Apostila Matemática Financeira

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ASPECTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Texto elaborado para a disciplina CE 142 pelo Prof. Dr. Ulysses Semeghini, 
IE/UNICAMP, 2010. (revisão. Em 2011 por Miguel Juan Bacic, em 2012 por Maria Carolina Souza e em 2015 
por Pedro Santos Portugal Jr ) 
) 
 
 
SUMÁRIO 
 
CONCEITOS BÁSICOS ................................................................................................................................2 
JUROS SIMPLES .........................................................................................................................................3 
JUROS COMPOSTOS .................................................................................................................................8 
DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO ....................................................................................................... 14 
TAXAS EQUIVALENTES ........................................................................................................................... 20 
SERIES DE PAGAMENTOS ...................................................................................................................... 26 
DESCONTO COMPOSTO DE SÉRIES UNIFORMES ................................................................................... 30 
SÉRIES DE PAGAMENTO INFINITAS (ANUIDADES PERPÉTUAS) ............................................................. 34 
TAXA NOMINAL, TAXA EFETIVA E TAXA REAL ....................................................................................... 35 
LISTA DE EXERCÍCIOS ............................................................................................................................. 39 
ANEXO: TABELAS AUXILIARES ............................................................................................................... 56 
 
 
2 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
JURO 
Juro é a remuneração do capital (dinheiro) aplicado, podendo ser entendido, de forma 
simplificada, como sendo o “aluguel” pago pelo uso do dinheiro (ou recebido pelo 
credor). 
CAPITAL 
Entende-se por Capital, do ponto de vista dos cálculos financeiros, qualquer valor 
expresso em moeda e disponível em determinada época. 
Para avaliar a taxa de remuneração para os seus recursos, deve o possuidor do 
dinheiro atentar para os seguintes aspectos: 
Risco – probabilidade de o tomador do empréstimo não devolver o dinheiro (risco do 
credor) 
Despesas – todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias envolvidas 
Inflação – índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda (pelo aumento 
generalizado dos preços) previsto para o prazo do empréstimo 
Lucro - fixado em função das demais oportunidades de investimento (“custo de 
oportunidade”); justifica-se pela alienação por parte de seu dono, do capital por certo 
período. 
TAXA DE JUROS 
É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de determinado período de tempo 
e o capital inicialmente empregado. A taxa está sempre relacionada a um período de 
tempo (mês, ano, dia, semestre etc.) 
Exemplo: Qual a taxa de juros cobrada em um empréstimo de R$ 10.000,00 a ser 
resgatada por R$ 14.000,00 no final de um ano? 
Capital inicial = 10.000,00 
Juros = 14.000,00 – 10.000,00 = 4.000,00 
4.000,00/10.000,00 = 0,40 ou 40% a. a. 
 
3 
 
JUROS SIMPLES 
 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide sempre o capital inicial; 
não incide, portanto, sobre os juros acumulados. A taxa varia proporcionalmente com 
o tempo; para transformar a taxa diária em mensal, basta multiplicá-la por 30; para 
obter a anual, multiplica-se a mensal por 12, e assim por diante. 
Calculo dos Juros 
J = C x i x n, onde: 
J = valor dos juros 
C = capital inicial 
I = taxa 
n = prazo, ou período 
Exemplos: 
1) Um capital de R$ 20.000,00 aplicado durante 10 meses rendeu juros de R$ 
4.000,00. Qual a taxa correspondente? 
C = R$ 20.000,00 
J = R$ 4.000,00 
n = 10 meses 
i = ? 
Solução : J = C.i.n, ou i= J/Cn 
4.000/ 20.000.10 = 0,02 = 2% ao mês. 
 
2-) Qual o valor dos juros obtidos em um empréstimo de R$ 200.000,00, com prazo 
de 12 meses e taxa de 3% ao mês? 
C = 200.000,00 
J = ? 
4 
 
n = 12 meses 
i = 0,03 ao mês 
Solução : J = C.i.n, ou J = 200.000 x 0,03 x 12 = 72.000,00 
 
3-) Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve rendimento de R$ 
8.250,00. Qual a taxa anual correspondente? 
C = 50.000 
J = 8.250 
I = ? 
N = 180 dias 
Solução: J = C.i.n e i = J/C.n 
 i = j / C.n; 
 i = 8.250 / 50.000 x 180 = 0,00091667, ou 0,091667% ao dia 
Taxa anual = 360 x 0,00091667 = 0,33 ou 33% ao ano. 
 
MONTANTE E VALOR ATUAL 
O valor futuro, ou montante, de um capital corresponde à soma desse capital com os 
juros produzidos no período. 
M = C + J 
M = C + Cin 
M = C(1+ in) 
Por exemplo, seja um capital inicial de R$ 500.000,00 e uma taxa mensal de 8%. Qual 
o montante acumulado em 4 meses? 
 
 
 
5 
 
QUADRO 1 
 n Saldo inicial 
(R$) 
Juros 
(R$) 
Juros acumulados 
 (R$) 
Montante 
(R$) 
 1 500.000 40.000 40.000 540.000 
 2 540.000 40.000 80.000 580.000 
 3 580.000 40.000 120.000 620.000 
 4 620.000 40.000 160.000 660.000 
 
Outros exemplos: 
1) Calcule o montante resultante da aplicação de R$ 10.000,00, pelo prazo de 12 
meses, à taxa de 3% ao mês. 
C = 10.000,00 
n = 12 meses 
i = 0,03 ao mês 
M =? 
M = C (1 +in) 
M = 10.000(1+0,03.12) 
M = 10.000(1+0,36) = 13.600 
2) Determine o valor hoje de um título cujo valor de resgate é de R$ 200.000,00, daqui 
a 6 meses, sendo a taxa de juros de 2% ao mês. 
C =? 
n = 6 meses 
i = 0,02 ao mês 
M = 200.000,00 
Como M = C(1+ in), obviamente 
6 
 
C = M/(1+in), e 
C = 200.000/ (1+0,02.6) = 200.000/1,12 
C = R$ 178.571,43 
Neste exemplo, o valor de um capital no futuro (montante, ou valor futuro) é conhecido 
e deseja-se calcular seu valor hoje, dada uma taxa de juros. Esse é conhecido como 
valor atual, ou valor presente, e 
VP = C= M/(1+in). 
3) Qual deveria ser a taxa mensal de juros para que um capital aplicado hoje dobrasse 
de valor em 12 meses? 
C 
n = 12 meses 
i =? 
M = 2C 
2C= C(1 + i.12) 
1 = 12.i e i =0,083 
i = 8,3% ao mês 
 
7 
 
TAXAS PROPORCIONAIS 
 
Quando entre duas taxas existe a mesma relação que as dos períodos de tempo a 
que se referem, elas são proporcionais. 
Assim, por exemplo, a taxa de 24% ao ano é proporcional à taxa de 2% ao mês. 
 
 24% ................................ 12 meses 
 2% ................................ 1 mês 
São proporcionais as seguintes taxas: 
 
18,0 % ao ano e 1,5% ao mês 
18,0% ao ano e 4,5% ao trimestre 
 7,2 % ao ano e 0,6% ao mês 
 3,9 % ao trimestre e 1,3% ao mês 
 8,0 % ao semestre e 4,0% ao trimestre 
 9,0 % ao semestre e 6,0% ao quadrimestre 
 5,0 % ao mês e 10,0% ao bimestre 
 2,5 % ao bimestre e 15,0% ao ano 
 6,0 % ao mês e 0,2% ao dia 
 0,3 % ao dia e 108,0% ao ano 
 
 
8 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
 Juros compostos são os juros que no final de cada período são somados ao 
capital para produzirem novos juros no período seguinte. 
 
Exemplo 1: Calcular os juros compostos de R$ 500.000,00 a 8% ao mês, durante 4 
meses (mesmos dados do exemplo 1, juros simples) 
 
Para o cálculo dos juros e dos montantes podemos elaborar um quadro como o 
apresentado abaixo. 
 
 QUADRO 2 
 Saldo inicial (R$) Juros (R$) Juros acumulados (R$) Montante (R$) 
 1 500.000 40.000 40.000540.000 
 2 540.000 43.200 83.200 583.200 
 3 583.200 46.656 129.856 629.856 
 4 629.856 50.388 180.244 680.244 
 
 Neste caso, os juros mensais (em R$) não são constantes, porque sua base de 
incidência não é mais o capital inicial (R$ 500.000), mas o montante do mês anterior, 
que é, por definição, o capital inicial mais os juros acumulados até então. 
 O valor dos juros pode ser obtido pela diferença entre o montante e o capital 
inicial. 
J = M - C 
J = 680.244 - 500.000 = R$ 180.244 
9 
 
 
A questão se volta, então, para o cálculo do montante. 
Partindo do quadro 2 vamos analisar a construção dos montantes mês a mês. 
 
 O montante do mês 1 é 
 
540.000 = 500.000 + 40.000 = 500.000 + 500.000 x 0,08 = 500.000 x (1+0,08) = 
500.000 x 1,08 
 
O montante do mês 2 é 
583.200 = 540.000 + 43.200 = 540.000 + 540.000 x 0,08 = 540.000 x (1+0,08) = 
540.000 x 1,08. 
Mas 540.000 é o montante do mês 1, que concluímos ser igual à expressão: 
500.000 x 1,08. 
 Substituindo temos: 
583.200 = 500.000 x 1,08 x 1,08 = 500.000 x 1,082 
 
O montante do mês 3 é 
 
629.856 = 583.200 + 46.656 = 583.200 + 583.200 x 0.08 = 583.200 x (1 + 0,08) = 
583.200 x 1,08 
 
 Porém, observou-se que 583.200 é o montante do mês 2, que é igual à 
expressão 500.000 x 1,082. 
 
10 
 
 Substituindo tem-se 
 
 629.856 = 500.000 x 1,082 x 1,08 = 500.000 x 1,083 
 
 Finalmente o montante do mês 4 é 
 
680.244 = 629.856 + 50.588 = 629.856 + 629.856 x 0,08 = 629.856 x (1+0,08) = 
629.856 x 1,08 
 
 Como 629.856 é o montante do mês 3, que também pode ser 
representado por 500.000 x 1,083 . Substituindo na expressão montante do mês 4 tem-
se: 
 
 680.244 = 500.000 x 1,083 x 1,08 = 500.000 x 1,084 
 
 O resumo desses cálculos está no quadro 3. 
 
QUADRO 3 
Mês Montante 
1 500.000 x 1,08 = 500.000 x 1,08 = 540.000 
2 500.000 x 1,082 = 500.000 x 1,1664 = 583.200 
3 500.000 x 1,083 = 500.000 x 1,259712 = 629.856 
4 500.000 x 1,084 = 500.000 x 1,3604889 = 680.244 
 
 
11 
 
Conclui-se que, para qualquer período n, o montante é obtido pela multiplicação 
do capital inicial pelo coeficiente (1 + i)n 
M = C (1 + i)n 
 
Para os cálculos, podem ser usadas calculadoras que tenham a função exponencial, 
planilhas de cálculo (tipo BrOffice.org.Calc ou Excel) ou tabelas, comuns em livros de 
Matemática Financeira, nas quais nas linhas são dados os valores de n e nas colunas 
os valores de i (tabela I do anexo). 
 
Exemplo 2: Para calcular o montante R$ 375.000,00 aplicados à taxa de 10% a.a. por 
14 anos, basta multiplicá-los pelo coeficiente encontrado na interseção 
da linha 14 com a coluna 10%. Ou ainda usar planilha de cálculo ou a 
calculadora. 
 
Montante = R$ 375.000 x 3,797498 = R$ 1.424.061,75; onde 
(1+i)n = (1+0,1)14 = (1,1)14= 3,797498 (aproximadamente). 
 
 Para saber os juros, é só calcular a diferença entre o montante e o capital inicial. 
 
 Juros = R$ 1.424.061,75 - R$ 375.000 = R$ 1.049.061,75 
 
 Outros exemplos (neles vamos usar 4 casas decimais de 
aproximação nos coeficientes): 
 
Exemplo 3: Calcular o montante de R$ 28.000,00 aplicados à taxa de 5% a.m. durante 
6 meses. 
12 
 
M = C(1+i)n 
M = 28.000(1 + 0,05)6 
 
Montante = R$ 28.000 x 1,3401 = R$ 37.522,80 
 
 
Exemplo 4: Calcular o montante de R$ 1.200.000,00 aplicados à taxa de 3% a.a. por 
15 anos. 
M = 1.200(1 + 0,03)15 
Montante = R$ 1.200.000 x 1,5580 = R$ 1.869.600,00 
Nos exemplos seguintes, vamos explorar as diferentes possibilidades de cálculo, 
como: 
 
- cálculo do capital inicial, dados o montante, a taxa e o número de períodos; 
- cálculo da taxa de juro, dados o capital inicial, o montante e o número de 
períodos; 
 
- cálculo do número de períodos, dados o capital inicial, o montante e a taxa. 
 
Exemplo 5 : Um capital de R$ 140.000,00, aplicado a 11% a.a., atingiu o montante de 
R$ 322.635,18. Por quanto tempo foi aplicado? 
 
140.000,00 (1,11)n = 322.635,18 
 (1,11)n = 2,3045. 
Agora, pode-se utilizar a tecla da função logarítmica da calculadora: 
log(1,11)n = log 2,3045 
n.log 1,11 = log 2,3045 
13 
 
n.0,0453 = 0,3626 ou n = 8,0039 = 8 
Alternativamente, usando-se a tabela I verifica - se que o coeficiente 2,3045 encontra-
se na interseção da coluna 11%, que é a taxa de juros dada, com a linha n = 8. 
 Portanto, a resposta é 8 anos. 
 
Exemplo 6: Um capital de R$ 20.000,00 aplicado por 12 meses, gerou um montante 
de R$ 47.328,00. A que taxa foi aplicado? 
 
 20.000 (1 + i)12 = 47.328 
 (1 + i)12 = 47.328 
 20.000 
 (1 + i)12 = 2,3664 
 Usando a função exponencial, mas invertendo o expoente (isto é, usando na 
calculadora a tecla 1/x), verifica-se que 
(1+i) = 2,36641/12 
1 + i = 1,0744 
i = 1,0744 – 1 = 0,0744 = 7,4% a. m. 
 
 Aqui, utilizar a tabela I daria mais trabalho. Isso porque, na linha 12, não existe 
o coeficiente 2,3664. Verificamos, no entanto, que ele estaria entre o coeficiente 
2,012196, que corresponde à taxa de 6%, e o coeficiente 2,518170, que corresponde 
à taxa de 8%. Portanto para encontrar a resposta seria necessária uma interpolação. 
Essa interpolação ficaria da seguinte forma: 
(8 − 6)
2,518170 − 2,012196
=
𝑖 − 6
(2,3664 − 2,012196)
 
2
0,505974 =
𝑖 − 6
0,354204 =>
0,505974𝑖 − 3,035844 = 0,708408 =>
𝒊 = 𝟕, 𝟒𝟎% 𝒂. 𝒎.
=> 
14 
 
Exemplo 7: Qual o capital que, aplicado à taxa de juros compostos de 7% ao mês, 
 durante 3 meses, dá o montante de R$ 200.000,00? 
 
 200.000 = C (1,07)3 
 200.000 = C 1,225043 
 200.000 = C 
 1,225043 
 
 C = R$ 163.259,58 
 
DESCONTO SIMPLES E COMPOSTO 
 
Desconto deve ser conceituado como a diferença entre o valor futuro de um título 
(valor nominal, ou de face) e o seu valor atual na data da operação, ou seja, d = N – 
A, onde d é o valor do desconto, N é o valor nominal ou futuro do título, isto é, seu 
valor na data de vencimento, e A é o valor atual. Como se observa, o valor do desconto 
está sempre associado a uma taxa e a um período de tempo. 
Este conceito, de determinar o equivalente atual de um valor futuro de acordo com 
alguma taxa, tem ampla aplicação prática na economia, sendo fundamental na 
avaliação de investimentos, como veremos mais a frente. 
 
 
 
 
DESCONTO SIMPLES 
 
15 
 
 Desconto simples é aquele obtido em função de cálculos lineares. A forma mais 
utilizada é a do desconto simples comercial (ou por fora), que é calculado sobre o 
valor nominal do título. 
d = Nin, onde 
d = desconto 
N = valor nominal do título 
 id = taxa (unitária) 
 n = número de períodos 
Importante: (n) e (i) devem estar na mesma unidade de tempo para se realizar os 
cálculos. 
Exemplos: 
1-) Calcular o desconto simples comercial de uma duplicata de R$ 200.000,00 vencível 
em 90 dias, à taxa de 7% ao mês. 
Dado que 90 dias são 3 meses. 
 d = 200.000 x 0,07 x 3 
 d = 200.000 x 0,21 
 d = 42.000 
2-) Uma pessoa obteve um financiamento para aquisição de veiculo para ser quitado 
em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 9.470,00. Após pagar a 10a 
prestação, ela propõe quitar, naquela data, as 8 prestações restantes. Sabendo-se 
que a financeira concede um desconto bancário, ou “por fora” de 1,8% ao mês, calcule 
o valor do desconto concedido. 
D = d1 + d2 + ..........+ d7 + d8 
d1 = 9470 x 0,018 x 1 
d2 = 9470 x 0,018 x 2 e assim por diante, até 
d8 = 9470 x 0,018 x 8 
16 
 
D= 9470 x 0,018(1 + 2 + ........+ 8) 
D = 9470 x 0,018 x 36 = 6.136,56. 
Portanto, neste exemplo o desconto total concedido será de R$ 6.136,00. 
Valor atual do título 
O valor (A) , também chamado de valor atual do título, é a diferença entre o valor 
nominal e o desconto. 
 
A = N - d 
Como d = Nin 
A = N - Nin ou 
A = N (1 – idn) 
 
O valor atual da duplicata do exemplo 1 é: 
 
 A = R$ 200.000 - R$ 42.000 
 A = R$ 158.000 
Ou 
 
 A = 200.000 (1 - 0,07 x 3) 
 A = 200.000 (1 - 0,21) 
 A = 200.000 (0,79) 
 A = R$ 158.000 
DESCONTO COMPOSTO 
 
17 
 
 O desconto composto é aquele obtido através de cálculos exponenciais. 
Existem o desconto composto bancário e o desconto composto real. Como o primeiro 
não tem utilidade prática, vamos discutir apenas o segundo. 
 Já vimos que o valor atual de um título é a diferença entre seu valor nominal e 
o desconto. 
 
 A = N - d 
 
 Consequentemente, 
 
 d = N - A, 
 
ou seja, o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título. 
 
 Por isso, em vez de nos preocuparmos com o valor do desconto propriamente, 
devemos nos preocupar com o cálculo do valor atual. 
 O valor atual (A) de um título vencível em n períodos, descontado pelo método 
do desconto composto real, a uma taxa i, é um valor tal que, aplicado por n períodos 
à taxa i, dá um montante equivalente ao valor nominal (N). 
 
 A (1 + i)n = N 
 
 Em outros termos, calcular o valor atual (A) de um título, através do desconto 
composto real, corresponde ao cálculo do capital (C) num problema de juros 
compostos, e vice-versa. A mesma relação existe entre o valor nominal (N) e o 
montante (M). 
18 
 
Voltemos ao exemplo 7, da sessão sobre juros compostos. Sua redação, numa forma 
diferente, poderia ser: calcular o valor atual de uma letra de câmbio de R$ 200.000, 
vencível em 3 meses, descontada pelo método do desconto composto real, à taxa de 
7% ao mês. 
 E a solução seria a mesma: 
A (1 + i)n = N 
A (1,07)3 = R$ 200.000 
A. 1, 225043 = R$ 200.000 
 
A = R$ 200.000 
 1,225043 
 
A = R$ 200.000 x ____1______ 
 1,225043 
 
A = R$ 200.000 x 0,816298 
A = R$ 163.259,58 
Assim: 
- para calcular o montante (ou valor nominal, ou valor futuro), multiplicamos o capital 
(ou valor atual) pelo coeficiente (1 + i)n 
- para calcular o capital (ou valor atual), multiplicamos o montante (ou valor futuro) 
pelo coeficiente: 
 
 ______1_______ 
 (1 + i)n 
Utilizando ainda os números do último exemplo: 
 
 i = 7% ou 0,07 
 n = 3 
19 
 
 M = N = R$ 200.000 
 C = A = R$ 163.259,58 
M = N = R$ 200.000 = R$ 163.259,58 x (1 + 0,07)3 
 
C = A = R$ 163.259,58 = R$ 200.000 x ______1______ 
 ( 1 + 0,07)3 
 
 Para se obter esses coeficientes basta calcular o inverso dos coeficientes da 
primeira tabela . Os resultados assim obtidos estão em nova tabela, cuja sistemática 
de utilização é idêntica à anterior (tabela 2). Mais prático, entretanto, é utilizar a 
calculadora ou planilhas eletrônicas 
 Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$ 500.000,00, vencível em 4 
meses, descontando-o pelo método do desconto composto real, à taxa de 8% ao mês 
 I = 8% 
 Coeficiente = 1/(1,08 )4 = 0,7350 
 n = 4 
 
 
 A = R$ 500.000,00 x 0,735030 = R$ 367.515,00 
Exemplo 3: Calcular o valor atual de uma letra de câmbio de R$ 2.000.000, 
vencível em 13 meses, descontando-a pelo método do desconto 
composto real, à taxa de 6% ao mês. 
 
 n = 13 
 coeficiente = 1/(1,06)13 = 0,468839 
20 
 
 i = 6% 
 
 A R$ 2.000.000 x 0,468839 
 A = R$ 937.678,00 
Exemplo 4: Calcule a que taxa mensal um título de R$ 10.000,00, com 75 dias a 
vencer, gera um desconto de R$ 1304,41. 
A = N – d = 10.000 – 1304,41 = 8.695,59 
A = N/(1+i)n 
8.695,59 = 10.000/(1+i)n. Mas n = 2,5 meses. 
(1+i)2,5 = 10.000/8.695,59 = 1,15 (aproximadamente) 
(1+i) = (1,15)1/2,5 
(1+i) = (1,15)0,4 = 1,057497 
i = 1,057497 – 1,0000 = 0,057497 ou, aproximadamente, 5,75% ao mês. 
 
 
 
TAXAS EQUIVALENTES 
 
 “Taxas equivalentes são aquelas que, referindo-se a períodos de tempo 
diferentes, fazem com que um capital produza um mesmo montante, num mesmo 
tempo”. Note que esta definição poderia aplicar-se tanto ao regime de capitalização 
simples quanto ao composto; entretanto, a maioria dos autores, bem como a prática 
do mercado, utiliza o termo taxa equivalente exclusivamente para o sistema de 
capitalização composto. 
21 
 
 
Exemplo 1: A taxa de 1,80876% ao mês é equivalente à taxa de 24% ao ano. De 
fato, se aplicarmos R$ 10.000,00 por 1 ano (12 meses), o montante será 
de R$ 12.400,00 para ambas as taxas. 
 
10.000 x 1,24 = 12.400 e 
10.000 x (1,0180876) 12 = 10.000 x 1,2400 = 12.400 
 
Cálculo da taxa equivalente 
 
 
 Fórmula 
 
 
Onde i = taxa anual 
 k = número de períodos por ano 
 ik = taxa equivalente a i 
Exemplo 2: Calcular a taxa mensal equivalente a 18% a.a. 
 i = 18% ou 0,18 
 k = 12 
 i12 = ? 
 
 i12 = 12√1 + 0,18 - 1 
 
 
ik = k √(1 + 𝑖) -1 
22 
 
 i12 = 12√1,18 - 1 
 
 i12 = 1,0139 – 1 
 i12 = 0,0139 ou 1,39% a. m. 
 
Exemplo 3: Calcular a taxa diária equivalente a 30% a.a. 
 i = 30% ou 0,30 
 k = 365 
 i365 = ? 
 
 i365 = 365√1 + 0,30 - 1 
 
 i365 = 365√1,30 - 1 
 i365 = 1,000719 – 1 
 i365 = 0,000719 ou 0,0719% a. d. 
 
 Se tivermos a taxa mensal ou diária e quisermos a taxa equivalente anual, a 
fórmula será: 
 
 
 Onde i = taxa mensal ou diária 
 k = número de períodos por ano (12 ou 365) 
 ik = taxa equivalente a i 
ik = (1 + i)k - 1 
23 
 
 
Exemplo 4 Calcular a taxa anual equivalente a 1% a.m. 
 i = 1% ou 0,01 
 k = 12 
 ik = ? 
 
 ik = (1 + 0,01)12 - 1 = (1,01)12 - 1 
 ik = 1,1268 – 1 
 ik = 0,1268 ou 12,68% a.a. 
 
Exemplo 5: a rentabilidade de determinada aplicação nos últimos dias tem sido, em 
média, de 0,03% ao dia. Qual a taxa anual equivalente? 
i = 0,03% ou 0,0003 
 k = 365 
 ik = ? 
 ik = (1 + 0,0003)365 - 1 
ik = (1,0003)365 - 1 
 ik = 1,1157 – 1 
 ik = 0,1157 ou 11,57% ao ano. 
 
Comparações entre juros e descontos simples e compostos 
24 
 
 
Vamos supor que dois capitais de R$ 1.000,00 sejam aplicados à taxa de 3% ao mês, 
o primeiro no regime de juros simples e o segundo no regime de juros compostos. À 
medida que o prazo aumenta, há diferenças significativas entre os respectivos 
montantes, conforme pode ser observado no Quadro a seguir. 
 Quadro Montantes, Juros Simples e Compostos 
Prazo 
(meses) 
Montante, juros 
simples, 3% a.m. 
Montante, juros 
compostos, 3% 
a.m. 
Taxa mensal 
aproximada de 
juros simples para 
igualar os 
montantes 
6 1.180,00 1.194,05 3,234 
12 1.360,00 1.425,76 3,548 
18 1.540,00 1.702,43 3,902 
24 1.720,00 2.032,79 4,303 
30 1.900,00 2.427,26 4,758 
36 2.080,00 2.898,28 5,273 
42 2.260,00 3.460,70 5,859 
48 2.440,00 4.132,25 6,526 
54 2.620,00 4.934,12 7,285 
60 2.800,00 5.891,60 8,153 
(Fonte: Vieira Sobrinho, 1988) 
Como se observa, a diferença entre os montantes vai se ampliando, conforme 
aumenta o prazo. Em 60 meses, o montante obtido com juros compostos já é mais de 
duas vezes maior do que aquele que corresponderia à utilização de juros simples. 
Ainda, para se obtero montante correspondente ao gerado por juros compostos de 
3% a.m. digamos, em 36 meses, no regime de juros simples seria necessária taxa de 
5,273%. No prazo de 60 meses, a equivalência só seria obtida com taxa de 8,153% 
a.m. 
25 
 
Continuando, vamos comparar o desconto simples bancário com aquele obtido com o 
desconto composto. Suponhamos agora, ainda seguindo um exemplo do livro de 
Vieira Sobrinho, que um título de R$ 1.000,00 (valor de face ou de resgate) será 
descontado à taxa de 2,5% a.m. (desconto bancário). 
 
Quadro 
Correspondência entre Taxa de Desconto Simples de 2,5% a. m. e Taxas de Juros Compostos 
Prazo 
(meses) 
Valor do desconto 
simples 
d = N x id x n 
Valor Líquido 
A = N - d 
Taxa mensal 
aproximada de 
juros compostos 
correspondentes 
à taxa de 
descontos de 
2,5% a. m. 
1 25,00 975,00 2,564 
5 125,00 875,00 2,707 
10 250,00 750,00 2,919 
15 375,00 625,00 3,183 
20 500,00 500,00 3,526 
25 625,00 375,00 4,001 
30 750,00 250,00 4,729 
35 875,00 125,00 6,121 
40 1.000,00 ____________ _____________ 
 
O quadro mostra que um desconto por 10 meses à taxa de 2,5% ao mês corresponde 
a uma taxa de juros composta de 2,919% ao mês. Isto é, é indiferente a uma empresa 
descontar um título com 300 dias a decorrer, com taxa de desconto simples de 2,5% 
a.m., e contrair um empréstimo de R$ 750,00, á taxa de 2,919, para ser liquidado por 
R$ 1.000,00 no final do mesmo prazo. De fato: 
A = 1.000( 1 – 0,025 x 10) = 750 e 
26 
 
M = 750 (1+ 0,02919)10 = 1.000 
 
SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
Vimos anteriormente como calcular o montante de um único capital aplicado 
por n períodos a uma taxa i . 
 
 Um dos exemplos utilizados (juros compostos, ex. 3) foi o seguinte: 
 
 C = R$ 28.000,00 
 I = 5% a.m. 
 N = 6 meses 
 M =? 
 
 Traduzindo, a questão proposta é: qual será o montante, daqui a 6 meses, 
produzido por uma única aplicação de R$ 28.000 feita hoje, a 5% a.m. 
 
 Outro problema poderia ser o seguinte: 
 
Exemplo 1: Qual será o montante, daqui a 6 meses, produzido por uma série de 6 
aplicações, a partir de hoje, no valor de R$ 28.000,00 cada uma, à taxa 
de 5% a.m.? 
 Através de diagramas de fluxo de caixa podemos assim representar os dois 
problemas: 
27 
 
 M 
 
 0 1 2 3 4 5 6 
 28.000 
Diagrama referente ao exemplo 3 
 
 M 
 
 0 1 2 3 4 5 6 
 
28.000 28.000 28000 28.000 28.000 28.000 
 Diagrama referente ao exemplo atual 
 
 No primeiro problema, a aplicação de R$ 28.000, feita no momento 0 vai render 
por 6 períodos. Portanto, o montante (M), no momento 6, é dado por 
 
M = R$ 28.000 x 1,340095 = R$ 37.523, onde 1,340095 = 1,056 = coeficiente 
encontrado na tabela I (i = 5%; n = 6), ou na tecla yx da calculadora. 
 
 No segundo problema são 6 aplicações de mesmo valor, feitas em 6 meses 
subsequentes, do mês 0 ao mês 5. Queremos saber o montante no mês 6, um mês 
depois de encerradas as aplicações. 
 Podemos calcular o montante de cada uma das aplicações isoladamente e em 
seguida somar esses montantes. É claro que M1 = 28000 x (1+0,05)1; M2 = 28000 x 
(1+0,05)2, e assim por diante até M6 = (1+0,05)6 
 
28 
 
 Capital x Coeficiente = Montante (aprox.) 
Montante da 6a. aplicação R$ 28.000 x 1,050000 = R$ 29.400 
Montante da 5a aplicação R$ 28.000 x 1,102500 = R$ 30.870 
Montante da 4a aplicação R$ 28.000 x 1,157625 = R$ 32.413 
Montante da 3ª aplicação R$ 28.000 x 1,215506 = R$ 34.034 
Montante da 2ª aplicação R$ 28.000 x 1,276281 = R$ 35.736 
Montante da 1ª aplicação R$ 28.000 x 1,340095 = R$ 37.523 
TOTAL 7,142008 R$ 199.976 
 
Como o valor de cada aplicação é constante, logicamente teria sido mais fácil 
multiplicar o seu valor pela soma dos coeficientes, e teríamos o mesmo montante. 
 
 M = R$ 28.000,00 x 7,142008 = R$ 199.976,00 
 
 Problemas desse tipo podem ser pensados em relação ao passado, assim: 
 
Exemplo 2: Qual o montante, hoje, de uma série de n aplicações mensais uniformes, 
de R$ 10.000 cada, à taxa de 5% ao mês? 
 
 Vamos assumir a hipótese de que a última aplicação tenha ocorrido há um 
mês. Temos de forma aproximada: 
 
a) se n=1, M = R$ 10.000 x 1,05 = R$ 10.500 
b) se n=2, M = R$ 10.000 x (1,05 + 1,1025) = R$ 10.000 x 2,1525 = 
29 
 
R$ 21.525 
c) se n=3, M = R$ 10.000 x (1,05 + 1,1025 + 1,157625) = R$ 10.000 x 3,310125 
= R$ 33.101 
d) se n=4, M = R$ 10.000 x (1,05 + 1,1025 + 1,157625 + 1,215506) = R$ 10.000 
x 4,525631 = R$ 45.256 
e) se n=5, M = R$ 10.000 x (1,05 + 1,1025 + 1,157625+1,215506+1,276281)= 
R$10.000x5,801912 =R$ 58.019 
f) se n=6, M = R$ 10.000 x 
(1,05+1,1025+1,157625+1,215506+1,276211+1,340095) = R$ 10.000 x 7,142007 = 
R$ 71.420 e assim por diante. 
 
A construção de uma tabela que facilite a solução de problemas desse tipo é 
muito simples; basta acumular os coeficientes da tabela I. Por esse processo foi 
construída a tabela III. Aqui, como no restante do curso, o mais prático é a utilização 
de calculadoras financeiras, ou cientificas com módulo financeiro, para os cálculos de 
problemas envolvendo fluxos de caixa e séries de pagamentos. 
Não faremos aqui a dedução das fórmulas que produzem os resultados tanto 
para o valor futuro (tabela III) quanto para o valor presente (tabela IV) de séries 
uniformes de pagamentos. 
Exemplo para utilização da tabela III: 
Exemplo 3: Qual o montante produzido por uma série de 15 aplicações mensais, de 
R$ 35.000 cada, à taxa de 4% a.m.? 
 Considerar o montante um mês após a última aplicação. 
 
 M = R$ 35.000 x 20,82453 = R$ 728.858,55 
 
30 
 
DESCONTO COMPOSTO DE SÉRIES UNIFORMES 
 
 Trata-se de problema semelhante ao de juros compostos de séries uniforme, 
tratado no item anterior. 
 Naquela ocasião queríamos saber o montante, quer dizer, o valor das 
aplicações num momento qualquer após a sua realização. Resolvemos o problema 
calculando o montante de cada uma das aplicações individualmente e somando tais 
montantes. Como se tratava de aplicações de mesmo valor, concluímos que era mais 
fácil e lógico somar os coeficientes e multiplicar pelo valor unitário das parcelas. 
Concluímos, ainda, que uma tabela contendo os coeficientes acumulados da tabela I 
facilitaria sobremaneira a resolução dos problemas e, por isso, montamos a tabela III. 
 Agora, dada uma série uniforme de valores a vencer, queremos descontá-la, 
isto é, queremos saber seu valor atual. 
Exemplo 4: Suponhamos quatro duplicatas de R$ 8.000 cada, vencíveis daqui a 1, 2, 
3 e 4 meses respectivamente. Qual o seu valor atual, pelo desconto 
composto, considerada a taxa de 6% ao mês? 
Na tabela II, coluna 6, encontramos os seguintes coeficientes: 
 
 para n = 1, coeficiente = 0,943396 = 1/(1 +0,06) 
 para n = 2, coeficiente = 0,889996 = 1/(1+ 0,06)2 
 para n = 3, coeficiente = 0,839619 = 1/(1+ 0,06)3 
 para n = 4, coeficiente = 0,792094 = 1/(1+ 0,06)4 
 
 Aplicando-os temos (aproximadamente): 
 
31 
 
Valor atual da 1ª duplicata = 8.000 x 0,943396 = 7.547,2 
Valor atual da 2ª duplicata = 8.000 x 0,889996 = 7.120,0 
Valor atual da 3ª duplicata = 8.000 x 0,839619 = 6.716,9 
Valor atual da 4ª duplicata = 8.000 x 0,792094= 6.336,7 
 TOTAL = R$ 27.720,8 
 
 
 Evidentemente, o mesmo resultado seria obtido pela multiplicação do valor 
unitário das duplicatas pela soma dos coeficientes. 
 R$ 8.000,00 x 3,465106 = R$ 27.720,80 
 À semelhança da tabela III, cujos coeficientes correspondem aos valores 
acumulados dos coeficientes da tabela I e servem para calcular montantes de séries 
uniformes, construímos a tabela IV a partir dos coeficientes da tabela II. Essa Tabela 
IV destina-se ao cálculo do valor atual de séries uniformes. 
 
Exemplos de cálculo do valor presente de séries uniformes de pagamentos (podendo 
usar-se a Tab. IV ou calculadoras financeiras) 
Exemplo 5: Qual o valor atual de 18 notas promissórias de R$ 12.000,00 cada, 
vencíveis mensalmente, sendo o vencimento da primeira daqui a um 
mês, considerando a taxa de juro de 8% ao mês? 
 n = 18 
 coeficiente = 9,371887 
 i = 8% 
 
 Valor atual = R$ 12.000,00 x 9,371887 = R$ 112.462,64 
32 
 
 
Exemplo 6: Qual deve ser o preço a vista de um eletrodoméstico anunciado assim: 
24 prestações de R$ 250,00, sem entrada? (considere que a taxa de 
juros cobrada pela loja é de 10% a. m.) 
 n = 24 
 coeficiente = 8,984744 
 i = 10% 
 Preço a vista = R$ 250 x 8,984744 = R$ 2.246,19 
 
Exemplo 7 : Quantas prestações de R$ 400,00 devo aplicar trimestralmente à taxa 
de 3,5% para acumular um capital de R$ 8.682,00 e em que prazo? 
 
Usando-se a tabela III, teríamos: 
8682 = 400x coef.( 3,5%; n) 
coef.(3,5%; n) = 8682/400 = 21,7050. Procurando-se na coluna de 3,5%, encontra-se 
esse coeficiente na linha 16; portanto n = 16. 
Serão necessárias 16 prestações trimestrais, e o prazo será de 4 anos. 
 
Exemplo 8: Uma geladeira, que custa R$ 2.000,00 a vista, está sendo financiada em 
12 prestações iguais, com entrada de R$ 150,00. Se a taxa de juros cobrada é de 3% 
ao mês, qual o valor das prestações? 
V = valor a ser financiado = 2.000 – 150 = 1850 
Neste caso, conhecemos o valor atual, a taxa e o prazo. Assim, usando a Tab.IV, e 
chamando de P a prestação tem: 
1850 = P x coef.(3;12) = P x 9,954004 
P = R$ 185,85. 
 
33 
 
Exemplo 9: João comprou um carro, no valor de R$ 45.000,00 financiado em 15 vezes 
sem entrada. Qual foi a taxa de juros cobrada, se cada prestação foi de R$ 3.769,50? 
Novamente usando a Tab. IV: 
45.000 = 3.769,50 x coef.(i; 15) 
Coef.(i; 15) = 45.000/3.769,50 = 11,9379. Na linha 15 da tabela, este coeficiente 
aproximado aparece na coluna de 3%. 
Logo, a taxa cobrada foi de 3% ao mês (aproximadamente). 
 
Exemplo 10: Um casal decide comprar um terreno no valor de R$ 30.000,00, 
financiado em 24 vezes à taxa de 3,5% ao mês, sem entrada. Como a máxima 
prestação possível para eles é de R$ 1.000,00 por mês, concordam em pagar também 
parcelas adicionais iguais no final do 6º, 12º ,18 º e 24º meses. Qual o valor dessas 
parcelas extras? 
 
O raciocínio aqui é o seguinte: primeiro, trazemos a valor presente as 24 prestações 
de 1000 reais. Em seguida, abatemos esse valor do total de R$ 30.000,00, para 
obtermos o valor adicional a ser financiado 
A = 1000 x coef.(3,5%; 24) – Tab. 4 
A = 1.000 x 16,058368 = 16.058,37 
Valor restante a financiar = V = 30.000 – 16058,37 = 13.941,63. Agora, trazemos a 
valor presente as 4 prestações extras. Sua soma deve ser igual ao valor a ser 
completado no financiamento. 
 V = P /(1+0,035)6 + P/(1 + 0,035)12 + P/(1+ 0,035)18 + P/(1 + 0,035)24. Recorrendo 
agora à Tabela II, ou a uma calculadora, temos: 
V = P (0,813501 + 0,661783 + 0,538361 + 0,437957) 
V = P x 2,451602 e 
P = 13.941,63/2,451602 =5.686,74 
Assim, cada prestação adicional nesse caso corresponde a R$ 5.686,74 
 
34 
 
Exemplo 11: Uma pessoa adquire uma lancha para ser paga em 20 prestações 
mensais iguais, à taxa de 3,5% ao mês. Sabendo-se que a 1ª prestação vence ao final 
do 5º mês, e a última ao final do 24º mês, pede-se o valor da prestação. O valor a 
vista da lancha é de R$ 150.000,00. 
 
Neste caso, o devedor pagará com 5 meses de carência. Nesse período, embora não 
ocorram pagamentos, estão sendo cobrados juros. Devemos então , antes de resolver 
o problema, capitalizar o valor inicial por 5 meses. Assim: 
A’ = A x (1 + 0,035)5 = 150.000 x 1,187686306 = 178.152,95. 
Agora, A’ = P x coef.(3,5%;20) 
Na tabela IV, coef.(3,5%;20) = 14,212403. 
178.152,95 = P x 14,212403 
P = R$ 12.535,03 
SÉRIES DE PAGAMENTO INFINITAS (ANUIDADES PERPÉTUAS) 
 
Na determinação do valor presente, tratamos de fluxos de pagamento ou recebimento 
limitados no tempo, ou seja, com duração determinada. No entanto, algumas 
situações financeiras podem prever durações indeterminadas (perpétuas), por 
exemplo, aquelas relacionadas com modelos de avaliação de ações ou de imóveis. 
Para o cálculo do Valor Presente de uma série determinada de pagamentos, por 
exemplo, 5, usamos o seguinte: 
A (VP) = P/(1 + i) + P/(1 + i)2 + P/(1+i)3 + p/(1+ i)4 + P/(1 +i)5 
A = P (1/(1 + i) + 1/(1 + i)2 + .........+ 1/(1 + i)5 ) 
A somatória que está dentro dos parênteses corresponde, como vimos, aos 
coeficientes listados na tabela IV. Mas essa somatória pode ser obtida também com 
a fórmula: 
Coef(i;n) = (1 + i)n – 1/(1 +i)n. i 
Coef.(i;n) = 1 – (1 +i)-n/i 
Agora, considerando que n tende ao infinito, podemos ver que o termo 
35 
 
(1 + i)-n torna-se muito pequeno, e o coef.(i;n) = 1/i. Daí: 
A = P/i . 
Exemplo 1:. Se um apartamento está rendendo um aluguel de R$ 600,00 por mês e 
se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de 1% a.m., qual seria uma 
primeira estimativa do valor do imóvel? 
 
A = P/i 
 
A = 600/0,01 = R$ 60.000,00 
 
E se a taxa de juros sobe para 2% am? 
 
A = 600/0,02 = R$ 30.000,00 
 
E se desce para 0,5% am? 
 
A = 600/0,005 = R$ 120.000,00 
Exemplo 2: Uma dívida de R$ 7.000,00 deverá ser resgatada em prestações 
perpétuas mensais, com 6 meses de carência a juros de 2,5% a, Determine o valor 
das prestações. 
 
No período de carência, a dívida é acrescida de juros. 
 
 A’ = A (1 +i)n 
 A’ = 7.000 (1 + 0,025)6 
 A’ = 7.000 x 1,1597 = 8.117,85. Agora: 
 A’ = P/i 
 8.117,85 = P/0,025 
 P = 8.117,85 x 0,025 = 202,95. 
 Portanto, a dívida poderá ser resgatada com prestações mensais perpétuas de 
R$ 202,95. 
 
TAXA NOMINAL, TAXA EFETIVA E TAXA REAL 
 
Taxa nominal e taxa efetiva 
36 
 
 
 Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais (como se 
fossem juros simples), os juros obtidos não correspondem à taxa oferecida, já que se 
trata do regime de juros compostos, mas são maiores. Desta forma, a taxa oferecida 
é chamada nominal, enquanto a que é realmente paga é denominada efetiva. 
 
Exemplo 1 Consideremos uma taxa de 18% ao ano paga em parcelas mensais 
proporcionais, ou seja, 1,5% ao mês. A taxa de 18% a.a. é a taxa 
nominal. Entretanto, 1,5% capitalizados mensalmente equivalem, 
aproximadamente, a uma taxa anual de 19,56%, que é a taxa efetiva. 
 Esta situação, confusa, e que não teria nenhuma justificativa conceitual ou 
matemática para existir, é corriqueira no mercado. Obviamente, em geral taxas 
pretensamente menores são mais palatáveis. 
 
Exemplo 2: Uma empresa negocia um empréstimo bancário de R$ 1.000.000,00 
para ser pago de uma só vez, após um ano, à taxa de 15% ao ano. 
Pagará, portanto, R$ 1.150.000,00. 
 
Acontece, porém, que a empresa não recebe os R$ 1.000.000,00. Desse valor 
o banco desconta IOF,taxa de abertura de crédito, comissão, taxa de expediente, 
etc., e lhe entrega, digamos, R$ 930.000,00. 
 As taxas nominal e efetiva são as seguintes: 
 
Taxa nominal = (1.150.000 - 1.000.000) = 150.000 = 15% a.a. 
 1.000.000 1.000.000 
 
37 
 
 
Taxa efetiva = 1.150.000 - 930.000 = 220.000 = 23,66% a.a. 
 930.000 930.000 
 
Taxa real 
 
 A taxa real é a “diferença” entre a taxa efetiva e a inflação do período. 
 Essa “diferença”, no entanto, não deve ser entendida como a diferença 
aritmética obtida pela subtração. 
 
Exemplo 3: Tomemos a taxa efetiva do exemplo anterior (23,66%) e digamos que, no 
mesmo período, a inflação foi de 5%. É absolutamente errado dizer que 
a taxa real é: 
 
 23,66% - 5% = 18,66% 
 
A fórmula correta para se descontar o efeito inflacionário é a seguinte: 
 
Taxa real = Tr 
Taxa efetiva = Te 
Taxa inflacionária = Ti 
 
 Tr = 1 + Te – 1 
 1 + Ti 
 
Taxa real = 1 + 0,2366 - 1 
 1 + 0,05 
38 
 
 
Taxa real = 1,17771 – 1 
 
Taxa real = 0,17771 ou 17,77% a.a. (aproximadamente) 
 
 Da mesma forma, dadas as taxas de inflação (ou de correção monetária) e a 
taxa real, a taxa efetiva é obtida por uma multiplicação e não pela simples soma das 
duas primeiras. 
 
 
Taxa efetiva = (1+taxa de inflação) x (1+taxa real) - 1 
 
Exemplo 4: Tomamos um empréstimo, há um ano, e nos comprometemos a pagar 
12% de juros ao ano mais a variação inflacionaria . Qual a taxa efetiva, 
se a inflação no período foi de 4,2%? 
 
Taxa efetiva = [(1 + 0,042) x (1 + 0,12)] - 1 
Taxa efetiva = [1,042 x 1,12] - 1 
Taxa efetiva = 1,1670 - 1 
Taxa efetiva = 0,1670 ou 16,7% a.a. 
 
39 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
LISTA 1 - JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
1-) Calcule o valor do capital que, aplicado a juros simples, a uma taxa de 6,2% ao 
mês, por 174 dias produziu um montante de R$ 543.840,00. 
2-) Um terreno está sendo oferecido por R$ 450.000,00 a vista ou com uma entrada 
de R$ 150.000,00 e mais uma parcela de R$ 350.000,00 no final de 6 meses, juros 
compostos. Se a taxa mensal é de 3,5%, determine a melhor opção para o 
interessado. 
3-) A aplicação de certo capital, à taxa de juros compostos de 69,538% ao ano, gerou 
um montante de R$ 820.000,00 no final de um ano e três meses. Calcule o valor dos 
juros. 
4-) Em 154 dias, uma aplicação rendeu 41,123%, juros compostos. Calcule as taxas 
mensal e anual equivalentes. 
5-) Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada, com vencimentos para 
90,120,150 e 180 dias são apresentadas para desconto (simples). Sabendo-se que o 
banco cobra taxa de descontos de 3,45% ao mês, calcule o valor total do desconto. 
6-) Uma pessoa obteve um financiamento para aquisição de um veículo, para ser 
quitado em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas, de R$ 9.470,00 (juros 
simples). No dia do vencimento da 10ª prestação, após pagar, o financiado propôs a 
quitação, nessa data, das oito prestações restantes. Se a taxa de desconto é de 1,8% 
ao mês, calcule o valor total do desconto concedido. 
7-) Sabendo-se que o valor creditado na conta de um cliente foi de R$ 57.100,71, 
correspondente ao desconto de um titulo de R$ 66.000,00, desconto composto à taxa 
de 42,576% ao ano, calcule o prazo a decorrer até o vencimento. 
8-) Calcule o valor do desconto (composto) concedido a um titulo de valor de resgate 
R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o vencimento e que a taxa de 
desconto é de 3,5% ao mês. 
 
40 
 
Respostas Lista 1 
1) 
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖 × 𝑛) 
543.840 = 𝐶(1 + 0,3596) 
𝐶 =
543.840
1,3596
= 400.000 
R: C= R$400.000,00 
 
2) 
350.000 = 𝐶(1 + 0,035)6 
350.000 = 𝐶(1,035)6 
350.000 = 𝐶 × 1,2292 
𝐶 = 284.700 
 
Portanto, o gasto equivalente a prazo seria R$150.000+R$284.700= R$434.700,00, menos 
do que R$450.000,00 
R: A melhor opção é comprar a prazo. 
3) 
𝑖𝑎 = taxa anual e 𝑖𝑚= taxa mensal 
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑚)
12
 
Ou 
1 + 𝑖𝑚 = √1,69538
12
 
1 + 𝑖𝑚 = 1,0450 
𝑖𝑚 = 0,0450 
820.000 = 𝐶(1 + 0,0450)15 
820.000 = 𝐶(1,0450)15 
41 
 
820.000 = 𝐶 × 1,9353 
𝐶 = 423.706,92 
𝑗 = 820.000 − 423.706,92 
𝑗 = 396.293,08 
R: Os juros corresponderão a R$396.293,08 
4) 
 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖𝑑)
154 ou 
𝑀
𝐶
= (1 + 𝑖𝑑)
154 
 1,41123 = (1 + 𝑖𝑑)
154 , onde 𝑖𝑑 =taxa diária 
1 + 𝑖𝑑 = √1,41123 = 1,0022
154
 
𝑖𝑑 = 0,0022 
𝑖𝑚 = (1 + 0,0022)
30 − 1 = 0,06940 
𝑖𝑚 = 6,94%𝑎. 𝑚. 
𝑖𝑎 = (1 + 0,0694)
12 − 1 = 1,2371 
𝑖𝑎 = 123,7% 
R: A taxa mensal será de 6,94% e a anual de 123,7% 
5) 
𝑑𝑡 = 𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 + 𝑑4 
𝑑1 = 𝑁𝑖𝑛1 = 32.500 × 0,0345 × 3 
𝑑2 = 𝑁𝑖𝑛2 = 32.500 × 0,0345 × 4 
𝑑3 = 𝑁𝑖𝑛3 = 32.500 × 0,0345 × 5 
𝑑4 = 𝑁𝑖𝑛4 = 32.500 × 0,0345 × 6 
𝑑𝑡 = 32.500 × 0,0345 × (3 + 4 + 5 + 6) = 20.182,5 
R: O desconto total será de R$20.182,50 
6) 
𝑑𝑡 = 𝑑1 + 𝑑2+. … . . … + 𝑑8 
42 
 
𝑑𝑡 = 9.470 × 0,018(1 + 2+. . . . +8) 
𝑑𝑡 = 9.470 × 0,018 × 36 
𝑑𝑡 = 6.136,56 
R: O desconto total será de R$6.136,56 
7) 
𝑁 = 𝐴(1 + 𝑖)𝑛 
66.000 = 57.100,71 × (1 + 0,42576)𝑛 
1,1558 = 1,42576𝑛 
𝑙𝑜𝑔1,1558 = 𝑙𝑜𝑔1,42576𝑛 
𝑙𝑜𝑔1,1558 = 𝑛 × 𝑙𝑜𝑔1,42576 
0,0629 = 𝑛 × 0,1540 
𝑛 = 0,40844 
0,40844 × 12 = 4,9 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
4,9 × 30 = 147 𝑑𝑖𝑎𝑠 
Resposta: O prazo será de 4,9 meses ou 147 dias 
8) 
𝑁 = 𝐴(1 + 𝑖)𝑛 
200.000 = 𝐴(1 + 0,035)3 
𝐴 =
200.000
(1,035)3
=
200.000
1,1087
 
𝐴 = 180.391,45 
𝑑 = 19.608,55 
R: O desconto será de R$19.608,55. Para esse exercício considerar 4 casas decimais no 
cálculo. 
 
43 
 
LISTA 2 DESCONTO COMPOSTO E SÉRIE DE PAGAMENTOS 
 
1-) Um comerciante, precisando de recursos para renovar seu estoque, vai a um 
banco na quarta feira de cinzas para descontar três duplicatas. A primeira, de R$ 
35.000,00, vence em sessenta dias; as duas outras, de R$ 47.000,00 cada, vencem 
em noventa e em cento e vinte dias. Se a taxa de desconto proposta pelo banco é de 
6% ao mês, quanto o comerciante conseguiu levantar? (desconto a juros compostos) 
2-) Um fogão Consul 4 Bocas Facilite CF550BR c/ Timer - Inox está sendo anunciado 
pelo valor à vista de R$ 544, 26, ou em 12 prestações no cartão de R$54,67. Supondo 
que a primeira parcela no cartão caia dentro de 30 dias, qual a taxa de juros? 
 
3-) Um professor de economia recebeu em Fevereiro uma fatura do cartão de crédito 
Santander Mastercard Premium de R$ 406,80, com vencimento para o dia 10, e 
decidiu efetuar o pagamento em seis parcelas mensais, vencendo a primeira no ato. 
Se a operadora cobra taxa de 8% ao mês para essas operações, quanto o professor 
está pagando por mês? 
 
4-) Um fundo setorial de ações do Banco do Brasil acusou, em janeiro de 2011, um 
rendimento acumulado nos últimos 24 meses de 156,3%, correspondendo a uma taxa 
mensal média de 4%. Que montante teria acumulado em Jan/2011 uma pessoa que 
tivesse feito 24 depósitos de R$ 1.000,00 nesse fundo, sendo a última em Dez/2010? 
 
5-) Um Astra 0 km custava a vista R$ 45.000,00 em junho de 2009, numa 
concessionária campineira. Foi comprado com uma entrada e financiamento em 24 
meses, vencendo a primeira 30 dias após a compra; a prestação foi de R$ 2.066,6 e 
a taxa mensal foi de 3%. Quanto foi pago de entrada? 
 
6-) Um televisor Samsung, LCD de 42 polegadas, está sendo oferecido por uma loja 
por R$ 2.500,00em 5 pagamentos iguais , sem entrada e “sem juros”. Entretanto, para 
compras a vista, a loja oferece 9% de desconto. Qual a taxa que está sendo 
efetivamente cobrada? 
 
44 
 
RESPOSTAS LISTA 2 
1-) Como trata-se de calcular descontos, vamos utilizar a tabela II. Assim, temos: 
A’ = 35.000 x coef(6%;2) = 35.000x0,8899 
A’ = 31.146,50 
A” = 47.000 x coef(6%;3) = 47.000 x 0,8396 
A” = 39.461,2 e 
A’” = 47.000 x coef(6%; 4) = 47.000 x 0,7921 
A”’ = 37.228,7. 
No total, o comerciante consegue do banco um montante A = A’ + A” + A’” 
A = R$ 107.836,4 
R: O comerciante levantou R$ 107.836,4 
 
2-) Neste caso, trata-se de série de pagamentos iguais, e vamos utilizar a tabela IV. 
A formula geral é A = P x coef (i;n) 
A = P x coef (i;12) 
544,26 = 54,67 x coef(i;12) 
coef(i;12) = 9,955 
Na tabela IV, esse valor encontra-se na linha n =12 e na coluna de i = 3% 
R: A taxa de juros utilizada foi de 3%. 
 
3-) Aqui, temos uma situação em que serão de fato seis parcelas, mas a primeira é 
dada como entrada, isto é, sobre ela não incidirão juros. Ou seja, o valor a ser 
amortizado corresponde à soma da entrada com o valor atual de uma série de 5 
pagamentos iguais a ela. 
A = P + P.coef(8%;5) , da tabela IV 
A = P.[1 + coef(8%;5)] 
406,8 = P.[1+ 3,9927] 
 P = 81,48 
45 
 
R : Os pagamentos mensais serão de R$ 81,48 
 
4-) Neste caso, trata-se de calcular o montante produzido por uma série de 24 
aplicações mensais, à taxa de 4% a.m., vencendo um mês após a ultima aplicação. 
Portanto, devemos utilizar a tabela III. 
M = P. coef(4%; 24) 
M = 1000 x 40,6459 = 40.645,9 
R: O montante acumulado será de R$ 40.645,9 
 
5-) Situação semelhante ao do problema 3, mas aqui o valor da entrada é diferente 
das prestações; trata-se então de calcular o valor atual da serie de pagamentos e a 
diferença entre ele e o valor a vista corresponderá à entrada. 
Vamos usar a tabela IV : 
A = E + P.coef(3%;24) 
45.000 = E + (2.066,6 x 16,9355) 
E = 45.000 – 35.000 
R ; A entrada foi de R$ 10.000,00 
 
6-) O valor a vista será de : 
A = 2.500 x 0,9 = 2.275 
Já o valor atual da serie de 5 pagamentos de R$ 500,00 pode ser calculado com o 
auxilio da tabela IV : 
A = 500 x coef (i ; 5) 
2.275 = 500 x coef ( i; 5) 
coef ( i; 5) = 4,55. Este valor pode ser determinado de maneira APROXIMADA na 
linha n = 5 e na coluna de 3%. 
R : A taxa de juros cobrada foi de APROXIMADAMENTE 3% a.m. 
Para a resolução mais exata podemos usar a interpolação entre os fatores 
encontrados em i=3% e i=4% na mesma tabela IV. A solução pelo método de 
interpolação ficaria da seguinte forma: 
46 
 
O fator do prazo n=5 e i=3% é 4,5797; e o fator do prazo n=5 e i=4% é 4,4518. 
Fazendo a interpolação: 
(4,5797 – 4,4518) / (3 – 4) = (4,55 – 4,4518) / (i – 4) 
0,1279 / - 1 = 0,982 / (i – 4) 
0,1279i – 0,5116 = - 0,0982 
0,1279i = 0,4134 
i = 3,23% a.m. 
 
47 
 
LISTA 3 – SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
1-) Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de 
20 meses um montante de R$ 300.000,00, a uma taxa mensal de 3,0%? 
2-) Quantas aplicações semestrais de R$ 10.000,00 são necessárias para obter-se 
um montante de R$ 293.243,00, um semestre após a ultima, se a taxa mensal é de 
1,29%, e a primeira é feita hoje? 
3-) Um fundo de renda fixa promete entregar, no fim de 18 meses, um montante de 
R$ 126.786,00, a quem fizer aplicações mensais de R$ 5.000,00 a partir de hoje. Qual 
a taxa de juros utilizada nessa operação? 
4-) Parte do valor de um veiculo é financiado por um banco, para ser paga em 20 
prestações mensais iguais de R$ 5.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês 
após a assinatura do contrato..Sabendo que o banco cobra taxa de 4,0% ao mês, qual 
o valor financiado? 
5-) Uma loja financiou 80% do valor de um veiculo, que é de R$220.000,00, em 24 
prestações mensais de R$ 12754,9, vencendo a primeira um mês após a compra . 
Qual a taxa cobrada pela loja? 
6-) Uma loja financia um auto para ser pago em 20 prestações iguais de R$ 6.000,00. 
Sabendo que a taxa cobrada é de 5,0% ao mês, determine o valor financiado, se: 
a-) A primeira prestação é paga no ato (entrada) 
b-) A primeira prestação é paga um mês após o contrato 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS LISTA 3 
48 
 
 
1) 
 
 
𝑀 = 𝑃 × 𝑐𝑜𝑒𝑓(3%; 20) 
(Tabela III ou calculadora financeira com beg mode) 
300 = 𝑃 × 27,6765 = 10,8395 
𝑃 = 𝑅$10.839,5 
 
R: A aplicação será de R$10.839,5 
 
2) 
(1 + 𝑖𝑠) = (1 + 𝑖𝑚)
6 
1 + 𝑖𝑠 = 1,0129
6 
𝑖𝑠 = 0,08 
𝑐𝑜𝑒𝑓(8%; 𝑁) = 29,3243 
293.243 = 10.000 × 𝑐𝑜𝑒𝑓(8%; 𝑁) 
Ou 𝑐𝑜𝑒𝑓(8%; 𝑛) = 29,3243 
Na tabela III, na coluna de 8% verifica-se que esse valor está na linha correspondente 
a: 𝑛 = 15 
R: 15 aplicações 
 
3) 
126.786 = 5000𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑖; 18) 
𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑖; 18) = 25,3572 
 
Na tabela III, verifica-se que esse valor está na linha de n=18 e na coluna 𝑖 = 3,5%. 
R: a taxa é de 3,5% a.m. 
49 
 
 
Novamente, o mesmo resultado pode ser obtido com a calculadora financeira no beg 
mode 
 
 
4) 
 
 
𝐴 = 𝑃 × 𝑐𝑜𝑒𝑓(4%;20) Tabela IV 
Onde A é a soma dos valores atuais das 20 prestações (P), ou valor a ser financiado. 
Então: 
𝐴 = 5.000 × 13,5903 
𝐴 = 𝑅$67.951,50 
R: O valor a ser financiado é de R$67.951,5 
 
5) 
𝐴 = 𝑃 × 𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑖; 24) Tabela IV 
𝐴 = 0,8 × 220.000 = 176.000 
176.000 = 12.754,9 × 𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑖; 24) 
𝑐𝑜𝑒𝑓(𝑖; 24) = 13,7986 
Na tabela IV, na linha correspondente a n=24, vemos que o valor 13,7986 está na 
coluna 𝑖 = 5% 
R: A taxa cobrada foi de 5% a.m. 
 
 
 
 
 
6) 
50 
 
a) 
 
𝐴 = 𝑃 + 𝑃 × 𝑐𝑜𝑒𝑓(5%; 19) 
𝐴 = 𝑃(1 + 𝑐𝑜𝑒𝑓(5%; 19)) 
Na tabela IV, 𝑐𝑜𝑒𝑓(5%; 19) = 12,0853 
𝐴 = 6.000 × 13,0853 = 78.511,8 
b) 
 
 
𝐴 = 𝑃 × 𝑐𝑜𝑒𝑓(5%; 20) - Tabela IV 
𝐴 = 6.000 × 12,4622 = 74.773.2 
 
R: No primeiro caso o valor financiado é de R$78.511,8 e no segundo, de R$74.773,2. 
 
51 
 
LISTA 4. ANUIDADES, PERPETUIDADES, TAXA NOMINAL, EFETIVA , REAL 
 
 
1- ) Quanto devo aplicar em caderneta de poupança (risco e taxa de juros baixos) para 
ter uma renda mensal de $1.000,00 pelo resto da vida?. 
 A caderneta de poupança rende em média 0,55% ao mês 
 
2-) Uma pessoa fará depósitos mensais para, ao cabo de 2 anos, formar um montante 
capaz de garantir-lhe também mensalmente para o resto da vida, retiradas de R$ 
1.500,00. Considerando uma taxa de 3% ao mês, qual o valor dos depósitos? 
 
3 -) Qual o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 16 prestações mensais, 
à taxa de 4% ao mês, vencendo a primeira um mês após o contrato e sendo as 
primeiras 6 prestações de R$ 2.000,00 e as 10 ultimas de R$ 1.500,00 ? 
 
4 -) Um terreno, no valor de R$ 60.000,00, está sendo vendido com 20% de entrada, 
mais 24 prestações de R$ 2.125,71 e duas outras prestações iguais no 12º e 24º 
meses. Sabendo que a taxa de juros é de 3% a. m., calcule o valor das prestações 
extras. 
 
5 -) Uma empresa negocia um empréstimo bancário, de R$ 50.000,00, recebendo, 
após desconto de IOF, taxas e comissões, líquidos R$ 46.000,00. O empréstimo será 
quitado após um ano, com um pagamento de R$ 60.000,00. Calcule as taxas nominal 
e efetiva envolvidas. 
 
6-) Nos últimos 12 meses, a taxa de inflação calculada pela FIPE/USP (INPC) foi de 
6,05%. Nesse período, uma aplicação inicial de R$ 50.000,00 foi resgatada por R$ 
59.388,00. Calcule as taxas real e efetiva dessa operação. 
 
7-) Um investidor aplicou R$ 100.000,00 em uma corretora que paga uma taxa de 5% 
a.a. de juros e mais a inflação do período, e obteveR$ 112.000,00 após um ano. 
Qual a taxa inflacionaria desse período? 
 
 
 
 
 
52 
 
RESPOSTAS LISTA 4 
 
1-) 
A = P/i 
A = 1000/0,0055 
A = 181.818,18 
R : O montante a ser aplicado será de R$ 181.818,18. 
2-) 
M = P. coef( 3%;24) tabela III 
M = P. 35,4593 
Para chegar ao valor de P (depósitos), temos antes que calcular M, montante 
suficiente para garantir uma renda perpétua mensal de 1500 reais, à taxa de 3% a.m. 
M = 1.500/0,03 
M = 50.000 
P = 50.000: 35,4593 
P = 1410,07 
R: O valor dos depósitos será de R$ 1410,07 
 
 
3 -) 
53 
 
Aqui, vamos calcular separadamente os valores atuais dos dois fluxos de 
pagamentos para depois soma-los. 
A’ = 2.000 x coef.(4%;6) tabela IV 
A’ = 2.000 x 5,2421 
A’ = 10.484,2 
Agora, o valor atual de 10 pagamentos de 1.500 reais. Para podermos usar a lista 
IV, vamos inicialmente calcular o valor desses pagamentos no final do sexto mês. 
V = 1.500 x coef(4%;10) 
V = 1.500 x 8,1109 = 12.166,35. Agora, calculamos o valor atual A”. 
Trata –se de calcular o valor que, aplicado por seis meses, gerou V. 
A” = V . coef(4%;6) tabela II 
A” = 12.166,35 . 0,7903 
A” = 9.615,07 
A = A’ + A” 
A = 20.099,27 
R : O valor será de R$ 20.099,27 
 
4-) 
Como a entrada é de 20%, temos que o valor a ser financiado será A = 60.000 – 
60.000 x 0,2 = 48.000. 
A soma dos valores atuais das 24 prestações de R$ 2.125,71 e dos dois 
pagamentos extras devem somar 48.000. Assim: 
A1 = 2.125,71 x coef(3%;24) TabelaIV 
A1 = 2.125,71 x 16,9355 = 35.999,96 
A 2 = P x coef(3%;12) Tabela II 
A2 = P x 0,7013 
54 
 
A3 = P x coef(3%;24) Tabela II 
A3 = P x 0,4919 
 48.000 = 35.999,96 + P x 0,7013 + P x 0,4919 
12.000,04 = P (0,7013 + 0,4919) 
P = 12.000,04 / 1,1932 
P = 10.057,02 
R; Serão prestações extras no valor de R$ 10.057,02. 
5-) 
60.000 = 50.000 x (1+in) 
1 + in= 1.20 
A taxa nominal anual foi de 20%. A verdadeira taxa, a taxa efetiva anual, seria: 
60.000 = 46.000 x (1 + ie ) 
ie = 60/46 – 1 = 0,304 
R: A taxa nominal seria de 20%, e a taxa efetiva seria de 30,4%. 
 
6-) 
A taxa efetiva será 
59.388 = 50.000 (1 + ie) 
ie= 1,187 – 1 = 0,187 
Mas: 
(1 + taxa efetiva) = ( 1 + taxa real)( 1+ taxa de inflação) 
1,187 = (1 + ir )(1,0605) 
1,119 = 1+ ir 
Taxa real = 0,119 
55 
 
R : A taxa efetiva foi de 18,7% e a taxa real foi de 11,9%. 
 
 7-) 
1 + ie = (1+ ir)(1+ ii) 
112.000 = 100.000 x(1+ie). A taxa efetiva foi de 12%. Por outro lado, a taxa real foi 
de 5%. 
1,12 = (1 + 0,05)(1 + ii) 
1,12/1,05 = 1,066 
ii = 1,066 – 1 = 0,066. 
R : A taxa inflacionaria do período foi de 6,6%. 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO: TABELAS AUXILIARES
57 
 
 
TABELA I – JUROS COMPOSTOS 
 
 Valores de (1 + i)n 
 
 
 
58 
 
 
TABELA II – DESCONTO COMPOSTO 
 Valores de 1 
 (1 + i)n 
 
 
 
 
 
59 
 
TABELA III – JUROS COMPOSTOS - COEFICIENTES ACUMULADOS 
 
 
 
 
60 
 
TABELA IV – DESCONTO COMPOSTO – COEFICIENTES ACUMULADOS