Vetores 2AL

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3. Vetores do Espaço 
Sistema de Coordenadas Tridimensionais 
Existe uma estreita relação entre vetores no espaço ℜ2 e no espaço ℜ3. Na 
verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da 
mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³. 
Todo o estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de forma 
análoga, consideradas as adequações necessárias. As operações de adição, subtração, 
multiplicação por escalar e produto escalar, bem como suas interpretações geometrias 
e vetoriais e suas propriedades são exatamente as mesmas que para vetores no plano, 
apenas com uma coordenada a mais. 
Definição: Um vetor (geométrico) no espaço ℜ3 é uma classe de objetos matemáticos 
(segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. 
Esta classe de equivalência de objetos é representada por um segmento de reta desta 
família (representante) que tem as mesmas características. 
Se um vetor no espaço for posicionado com seu ponto inicial na origem (0,0,0) e 
extremidade o terno ordenado (a, b, c) de um sistema de coordenadas retangulares do 
espaço R³, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c). Como mostra a figura 
abaixo: 
 
Onde: X: Eixo das abscissas; Y: Eixo das ordenadas e Z: Eixo das cotas. 
 
Exemplos: 
1. Represente os seguintes pontos no espaço cartesiano: 
a) A = (1, 3, 5) b) A = (2, -4, 3) c) A = (-4, 3, -5) 
 
d) A = (-2, 4, 5) e) A = (0, 2, -4) f) A = (0, 2, 0) 
 
3.1 Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor 
Seja o vetor �⃗� = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�. Ângulos diretores de �⃗� são os ângulos ,  e  que 
�⃗� forma com os vetores 𝑖, 𝑗 e �⃗⃗�, respectivamente (figura abaixo): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Co-senos diretores de �⃗� são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, 𝑐𝑜𝑠𝛼, 
𝑐𝑜𝑠𝛽 e 𝑐𝑜𝑠𝛾. Utilizaremos a fórmula do ângulo entre dois vetores: 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
�⃗� ∙ 𝑖
|�⃗�||𝑖|
=
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ (1,0,0)
|�⃗�| ∙ 1
=
𝑥
|�⃗�|
 
𝑐𝑜𝑠𝛽 =
�⃗� ∙ 𝑗
|�⃗�||𝑗|
=
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ (0,1,0)
|�⃗�| ∙ 1
=
𝑦
|�⃗�|
 
𝑐𝑜𝑠𝛾 =
�⃗� ∙ 𝑘
|�⃗�||�⃗⃗�|
=
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ (0,0,1)
|�⃗�| ∙ 1
=
𝑧
|�⃗�|
 
 
Exemplos: 
1. Calcular os co-senos diretores e os ângulos diretores do vetor �⃗� = (6, −2, 3). 
2. Represente no ℜ3 o vetor �⃗� = 2𝑖 ⃗⃗ + 3𝑗 + 5�⃗⃗� e determine sua resultante e seus 
ângulos diretores. 
3.1.1 Propriedades 
I) Seja o vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧). Designando o versor de �⃗� por �⃗⃗�, vem: 
�⃗⃗� =
�⃗⃗�
|�⃗⃗�|
=
(𝑥,𝑦,𝑧)
|�⃗⃗�|
= (
𝑥
|�⃗⃗�|
,
𝑦
|�⃗⃗�|
,
𝑧
|�⃗⃗�|
) ou (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾) 
 
Portanto, as componentes do versor de um vetor são os co-senos diretores deste 
vetor. 
II) Como o versor de �⃗� é um vetor unitário, tem-se: |(𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾)| = 1 
Mas: 
|(𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾)| = √𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 
 
Logo, 
√𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1 
𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1 
 
 Portanto, a soma dos quadrados dos co-senos diretores de um vetor é igual a 1. 
Exemplo: 
 Os ângulos diretores de um vetor são , 45º e 60º. Determinar . 
 
3.2 Expressão Analítica (Algébrica) de um Vetor 
Vetor no plano é um par ordenado (𝑥, 𝑦) de números reais e se representa por 
�⃗� = (𝑥, 𝑦) é que é a expressão analítica de �⃗� é. 
 A primeira componente x é chamada abscissa e a segunda, ordenada. Dado um 
vetor �⃗� é  2 existem únicos x, y   tais que: 
�⃗� = 𝑥𝑖 ⃗⃗ + 𝑦𝑗, ou seja �⃗� = (𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑖 ⃗⃗ + 𝑦𝑗 
 
Exemplo: 
1) Encontre o par ordenado dos seguintes vetores: 
a) 3�⃗� − 5�⃗� c) −3�⃗� 
b) 4�⃗� − �⃗� d) −2�⃗� 
O vetor �⃗� = 𝑥𝑖 ⃗⃗ + 𝑦𝑗 será também representado por �⃗� = (𝑥, 𝑦). 
e) O par (x, y) é chamado de expressão analítica de �⃗�. 
f) Em resumo, vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais. 
Na figura abaixo, represente os vetores por sua expressão analítica: �⃗⃗� = 2𝑖 + 3𝑗, pode-
se escrever �⃗⃗� = (2, 3). 
g) �⃗� = 2𝑖 ⃗⃗ − 𝑗, pode-se escrever �⃗� = (2, −1). 
h) �⃗⃗⃗� = −𝑖 ⃗⃗ + 𝑗 
i) 𝑧 = 3𝑗 
j) �⃗� = −2𝑖 
 
 
3.3 Igualdade de vetores 
3.3.1 Igualdade 
 Dois vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2) são iguais se, e somente se: 𝑥1 = 𝑥2 e 
𝑦1 = 𝑦2 e escreve-se �⃗⃗� = �⃗�. 
Exemplos: 
1) Os vetores �⃗⃗� = (3, 5) e �⃗� = (3, 5) são iguais. 
 
2) Se o vetor �⃗⃗� = (𝑥 + 1, 4) é igual ao vetor �⃗⃗� = (5, 2𝑦 − 6), de acordo com a 
definição de igualdade dos vetores, x + 1 = 5 e 2y – 6 = 4 ou x = 4 e y = 5. Assim, se �⃗⃗� =
�⃗�, então x = 4 e y = 5. 
 
3.4 Operações com vetores no 𝕽𝟐 
 Sejam os vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2) e α  . Define-se: 
a) �⃗⃗� + �⃗� = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) 
b) 𝛼�⃗⃗� = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) 
 
Portanto para somar dois vetores, somam-se as suas coordenadas 
correspondentes, e para multiplicar um vetor por um número, multiplica-se cada 
componente do vetor por este número. 
 
Exemplos: 
1) Dados os vetores �⃗⃗� = (4, 1) e �⃗� = (2, 6), calcular �⃗⃗� + �⃗� e 2�⃗⃗�. 
 
2) Dados os vetores �⃗⃗� = (3, −1) e �⃗� = (−1, 2), determinar o vetor �⃗⃗⃗� tal que 
3�⃗⃗⃗� − (2�⃗� − �⃗⃗�) = 2(4�⃗⃗⃗� − 3�⃗⃗�). 
 
3) Encontre os números reais a1 e a2 tais que �⃗⃗⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2, sendo �⃗�1 = (1, −2), 
�⃗�2 = (2, 0), e �⃗�1 = (1, −2), �⃗⃗⃗� = (−4, −4). 
 
3.5 Vetor definido por dois pontos 
 Consideremos o vetor 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ de origem no ponto 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1) e extremidade em 
𝐵 = (𝑥2, 𝑦2), conforme figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
De acordo com o que foi visto anteriormente, os vetores 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ têm expressões 
analíticas: 
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥2, 𝑦2) 
 
 Do triângulo 𝑂𝐴𝐵 temos: 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ onde 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , então: 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥2, 𝑦2) − (𝑥1, 𝑦1) ou 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) 
 Isto é, as componentes de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ são obtidas subtraindo-se das coordenadas da 
extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve: 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 
É importante assinalar que os componentes do vetor𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , calculados por meio de 𝐵 − 𝐴, 
são sempre os mesmo componentes do representante 𝑂𝑃 com origem no início do sistema. Este 
A 
B 
x 0 
y 
detalhe fica claro na Figura abaixo onde os segmentos orientados equipolentes AB, CD e OP 
representam o mesmo vetor (3,1). 
 
Exemplos: 
1) Dados os pontos 𝐴 = (−1, 3), 𝐵 = (2, 5) e 𝐶 = (3, −1), calcular 3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 4𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
3.6 Condição de Paralelismo de dois Vetores 
 Se dois vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2) são paralelos, existe um número real 
α tal que �⃗⃗� = 𝛼�⃗�, ou seja: 
(𝑥1, 𝑦1) = 𝛼(𝑥2, 𝑦2) ou (𝑥1, 𝑦1) = (𝛼𝑥2, 𝛼𝑦2) 
 
Pela definição de igualdade de vetores, temos: 
𝑥1 = 𝛼𝑥2 e 𝑦1 = 𝛼𝑦2 ou 𝛼 =
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
 
que é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos 
quando suas coordenadas são proporcionais. 
Exemplo: 
 Verifique se os vetores são paralelos, dado �⃗⃗� = (2, 4) e �⃗� = (1, 2). 
 
3.7 Módulo de um Vetor 
 O módulo de um vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦) é representado por �⃗�, que é um número real 
não negativo. 
|�⃗�| = √(�⃗�)2 no ℜ2 |�⃗�| = √𝑥2 + 𝑦2 
E no ℜ3: 
|�⃗�| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Exemplo: 
 Calcular o módulo do vetor �⃗� = (2, −3). 
3.8 Versor de um Vetor 
�⃗⃗⃗� =
�⃗⃗⃗�
|�⃗⃗⃗�|
 
 É um vetor unitário �⃗⃗⃗� =
�⃗⃗⃗�
|�⃗⃗⃗�|
 que tem a mesma direção e sentido de �⃗�. Desta 
forma, se �⃗� é um versor de 

v , �⃗⃗⃗� =
�⃗⃗⃗�
|�⃗⃗⃗�|
=
(𝒙,𝒚,𝒛)
√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
. 
 
É o vetor original dividido pelo seu modulo e a resultante é um vetor de mesma direção 
e sentido e unitário. 
Exemplo: 
 Dado �⃗� = (2, 1, −2). Calcule o versor de �⃗�. 
 
As definições e conclusões no espaço são análogas às do plano: 
I) Dois vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são iguais se, e somente se: 
𝑥1 = 𝑥2 ;𝑦1 = 𝑦2 e 𝑧1 = 𝑧2 
II) Dados os vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e α  , define-se: 
�⃗⃗� + �⃗� = (𝑥1+𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) 
𝛼�⃗⃗� = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1) 
 
III) Se 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são dois pontos quaisquer no espaço, 
então: 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1) 
 
IV) Se os vetores �⃗⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e �⃗� = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são paralelos, então: 
𝑥1
𝑥2
=
𝑦1
𝑦2
=
𝑧1
𝑧2
 
 
V) O módulo do vetor �⃗� = (𝑥, 𝑦, 𝑧) é dado por: 
|�⃗�| = |(𝑥, 𝑦, 𝑧)| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 
Como calcular a área de um triângulo considerando sua representação analítica? 
1º Dado A(3, 2), B(7, 2) e C(3, 8) qual a área do triângulo formado a partir dos segmentos 
traçados entre estes pontos? 
 
2º Dado A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1) qual a área do triângulo formado a partir dos 
segmentos traçados entre estes pontos? 
Em que situação três pontos distintos são colineares? 
Hipótese para que pontos ou vetores distintos sejam Colineares 
det 𝐴 = |
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| = 0 
2. Dados os ponto A(-1, 2, 3) e B(4, -2,0) determinar o ponto P tal que 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
 
 
 
3. Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores �⃗⃗� =
(𝑚 + 1, 3, 1) e �⃗� = (4, 2, 2𝑛 − 1). 
 
4. Dados os pontos 𝐴 = (0, 1, −1) e 𝐵 = (1, 2, −1) e os vetores �⃗⃗� = (−2, −1, 1), �⃗� =
(3, 0, −1)e �⃗⃗⃗� = (2, 2, 2), verificar se existem os números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, tais que 
�⃗⃗⃗� = 𝑎1𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑎2�⃗⃗� + 𝑎3�⃗�. 
 
Lista 3 - Vetores 
1) Sejam  1,3

u e  0,4

v . Encontre os componentes de: 
a) 

 uv b) 

 vu 26 c) )4(5

 uv 
 
2) Dados os vetores  4,2 

u ,  1,5

v e  6,12

w , determinar 1k e 2k 
tal que 

 vkukw .. 21 . 
 
3) Dados os pontos  3,1A ,  0,1B e  1,2 C , determinar D tal que 

 BADC . 
 
4) Calcular o valor de x e y para que os vetores  4,1

xu e  62,5 

yv sejam 
iguais. 
5) Dados  1,4

u e  6,2

v , calcular: 
a) 

 vu b) 

 u2 
6) Dados os vetores  1,3 

u e  2,1

v , determinar o vetor 

w tal que: 
a) 













uwuvw 34223 
7) Dados os vetores 

 jiu 32 , 

 jiv e 

 jiw 2 , determinar: 
a) 

 vu2 b) 

 wvu
2
1
2
1
3 
8) Dados os pontos  3,1A ,  5,2B ,  1,3 C e  0,00  , calcular: 
a) 

 ABA0 
9) Calcular o valor de a para que o vetor  2,

au tenha módulo 4. 
 
10) Calcular o valor de a para que o vetor 







2
1
,au seja unitário. 
 
11) Dados os vetores em função da base canônica, represente-os através das 
coordenadas (𝑥, 𝑦): 
a) 

 jiu 32 b) 

 jiu c) 

 iu 3 d) 

 ju 4 
 
12) Dados os vetores  1,3 

u ,  2,0

v e 

 jiw 32 , determine 
analiticamente e represente no plano cartesiano as seguintes situações: 
a) 

 vu b) 

 vu c) 

 wu d) 

wv 
 
 
EXERCÍCIOS – Lista 3 
13) Represente os seguintes vetores no espaço cartesiano: 
a)  5,3,2

u b)  0,1,3

u c)  3,1,2 

u 
d)  2,0,1 

u e) 

 kjiu 2 f) 

 kiu 2 
 
14) Dados os pontos  1,3,2 A e  2,5,4 B , determinar o ponto P tal que 

 PBAP . 
 
15) Dados os pontos  3,2,1 A ,  4,1,2 B e  1,3,1 C , 
determinar o ponto D tal que 

 0CDAB . 
 
16) Sabendo que 

 wvu 243 , determinar a, b e c, sendo  cu ,1,2 

, 
 3,2, 

bav e  0,1,4 

w . 
 
17) Sabendo que o módulo do vetor formado pelos pontos  3,2,1A e 
 mB ,1,1  é 7, calcular m. 
 
18) Determinar a e b de modo que os vetores  3,1,4 

u e  bav ,,6

 sejam 
paralelos. 
 
19) Dados os pontos  3,2,1A ,  3,2,6 B e  1,2,1C , determine 
o versor do vetor 

 BCBA 23 . 
 
20) Dado o vetor  5,2,3

w , determinar a e b de modo que os vetores 
 1,2,3 

u e  

 wbav 2,6, sejam paralelos. 
21) Verificar se os pontos são colineares (det A = 0). 
a)  0,5,1 A ,  3,1,2B e  1,7,2 C 
b)  1,1,2 A ,  0,1,3 B e  4,0,1C 
Respostas: 
1) a) (-7, 1) b) (-10, 6) c) (80, -20) 
2) 11 k e 22 k 
3)  4,4 D 
4) x = 4 e y = 5 
5) a) (6, 7) b) (8, 2) 
6) a) 







5
11
,
5
23
w 
7) a) (3, -5) b) (13/2, -9) 
8) a) (-4, 1) 
9) 32a 
10) 
2
3
a 
14)  2/1,1,3 P 
15)  8,6,2 D 
16) a = -1/2, b = 7/4 e c = 4 
17) a = 3/2 e b = -9/2 
18)  9/4,9/4,9/7

u 
19) C = (6, -1, 3) e D = (1, -9, 7) 
20) a = 9 e b = -15 
21) a) A, B e C são colineares b) A, B e C não são colineares