Probabilidade_2010_com_capa

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PÓLO UNIVERSITÁRIO DE VOLTA REDONDA 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Probabilidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Monitor: Fernando Salles 
Orientadora: Lídia Angulo Meza 
 
 
 
 
 
 
VOLTA REDONDA – RJ 
2010 
 
 Universidade Federal Fluminense 
 1 
 
Estatística I 
Probabilidade 
 
Monitor: Fernando Salles da Silva Pires 
Orientadora: Prof.ª Lidia Angulo Meza 
Índice 
 
Assuntos Páginas 
 
1. Conceitos Fundamentais.................................................................................................. 2 
 Experimento, Espaço Amostral, Ponto amostral, Probabilidade de um ponto amostral. 
 
 
2. Eventos.............................................................................................................................. 2 
Probabilidade de um evento. 
 
2.1. Eventos Compostos................................................................................................... 3 
União de eventos, interseção de eventos. 
2.2. Eventos Complementares......................................................................................... 4 
2.3. Eventos Mutuamente exclusivos.............................................................................. 4 
2.4. Eventos Independentes............................................................................................. 4 
 
 
3. Regra da Adição............................................................................................................... 4 
 
 
4. Exercícios.......................................................................................................................... 5 
 
 
5. Probabilidade Condicional.............................................................................................. 9 
 
 
6. Teorema do Produto........................................................................................................ 9 
 
 
7. Teorema da Probabilidade Total.................................................................................... 9 
 
 
8. Teorema de Bayes..................……………………….................................................... 11 
 
 
9. Princípio Fundamental da Contagem.......................................................................... 12 
 
10. Exercícios........................................................................................................................ 13 
 
11. Bibliografia..................................................................................................................... 19 
 
 
 Universidade Federal Fluminense 
 2 
 
1. Conceitos Fundamentais 
 
• Experimento: 
 
È qualquer processo para se obter ou gerar uma ocorrência no resultado que não pode 
ser previsto com certeza. 
 
 Experimento determinístico: Quando repetido em condições semelhantes 
conduz a resultados idênticos. 
 Experimento aleatório: Produzidos sob as mesmas condições geram resultados 
geralmente diferentes 
 
 
• Espaço Amostral (Ω ou S): 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Cada um 
dos resultados possíveis é denominado ponto amostral. 
 
Exemplo:
∈
 Lançamento de uma moeda. 
S= {Ca, Co} 
Ca S⇒Ca é num ponto amostral de S. 
 
 
• Probabilidade de um ponto amostral: 
 
È um número entre 0 e 1 que mede a chance do evento ocorrer quando o experimento 
é realizado. Este número pode ser aproximado com a freqüência relativa com que o ponto 
amostral é observado, quando o experimento é repetido um grande número de vezes. A soma 
das probabilidades de todos os pontos amostrais de um experimento é 1. 
 
 
2. Evento 
 
Subconjunto do espaço amostral S e é denotado por uma letra maiúscula. Cada ponto 
amostral é um evento elementar. 
 
• Probabilidade de um Evento: 
 
Seja A um evento de um espaço amostral S equiprovável, a probabilidade do evento 
A, denotada como P(A) é definida como: 
 
)(
)()(
Sn
An
amostralespaçodoresultadosdenúmero
AeventodoresultadosdenúmeroAP == 
 
De forma equivalente, a probabilidade de um evento A é igual a soma das 
probabilidades dos pontos amostrais pertencentes a este evento. 
 
 
 
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 3 
 
⊂
Exemplo: 
 
No lançamento de duas moedas, onde S= {CaCa, CaCo, CoCa, CoCo}, tem-se os 
seguintes eventos: 
 
A= {CaCa, CaCo} A S, A é um evento de S. 
B= {CaCa}⊂ S; A é um evento elementar de S. 
C= {CaCa, CaCo, CoCa, CoCo}⊂ S; C é um evento certo de S (C=S). 
D=∅ ⊂ S; D é um evento impossível de S. 
 
Assim, podemos concluir que: 
 
 A probabilidade de um evento certo é igual a 1. 
P(S) =1 
 
 A probabilidade de um evento impossível é igual a zero. 
P(∅ ) =0 
 
 A probabilidade de um evento E qualquer (E ⊂ S) é um número real P(E), tal que: 
1)(0 ≤≤ EP 
 
 A probabilidade de um evento elementar (E) qualquer é: 
 
)(
1)(
Sn
EP = 
 
2.1. Eventos Compostos 
 
• União de eventos ( BA∪ ): 
 
 
 
 
• Interseção de eventos ( BA∩ ): 
 
 
 
 
 
Os elementos que pertencem ao evento A ou ao B. 
 Os elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. 
 
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 4 
A B 
B A 
 
2.2. Eventos Complementares 
 
 O complemento de um evento A é o evento formado por todos os pontos do espaço 
amostral que não pertencem a A. Denotamos A , CA ou A′ . 
A ocorrência do evento A indica a não ocorrência do evento A e vice-versa. 
Dois eventos para serem complementares devem satisfazer as seguintes condições: 
SAA =∪ 
∅=∩ AA 
Daí decorre que: 
( ) ( ) 1=+ APAP ( ) 0=∩ AAP ( ) ( ) ( ) ( )APAPouAPAP −=−= 11 
 
2.3. Eventos Mutuamente Exclusivos 
 
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos ⇔ ∅=∩ BA , isto é, não possuem 
pontos amostrais em comum. 
 
2.4. Eventos Independentes 
 
Dois eventos A e B são independentes se, e somente se, 
 
)()/( APBAP = (Lê-se probabilidade de A dado B) 
 
Ou seja, A e B são independentes se o conhecimento da ocorrência de B não 
influenciar, de nenhuma forma, a probabilidade de ocorrência de A. 
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem 
simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. 
 
)()( BPAPP ⋅= 
 
 
3. Regra da Adição 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
 
 
 
 
No caso de eventos mutuamente exclusivos: 
 
 
 ( )
( ) ( ) ( )BPAPBAP
BAP
BA
+=∪
=∩
=∩
0
0
 
 
 
 
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 5 
 
4. Exercícios 
 
Exercícios Resolvidos 
 
 
1) Considere o experimento jogar 5 moedas e observar a face superior. Calcule a 
probabilidade do evento A=Obter pelo menos uma “cara”. 
 
Solução
=A
: 
Pelo menos uma cara 
=A Não obter cara ⇒ {CoCoCoCoCo} 
.}.2{ 5 apS = ⇒ 52
1.).( =apP , onde P(p.a.) = probabilidade de um ponto amostral. 
Sendo 52
1)( =AP ,utilizando a relação complementar, temos: 
9688,0)(
2
11)(1)()( 5 =⇒−=⇒=+ APAPAPAP 
 
 
2) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma 
carta de um baralho de 52 cartas? 
 
Solução:
4
1
52
13)( ==CP
 
Ao retirar uma carta de copas, esta não poderá ser de ouros. A ocorrência de copas incide 
na não ocorrência de ouros. Logo os eventos são mutuamente exclusivos. Então, 
, 
4
1
52
13)( ==OP 
 
2
1
4
1
4
1)( =+=∪OCP 
 
 
3) Oregistro de um hospital mostra que 12% de todos pacientes são internados para 
tratamento cirúrgico, 16% são internados para tratamento obstétrico, e 25 recebem os 
dois tratamentos. Se um novo paciente é internando no hospital, qual é a probabilidade 
do paciente ser internado para cirurgia, obstetrícia, ou ambos. 
 
∩
Solução: 
S= {todos os pacientes} 
A= tratamento cirúrgico; P(A) =0,12 
B=tratamento obstétrico; P(B) =0,16 
C=tratamento cirúrgico e obstétrico; P(C) =P(A B) 
D=tratamento cirúrgico, obstetrícia ou ∪ ambos; P(D) =P(A B) 
 
Pela regra da adição, temos: 
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 6 
26,0)(
02,016,012,0)(
)()()()()(
=
−+=
∩−+=∪=
DP
DP
BAPBPAPBAPDP
 
 
Este problema poderia ser resolvido pelo diagrama de Venn: 
 
 
 
Logo, a probabilidade do paciente ser internado por pelo menos um dos procedimentos é 
de 0,26. 
 
 
4) A probabilidade de que um evento A ocorra é 1/3, a probabilidade que B não ocorra é 
1/4, e a probabilidade de A ou B ocorrerem é 8/9. Determine: 
 
a. A probabilidade de A não ocorrer. 
b. A probabilidade que A e B não ocorram. 
c. A probabilidade que A ocorra e B não ocorra. 
 
31)( =AP
Solução: 
Dados: ; 41)( =BP ; 98)( =∪ BAP . 
 
a. Pela relação complementar, temos: 
32)(311)()(1)( =⇒−=⇒−= APAPAPAP 
 
b. Pela regra da adição, tem-se: 
367)(
984331)(
)()()()(
)()()()(
=∩
−+=∩
∪−+=∩
∩−+=∪
BAP
BAP
BAPBPAPBAP
BAPBPAPBAP
 
 
c. Através do diagrama de Venn, obtêm-se a seguinte relação: 
 
 
 
26,002,014,010,0)( =++=∪ BAP 
365)(
36731)(
)()()(
=∩
−=∩
∩−=∩
BAP
BAP
BAPAPBAP
 
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 7 
 
5) O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de equipamentos 
funcionais, da esquerda para direita. A probabilidade de que cada aparelho funcione é 
mostrada no gráfico. Suponha que a probabilidade de que um equipamento seja 
funcional não dependa de se ou não os outros equipamentos sejam funcionais. Qual 
será a probabilidade de que o circuito opere? 
 
Solução: 
 
Sejam os eventos: O – que o circuito opere 
C1 – que o circuito opere através do caminho 1 
C2 – que o circuito opere através do caminho 2 
O circuito só opera se, e somente se, houver um único caminho de equipamentos 
funcionais, portanto ou todos os equipamentos do caminho 1 têm que funcionar ou
( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 CCPCPCPCCPOP ∩−+=∪=
 todos os 
equipamentos do caminho 2 têm que funcionar. Então pela da Regra da Adição temos que: 
 
 . 
 
Pelo fato de cada equipamento ser independente, 
 
( )
( )
( ) ( ) ( ) 526,0812,0648,0
812,09,095,095,0
648,08,09,09,0
2121
2
1
=×=×=∩
=××=
=××=
CPCPCCP
CP
CP
 
 
Logo, ( ) 934,0526,0812,0648,0 =−+=OP 
A probabilidade de que o circuito opere é de 0,934. 
 
 
Exercícios Propostos 
 
1. Defina: 
 
a. Eventos mutuamente exclusivos. 
b. Eventos complementares. 
 
 
2. Dois eventos complementares são necessariamente mutuamente exclusivos? Justifique. 
 
 
3. Extraindo-se uma carta de um baralho honesto, determine a probabilidade de se obter: 
a. Um rei ou uma dama de ouros; (0,0962) 
b. Uma figura ou um sete; (0,3846) 
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 8 
c. Um sete de ouros, ou um rei ou uma dama vermelha. (0,1346) 
 
 
 
4. No lançamento de 2 dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5. (1/9) 
 
 
5. Uma roleta tem 34 fendas, das quais 2 são verdes, 16são vermelhas e 16 são pretas. 
Uma aposta próspera nas fendas pretas ou vermelhas dobra o valor apostado, enquanto 
uma nas verdes rende 30 vezes mais. Se você joga uma vez, apostando R$20,00 nas 
pretas, qual a probabilidade de que: 
a. Você perca seus R$20,00? (18/34) 
b. Você ganhe outros R$20,00? (16/34) 
c. Através dos resultados obtidos, explique a relação complementar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 9 
E1 E6
E5E4E3
E2
E7
A
E1 E6
E5E4E3
E2
E7
A
 
5. Probabilidade Condicional 
 
Probabilidade revisada que reflete o conhecimento adicional sobre o resultado de um 
experimento. É a probabilidade de A dado que B ocorreu ou é a probabilidade de ocorrer A 
quando se sabe que o resultado pertence a B. 
Sejam dois eventos A e B com ( ) 0>BP . A probabilidade de ocorrência do evento A, 
dado que o evento B ocorreu é calculada pela seguinte expressão: 
 
( ) ( )( )BP
BAPBAP ∩=/ 
 
Quando Calculamos )/( BAP , estamos calculando a chance de estarmos em A, 
sabendo que estamos em B. Nesse caso, nosso espaço amostral se reduz a B, uma vez que o 
evento B ocorreu. 
 
 
6. Teorema do Produto 
 
A probabilidade da interseção de dois eventos é o produto da probabilidade de um 
deles pela probabilidade do outro ocorrer dado que o primeiro ocorreu. 
 
 Seja ( ) ( )( )BP
BAPBAP ∩=/ , observe também que ( ) ( )( )AP
ABPABP ∩=/ . 
 
 Existem duas variações do teorema do produto conforme a dependência dos eventos: 
 
 )()/()( BPBAPBAP ⋅=∩ , para eventos dependentes. 
 )()()( BPAPBAP ⋅=∩ , para eventos independentes. 
 
 
7. Teorema da Probabilidade Total 
 
 
 S 
 
 
 
 
 
 
Se A é um evento contido numa união de eventos mutuamente exclusivos
0=∩ ji EE
 
( ) e, 0)(,...,0)(,0)( 21 >>> nEPEPEP . 
Temos que, 
)(...)()( 21 AEAEAEA n ∩∪∪∩∪∩= 
 
( ) ( ) ( ) ( )AEPAEPAEPAP n ∩++∩+∩= ....21 
 
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 10 
Pelo teorema do produto, segue-se: 
 
)/()(...)/()()/()()( 2211 Nn EAPEPEAPEPEAPEPAP +++= 
Ou 
( ) ( ) ( )∑ ==
n
i ii
EAPEPAP
1
/ 
 
Exemplo: 
 
Um piloto de Fórmula 1 tem 50% de probabilidade de vencer determinada corrida, 
quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de 
vitória é de 25%. Se o Serviço de Meteorologia estimar em 30% a probabilidade de que chova 
durante a corrida, qual é a probabilidade deste piloto ganhar esta corrida? 
 
30,0)(;25,0)/(;5,0)/( === CPCVPCVP
Solução: 
Dados: 
 
Queremos descobrir a probabilidade de o piloto vencer a corrida )(VP . 
 
Pelo diagrama acima, tem-se que o evento V= Vencer é dado por: 
)()( CVCVV ∩∪∩= 
 
E a probabilidade de o evento V ocorrer 
)()()( CVPCVPVP ∩+∩= 
Então, pelo teorema do produto: 
 
)/()()/()()( CVPCPCVPCPVP += 
 
Temos como incógnita )(CP que pode ser calculada através da relação complementar: 
 
70,0)()(1)( =⇒−= CPCPCP 
 
Substituindo os valores, vem: 
 
3250,0)(25,070,05,030,0)( =⇒⋅+⋅= VPVP 
 
Este problema é uma aplicação direta do teorema da probabilidade total: 
 
( ) ( ) ( )∑ ==
n
i ii
EAPEPAP
1
/ 
Neste caso, teríamos: 
)/()()( 2
1 ii i
CVPCPVP ∑== 
 
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 11 
Denotando 1C =chover durante a corrida e 2C = não chover, tem-se: 
 
 
33,0)(
25,070,050,030,0)(
)/()()/()()( 2211
=
⋅+⋅=
+=
VP
VP
CVPCPCVPCPVP
 
 
 
8. Teorema de Bayes 
 
O Teorema de Bayes segue a seguinte lógica: Considerando que diferentes causas 
podem ser responsáveis por um mesmo efeito, se esse efeito ocorre como determinar a 
probabilidade de ter sido provocado por uma determinada causa,entre as possíveis? Por este 
motivo, o Teorema de Bayes é conhecido como “probabilidade das causas” ou “probabilidade 
a posteriori”. 
Sabendo que 
)(
)/()(
)(
)()/(
AP
EAPEP
AP
EAPAEP iiii =
∩
= 
 
Mas, P(A) foi obtida através do teorema do produto: 
 
)/()(...)/()()/()()( 2211 Nn EAPEPEAPEPEAPEPAP +++= 
 
Substituindo, vem: 
)/()(...)/()()/()(
)/()()/(
2211 nn
ii
i EAPEPEAPEPEAPEP
EAPEPAEP
+++
= 
 
Ou 
 
∑
=
= n
i
ii
ii
i
EAPEP
EAPEPAEP
1
)/()(
)/()()/( 
 
Exemplo: 
 
Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva durante um determinado dia é 4/10. 
O Fluminense ganha um jogo em dia de chuva com probabilidade de 6/10 e em um dia sem 
chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o fluminense ganhou um jogo naquele dia 
de agosto, qual a probabilidade de que choveu este dia? 
 
10
4)/(;
10
6)/(;
10
6)(;
10
4)( ==== CFPCFPCPCP
Solução: 
Sejam os eventos: F - Fluminense ganhar 
 C - Chover no dia 
Temos que . 
 
Queremos determinar )/( FCP .Pelo Teorema de Bayes: 
 
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 12 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
1
106104104106
104106
)]()/([)]()/([
// =
⋅+⋅
⋅
=
⋅+⋅
⋅
=
CPCFPCPCFP
CPCFPFCP 
 
Logo, a probabilidade de chover dado que o Fluminense ganhou é de 0,5. 
 
 
9. Princípio Fundamental da Contagem 
 
Na solução de alguns problemas mais complexos, algumas vezes a contagem dos 
pontos amostrais é simplificada “pensando” o experimento/evento como se ele ocorresse em 
várias etapas e aplicando o principio fundamental da contagem. 
Para um experimento de k etapas para o qual há 1n resultados possíveis para a 1ª etapa 
e kn resultados possíveis para a k-ésima etapa, o número total de pontos amostrais para este 
experimento é dado por: 
knnn ...21 ⋅⋅ 
 
Exemplo: 
Determinar o número de pontos amostrais para o experimento jogar 2 dados e 3 
moedas e observar a face superior. 
 
2886622221321 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ DDMMM
Solução: 
M= {Ca, Co} 
D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Assim, o número de pontos amostrais é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 13 
 
10. Exercícios 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1. A experiência tem mostrado que 90% dos pacientes do sexo masculino submetidos a 
determinada cirurgia sobrevivem, enquanto que apenas 80% dos pacientes do sexo 
feminino conseguem sobreviver à mesma cirurgia. Um homem e uma mulher estão à 
espera da citada intervenção cirúrgica. Qual a probabilidade de: 
 
a. Ambos sobreviver? 
b. Só o homem sobreviver? 
c. Só a mulher sobreviver? 
d. Pelo menos um dos dois sobreviver. 
 
( ) ( ) 8,0;9,0 == MPHP
Solução: 
 
Sejam os eventos: H – o homem sobreviver 
 M – a mulher sobreviver 
 
Temos que 
 
a. Queremos saber a probabilidade de o homem e a mulher sobreviver, ou seja, 
( )MHP ∩ . Como os eventos são independentes: 
( ) ( ) ( ) 72,08,09,0 =×=×=∩ MPHPMHP 
 
b. Desejamos descobrir a probabilidade de o homem sobreviver e a mulher morrer. A 
probabilidade da mulher não sobreviver é o complemento de ( )MP , ou seja, 
( ) 2,0=MP . Pela independência de eventos temos: 
( ) ( ) ( ) 18,02,09,0 =×=×=∩ MPHPMHP 
 
c. Dessa vez a mulher sobrevive e o homem morre. Da mesma forma que no item 
anterior, a probabilidade do homem não sobreviver será o complemento de ( )HP , ou 
seja, ( ) 1,0=HP . Então: 
( ) ( ) ( ) 08,01,08,0 =×=×=∩ HPMPHMP 
 
d. A probabilidade do homem ou
 
 a mulher sobreviver é: 
( ) ( ) ( ) ( ) 98,072,08,09,0 =−+=∩−+=∪ MHPMPHPMHP 
 
 
2. Considere o experimento jogar 3 moedas e observar a face superior. Qual é a 
probabilidade de se obter pelo menos 2 “caras” dado que na primeira moeda ocorreu 
coroa. 
 
Solução: 
Seja o espaço amostral(S) abaixo, descrevendo o experimento lançar 3 moedas: 
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 14 
 
S= {CaCaCa, CaCaCo, CaCoCa, CaCoCo, CoCaCa, CoCaCo, CoCoCa, CoCoCo} 
 
Dado que na 1ª ocorreu Coroa, podemos revisar o espaço amostral S: 
 
SR= {CoCaCa, CoCaCo, CoCoCa, CoCoCo} 
 
Aqui, a probabilidade de cada ponto amostral vale 41)..( =apP . 
 
Queremos determinar a probabilidade do evento A: 
 
A=Pelo menos duas caras; {CoCaCa} 
Logo, 
4
1
4
11)( =⋅=AP 
 
A probabilidade do evento A pode ser calculada diretamente através da fórmula de 
probabilidade condicional. Denotando o evento Co= obter Coroa na 1ª, temos: 
 
( ) ( )( )CoP
CoAPCoAP ∩=/ 
Assim, 
( ) ( )( ) ( ) 4
1
21
81// ==⇒∩= CoAP
CoP
CoAPCoAP 
 
A probabilidade de se obter duas caras num lançamento de 3 moedas dado que na 1ª 
ocorreu coroa é 1/4. 
 
 
3. Três máquinas A, B, C produzem, respectivamente, 50%, 30% e 20% do total de peças 
fabricadas na indústria. As porcentagens de peças defeituosas dessas máquinas são, 
respectivamente, 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada ao acaso de uma das 
máquinas, qual a probabilidade de que a peça seja defeituosa? 
 
20,0)(;30,0)(;50,0)( === CPBPAP
Solução: 
 
Dados: 
 05,0)/(;04,0)/(;03,0)/( === CDPBDPADP 
 
Seja o evento D= peça defeituosa. Podemos calcular a probabilidade de ocorrer D 
diretamente através do teorema da probabilidade total: 
 
037,0)(
05,020,004,030,003,050,0)(
)/()()/()()/()()(
)()()()(
=
⋅+⋅+⋅=
++=
∩∪∩∪∩=
DP
DP
CDPCPBDPBPADPAPDP
DCPDBPDAPDP
 
 
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 15 
 
4. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais quatro apresentam 
defeitos. Se um freguês vai comprar: 
a. Uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma defeituosa? 
b. Duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas? 
c. Duas geladeiras, qual a probabilidade de levar pelo menos uma defeituosa? 
 
a. Queremos saber a probabilidade do evento A= uma defeituosa ao comprar uma 
geladeira. 
Solução: 
 
Dados: N=12; Eventos: D= {4}, defeituosas; B= {8}, boas. 
 
Em problemas deste tipo, recomenda-se proceder da seguinte forma: 
}{
0
1
1
8
4
12 08
1
4 amostraispontosCCAB
D
n
B
D
N ⋅=⇒



=



= 
O número de combinações que constituíra o espaço amostral é dado por: 
12
!1)!112(
!121
12 =⋅−
=C 
Logo, 
3
1
12
14)( 1
12
0
8
1
4 =
⋅
=
⋅
=
C
CCAP 
 
b. }{
0
2
2
8
4
12 08
2
4 amostraispontosCCBB
D
n
B
D
N ⋅=⇒



=



= 
11
1
66
16)( 2
12
0
8
2
4 =
⋅
=
⋅
=
C
CCBP 
c. C= pelo menos uma defeituosa 
Utilizando a relação complementar, a probabilidade de pelo menos uma defeituosa é dada 
por: 
)(1)( NDPCP −= 
Onde ND denota o evento nenhuma defeituosa em 2 selecionadas. 
}{
2
0
2
8
4
12 28
0
4 amostraispontosCCNDB
D
n
B
D
N ⋅=⇒



=



= 
 
33
14
66
128)( 2
12
2
8
0
4 =
⋅
=
⋅
=
C
CCNDP 
Logo, 
33
19
33
141)( =−=CP 
 
 
5. Uma empresa de crédito precisa saber como a inadimplência está distribuída entre 
seus clientes. Sabe-se que: 
• 10% dos clientes pertencem à classe A; 
• 20% dos clientes pertencem à classe B; 
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• 30% dos clientes pertencem à classe C; 
• 40% dos clientes pertencem à classe D; 
• Dentre os clientes da classe A, 5% são inadimplentes; 
• Dentre os clientes da classe B, 8% são inadimplentes; 
• Dentre os clientes da classe C, 10% são inadimplentes; 
• Dentre os clientes da classe A, 2% são inadimplentes. 
 
Um cliente é escolhido aleatoriamente e está inadimplente. Qual a probabilidade dele 
pertencer a cada uma das classes? 
 
40,0)(;30,0)(;20,0)(;10,0)( ==== DPCPBPAP
Solução: 
 
Dados:02,0)/(;10,0)/(;08,0)/(;05,0)/( ==== DIPCIPBIPAIP 
Onde o evento I=cliente inadimplente. 
 
A probabilidade de o cliente pertencer a cada uma das classes é calculada através do 
teorema de Bayes: 
 
)/()()/()()/()()/()(
)/()(
)(
)/()(
)(
)()/(
DIPDPCIPCPBIPBPAIPAP
AIPAP
IP
AIPAP
IP
IAPIAP
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅
=
⋅
=
∩
=
 
0847,0)/(
02,040,010,030,008,020,005,010,0
05,010,0)/( =⇒
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅
= IAPIAP 
 
2712,0)/(
)/()()/()()/()()/()(
)/()()/( =⇒
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅
= IBP
DIPDPCIPCPBIPBPAIPAP
BIPBPIBP 
5085,0)/(
)/()()/()()/()()/()(
)/()()/( =⇒
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅
= ICP
DIPDPCIPCPBIPBPAIPAP
CIPCPICP 
1356,0)/(
)/()()/()()/()()/()(
)/()()/( =⇒
⋅+⋅+⋅+⋅
⋅
= IDP
DIPDPCIPCPBIPBPAIPAP
DIPDPIDP 
 
 
Exercícios Propostos 
 
 
1. Uma pessoa é escolhida aleatoriamente de um grupo constituído por 26 homens e 26 
mulheres. No grupo existem 6 fumantes entre as mulheres e 10 entre os homens. 
 
a. Calcule a probabilidade de a pessoa selecionada ser fumante. (4/13) 
 
b. Dado que a pessoa selecionada foi uma mulher, calcule a probabilidade de ser 
fumante. (3/13) 
 
 
 
2. Uma fábrica usa peças de quatro fornecedores (E1, E2, E3, E4), que tem diferentes 
desempenhos quanto a sua qualidade. As peças são classificadas como defeituosas ou 
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não defeituosas e você conhece a proporção de peças defeituosas de cada fornecedor. 
Se você selecionar, ao acaso, uma das peças do lote, qual é a probabilidade dela ser 
defeituosa (F)? Resolva supondo igual probabilidade para todos os fornecedores e 
( ) ( ) ( ) ( ) 4,0/;2,0/;1,0/;1,0/ 4321 ==== EFPEFPEFPEFP . (0,2). 
 
 
3. Suponha um teste para câncer em que 95% dos que têm o mal reagem positivamente, 
enquanto que 3% dos que não têm o mal reagem positivamente. Suponha ainda que 
2% dos internos de um hospital tenham câncer. Qual a probabilidade de um doente 
escolhido ao acaso, e que reaja positivamente ao teste, ter de fato o mal? (0,392). 
 
 
4. Um Grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos e dos olhos de 
cada uma, segundo o quadro abaixo: 
 
Cabelos Olhos 
Castanhos Azuis 
Morena 14 4 
Loira 9 17 
Ruiva 3 3 
 
a. Se você marca encontro com uma dessa garotas, escolhida ao acaso, qual a 
probabilidade dela ser: 
i. Morena de olhos azuis; (2/25) 
ii. Loira; (13/25) 
iii. Morena ou ter olhos azuis. (19/25) 
 
b. Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão 
completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual 
a probabilidade de que ela seja morena? (7/13) 
 
 
5. Suponha que um escritório contenha100 máquinas de calcular. Algumas dessas 
máquinas são elétricas (E), enquanto as outras são manuais (M); e algumas são 
novas(N), enquanto outras são muito usadas (U). O quadro abaixo apresenta o número 
de máquinas de cada categoria. Uma pessoa entra no escritório, pega uma máquina ao 
acaso, e descobre que é nova. Qual será a probabilidade de que seja elétrica? (4/7). 
 
 E M Total 
N 40 30 70 
U 20 10 30 
Total 60 40 100 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Um banco sabe, por experiências anteriores, que a probabilidade de que uma pessoa 
não pague um empréstimo é de 0,2. Também sabe que 30% dos empréstimos não 
pagos têm sido feitos para financiar viagens de férias e 70% dos empréstimos pagos 
no prazo tem sido feitos para financiar as viagens de férias. Calcule a probabilidade de 
que um empréstimo feito para financiar uma viagem de férias não seja pago no prazo. 
(0,097) 
 
7. Uma rede local de computadores é composta por um servidor e três clientes (A, B e 
C). Registros anteriores indicam que dos pedidos de determinado tipo de 
processamento, realizados através de um consulta, cerca de 20% vêm do cliente A, 
35% do B e 45% do C. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento 
apresentará erro. Usualmente, ocorrem os seguintes percentuais de pedidos 
inadequados: 2% do cliente A, 1% do cliente B e 8% do cliente C. 
 
a. Defina os eventos e identifique cada uma das probabilidades dadas no 
enunciado. (P(A) = 0,2; P(B) = 0,35; P(C) = 0,45; P(E|A) = 0,02; P(E|B) = 0,01; P(E|C) = 
0,08). 
 
b. Determine a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente C, 
sabendo-se que apresentou erro. (0,8276) 
 
c. Qual a probabilidade de o sistema apresentar erro? (0,0435) 
 
 
8. Sabe-se que 80% dos pênaltis convertidos pela seleção brasileira são marcados por 
jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é de 40% se o 
jogador for do Flamengo e 70% caso contrário. Um pênalti a favor do Brasil acabou 
de ser marcado: 
 
a. Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do flamengo e ser 
convertido? (0,32) 
b. Qual a probabilidade do pênalti ser convertido? (0,46) 
c. Um pênalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiçado. Qual a 
probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo? (0,89) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
- Alonso, Kelly. Notas de aula. Universidade Federal Fluminense, Rio de Janeiro, 2010. 
- Angulo-Meza, Lidia. Notas de aula. Universidade Federal Fluminense. Rio de Janeiro, 
2008. 
- Bello, Pedro. Estatística Básica para concursos. Rio de Janeiro: Ferreira, 2005. 
- Christo, Eliane da Silva. Notas de aula. Universidade Federal Fluminense, Rio de 
Janeiro, 2009. 
- Crespo, Antonio Arnot, Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 1984. 
- Morgado, A.C.O., Carvalho, J.B.P., Carvalho, P.C.P., Fernandez, P. Análise 
Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade 
Brasileira de Matemática 1991. 
- Silva, Sérgio Sodré da. Notas de aula. Universidade Federal Fluminense, Rio de 
Janeiro, 2009. 
- Spiegel, Murray R. Estatística. 3ª ed. São Paulo: Makron Books,1993.(Coleção 
Shaum). 
 
 
 
 
 
	capa probabilidade
	Probabilidade 2010NOVO