final de cada mês para obter o montante desejado? 
 
Dados: 
FV = R$ 1.000.000,00 
i = 3% a.m. 
n = 10 anos ou 120 meses 
PMT = ? 
 
PMT = FV i 
 (1 + i)n - 1 
 
PMT = 1.000.000 0,03 
 (1 + 0,03)120 – 1 
 
PMT = 1.000.000 0,03 
 (1,03)120 – 1 
 
PMT = 1.000.000 0,03 
 34,71098714 – 1 
 
PMT = 1.000.000 0,03 
 33,7109871 
 
PMT = 1.000.000 . 0,000889918 
 
PMT = R$ 889,92 
 
Cálculo na HP 12C 
 
1.000.000 [FV] 
120 [n] 
3 [i] 
 [PMT] 
R$ 889,92 
 
Fluxo antecipado 
 
Um investidor deseja resgatar R$ 1.000.000,00 ao final de 10 anos de um fundo de 
renda fixa que remunera o capital investido a 3% a.m. Determine quanto ele deverá 
depositar no início de cada mês para obter o montante desejado. 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
23 
 
Dados: 
FV = R$ 1.000.000,00 
n = 10 anos ou 120 meses 
i = 3% a.m. 
PMT = ? 
 
 
PMT = FV . 1 i 
 (1 + i) (1 + i)n - 1 
 
 
 
PMT = 1.000.000 . 1 0,03 
 (1 + 0,03) (1 + 0,03)120 - 1 
 
PMT = 1.000.000 . 1 0,03 
 (1,03) (1,03)120 - 1 
 
PMT = 1.000.000 . 0,9708737864 0,03 
 34,71098714 - 1 
 
PMT = 970.873,786 0,03 
 33,71098714 
 
PMT = 970.873,786 . 0,000889918 
 
PMT = R$ 864,00 
 
Cálculo na HP 12C 
 
 [g] 
 [BEG] 
1.000.000 [FV] 
120 [n] 
3 [i] 
 [PMT] 
- 864,00 
 
3) VALOR ATUAL 
 
Consiste em descobrir o valor principal ou presente de um fluxo de caixa baseado em 
determinada taxa de juros por determinado período. 
 
Para o cálculo de valor atual devemos considerar os fluxos postecipado e antecipado. 
 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
24 
 
Fluxo postecipado 
 
Qual o valor do empréstimo que poderá ser pago em 10 prestações mensais de R$ 
200,00, sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% ao mês e que os 
pagamentos serão efetuados ao final de cada mês. 
 
Dados: 
PMT = R$ 200,00 
i = 5% a.m. 
n = 10 meses 
PV = ? 
 
PV = PMT (1 + i)n - 1 
 i (1 + i)n 
 
PV = 200 (1 + 0,05)10 - 1 
 0,05 (1 + 0,05)10PV = 200 (1,05)10 - 1 
 0,05 (1,05)10 
 
PV = 200 1,628894627 - 1 
 0,05 . 1,628894627 
 
PV = 200 0,628894627 
 0,081444731 
 
PV = 200 . 7,721734964 
 
PV = R$ 1.544,35 
 
Cálculo na HP 12 C 
 
200 [CHS] 
 [PMT] 
10 [n] 
5 [i] 
 [PV] 
1.544,35 
 
Fluxo antecipado 
 
Qual o valor do empréstimo que poderá ser pago em 10 prestações mensais de R$ 
200,00, sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% ao mês e que os 
pagamentos serão efetuados ao final de cada mês. 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
25 
 
Dados: 
PMT = R$ 200,00 
i = 5% a.m. 
n = 10 meses 
PV = ? 
 
PV = PMT (1 + i) (1 + i)n - 1 
 i (1 + i)n 
 
PV = 200 (1 + 0,05) (1 + 0,05)10 - 1 
 0,05 (1 + 0,05)10 
 
PV = 200 (1,05) (1,05)10 - 1 
 0,05 (1,05)10 
 
PV = 210 1,628894627 - 1 
 0,05 . 1,628894627 
 
 
PV = 210 0628894627 
 0,081444731 
 
PV = 210 . 7,721734964 
 
PV = R$ 1.621,56 
 
Cálculo na HP 12C 
 
 [g] 
 [BEG] 
200 [CHS] 
 [PMT] 
10 [n] 
5 [i] 
 [PV] 
1.621,56 
 
4) CÁLCULO DE PRESTAÇÕES 
 
Consiste em descobrir o valor das parcelas de um financiamento ou empréstimo, 
baseado no valor presente, em determinada taxa de juros e determinado período. 
 
Para o cálculo de prestações, também devemos considerar os fluxos postecipado e 
antecipado. 
 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
26 
 
Fluxo postecipado 
 
Um empréstimo de R$ 1.544,35 deve ser pago em 10 prestações iguais. Pede-se para 
calcular o valor de cada prestação, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m. e que 
os pagamentos são feitos ao final de cada período. 
 
Dados: 
PV = R$ 1.544,35 
n = 10 meses 
i = 5% a.m. 
PMT = ? 
 
PMT = PV i (1 + i)n 
 (1 + i)n - 1 
 
PMT = 1.544,35 0,05 (1 + 0,05)10 
 (1 + 0,05)10 - 1 
 
PMT = 1.544,35 0,081444731 
 0,628894627 
 
PMT = 1.544,35 . 0,129504574 
 
PMT = R$ 200,00 
 
Cálculo na HP 12C 
 
1.544,35 [PV] 
10 [n] 
5 [i] 
 [PMT] 
- 200 
 
Fluxo antecipado 
 
Um empréstimo de R$ 1.544,35 deve ser pago em 10 prestações iguais. Pede-se para 
calcular o valor de cada prestação, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m. e que 
os pagamentos são feitos ao final de cada período. 
 
Dados: 
PV = R$ 1.544,35 
n = 10 meses 
i = 5% a.m. 
PMT = ? 
 
PMT = PV i (1 + i)n 
 (1 + i) . [(1 + i)n – 1] 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
27 
 
 
PMT = 1.544,35 0,05 (1 + 0,05)10 
 (1 + 0,05) . [(1 + 0,05)10 – 1] 
 
 
PMT = 1.544,35 0,081444731 
 (1 + 0,05) . (0,628894627) 
 
PMT = 1.544,35 0,081444731 
 0,660339358 
 
PMT = 1.544,35 . 0,123337690 
 
PMT = R$ 190,48 
 
Cálculo na HP 12C 
 
 [g] 
 [BEG] 
1.544,35 [PV] 
10 [n] 
5 [i] 
 [PMT] 
- 190,48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
28 
 
AULA 4 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
Quando uma pessoa contrai uma dívida, o devedor se compromete a devolver o capital 
emprestado acrescido de juros. Essa remuneração depende do regime de juros 
adotados, determinado pelo prazo em que o empréstimo é efetuado. 
 
A isso damos o nome de amortização - um processo de extinção de uma dívida por 
meio de pagamentos periódicos, de modo que cada prestação corresponde à soma do 
capital emprestado, calculado sobre o saldo devedor. 
 
Os principais sistemas de amortização são: 
 
Sistema de Pagamento único 
Sistema de Pagamentos variáveis 
Sistema de Amortização Americano (SAA) 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Sistema de Amortização Price ou Francês (PRICE) 
Sistema de Amortização Misto (SAM) 
 
Em todos os sistemas de amortização, algumas regras devem ser seguidas: 
 
• a parcela ou pagamento corresponde a soma do valor amortizado e os juros; 
• os juros sempre serão calculados sobre o saldo devedor; 
• se o sistema de pagamento adotado não houver amortização ou pagamentos, os 
juros serão incorporados ao saldo devedor; 
• se houver amortização, esse valor será deduzido do saldo devedor; 
• ser houver pagamento dos juros sem amortização, o saldo devedor permanecerá o 
mesmo. 
 
Não se preocupe se ficou confuso o entendimento dessas regras. No decorrer da aula, 
entenderá esses elementos com mais facilidade. 
 
Agora, estudaremos detalhadamente cada sistema de amortização e aplicaremos o 
seguinte exemplo: imagine que uma pessoa faça um financiamento de R$ 100.000,00 
que será pago ao longo de 6 meses à taxa de juros mensal de 2,5% a.m. 
 
Resumindo: 
VP = R$ 100.000,00 
n = 6 meses 
i = 2,5% a.m. 
 
Agora, vamos aplicá-lo em cada sistema de amortização. 
 
 
 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
29 
 
SISTEMA DE PAGAMENTO ÚNICO 
 
Nesse sistema, o devedor paga o montante da dívida em um único pagamento no final. 
Ele é normalmente utilizado em letras de câmbio, títulos descontados em bancos, 
certificados a prazo fixo com renda final. 
 
Sistema de Pagamento Único 
Tempo 
(n) 
Juros 
(j) 
Amortização do 
saldo devedor 
(A) 
Pagamento 
(parcelas) 
(PMT) 
Saldo 
devedor 
(SD) 
0 0 0 0 100.000,00 
1 2.500,00 0 0 102.500,00 
2 2.562,50 0 0 105.062,50 
3 2.626,56 0 0 107.689,06 
4 2.692,23 0 0 110.381,29 
5 2.759,53 0 0 113.140,82 
6 2.828,52 100.000,00 115.696,34 0 
Totais 15.696,34 100.000,00 115.696,34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS 
 
Nesse sistema, o devedor paga valores variáveis de acordo com a sua condição e 
acordo com o credor. Os juros do saldo devedor serão pagos sempre ao final de cada 
período. 
 
Esse sistema normalmente é usado em cartões de crédito. 
 
Página 7 
 
Para visualizar na prática, imagine que para saldar a dívida de R$ 100.000,00 foi 
desenvolvida a seguinte proposta ao cliente: 
Os valores foram obtidos por 
meio do cálculo dos juros sobre 
o saldo devedor. Acompanhe o 
exemplo de cálculo do período 
1: 
 
J = SD . i 
J = 100.000 . 0,025 
J = R$ 2.500,00 
Como estudamos há pouco, se o sistema de 
pagamento adotado não houver amortização ou 
pagamentos, os juros serão incorporados ao saldo 
devedor. 
 
Para verificar se o valor apresentado no esquema está 
correto, basta utilizar a fórmula do montante: 
 
M = C (1 + i)n 
M = 100.000 (1 + 0,025)6 
M = 100.000 (1,025)6 
M = 100.000 . 1,159693418 
M = R$ 115.969,34 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
30 
 
� 1º mês: R$ 12.000,00 + juros 
� 2º mês: R$ 25.000,00 + juros 
� 3º mês: R$ 10.000,00 + juros 
� 4º mês: R$ 33.000,00 + juros 
� 5º mês: R$ 10.000,00 + juros 
� 6º mês: R$ 10.000,00 + juros 
 
Sistema de Pagamentos Variáveis 
Tempo 
(n) 
Juros 
(j) 
Amortização do 
saldo devedor 
(A) 
Pagamento 
(parcelas) 
(PMT) 
Saldo 
devedor 
(SD) 
0 0 0 0 100.000,00 
1 2.500,00 12.000,00 14.500,00 88.000,00 
2 2.200,00 25.000,00 27.200,00 63.000,00 
3 1.575,00 10.000,00 11.575,00 53.000,00 
4 1.325,00 33.000,00 34.325,00 20.000,00 
5 500,00 10.000,00 20.500,00 10.000,00 
6 250,00 10.000,00 10.250,00 0 
Totais 8.100,00 100.000,00 118.350,00 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) 
 
Nesse sistema, o devedor paga o valor do financiamento em um único pagamento no 
final e realiza o pagamento dos juros no final de cada período. 
 
Sistema de Amortização Americano (SAA) 
Tempo 
(n) 
Juros 
(j) 
Amortização do 
saldo devedor 
(A) 
Pagamento 
(parcelas) 
(PMT) 
Saldo 
devedor 
(SD) 
0 0 0 0 100.000,00 
1 2.500,00 0 2.500,00 100.000,00 
2 2.500,00 0 2.500,00 100.000,00 
3 2.500,00 0 2.500,00 100.000,00 
4 2.500,00 0 2.500,00 100.000,00 
5 2.500,00 0 2.500,00 100.000,00 
6 2.500,00 100.000,00 102.500,00 0 
Totais 15.000,00 100.000,00 115.000,00 
 
Como estudamos há pouco,se 
houver amortização, esses valores 
serão deduzidos do saldo devedor. 
Valores acordados na 
proposta entre o devedor e 
o credor. 
 
Nesse caso, os juros não foram incorporados ao 
saldo devedor, pois foram pagos em cada período. 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
31 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
Nesse sistema, o devedor paga o valor financiado em determinado período de tempo, 
sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. 
 
Comumente utilizado no Sistema Financeiro da Habitação. 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Tempo 
(n) 
Juros 
(j) 
Amortização do 
saldo devedor 
(A) 
Pagamento 
(parcelas) 
(PMT) 
Saldo 
devedor 
(SD) 
0 0 0 0 100.000,00 
1 2.500,00 16.666,67 19.166,67 83.333,33 
2 2.083,33 16.666,67 18.750,00 66.666,66 
3 1.666,67 16.666,67 18.333,34 49.999,99 
4 1.250,00 16.666,67 17.916,67 33.333,32 
5 833,33 16.666,67 17.500,00 16.666,65 
6 416,67 16.666,67 17.083,34 0 
Totais 8.750,00 100.000,02 108.750,02 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PRICE OU FRANCÊS 
 
É o sistema mais comumente usado no Brasil para financiamentos de bens de 
consumo em geral. Nesse sistema, todos os pagamentos (prestações) são iguais. 
 
Para chegar ao valor de amortização é necessário calcular o valor das parcelas 
primeiro. Esse cálculo foi estudado na aula anterior em “cálculo de prestações em série 
de pagamentos”. 
 
Relembre: imagine que uma pessoa faça um financiamento de R$ 100.000,00 que será 
pago ao longo de 6 meses à taxa de juros mensal de 2,5% a.m. Qual será o valor das 
parcelas do financiamento? 
 
Dados: 
PV = R$ 100.000,00 
n = 6 meses. 
i = 2,5% a.m. 
PMT = ? 
 
 
Para encontrar o valor de amortização mensal, o 
saldo devedor é dividido igualmente pelo número de 
parcelas. 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
32 
 
PMT = PV i (1 + i)n 
 (1 + i)n - 1 
 
PMT = 100.000 0,025 (1 + 0,025)6 
 (1 + 0,025)6 - 1 
 
PMT = 100.000 0,025 (1,025)6 
 (1,025)6 - 1 
 
PMT = 100.000 0,025 . 1,159693418 
 1,159693418 - 1 
 
PMT = 100.000 0,028992335 
 0,159693418 
 
PMT = 100.000 . 0,181549969 
 
PMT = R$ 18.155,00 
 
Cálculo na HP 12C 
 
100.000 [PV] 
2,5 [i] 
6 [n] 
 [PMT] 
- 18.155,00 
 
Atenção: como estudamos na aula anterior, devemos considerar os fluxos postecipado 
e antecipado para realização correta dos cálculos. Nesse caso, como o financiamento 
não possuía entrada, realizamos os cálculos com base no fluxo postecipado. 
 
Como o resultado das parcelas foi de R$ 18.155,00, podemos completar a planilha de 
amortização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema de Amortização Price ou Francês 
Tempo 
(n) 
Juros 
(j) 
Amortização do 
saldo devedor 
(A) 
Pagamento 
(parcelas) 
(PMT) 
Saldo 
devedor 
(SD) 
0 0 0 0 100.000,00 
1 2.500,00 15.655,00 18.155,00 84.345,00 
2 2.108,63 16.046,37 18.155,00 68.298,63 
3 1.707,47 16.447,53 18.155,00 51.851,10 
4 1.296,28 16.858,72 18.155,00 34.992,38 
5 874,81 17.280,19 18.155,00 17.712,19 
6 442,80 17.712,20 18.155,00 0 
Totais 8.929,99 100.000,01 108.930,00 
 
 
 
 
 
 
Se preferir, utilize a fórmula An = A1 . (1+ i)
n-1 e encontre a amortização do período que 
desejar. Para o cálculo, basta encontrar a amortização do período 1 e aplicar na 
fórmula. 
 
Para representar na prática, vamos calcular o valor da amortização do mês 4: 
 
Dados: 
A1 = R$ 15.655,00 Valor da amortização do período 1 obtido por meio do cálculo da 
 tabela preenchida no exercício anterior. 
n = 4 Período da amortização que desejo encontrar. 
i = 2,5% a.m. Taxa de juros. 
A4 = ? Amortização do período que desejo encontrar. 
 
 
An = A1 . (1+ i)
n-1 
A4 = A1 . (1+ i)
4 -1 
A4 = A1 . (1 + 0,025)
3 
A4 = 15.655 . 1,076890625 
A4 = R$ 16.858,72 
Para encontrar os valores de amortização, basta deduzir os juros de cada período 
no valor da parcela. Acompanhe o cálculo da amortização para o 1º mês: 
 
A = PMT – J 
A = 18.155 – 2.500 
A = R$ 15.655,00 
 
Logo, o valor da amortização no primeiro mês será de R$ 15.655,00 
 
A diferença entre o saldo devedor e a 
amortização do saldo devedor decorre apenas 
do processo de arredondamento dos cálculos. 
Valores obtidos subtraindo o saldo devedor 
pela amortização do período seguinte. 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
34 
 
Por meio da fórmula, o valor da amortização do período 4 foi de R$ 16.858,72. Observe 
que é o mesmo resultado obtido no cálculo da tabela: 
 
Sistema de Amortização Price ou Francês 
Tempo 
(n) 
Juros 
(j) 
Amortização do 
saldo devedor 
(A) 
Pagamento 
(parcelas) 
(PMT) 
Saldo 
devedor 
(SD) 
0 0 0 0 100.000,00 
1 2.500,00 15.655,00 18.155,00 84.345,00 
2 2.108,63 16.046,37 18.155,00 68.298,63 
3 1.707,47 16.447,53 18.155,00 51.851,10 
4 1.296,28 16.858,72 18.155,00 34.992,38 
5 874,81 17.280,19 18.155,00 17.712,19 
6 442,80 17.712,20 18.155,00 0 
Totais 8.929,99 100.000,01 108.930,00 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) 
 
Nesse sistema, cada prestação corresponde à média das prestações no Sistema Price 
e no Sistema de Amortização Constante. Esse sistema é comumente utilizado em 
financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação. 
 
O valor das parcelas é obtido por meio da fórmula: 
 
PMT(SAM) = PMT(PRICE) + PMT(SAC) 
 2 
 
Tempo 
(n) 
PMT(SAC) PMT(PRICE) PMT(SAM) 
0 0 0 0 
1 19.166,67 18.155,00 18.660,84 
2 18.750,00 18.155,00 18.452,50 
3 18.333,34 18.155,00 18.244,17 
4 17.916,67 18.155,00 18.035,84 
5 17.500,00 18.155,00 17.827,50 
6 17.083,34 18.155,00 17.619,17 
 
 
 
 
 
 
 
Esses valores foram obtidos por meio da fórmula: 
 
PMT(SAM) = PMT(PRICE) + PMT(SAC) 
 2 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
35 
 
Com os valores das parcelas em mãos, basta aplicar na tabela e realizar os cálculos 
dos juros e amortização. 
 
 
 
 
 
Sistema de Amortização Misto 
Tempo 
(n) 
Juros 
(j) 
Amortização do 
saldo devedor 
(A) 
Pagamento 
(parcelas) 
(PMT) 
Saldo 
devedor 
(SD) 
0 0 0 0 100.000,00 
1 2.500,00 16.160,84 18.660,84 83.839,16 
2 2.095,98 16.356,52 18.452,50 67.482,64 
3 1.687,07 16.557,10 18.244,17 50.925,54 
4 1.273,14 16.762,70 18.035,84 34.162,84 
5 854,07 16.973,43 17.827,50 17.189,41 
6 429,74 17.189,43 17.619,17 0 
Totais 8.840,00 100.000,02 108.840,02 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
Observe a diferença dos valores dos montantes em relação ao sistema de amortização 
utilizado: 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MONTANTE 
Sistema de Pagamento Único R$ 115.696,54 
Sistema de Pagamentos Variáveis R$ 118.350,00 
Sistema Americano (SAA) R$ 115.000,00 
Sistema de Amortização Constante (SAC) R$ 108.750,02 
Sistema Price (Francês) (SAF) R$ 108.930,00 
Sistema Misto R$ 108.870,02 
 
Percebeu a importância de se conhecer o sistema de amortização? Ele influencia no 
pagamento de juros, resultando em um maior ou menor montante. 
 
 
 
 
Esses valores foram obtidos por meio da fórmula: 
 
PMT(SAM) = PMT(PRICE) + PMT(SAC) 
 2 
 
A diferença entre o saldo devedor e a 
amortização do saldo devedor decorre 
apenas do processo de 
arredondamento dos cálculos. 
 
Valores obtidos subtraindo o saldo 
devedor pela amortização do período 
seguinte. 
 
Para encontrar o valor da amortização, 
basta deduzir os juros de cada período 
no valor da parcela. 
 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
36 
 
REFERÊNCIAS 
 
SÁ, Prof. Ilydio Pereira de. Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira. 
São Paulo, 2008. 
 
SENAC SÃO PAULO. Matemática Financeira com HP-12C. São Paulo,2008. 
 
PALAZOLLI, Prof. Fernando. Matemática Financeira. Centro Universitário da FEI. 
2008. 
 
SCIESP – EBRAE. Curso TTI – Técnico em Transações Imobiliárias. Matemática 
Financeira, Módulo II. São Paulo, 2008. 
 
GIOVANNI, Jose Ruy & CASTRUCCI, Benedito. A conquista da Matemática – 8ª 
série. Ed. FTD, 1985. 
 
Sites: 
http://www.minhasaulas.com.br/destaques/mat_para_conc.html Acesso em 16.09.08 
 
http://www.bertolo.pro.br/MatFin/desconto_simples.htm Acesso em 16.09.08 
 
http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/1067_D.doc Acesso em 
15.09.08 
 
http://www.scribd.com/doc/2939116/matematica-financeira Acesso em 13.08.08 
 
http://www.scribd.com/doc/272481/Matematica-Financeira-4 Acesso em: 12.09.08 
 
hrsconcursos.com.br/Downloads/Descontos.doc Acesso em 10.09.08 
 
http://www.inf.ufrgs.br/~scamargo/ue/mbaaula8.pdf Acesso em 08.09.08 
 
www.escolaqi.com.br/professor/downloads/download3384.doc Acesso em 08.09.08 
 
http://www.scribd.com/doc/3671613/Matematica-PreVestibular-Impacto-Juros-
Compostos Acesso em 08.09.08 
 
http://www.miltonborba.org/MAT/Desconto.htm Acesso em: 06.09.08 
 
professores.faccat.br/ghermes/mfII/MF_slides.ppt Acesso em 06.09.08 
 
http://www.ivansantos.com.br/fluxo.htm Acesso em 05.09.08 
 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/flcaixa/flcaixa.htm Acesso em: 
05.09.08 
 
www.bertolo.pro.br/MatFin/Slides/SlideMatFin3.pps Acesso em 05.09.08 
 
Programa CIEE de Educação à Distância 
 
37 
 
 
www.bertolo.pro.br/MatFin/Slides/SlideMatFin4.pps Acesso em 05.09.08 
 
www.bertolo.pro.br/MatFin/Slides/SlideMatFin5.pps Acesso em 05.09.08 
 
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_Financeira/Descontos Acesso em 
05.09.08 
 
http://xauin.com/?tt=97 Acesso em 05.09.08 
 
http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos029.asp 
Acesso em 05.09.08 
 
http://www.mspc.eng.br.matm/matFin 0110.shtml Acesso em 05.09.08