CAP. 4 BAYES

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CAPÍTULO 4 
PROBABILIDADE DE BAYES 
 
1. Partição de um espaço amostral 
 
 Os eventos 
1 2 3, , ,..., kB B B B
, formam uma partição do espaço amostral S, se: 
 a) 
 ( ) 0,para 1,2,3,...,ip B i k 
 
 b)
, para i jB B i j  
 
 c)
1
k
i
i
B S


 
 
Exemplo 1: 
No lançamento de um dado tem-se o espaço amostral 
 1,2,3,4,5,6S 
 e definimos os eventos 
     1 2 31 , 2,3,4 e 5,6 .B B B  
Os eventos 
1 2 3, eB B B
formam uma partição de S, pois, valem as três 
condições: a), b) e c). 
 
 
Teorema 1: Se os eventos 
1 2 3, , ,..., kB B B B
, formam uma partição do espaço amostral S e 
,A S
 então 
 
1
( ) ( / ). ( )
k
i i
i
p A p A B p B


 
Demonstração: A figura ilustra uma partição de S com 
A S
. Assim podemos escrever: 
 
 
1 2( ) ( ) ... ( )kA A B A B A B      
, como A é a união de conjuntos disjuntos, usamos a definição de 
probabilidade: 
 
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )kp A p A B p A B p A B      
(I) e para cada termo das parcelas usamos a 
probabilidade do produto, assim 
 
 
1 1 1( ) ( / ). ( )p A B p A B p B 
 
 
2 2 2( ) ( / ). ( )p A B p A B p B 
 
 
3 3 3( ) ( / ). ( )p A B p A B p B 
 
 ............................................. 
 
( ) ( / ). ( )k k kp A B p A B p B 
. Substituindo em (I) segue: 
( )p A 
1 1( / ). ( )p A B p B
+
2 2( / ). ( )p A B p B
+
3 3( / ). ( )p A B p B
+...+
( / ). ( )k kp A B p B
e colocando em forma 
somatório tem-se: 
1
( ) ( / ). ( )
k
i i
i
p A p A B p B


. 
Exemplo 2: 
1B
2B
3B 4B
kB
A
 71 
Na cidade de Catu existem três lojas que revendem televisores. A loja A revende 25%, a loja B, 35% 
e a C, 40% dos televisores. Um cliente deseja comprar um televisor de LCD com 42 polegadas, em virtude 
do bom atendimento e da localização dessas lojas, a probabilidade de comprar na loja A é 10%, na loja B é 
12% e na loja C é 18%. Qual a probabilidade de ter adquirido um televisor de 42 polegadas? 
Solução: Seja L: televisor de LCD com 42 polegadas 
 
Do enunciado podemos escrever: 
( ) 0,25; ( / ) 0,1p A p L A 
 
( ) 0,35; ( / ) 0,12p B p L B 
 e, portanto:
( )p L 
0,25x0,1+0,35x0,12+0,4x0,18=0,139 
( ) 0,4; ( / ) 0,18p C p L C 
 
2. Teorema de Bayes 
 Se os eventos 
1 2 3, , ,..., kB B B B
, formam uma partição do espaço amostral S e seja 
,A S
 então 
 
1
( / ) ( )
( / )
( / ) ( )
j j
j k
i i
i
p A B p B
p B A
p A B p B



 
Da definição de probabilidade condicional, podemos escrever: 
 ( )
( / )
( )
j
j
p A B
p B A
p A

 
1
( / ) ( )
( / ) ( )
j j
k
i i
i
p A B p B
p A B p B


 
Exemplo 3: 
Adotando o mesmo enunciado do exemplo 1, podemos fazer a seguinte pergunta: Um televisor de LCD 
com 42 polegadas foi adquirido, qual a probabilidade de tem sido comprado na loja C? 
 
Solução: Devemos determinar 
( / )p C L  ( / ) ( )
( )
p L C p C
p L
=
0,4x0,18
0,139
=
0,072
0,518
0,139

 
 
Exemplo 4: 
Sejam as urnas e as bolas. Uma urna é escolhida ao acaso e uma bola é retirada. Se a bola retirada for 
branca, qual probabilidade de ter vindo da urna 
2U
? 
 
 Vermelhas Brancas 
1U
 3 5 
2U
 2 1 
3U
 2 3 
 
Solução: Indiquemos por B bola branca 
 
A
L
B C
 72 
 
Como são três urnas, suas probabilidades são iguais a 1/3: 
 
1 1( ) 1/3; ( / ) 5/8p U P B U 
 
 
2 2( ) 1/3; ( / ) 1/3p U P B U 
, logo podemos escrever: 
 
3 3( ) 1/3; ( / ) 3/5p U P B U 
 
 
2
1/ 3x1/ 3
( / )
1/ 3x5 /8 1/ 3x1/ 3 1/ 3x3/ 5
p U B  
 
1/ 3 40
0,2139
5 /8 1/ 3 3/ 5 187
 
 
 
 
Exemplo 5: 
 Em um viveiro têm-se três gaiolas com as seguintes aves: 
 canários sabiás tico-ticos 
Fêmeas 3 4 1 
Machos 3 2 5 
 
Uma ave fugiu da gaiola e verificou-se que é fêmea, qual a probabilidade de ser sabiá ? 
Solução: Indiquemos por F ser fêmea, então 
 
 
( ) 1/3; ( / ) 3/6p C P F C 
 
 
( ) 1/3; ( / ) 4/6p S P F S 
, escrevemos: 
 
( ) 1/3; ( / ) 1/6p T P F T 
 
1/ 3.4 / 6
( / )
1/ 3.3/ 6 1/ 3.4 / 6 1/ 3.1/ 6
p S F  
 
 
4
0,5
8

 
 
 
Exercícios de aplicação 13: 
 
1. Na sala do Curso de Estatística 30% dos rapazes e 10% das garotas têm mais que 
1,65 m de altura. Sabe-se que 60% dos alunos são rapazes. Se um aluno é selecionado aleatoriamente e tem 
mais que 1,65 m de altura, qual a probabilidade dele ser garota? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C S T
F
B
1U 2U 3U
5 1 3
3
2 2
 73 
 
2. Uma urna A tem 3 moedas de ouro e 2 de prata e uma urna B tem 4 moedas de ouro e 3 moedas de 
prata. Uma moeda é selecionada ao acaso e verifica-se que é de ouro. Qual a probabilidade de ter vindo da 
urna B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Na sala do 1° semestre do Curso de Estatística 20% dos rapazes e 12% das garotas estão estudando 
Matemática. Um estudante é escolhido ao acaso e observa-se que é estudante de Matemática. Qual a 
probabilidade do estudante ser rapaz sabendo-se que 60% do corpo discente é formado por rapazes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Em uma assembléia estão reunidos os alunos dos 3 primeiros semestres e tem as seguintes 
proporcionalidades 20% ,30% e 50% dos alunos respectivamente. Sabe-se que 10%, 5% e 2% 
respectivamente por série são portadores da gripe suína.Se um aluno dessa assembléia selecionado 
aleatoriamente é portador da gripe suína, então a probabilidade de ser aluno do 2º semestre é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(A) 0,11. (B) 0,22. (C) 0,33. (D) 0,44. (E) 0,55. 
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5. No terreiro de um sítio existem os seguintes animais: 
 
 Aves Suínos Ovinos 
Fêmeas 3 2 3 
Machos 4 3 5 
 
Um animal fugiu do terreiro e verificou-se que é fêmea, qual a probabilidade de ser 
uma ave? 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Em um colégio 6% dos homens e 3% das mulheres têm descendência japonesa. Por outro lado 60% dos 
estudantes são mulheres. Se um estudante é selecionado ao acaso e tem descendência japonesa, qual a 
probabilidade de ser homem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Em uma cidade obteve-se os seguintes dados, apenas uma em cada 100 pessoas adultas tem nível 
superior. Das pessoas que têm nível superior, 80% têm emprego público, enquanto apenas 30% das que não 
têm nível superior têm emprego público. Uma pessoa da população é selecionada ao acaso e verifica-se que 
tem emprego público. A probabilidade de que essa pessoa venha a ter nível superior é: 
 
 
 
(A) 26,0%. 
(B) 56,6%. 
(C) 12,6%. 
(D) 0,6%. 
(E) 2,6%.