Espaço Vetorial IR3

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7- ESPAÇO VETORIAL IR3 
 
7.1- O CONJUTO IR3 
 
Def.: É o conjunto dos ternos ordenados de números reais. 
 
IR3 = {(x, y, z)/x  IR, y  IR e z  IR} 
 
7.2- REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
 Cada elemento do IR3 pode ser associado a um ponto do espaço no qual fixamos um sistema 
de coordenadas. 
 
 7.2.1- Sistema Cartesiano Ortogonal Oxyz 
 
Def.: É um sistema constituído por três eixos x, y e z perpendiculares dois a dois, onde o 
eixo x é denominado eixo das abscissas, o eixo y é o eixo das ordenadas e o eixo z é o eixo 
das cotas. 
 
Ex.: Marque no plano Oxyz os pontos abaixo. Os pontos dados são os pontos de que figura 
espacial? 
 
P = (2, 4, 3) 
A = (2, 4, 0)  plano xy 
B = (2, 0, 3)  plano xz 
C = (0, 4, 3)  plano yz 
P1 = (2, 0, 0)  plano x 
P2 = (0, 4, 0)  plano y 
P3 = (0, 0, 3)  plano z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No conjunto IR3 são definidas as mesmas propriedades para adição e multiplicação por 
escalar do conjunto IR2, sendo que o elemento neutro da adição é (0, 0, 0) e o oposto de (x, y, z) é 
(-x, -y, -z) e por serem verdadeiras as oito propriedades, o conjunto IR3 com as operações de adição 
e multiplicação por escalar definidas também é chamado um espaço vetorial real. 
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7.3- VETORES NO ESPAÇO 
 
 Todo vetor �⃗� do plano Oxyz pode ser associado a um terno ordenado (a, b, c) do IR3. E se 
escreve como 
�⃗� = (a, b, c) 
 
 
7.3.1- Igualdade 
 
 Dados dois vetores �⃗⃗� = (x1, y1, z1) e �⃗� = (x2, y2, z2), temos que: 
 
�⃗⃗� = �⃗�  x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2 
 
 Exemplos: 
 
1- �⃗⃗� = (a, b, 2c) e �⃗� = (2, -1, 8)  �⃗⃗� = �⃗�  
 
 
7.3.2- Operações 
 
7.3.2.1-Adição 
 
�⃗⃗� + �⃗� = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) 
 
 Exemplo: �⃗⃗� + �⃗� = (3, -1, -3) + (4, 2, 0) = 
 
 
7.3.2.2- Multiplicação por um número real ou multiplicação por um escalar 
 
k�⃗� = k(x, y, z) = (kx, ky, kz) 
 
 Exemplo: 5(4, -6, 0) = 
 
 
7.3.3- Cálculo das Componentes 
 
Dados A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), calculamos as componentes de um vetor 
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ fazendo, 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = B – A = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) 
 
Exemplo: Dados A = (1, 2, -5), B = (4, -3, 0) e C = (6, 4, 1), calcule: 
 
 a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 
 b) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
 c) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
 d) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 
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7.4- DECOMPOSIÇÃO DE UM VETOR NO ESPAÇO 
 
 No espaço, qualquer conjunto {𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗} de três vetores não coplanares é uma base e, de 
forma análoga, pode-se dizer que todo vetor �⃗� do espaço pode ser escrito como uma combinação 
linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números a1, a2, e a3 tais que: 
 
�⃗� = a1𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ + a2𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ + a3𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
onde a1, a2, e a3 são componentes de �⃗� em relação à base considerada. 
 
Sendo e1, e2, e3 vetores unitários de direção e sentido dos eixos x, y e z, ou seja, 
 
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) 
 
Dado um vetor qualquer �⃗� = (a, b, c) do IR3, este pode ser escrito da seguinte forma: 
 
(a, b, c) = (a, 0, 0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) 
 
 Uma base no espaço é ortonormal se os seus três vetores forem unitários e dois a dois 
ortogonais. Durante este curso será utilizada a base canônica representada por {𝑖, 𝑗, �⃗⃗�}. 
 
 Assim, pode-se escrever o vetor �⃗� = (2, -3, 1) da seguinte forma �⃗� = 2𝑖 – 3𝑗 + �⃗⃗�. 
 
Ex.: 
 
1- Escrever o vetor �⃗� = (10, 7, 4) como combinação linear dos vetores �⃗⃗�1 = (1, 0, 1), �⃗⃗�2 = (1, 1, 1) e 
�⃗⃗�3 = (0, -1, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Dados os vetores �⃗⃗� = (3, -1, 1), �⃗� = (1, 2, -1) e �⃗⃗⃗� = (2, -10, 6), verifique se �⃗⃗⃗� é combinação 
linear de �⃗⃗� e �⃗�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.5- PRODUTO INTERNO NO IR3 
 
Def.: Dados dois vetores �⃗⃗� = (x1, y1, z1) e �⃗� = (x2, y2, z2) do IR3, o produto escalar de �⃗⃗� e �⃗�, indicado 
por �⃗⃗� . �⃗�, é o número real dado por 
 
�⃗⃗� . �⃗� = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 
 
 Para o produto interno do IR3 valem as mesmas propriedades vistas para o produto interno 
do IR2. 
 
Exemplo: Sendo �⃗⃗� = (3, 2, -4) e �⃗� = (5, 0, 1). Calcule: 
 
a) �⃗⃗� . �⃗� = 
 
 
 
7.6- MÓDULO DE UM VETOR 
 
Def.: Dado o vetor �⃗⃗� = (x, y, z)  IR3, temos que o seu módulo (ou comprimento) é dado por: 
 
222 zyxu 
 
 
Exemplo: Calcule o módulo do vetor �⃗⃗� = (1, 2, -2). 
 
 
 
 
 
7.7- DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
Def.: É o comprimento (módulo) do vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
Como 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = B – A = (x2 – x1, y2 – y1), então temos: 
 
d = 
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxx 
 
 
Exemplo: Calcule a distância entre A = (1, -1, 0) e B = (4, 1, -6): 
 
 
 
 
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7.8- PARALELISMO E ORTOGONALIDADE 
 
 7.8.1- Condição de Paralelismo de Dois Vetores 
 
 A condição de paralelismo de dois vetores é que um seja múltiplo do outro, ou seja: 
 
�⃗⃗� e �⃗� são paralelos  �⃗⃗� = k�⃗� 
 
assim, dados �⃗⃗� = (x1, y1, z1) e �⃗� = (x2, y2, z2), temos: 
 
2
1
x
x
 = 
2
1
y
y
 = 
2
1
z
z
 
 
Exemplo: Verifique se os vetores �⃗⃗� e �⃗� dados são paralelos: 
 
a) �⃗⃗� = (3, -1, 0) e �⃗� = (12, -4, 0) 
 
 b) �⃗⃗� = (4, 12, -6) e �⃗� = (6, 18, -9) 
 
 
7.8.2- Condição de Ortogonalidade (Perpendicularidade) de Dois Vetores 
 
 A condição de ortogonalidade de dois vetores é que o produto escalar seja nulo. 
 
�⃗⃗� . �⃗� = 0  x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0 
 
 Exemplo: Verifique se os vetores �⃗⃗� e �⃗� dados são ortogonais: 
 
a) �⃗⃗� = (3, 2, -5) e �⃗� = (4, -1, 2) 
 
 b) �⃗⃗� = (-2, 3, -2) e �⃗� = (-1, 2, 2) 
 
 
7.9- ÂNGULO DE DOIS VETORES 
 
O produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo formado por eles e é dado 
pelo produto dos seus módulos pelo cosseno do ângulo formado por eles. 
 
vu
vu.
cos 
. 
 
Exemplo: Dados �⃗⃗� = (1, 1, 0) e �⃗� = (0, 1, 1), determine o ângulo entre eles: 
 
 
 
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7.10- ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR 
 
 Ângulos diretores de um vetor �⃗�, dado por �⃗� = x𝑖, y𝑗, z�⃗⃗�, são os ângulos ,  e  que �⃗� 
forma com os vetores 𝑖, 𝑗 e �⃗⃗�, respectivamente. 
 Cossenos diretores de �⃗� são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, cos , cos  e 
cos . 
 Para o cálculo dos cossenos diretores, pode-se utilizar as seguintes fórmulas: 
 
 
v
x
v
zyx
iv
iv
cos 
1.
)0,0,1).(,,(.v
y
v
zyx
jv
jv
cos 
1.
)0,1,0).(,,(.
 
 
 
v
z
v
zyx
kv
kv
cos 
1.
)1,0,0).(,,(.
 
 
Ex.: Dados os pontos A(2, 2, -3) e B(3, 1, -3), calcular os ângulos diretores do vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7.10.1- Propriedades: 
 
i) O versor �⃗�’ de um vetor �⃗� = (x, y, z) é dado por: �⃗� 









v
z
v
y
v
x
v
zyx
v
v
,,
),,( ou 
�⃗�’ = (cos , cos , cos ). 
ii) Como o versor de �⃗� é um vetor unitário, temos |cos , cos , cos | = 1, ou seja, 
|cos , cos ,cos | = 
 222 coscoscos 
 = 1, logo cos2  + cos2  + cos2  = 1. 
 
Ex.: Os ângulos diretores de um vetor são , 45° e 60°. Determine : 
 
 
 
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7.11- PRODUTO VETORIAL 
 
Def.: Dados dois vetores �⃗⃗� = (x1, y1, z1) e �⃗� = (x2, y2, z2) do IR3, denomina-se produto vetorial de �⃗⃗� 
por �⃗�, e indica-se por �⃗⃗� × �⃗� (leia-se “u vetorial v”), o vetor obtido desenvolvendo-se o determinante 
 
222
111
zyx
zyx
kji
 ou seja, �⃗⃗� × �⃗� = 𝑖 
22
11
zy
zy – 𝑗 
22
11
zx
zx + �⃗⃗� 
22
11
yx
yx 
 
então, 
�⃗⃗� × �⃗� = 𝑖(y1 z2 – z1 y2) – 𝑗(x1 z2 – z1 x2) + �⃗⃗�(x1 y2 – y1 x2) 
logo, 
�⃗⃗� × �⃗� = (y1 z2 – z1 y2, – x1 z2 + z1 x2, x1 y2 – y1 x2) 
 
Exemplo: Sendo �⃗⃗� = (1, 3, 2) e �⃗� = (2, 4, 5), calcule o produto vetorial: 
 
 
 
 
 
 
 7.11.1- Propriedades: 
 
1- �⃗⃗� × �⃗⃗� = 0, tendo em vista uma propriedade dos determinantes (...duas linhas iguais...). 
2- �⃗⃗� × �⃗� = - �⃗� × �⃗⃗� 
3- �⃗⃗� × (�⃗� + �⃗⃗⃗�) = �⃗⃗� × �⃗� + �⃗⃗� × �⃗⃗⃗�. 
4- (k.�⃗⃗�) × �⃗� = k.(�⃗⃗� × �⃗�) 
5- �⃗⃗� × �⃗� = 0  �⃗⃗� e �⃗� são paralelos, sendo 0 = (0, 0, 0) o vetor nulo. 
6- �⃗⃗� × �⃗� é vetor ortogonal a �⃗⃗� e ortogonal a �⃗�, sendo �⃗⃗� e �⃗� não paralelos. 
7- 
senvuvu 
, onde  é o ângulo entre �⃗⃗� e �⃗� (não nulos). 
8- 
222
.vuvuvu 
 
9- O produto vetorial não é associativo. Em geral, �⃗⃗� × (�⃗� × �⃗⃗⃗�) ≠ (�⃗⃗� × �⃗�) × �⃗⃗⃗�. 
 
Exemplos: 
 
1- Calcule o produto vetorial dos seguintes vetores: 
 
a) �⃗⃗� = (1, 2, 3) e �⃗� = (2, 4, 6). 
 
 
 
 
 
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b) 𝑖 e 𝑗 
 
 
 
 
 
 
2- Dados �⃗⃗� = (1, 2, 2) e �⃗� = (1, 2, -2), mostre que 
senvuvu 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.11.2- Área do Paralelogramo 
 
 Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores �⃗⃗� e �⃗� mede a área de um 
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores �⃗⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e �⃗� = 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Logo, 
 
A = |u  v| 
 
Ex.: Determinar a área do paralelogramo definido pelos vetores �⃗⃗� = (2, 4, 5) e �⃗� = (-1, 3, 3). 
 
 
 
 
 
 
7.11.3- Área do Triângulo 
 
A área de um triângulo ABC pode ser dada por 
 
A = 
ACAB
2
1
 
 
 Ex.: Calcular a área do triângulo A(1, -2, 1), B(2, -1, 4) e C(-1, -3, 3). 
 
 
 
 
 
 
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7.12- PRODUTO MISTO 
 
Def.: Dados os vetores �⃗⃗�, �⃗�, e �⃗⃗⃗�  IR3, chama-se produto misto o número real dado por 
 
[�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�] = �⃗⃗� · (�⃗� × �⃗⃗⃗�) 
 
7.12.1- Propriedades: As propriedades do produto misto decorrem das propriedades dos 
determinantes, em particular temos: 
 
1- [�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�] = – [�⃗⃗�, �⃗⃗⃗�, �⃗�], [�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�] = – [�⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗⃗�], etc, ou seja, trocando-se duas linhas o 
determinante muda de sinal. 
2- [�⃗⃗� , �⃗�, �⃗⃗⃗�] = [�⃗�, �⃗⃗⃗�, �⃗⃗� ] = [�⃗⃗⃗�, �⃗⃗� , �⃗�]. 
3- �⃗⃗� · (�⃗� × �⃗⃗⃗�) = (�⃗⃗� × �⃗�) · �⃗⃗⃗� ou (�⃗⃗� × �⃗�) · �⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗� · (�⃗⃗� × �⃗�) 
 
Exemplo: Sendo �⃗⃗� = (0, 2, 4), �⃗� = (2, -1, 3) e �⃗⃗⃗� = (2, 0, 1), calcule �⃗⃗� · (�⃗� × �⃗⃗⃗�): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.12.2- Volume do Paralelepípedo 
 
 Geometricamente, o módulo do produto misto �⃗⃗� · (�⃗� × �⃗⃗⃗�) é igual ao volume do 
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores �⃗⃗� = 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e �⃗⃗⃗� = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Logo, 
 
V = |( �⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�)| 
 
Ex.: Calcular o volume do paralelepípedo definido pelos vetores �⃗⃗� = (2, 0, 0) e �⃗� = (0, 3, 0) 
e �⃗⃗⃗� = (1, 1, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7.12.3- Volume do Tetraedro 
 
 Todo paralelepípedo pode ser dividido em dois prismas triangulares e todo prisma 
triangular equivale a três pirâmides que são chamadas de tetraedros de base e altura 
equivalentes à base e à altura do prisma, logo o volume do tetraedro pode ser dado por: 
 
V = 
6
1
|( �⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�)| 
 
Ex.: Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são A(1, 2, 1), B(7, 4, 3), C(4, 6, 2) e 
D(3, 3, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.13- VETORES COPLANARES 
 
Def.: São vetores não-nulos que pertencem a um mesmo plano e dados �⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�  IR3, temos que �⃗⃗�, 
�⃗�, e �⃗⃗⃗� são coplanares se, e somente se, [�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�] = 0. 
 
Exemplo: Verifique se os pontos A = (1, 0, 2), B = (3, 2, 5), C = (0, -1, 3) e D = (5, 4, 2) são 
coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1- Dados �⃗⃗� = (1, 2, 3), �⃗� = (1, 0, 1) e �⃗⃗⃗� = (-1, 2, -2), calcular: 
 
a) �⃗⃗� + �⃗� b) 2�⃗⃗� – �⃗� + 3�⃗⃗⃗� 
 
2- Dados �⃗⃗� = (1, 2, 4), �⃗� = (2, 1, 0) e w = (1, 0, 0), calcular os números a, b e c, tais que a�⃗⃗� + b�⃗� + 
c�⃗⃗⃗� = (4, 6, 8): 
 
3- Dados A = (2, 4, 0) e B = (-1, 3, 2), obter o ponto C tal que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
4- Obter o ponto médio do segmento de extremidades A = (7, 11, 8) e B = (3, -1, 1). 
 
5- Dados �⃗⃗� = (4, 7, 3), �⃗� = (2, 2, 1) e �⃗⃗⃗� = (0, -5, 2), calcular: 
 
a) �⃗⃗� · �⃗� b) (�⃗⃗� + �⃗�) · �⃗⃗⃗� 
 
6- Dados �⃗⃗� = (4, 0, 3) e �⃗� = (0, 1, -1), calcular |�⃗⃗� + �⃗� |: 
 
7- Determinar o versor de �⃗⃗� = (-5, 10, -10). 
 
8- Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(1, 1, 0), B(0, 1, 1) e C(1, 1, 1). 
 
9- Associar cada item (I a III) a uma das afirmações (A a C): 
 
( ) I- �⃗⃗� = (4, 0, 6) e �⃗� = (3, 1, -2) A- �⃗⃗� e �⃗� são paralelos 
( ) II- �⃗⃗� = (2, 1, -1) e �⃗� = (-4, -2, 2) B- �⃗⃗� e �⃗� são ortogonais 
( ) III- �⃗⃗� = (12, 8, 0) e �⃗� = (8, 6, 0) C- �⃗⃗� e �⃗� não são paralelos, nem ortogonais 
 
10- Verificar se os pontos A(2, -3, 4), B(1, 6, 2) e C(3, -12, 6) são colineares. 
 
11- Calcular �⃗⃗� × �⃗� nos casos 
 
a) �⃗⃗� = (2, -1, 3) e �⃗� = (4, 1, 1) b) �⃗⃗� = (0, 2, 0) e �⃗� = (1, 3, -1) 
 
12- Dados �⃗⃗� = (0, 2, 1), �⃗� = (1, 3, 4) e �⃗⃗⃗� = (-1, 4, 2), calcular: 
 
a) �⃗⃗� · (�⃗� ×�⃗⃗⃗�) b) (�⃗⃗� × �⃗�) · �⃗⃗⃗� 
 
13- Para que valor de k os vetores �⃗⃗� = (3, -1, k), �⃗� = (2, k, 0) e �⃗⃗⃗� = (1, 1, k) são coplanares? 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- a)(2, 2, 4); b) (-2, 10, -1). 2- a = 2, b = 2 e c = -2. 3- (-7, 1, 6). 4- (5, 5, 9/2). 5- a) 25; b) -37. 6- 
21
. 7- (-1/3, 2/3, 
-2/3). 8- 2 + 
2
. 9- B, A, C. 11- a) (-4, 10, 6); b) (-2, 0, -2). 12- a) -5; b) -5. 13- k = 0 ou k = -2.