7. Seja T o operador do IR2 que reflete (ortogonalmente) em torno da reta r: {x = 3t, y = 4t, t ∈ IR}, e em seguida rotaciona de 45o anti-horário....

Primeiramente, vamos encontrar a imagem do ponto (-25√2, 25√2) pela reflexão em torno da reta r. Para isso, precisamos encontrar a equação da reta perpendicular a r que passa pelo ponto (-25√2, 25√2). A reta r tem vetor diretor (-4, 3), então a reta perpendicular tem vetor diretor (3, 4). Assim, a equação da reta perpendicular é dada por y = (-3/4)x + 25√2. Para encontrar a interseção dessa reta com a reta r, basta igualar as equações de x e y: 3t = (-3/4)x 4t = y - 25√2 Substituindo x e y na segunda equação, temos: 4t = (-3/4)(3t) + 25√2 t = 25√2/7 Substituindo t na equação de r, temos que o ponto de interseção é (75√2/7, 100√2/7). Agora, vamos encontrar a imagem desse ponto após a rotação de 45° anti-horário. Para isso, podemos utilizar a matriz de rotação: |cos(45°) -sin(45°)| |x| |sin(45°) cos(45°)| * |y| Simplificando, temos: |x'| = (√2/2)x - (√2/2)y |y'| = (√2/2)x + (√2/2)y Substituindo x e y pelo ponto de interseção encontrado anteriormente, temos: x' = (75/7) - (100/7)√2 y' = (75/7) + (100/7)√2 Por fim, a soma das coordenadas da imagem é: (75/7) - (100/7)√2 + (75/7) + (100/7)√2 = 150/7 Portanto, a resposta é 150.