Geometria Analítica Espacial - Lista 8

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Geometria Anal´ıtica Espacial 2012-2 Lista 8
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto Multidisciplinar
Departamento de Tecnologias e Linguagens
Professor: Marcelo Farias
Superf´ıcies Qua´dricas
Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o
1. Seja a esfera de equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 9. Consideremos os planos x = −3, y = 4 e z = 0.
Identifique para quais desses planos obtemos sec¸o˜es da esfera escrevendo de forma expl´ıcita a sec¸a˜o
correspondente.
2. Fac¸a o estudo das sec¸o˜es planas do elipso´ide de equac¸a˜o
x2
4
+ y2 +
z2
9
= 1, determinando os planos
para os quais obtemos suas sec¸o˜es planas.
3. Considere o elipso´ide do exerc´ıcio anterior e determine as sec¸o˜es planas obtidas da intersec¸a˜o com
os planos x = −3, y = 4 e z = 0.
4. Verifique que o elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
b2
= 1 pode ser visto como superf´ıcie de revoluc¸a˜o em torno
do eixo OX. Determine a curva geratriz.
5. Verifique que o elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
a2
= 1 pode ser visto como superf´ıcie de revoluc¸a˜o em torno
do eixo OY . Determine a curva geratriz.
6. Seja o elipso´ide de equac¸a˜o S : x
2
4
+
y2
9
+
z2
8
= 1
(a) Esboce o gra´fico das sec¸o˜es planas de S para os planos: x = 1, y = √3 e z = −2.
(b) Deˆ as equac¸o˜es dos planos que sa˜o perpendiculares aos eixos coordenados e que sa˜o tangentes
ao elipso´ide S.
7. Determine a equac¸a˜o cartesiana do plano tangente a` esfera de centro na origem e raio 2 que tem o
ponto P como ponto de tangeˆncia.
(a) P = (1, 1,
√
2)
(b) P = (−1,√2, 1)
(c) P = (1,
√
3, 0)
8. Determine os planos tangentes a` esfera S de centro na origem e raio 3 que sa˜o paralelos ao plano
x+ y − z = 2.
9. Sabendo-se que uma esfera tem centro na origem e sua sec¸a˜o plana obtida de sua intersec¸a˜o com o
plano x = 2 e´ a coˆnica de equac¸a˜o y2 + z2 = 9 contida nesse plano, deˆ a equac¸a˜o dessa esfera.
10. Deˆ a equac¸a˜o do elipso´ide de centro na origem tal que:
(a) as sec¸o˜es planas paralelas ao plano XZ sa˜o c´ırculos;
(b) O plano x = 3 e´ tangente;
(c) O ponto (
√
3, 2
√
3
3 ,
√
3) pertence ao elipso´ide.
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