Lei de Gauss

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Aula 2_1 Lei de Gauss I 
Física Geral e Experimental III 
Prof. Cláudio Graça 
Capítulo 3 
 
Conceito de Fluxo do campo elétrico 
• Fluxo do campo elétrico num campo uniforme 
 
Suponhamos uma superfície plana de área colocada num campo elétrico 
uniforme de intensidade E . Seja n a normal à superfície e  o ângulo que 
a normal faz com as linhas do campo: 
Por definição, chama-se de fluxo  do campo elétrico que atravessa uma 
superfície plana colocada num campo elétrico uniforme ao produto: 
Conceito de Fluxo do campo elétrico 
• Variação de Φ em função de α 
 
Conceito de Fluxo do campo elétrico 
• Variação de Φ em função de α 
 
Interpretação mecânica do fluxo de um vetor 
O volume de fluido que atravessa a seção S por unidade de tempo, será dado 
por : 
portanto 
O fluxo de fluido , denominado vazão é o fluxo do vetor velocidade de um fluido 
Interpretação do fluxo de um vetor 
Onde 
No caso da superfície fechada a notação da 
Integral será: 
Interpretação do fluxo do campo elétrico 
Onde 
No caso da superfície fechada a notação da 
Integral será: 
Interpretação do fluxo de um vetor 
No caso da superfície fechada não conter nem fontes nem sumidouros, o fluxo 
será nulo: 
a
 
a
 
 
 
i no qAd.E  

Lei de Gauss 
Cálculo do Campo Elétrico 
• Lei de Coulomb 
 Força entre duas cargas pontuais, foi 
usada para calcular campos elétricos. 
OU 
• Lei de Gauss 
 Relaciona o campo elétrico com a 
 distribuição espacial de cargas. 
 Utiliza o conceito de Fluxo Elétrico 
 Dipolo Elétrico: Análise Qualitativa 
Superfícies esféricas 
centradas em : 
a 
a) +q (verde) 
b 
 b) -q (vermelho) 
c 
c) (+q-q=0) (amarela) 
 
• Todas linhas saem de a (fluxo +) 
• Todas as linhas entram em b (fluxo -) 
• O mesmo número de linhas que 
 sai, entra em c (fluxo nulo) 
Conclusões 
Lei de Gauss - Questão Conceitual 
As linhas de campo (16 no total), furam a 
superfície gaussiana retangular. 
Contando as linhas que entram na 
superfície , como negativas, e as que saem, 
como positivas, quantas cruzam a 
superfície? 
 
A) zero 
B) +8 
C) -8 
Pois a carga total no interior desta superfície gaussiana é nula 
Lei de Gauss -Superfícies Gaussianas 
Linhas de campo elétrico "furando" uma 
superfície, mostrando que o existe fluxo 
de campo elétrico através da superfície. 
As linhas de campo elétrico entram e 
saem da superfície, portanto o fluxo de 
campo elétrico sobre a superfície é nulo. 
Lei de Gauss: fluxo do campo elétrico 
dAcos
R
kq
dAnˆEd
dAnˆˆ
R
dA
d
2
2




dE
dA de através elétrico campo do Fluxo
d sólido ângulo Vetor
radianos) (em sólido Ângulo


 kq4dR
R
kq 2
2E
esfera uma Para
 
Fluxo 
 
 
Integral de 
Superfície 
 
As integrais de superfície, calculam o 
fluxo, somando o fluxo que atravessa 
cada elemento de superfície 
 
Duas situações importantes: 
• Se o campo elétrico é tangente à superfície, 
 em todos os pontos da mesma, então 
 
• Se o campo elétrico é normal, em 
 todos os pontos da superfície, então EA
0
E
E


   AdEAEE

Lei de Gauss – Fluxo do Campo Elétrico 
Fluxo do campo Elétrico 
• O que significa esta equação? 
 
– A integral é calculada sobre uma SUPERFÍCIE FECHADA 
 
– O fluxo assim calculado é um ESCALAR 
 
– é normal à superfície a aponta para FORA. 
 
– A componente do campo é NORMAL à SUPERFICIE 
  AdEE

• Definição: 
– o fluxo do campo elétrico, E através 
 de uma superfície fechada, A 
• Conclusões: 
– O fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é uma soma das das 
componentes do fluxo devido à componente do campo elétrico normal à superfície. 
– Atenção que a componente do campo normal, se o campo sai da superfície é “+ “ 
e se penetra a superfície é “-” 
AdE


Ad

E

E

Lei de Gauss Problema 
Considere um cubo de lado a localizado 
em uma região de campo elétrico 
constante com módulo E como o da 
figura. 
 
 
Quais dos seguintes valores, representa 
o fluxo do campo elétrico E através da 
superfície externa do cubo? 
(a) E = 0 (b) E  2Ea
2 (c) E  6Ea
2 
a 
a 
Lei de Gauss 
• Lei de Gauss (uma Lei FUNDAMENTAL): 
 
O fluxo elétrico total, através de qualquer superfície 
fechada (Gaussiana) é proporcional à carga contida no 
volume limitado por essa superfície. 
  i no qAdE

Lei de Gauss 
  ino QAdE


Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do 
campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana 
com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhe-
se uma superfície qualquer com uma carga q em seu 
interior, como por exemplo a superfície da figura ao lado 
 
A forma dessa superfície S pode ser qualquer, contudo, a 
fim de facilitar os cálculos uma esfera de raio r centrada 
na carga Q, como por exemplo a superfície gaussiana 
representada na figura 
Lei de Gauss 
• Como e quando se aplica? Esta equação é SEMPRE VÁLIDA 
 
• Nessa forma integral é muito fácil de usar para problemas em que E 
exibe uma SIMETRIA completa. 
 
• Para resolver esta equação deve-se ESCOLHER uma Gaussiana, 
 para a qual a solução é SIMPLES. 
 
 
 Direção: a superfície deve ser escolhida especialmente para casos em que o 
 campo ou é perpendicular ou tangencial à superfície. 
 
 Módulo: a superfície, deve ser escolhida tal que E possua o mesmo valor para 
 todos os pontos da superfície em que seja perpendicular à mesma. 
 
 Portanto: isto permitirá tirar E fora da integral. 
  i no QAdE

Gauss  Coulomb 
• Como ilustração é possível mostrar, que para cargas 
pontuais, a Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb. 
E d AAdE 

• Simetria  Campo E de uma carga pontual 
 
 é radial e esféricamente simétrico 
• Trace uma esfera de raio R centrada na carga. 
– Por que? 
 E é normal a cada ponto da superfície 
 E possui o mesmo valor em todos pontos da superfície 
  E pode ficar fora da integral! 
E 
+Q 
r 
A escolha da superfície deve guardar simetria com a distribuição de 
carga…esta superfície é denominada “ Superfície Gaussiana” 
   
2r4Ed AEE d AAdE

• Portanto, 
• Lei de GAUSS: 
QEr4 2o  
2
o r
Q
4
1
E
 

dA 
Geometria e Integrais de Superfície 
   d AEEd AAdE

  ab2b c2ac2d A
Quando E é constante sobre a superfície e é normal a ela, em todos 
os pontos, E pode ser tirado fora da integral, deixando só a integral de área. 
a 
b 
c 
x 
y 
z 
r 
z 
r 
L 
 
2r4dA  
2r2rL2d A
+ + + + + + + + + 
x 
y 
+ + + + + + + + + + + 
Linha de Carga Infinita 
• Simetria  Campo E é ^ à 
linha e, depende só da 
distância à linha 
 
Er 
• Portanto, ESCOLHA uma 
superfície Gaussiana cilíndrica 
de raio r e comprimento h 
alinhada com o eixo dos x. 
• Aplique a Lei de Gauss: 
h 
Er 
+ + + + + + + + + 
 Nas tampas, 
 Na superfície cilindrica, 
  rhE2AdE

  0AdE

 A carga no interior da superfície, 
hQ i n 
oo
in
h
rhE
Q
AdE 
  2

Distribuição esférica de carga 
• Simetria  Campo E é ^ à superfície 
e, depende só da distância à superfície 
• Portanto, ESCOLHA uma superfície 
Gaussianaesférica de raio r, simétrica com a 
distribuição de carga: r ≤ R; r ≥ R 
• Aplique a Lei de Gauss 
• O fluxo para essas gaussianas será, 
sempre: 
• A carga no interior da gaussiana: 
3
in
3
in
R
3
4
QRr
r
3
4
QRr


 para
 para
2
E r4EAdE  

2
o
3
o
r3
R
ERr
r
3
ERr





 E 
r R 
R
3
E
o
R



 3m/C c a rg a d e d e n s id a d e 
Distribuição plana de carga 
• Simetria  Campo E é ^ à superfície 
e, depende só da distância à superfície 
 
2
E rE20E A2AdE

• Portanto, ESCOLHA uma superfície Gaussiana 
cilíndrica de raio r e comprimento h alinhada 
com o campo elétrico... 
• O fluxo do campo elétrico será: 
• A carga no interior da gaussiana: 
• Aplique a Lei de Gauss 
2
i n rQ  
o
22
o
2
ErrE2



O campo elétrico é 
independente da 
distância à placa!!! 
Lei de Gauss: Questão Conceitual 
 1. Qual destes campos podem 
representar um campo elétrico 
estático? 
 
A) b, c 
B) a, b 
C) a, d 
D) c, d 
E) todos 
3. Em qual das opções certas, 
existem cargas no quadro 
apresentado? 
A) Nas duas 
B) Em nenhuma delas 
C) Outra opção: 
2. Qual a razão da resposta?