Estudo da Reta no IR2

Prévia do material em texto

Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 60 
8- ESTUDO DA RETA 
 
8.1- A EQUAÇÃO DA RETA 
 
Def.: É toda equação nas incógnitas x e y que é satisfeita pelos pontos P(x, y) que pertencem à reta e 
só por eles. 
 
8.2- EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
 
 Dada uma reta r do plano cartesiano, suponha que r passe pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), 
sendo A ≠ B, e considere um ponto genérico P(x, y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O ponto P pertence à reta r se, e somente se, A, B e P são colineares, isto é: 
 
P  r   = 0  
1212
11
yyxx
yyxx

 = 0 
 
 Desenvolvendo o determinante temos: (y2 – y1)x + (x1 – x2)y + (x2y1 – x1y2) = 0. 
 
 Fazendo y2 – y1 = a, x1 – x2 = b e x2y1 – x1y2 = c, assim temos a equação geral da reta 
 
ax + by + c = 0 
 
Ex.: Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(1, 4) e B(2, 2); 
 
 
 
 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 61 
8.3- CONDIÇÃO PARA UM PONTO PERTENCER A UMA RETA 
 
 Dada uma reta r de equação ax + by + c = 0 e um ponto P(x0, y0), a condição para P 
pertencer a r é 
a(x0) + b(y0) + c = 0 
 
Ex: Dada a reta r de equação 2x + y – 6 = 0, verifique se os pontos P(5, -4) e Q(-2, 8) pertencem a r. 
 
 
 
 
 
8.4- ANULAMENTO DOS COEFICIENTES DA EQUAÇÃO 
 
Considere a equação da reta r onde seus coeficientes são dados por 
 
a = y2 – y1, b = x1 – x2 e c = x2y1 – x1y2 
 
temos os seguintes casos: 
 
1) Se a = 0 (e b ≠ 0)  y2 = y1  r // eixo x. 
 
2) Se b = 0 (e a ≠ 0)  x2 = x1  r // eixo y. 
 
3) Se c = 0, a reta passa pela origem, pois o ponto (0, 0) satisfaz a equação se, e somente se, 
a(0) + b(0) + c = 0, isto é, c = 0. 
 
Ex.: Represente graficamente as equações abaixo: 
 
a) y – 2 = 0 
b) x – 3 = 0 
c) 2x – 3y = 0 
d) 2x + y – 4 = 0 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 62 
8.5- VETOR NORMAL A UMA RETA 
 
Dada uma reta r de equação ax + by + c = 0, os coeficientes de x e de y são nesta ordem, as 
componentes de um vetor normal (ortogonal) a reta r, isto é: 
 
o vetor �⃗� = (a, b) é um vetor normal à reta r 
 
ou seja, sendo A(x1, y1) e B(x2, y2) dois pontos pertencentes a reta r temos que �⃗� . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0. 
 
Ex.: Um vetor normal à reta 2x – 5y + 4 = 0 é �⃗� = 
 
 
8.6- POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
 
 Duas retas r e s do plano cartesiano podem ser concorrentes ou paralelas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dadas as equações de r e s, r: ax + by + c = 0 e s: a’x + b’y + c’ = 0, sendo �⃗� = (a, b) e 
�⃗� ’= (a’, b’) vetores normais a r e a s, nesta ordem, então 
 
r // s  �⃗� // �⃗� ’  
'' b
b
a
a

  
'' ba
ba
 = 0 
 
r × s  �⃗� // �⃗� ’  
'' b
b
a
a

  
'' ba
ba
 ≠ 0 
 
 Quando 
''' c
c
b
b
a
a

 as retas são paralelas coincidentes e quando 
''' c
c
b
b
a
a

 as retas são 
paralelas distintas. 
 
Ex.: Dar a posição relativa de r e s nos casos abaixo: 
 
a) r: 2x + 5y + 4 = 0 e s: 4x – 10y – 3 = 0 
b) r: 2x – 3y + 1 = 0 e s: 6x – 9y + 4 = 0 
c) r: 2x + 3y + 4 = 0 e s: 4x + 6y + 8 = 0 
 
 
 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 63 
8.7- PONTO DE INTERSECÇÃO 
 
 Dadas as equações de r e s, r = ax + by + c = 0 e s = a’x + b’y + c’ = 0, temos que toda 
solução (x, y) do sistema formado pelas equações das duas retas é ponto de intersecção das duas 
retas. 
 
S = 





0''
0
cybxa
cbyax
 
 
Ex.: Determinar o ponto de intersecção das retas r: 2x + y + 1 = 0 e s: x – 2y – 7 = 0. 
 
 
 
 
 
 
8.8- SISTEMA DE EQUAÇÕES DE DUAS RETAS 
 
 Seja o sistema S formado anteriormente, quanto as suas soluções podemos considerar os 
seguintes casos: 
 
1) Se 
'' b
b
a
a

 o sistema S é possível e determinado, ou seja, admite uma única solução e 
nesse caso as duas retas são concorrentes. 
 
2) Se 
''' c
c
b
b
a
a

 o sistema S é possível e indeterminado, ou seja, admite infinitas 
soluções e nesse caso as duas retas são paralelas coincidentes. 
 
3) Se 
''' c
c
b
b
a
a

 o sistema S é impossível, ou seja, não admite solução e nesse caso as 
duas retas são paralelas distintas. 
 
 
Ex.: Resolva e classifique, quanto à posição relativa das retas, os sistemas abaixo: 
 
a) S = 





0396
0132
yx
yx
 
 
b) S = 





0864
0432
yx
yx
 
 
c) S = 





01104
0452
yx
yx
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 64 
8.9- PARALELISMO E PERPENDICULARISMO 
 
Dadas as equações de r e s, r: ax + by + c = 0 e s: a’x + b’y + c’ = 0, sendo �⃗� = (a, b) e 
�⃗� ’= (a’, b’) vetores normais a r e a s, nesta ordem, então a condição de paralelismo e 
perpendicularismo de duas retas é dada por 
 
r // s  �⃗� // �⃗� ’  
'' b
b
a
a

  
'' ba
ba
 = 0 
 
r  s  �⃗�  �⃗� ’  �⃗� . �⃗� ’ = 0  aa’ + bb’ = 0 
 
Ex.: Dadas as retas r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: 10x – 4y – 1 = 0. Verifique se as retas são paralelas ou 
perpendiculares. 
 
 
 
 
 8.9.1- Equação da Reta Paralela a uma Reta r 
 
 Toda reta paralela a uma reta r admite uma equação da forma: 
 
ax + by + k = 0 
onde k  IR. 
De fato, como �⃗� = (a, b) é um vetor normal à reta r, ele também é vetor normal a 
qualquer reta paralela à reta r. 
 
Ex.: Obter uma reta s paralela a reta r: 3x + 2y +1 = 0 que passa pelo ponto P(4, 1). 
 
 
 
 
 
 8.9.2- Equação da Reta Perpendicular a uma Reta r 
 
 Toda reta perpendicular a uma reta r admite uma equação da forma: 
 
ay – bx + k = 0 
onde k  IR. 
 De fato, os vetores n = (a, b) e n’= (-b, a) são ortogonais, pois �⃗� . �⃗� ’= a(-b) + (ba) = 
0. Como �⃗� é um vetor normal à reta r, o vetor �⃗� ’ é um vetor normal a qualquer reta 
perpendicular a r. 
 
Ex.: Obter uma reta s perpendicular a reta r: 3x + 2y +1 = 0 que passa pelo ponto P(4, 1). 
 
 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 65 
8.10- EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 
 
 Dada a equação geral da reta r = ax + by + c, temos que 
b
c
x
b
a
y 
, fazendo 
m
b
a

 e 
q
b
c

, vem que 
y = mx + q 
que é a equação reduzida da reta. 
 
 Os coeficientes m e q são denominados, respectivamente, coeficiente angular e coeficiente 
linear da reta r. As suas interpretações geométricas são as seguintes: 
 
 8.10.1- Inclinação da Reta 
 
 Def.: É a medida do ângulo . 
 
 Quanto à medida do ângulo temos os seguintes casos: 
 
1- Se m > 0  tg  > 0, então 0 <  < 90. 
2- Se m < 0  tg  < 0, então 90 <  < 180. 
3- Se m = 0  tg  = 0, então  = 0. 
4- Se nãoexiste valor para m   = 90. 
 
 8.10.2- Coeficiente Angular 
 
 Def: Se 
),( 11 yxP
 e 
),( 22 yxQ
 forem dois pontos distintos sobre a reta r, não paralela ao 
eixo y, então o coeficiente angular denotado por m, será dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8.10.3- Equação Forma Ponto-Inclinação (ou Ponto/Coeficiente Angular) 
 
 Def.: É a equação da reta que passa pelo ponto 
),( 11 yx
 e tem inclinação m, dada por 
 
 11 xxmyy 
 
 
 Ex.: Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos (-2, -1) e (3, 4). 
 
 
 
 
adjacentecateto
opostocateto
tgm  
, logo 
12
12
xx
yy
x
y
mPQ






 
 
 
 
 
 
 y2 Q(x2,f(x2)) 
 
 Δy=y2 - y1 
 
 y1 Δx=x2 - x1 
 P(x1,f(x1)) 
 
 x1 x 2 
 
 
 
 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 66 
 8.10.4- Paralelismo e Perpendicularismo 
 
Dadas as equações reduzidas de duas retas r e s, y = mx + q e y’= m’x + q’, nesta 
ordem. ax + by + c = 0 e s: a’x + b’y + c’ = 0, sendo n = (a, b) e n’= (a’, b’) vetores 
normais a r e a s, nesta ordem, então a condição de paralelismo e perpendicularismo de duas 
retas é dada por 
 
r // s  m = m’ 
r  s  m . m’ = – 1  m’ = 
m
1

 
 
 Ex.: Dadas as retas abaixo. Verifique se as retas são paralelas ou perpendiculares. 
 
 a) r: y = 3x + 4 e s: y = 3x – 7 
 
 
 b) r: y = 
2
3
x + 5 e s: y = 
3
2

x + 
2
1
. 
 
 
 c) r: y = 
3
2
2
3
 x
 e s: y = 
3
2

x – 
2
3
. 
 
 
 
8.11- EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA 
 
Dados dois pontos P(p, 0) e Q(0, q), a equação da reta que passa por P e Q é dada por 
 
00
0


qp
ypx
 = 0. 
 
 Resolvendo o determinante, temos 
 
q(x – p) + py = 0 
qx + py – pq = 0 
qx + py = pq 
q
y
p
x

= 1 
 
está equação é denominada equação segmentária da reta. 
 
Ex.: Esboce o gráfico da equação 
23 

yx
= 1. 
 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 67 
8.12- EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
 
 Considere a reta r que passa pelo ponto P(x0, y0) e tem direção do vetor não nulo 𝑣 = (a, b). 
Um ponto Q(x, y) pertence a r se, e somente se, o vetor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ é múltiplo de 𝑣 , isto é, existe t  IR tal 
que 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = t𝑣 . Então, temos: 
𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = t𝑣 
Q – P = t𝑣 . 
Q = P + t𝑣 
(x, y) = (x0, y0) + t𝑣 . 
 
 O vetor 𝑣 = (a, b) é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro. Pode-se 
verificar que a cada valor de t corresponde um ponto particular P quando t varia de -  a +, o 
ponto P descreve a reta r. 
 
 
8.13- EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
 
 Seja um ponto genérico Q(x, y), um P(x0, y0) dado, ambos pertencentes a reta r e um vetor 
𝑣 = (a, b) de mesma direção de r. Da equação vetorial Q = P + t𝑣 , temos: 
 
(x , y) = (x0, y0) + t(a, b) ou 





btyy
atxx
0
0
 
 
que são denominadas equações paramétricas de r. 
 
Exemplos: 
 
1- Encontre as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(2, -3) e tem a direção do vetor 
𝑣 = (5, 4). 
 
 
 
 
 
8.14- EQUAÇÃO SIMÉTRICA 
 
 Partindo das equações paramétricas, supondo a . b ≠ 0. 
 





btyy
atxx
0
0
  





btyy
atxx
0
0
  t = 
b
yy
a
xx 00 

 
 
 Assim, a equação simétrica da reta é dada por 
 
b
yy
a
xx 00 

 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 68 
Exercícios 
 
1- Obter a equação da reta que passa por A(3, 1) e B(5,2). 
 
2- Dados A(1, 2), B(4, 0), C(0, -2) e D(1/2, 1/2), determinar as equações das retas AB, BC e CD. 
 
3- Dados A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1), determinar a equação da reta que passa por A e pelo ponto 
médio do segmento BC. 
 
4- Quais entre os pontos estam na reta A(2, 3), B(3, 2), C(-6, 8) e D(18, -8) estão na reta r: 2x + 3y 
– 12 = 0? 
 
5- Calcular k para que a reta r: 2x + ky + k = 0 passe pelo ponto P(-3, 2)? 
 
6- Classificar em verdadeiro (V) ou falso(F): 
 
a) Um vetor normal à reta 3x + y – 1 = 0 é �⃗� = (3, 1). 
b) Um vetor normal à reta 2x – 5y + 3 = 0 é �⃗� = (2, 5). 
 
7- Determinar os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 = 0 e s: 3x – 6y – 2 = 0 são 
concorrentes. 
 
8- Determinar o ponto de interseção das retas r e s nos casos: 
 
a) r: 3x + 4y – 11 = 0 e s: 4x – 2y – 14 = 0. 
b) r: 3x – 2y = 7 e s: 4x + 5y = – 6. 
 
9- Para que valores de k o sistema 








kyx
kyx
kyx
2
3
 admite solução? 
 
10- Determine o valor de k para que as retas r: kx + 2y + 3 = 0 e s: 3x – y – k = 0 sejam paralelas. 
 
11- Determine os valores de k que cortam as retas r: 2x – ky + 1 = 0 e s: 8x + ky – 1 = 0 
perpendiculares. 
 
12- Obter a equação da reta paralela à reta r: 2x + 3y + 1 = 0 e que passa pelo ponto P(5, -2). 
 
13- Qual é a equação da reta paralela r: 7x + 15y – 11 = 0 e que passa pela origem do sistema 
cartesiano? 
 
14- Obter a equação da reta perpendicular à reta r: 2x + 5y – 1 = 0 e que passa pelo ponto P(1,1). 
 
15- Determinar a projeção ortogonal do ponto P(2, 3) sobre a reta r: x + y + 1 = 0. 
 
16- Determinar o ponto simétrico do ponto P(2, 3) em relação em relação à reta r: x + y + 1 = 0. 
Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
 69 
 
17- Calcular a área de um quadrado que tem um vértice no ponto P(7, -5) e um lado na reta r: 2x + y 
+ 1 = 0. 
 
18- Calcular a distância entre as retas r: x + 2y + 3 = 0 e s: x + 2y + 13 = 0. 
 
19- Determinar o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B nos casos: 
 
a) A = (3, 2) e B = (5, 10) b) A = (-1, 2) e B = (3, 10) 
 
20- Determine o valor de k que torna a reta kx + 2y + 3 = 0 paralela a reta que passa por A(4, 3) e 
B(6, 13). 
 
21- Determinar a equação da reta que passa por P(2, 5) e tem inclinação  nos casos: 
 
a)  = 45 b)  = 0 
 
22- Dar as equações paramétricas da reta que passa por P e tem a direção do vetor v nos casos: 
 
a) P = (1, 2) e v = (7, 6) b) P = (0, -1) e v = (2, 4) 
 
23- Determinar a equação reduzida das seguintes retas: 
a) 
72
yx


= 1 b) 





ty
tx
54
23
 (t  IR) 
 
24- Determinar a equação da reta que passa por P(3, 2) e tem direção normal ao vetor n = (5, -4). 
 
25- Determinar a equação geral da reta de equações paramétricas x = 2 + 3t e y = 5 – 4t, com t  IR. 
 
26- Dada a reta r indicada no gráfico, obter a equação 
 
a) reduzida da reta; 
b) segmentária da reta; 
c) paramétrica da reta; 
d) simétrica dareta. 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- x – 2y – 1 = 0. 2- AB: 2x + 3y – 8 = 0, BC: x – 2y – 4 = 0 e CD: 5x – y – 2 = 0. 3- 3x – 4y = 0. 4- B, C e D. 5- 2. 
6- V, F. 7- k ≠ -1/2. 8- a) (39/11, 1/11); b) (1, -2). 9- 
3
. 10- -6. 11-  4. 12- 2x + 3y - 4 = 0. 13- 7x + 15y = 0. 
14- 5x - 2y - 3 = 0. 15- P’ = (-1, 0). 16- (-4, -3). 17- 20. 18- 2√5 . 19- a) 4; b) 2. 20- -10. 21- a) y = x + 3; b) y = 5. 
22- a) x = 1 + 7t e y = 2 + 6t; b) x = 2t e y = -1 + 4t. 23- a) y = 7x/2 + 7; b) y = -5x/2 + 23/2. 24- 5x – 4y -7 = 0. 25- 
4x + 3y -23 = 0. 26- a) y = (-1/2)x + 2. 
 
 y 
 r 2 
 
 
 4 x