Curvas Horizontais com Transição

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CURVAS HORIZONTAIS 
COM TRANSIÇÃO 
Introdução 
Curvas horizontais com transição 2 
 Trecho reto para uma curva circular: 
 Variação instantânea do raio infinito para o raio finito da 
curva circular 
 Surgimento brusco de uma força centrífuga 
 Desconforto e insegurança 
 Curva de transição: 
 Variação gradativa do raio de valor ∞ até R 
Introdução 
Curvas horizontais com transição 3 
 Curva de transição 
 Proporciona um crescimento gradual da aceleração 
centrífuga que surge na passagem do trecho reto para o 
trecho curvo 
 Constitui uma adequada extensão para efetuar o giro da 
pista até a posição superelevada em curva 
 Faz a transição gradual da trajetória do veículo em planta 
 Conduz a um traçado fluente e visualmente satisfatório 
Introdução 
Curvas horizontais com transição 4 
Tipos de curvas de transição 
Curvas horizontais com transição 5 
 Parábola cúbica 
Tipos de curvas de transição 
Curvas horizontais com transição 6 
 Lemniscata de Bernouille 
Tipos de curvas de transição 
Curvas horizontais com transição 7 
 Clotóide ou espiral de Cornu 
Propriedades da clotóide 
Curvas horizontais com transição 8 
 Equação: 𝑹.𝑳 = 𝑲 
 R: raio 
 L: comprimento 
 K: constante (parâmetro da clotóide) 
Concordância da curva de 
transição 
Curvas horizontais com transição 9 
Concordância da curva de 
transição 
Curvas horizontais com transição 10 
 Centro conservado 
 Tangentes conservadas 
 Raio alterado 
 Centro conservado 
 Tangentes alteradas 
 Raio conservado 
 Centro alterado 
 Tangentes conservadas 
 Raio conservado 
Elementos de uma curva 
horizontal com transição 
Curvas horizontais com transição 11 
 O’: centro do trecho circular 
afastado 
 PI: ponto de interseção das 
tangentes 
 A: ponto genérico da transição 
 Xs: abscissa dos pontos SC e 
CS 
 Ys: ordenada dos pontos SC e 
CS 
 TT: tangente total 
Elementos de uma curva 
horizontal com transição 
Curvas horizontais com transição 12 
 k (ou Q): abscissa do centro O’ 
 p: afastamento da curva circular 
 X: abscissa de um ponto 
genérico A 
 Y: ordenada de um ponto 
genérico A 
 θs: ângulo de transição 
 Φ (ou θc): ângulo central do 
trecho circular 
Elementos de uma curva 
horizontal com transição 
Curvas horizontais com transição 13 
 AC: ângulo central 
 Δ: deflexão das tangentes 
 Dc (ou Lc): desenvolvimento do 
trecho circular 
 Rc: raio da curva circular 
 Ls: comprimento do trecho de 
transição 
 E: distância do PI à curva 
circular 
Pontos notáveis 
Curvas horizontais com transição 14 
 TS: tangente-espiral 
 SC: espiral-circular 
 CS: circular-espiral 
 ST: espiral-tangente 
Cálculo dos elementos da 
espiral 
Curvas horizontais com transição 15 
𝒅𝑳 = 𝑹.𝒅𝜽 
𝒅𝜽 = 𝒅𝑳
𝑹
= 𝒅𝑳
𝑲/𝑳 = 𝑳.𝒅𝑳𝑲 
�𝒅𝜽 = �𝑳.𝒅𝑳
𝑲
 
𝜽 = 𝑳𝟐
𝟐.𝑲 
𝜽 = 𝑳𝟐
𝟐.𝑹𝒄.𝑳𝒔 
Cálculo dos elementos da 
espiral 
Curvas horizontais com transição 16 
𝒄𝒄𝒔𝜽 = 𝒅𝒅
𝒅𝑳
 
𝒅𝒅 = 𝒅𝑳. 𝒄𝒄𝒔𝜽 
 
Desenvolvendo 𝒄𝒄𝒔𝜽 em série de 
potências e integrando…: 
 
𝑿 = 𝑳. 𝟏 − 𝜽𝟐
𝟏𝟏
+ 𝜽𝟒
𝟐𝟏𝟐
−⋯ 
Cálculo dos elementos da 
espiral 
Curvas horizontais com transição 17 
𝒔𝒔𝒔𝜽 = 𝒅𝒅
𝒅𝑳
 
𝒅𝒅 = 𝒅𝑳. 𝒔𝒔𝒔𝜽 
 
Desenvolvendo 𝒔𝒔𝒔𝜽 em série de 
potências e integrando…: 
 
𝒀 = 𝑳. 𝜽
𝟑
−
𝜽𝟑
𝟒𝟐
+ ⋯ 
Cálculo dos elementos da 
espiral 
Curvas horizontais com transição 18 
 Para o comprimento de transição: 
 𝑳 = 𝑳𝒔 
 𝜽 = 𝜽𝒔 
 𝑿 = 𝑿𝒔 
 𝒀 = 𝒀𝒔 
𝜽𝒔 = 𝑳𝒔𝟐.𝑹𝒄 
𝑿𝒔 = 𝑳𝒔. 𝟏 − 𝜽𝒔𝟐𝟏𝟏 + 𝜽𝒔𝟒𝟐𝟏𝟐 −⋯ 
𝒀𝒔 = 𝑳𝒔. 𝜽𝒔𝟑 − 𝜽𝒔𝟑𝟒𝟐 + ⋯ 
[radianos] 
[m] 
[m] 
Cálculo dos elementos da 
espiral 
Curvas horizontais com transição 19 
Elementos adicionais: 
 
𝒌 = 𝑿𝒔 − 𝑹𝒄. 𝒔𝒔𝒔𝜽𝒔 
𝒑 = 𝒀𝒔 − 𝑹𝒄. (𝟏 − 𝒄𝒄𝒔𝜽𝒔) 
𝑻𝑻 = 𝒌 + 𝑹𝒄 + 𝒑 . 𝒕𝒕 ∆𝟐 
𝑬 = 𝑹𝒄 + 𝒑
𝒄𝒄𝒔 ∆ 𝟐�
− 𝑹𝒄 
[m] 
[m] 
[m] 
[m] 
Trecho circular 
Curvas horizontais com transição 20 
 Ângulo central: 
𝑨𝑨 = 𝜽𝒄 + 𝟐.𝜽𝒔 ⇒ 𝜽𝒄 = 𝑨𝑨 − 𝟐.𝜽𝒔 
 
 Comprimento do trecho circular: 
𝑳𝒄 = 𝑹𝒄.𝜽𝒄 ⇒ 𝑳𝒄 = 𝑹𝒄.𝜽𝒄. 𝝅𝟏𝟏𝟏 
 
 Desenvolvimento total da concordância: 
𝑫 = 𝑳𝒄 + 𝟐. 𝑳𝒔 
[graus] 
[m] 
[rad] 
Estaca dos pontos notáveis 
Curvas horizontais com transição 21 
Estaca TS = Estaca PI – TT 
Estaca SC = Estaca TS + Ls 
Estaca CS = Estaca SC + Lc 
Estaca ST = Estaca CS + Ls 
Escolha do comprimento de 
transição (Ls) 
Curvas horizontais com transição 22 
Comprimento 
mínimo 
Critério 
dinâmico 
Critério de 
segurança 
Critério 
estético 
Comprimento 
máximo 
Comprimento 
desejável 
Escolha do comprimento de 
transição (Ls) 
Curvas horizontais com transição 23 
 Critério dinâmico (Ls conforto) 
 Estabelece uma taxa máxima de variação da aceleração centrífuga por 
unidade de tempo – J 
 Trecho em tangente: 𝒂𝒄 = 𝟏 
 Trecho circular: 𝒂𝒄 = 𝒗𝟐 𝑹𝒄� 
𝑱 = 𝒂𝒄
𝒕
= 𝒗𝟐 𝑹𝒄�𝑳𝒔 𝒗� = 𝒗𝟑𝑹𝒄.𝑳𝒔 
𝑳𝒔 = 𝒗𝟑𝑹𝒄. 𝑱 
Escolha do comprimento de 
transição (Ls) 
Curvas horizontais com transição 24 
 Critério dinâmico (Ls conforto) 
 Condição mais desfavorável: 
 𝑱 = 𝑱𝒎𝒂𝒅 
 𝑽 = 𝑽𝒑 
 Experiência internacional: 
 𝑱𝒎𝒂𝒅 = 𝟏,𝟐 𝒎/𝒔𝟑 
 
𝑳𝒔𝒎𝒎𝒔 = 𝒗𝒑𝟑𝑹𝒄. 𝑱𝒎𝒂𝒅 
[m] 
[km/h] 
[m] 
Escolha do comprimento de 
transição (Ls) 
Curvas horizontais com transição 25 
 Critério segurança (tempo) 
 Estabelece o tempo mínimo de 2 segundos para o giro do volante 
e, consequentemente, para o percurso da transição 
 𝑳𝒔 ≥ 𝒗. 𝒕 
 Para 𝒕 = 𝟐 𝒔 e 𝒗 = 𝒗𝒑 em 𝒌𝒎/𝒉 
 
 [m] [km/h] 
Escolha do comprimento de 
transição (Ls) 
Curvas horizontais com transição 26 
 Critério estético (proposto pela AASHTO) 
 para 𝑽𝒑 ≤ 𝟏𝟏𝒌𝒎/𝒉: 
 
 
 
 para 𝑽𝒑 > 𝟏𝟏𝒌𝒎/𝒉: 
 
 
 
 
[m] 
Largura da faixa [m] 
[m] 
[km/h] 
Largura da faixa [m] 
[km/h] 
[%] 
[%] 
Escolha do comprimento de 
transição (Ls) 
Curvas horizontais com transição 27 
 Comprimento máximo 
 Para 𝑳𝒔𝒎𝒂𝒅 ⇒ 𝑳𝒄 = 𝟏 
 Em 𝑨𝑨 = 𝜽𝒄 + 𝟐.𝜽𝒔 ⇒ 𝜽𝒔𝒎𝒂𝒅 = 𝑨𝑨𝟐 
 Sendo 𝜽𝒔 = 𝑳𝒔𝟐.𝑹𝒄 ⇒ 𝜽𝒔𝒎𝒂𝒅 = 𝑳𝒔𝒎𝒂𝒅𝟐.𝑹𝒄 
[m] 
∴
𝑨𝑨
𝟐
= 𝑳𝒔𝒎𝒂𝒅
𝟐.𝑹𝒄 
[m] [m] [rad] 
[m] 
[graus] 
Escolha do comprimento de 
transição (Ls) 
Curvas horizontais com transição 28 
 Comprimento desejável 
 Procurar adotar, quando possível, 𝑳𝒔 = 𝟐.𝑳𝒔𝒎𝒎𝒔 (obtido pelo critério 
dinâmico) 
[m] [km/h] 
[m] 
Escolha do comprimento de 
transição (Ls) 
Curvas horizontais com transição 29 
𝑳𝒔𝒎𝒎𝒔 < 𝑳𝒔𝒂𝒅𝒄𝒕𝒂𝒅𝒄 < 𝑳𝒔𝒎𝒂𝒅 
#Dica: adotar Ls igual a um número inteiro de estacas e Ls ≈ Lc 
Exercício 
Curvas horizontais com transição 30 
Tendo-se uma curva horizontal com transição cujos dados são 
fornecidos abaixo, calcular os elementos geométricos e determinar as 
estacas notáveis. 
 Rc = 650 m 
 AC = 62º 
 Região ondulada, classe I 
 Estaca do PI = [821 + 8,80 m] 
 Superelevação = 5,5% 
 Largura da faixa de rolamento = 3,60 m 
	Curvas horizontais �com transição
	Introdução
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	Tipos de curvas de transição
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	Propriedades da clotóide
	Concordância da curva de transição
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	Elementos de uma curva horizontal com transição
	Elementos de uma curva horizontal com transição
	Elementos deuma curva horizontal com transição
	Pontos notáveis
	Cálculo dos elementos da espiral
	Cálculo dos elementos da espiral
	Cálculo dos elementos da espiral
	Cálculo dos elementos da espiral
	Cálculo dos elementos da espiral
	Trecho circular
	Estaca dos pontos notáveis
	Escolha do comprimento de transição (Ls)
	Escolha do comprimento de transição (Ls)
	Escolha do comprimento de transição (Ls)
	Escolha do comprimento de transição (Ls)
	Escolha do comprimento de transição (Ls)
	Escolha do comprimento de transição (Ls)
	Escolha do comprimento de transição (Ls)
	Escolha do comprimento de transição (Ls)
	Exercício