Aula 3 Função Recíproca potência Domínio e Imagem

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Aula de função recíproca, função raiz 
quadrada: domínio e imagem e retas 
tangentes e perpendiculares. 
 
Disciplina: Cálculo I 
 
Prof. Me Fábio Bueno 
 
Problema 1 
Um pedreiro constrói um muro de 3 
metros de comprimento e dois metros de 
altura em 2 horas. Se aumentarmos em 
dois o número de pedreiros, em quanto 
tempo o mesmo muro será construído? 
Este problema envolve grandezas 
inversamente proporcionais, ou seja, é 
quando ao aumentar uma ocorre a 
diminuição da outra, e vice versa. 
 
Nº de pedreiros (variável independente) Horas trabalhadas (variável dependente) 
1 2 
2 1 
3 2
3
 
4 1
2
 
5 2
5
 
6 1
3
 
𝑥 𝑦 
Analisando a função 
numericamente... 
Criando uma lei.... 
Utilizando a duas linhas da tabela é possível criar uma 
relação entre as grandezas 𝑥 e 𝑦: 
 
1
𝑥
=
𝑦
2
⇒ 𝑥. 𝑦 = 2 ⇒ 𝑦 =
2
𝑥
 
 
E, a partir delas determinar uma função. Para isso, 
basta chamar a variável dependente 𝑦 de 𝑓(𝑥), uma 
vez que para encontrarmos o número 𝑦 escolhemos o 
valor 𝑥 . 
 
Assim, a lei da função na variável independente 𝑥 é: 
 
𝑓 𝑥 =
2
𝑥
 
 
Vejamos o gráfico...no Geogebra 
A relação: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 é uma 
função? 
• Vejamos o gráfico! Não! Esta relação 
não é uma função, 
pois não passa no 
teste da linha 
vertical. 
No entanto, a partir 
dela podemos 
encontrar duas 
funções que 
descrevem 
semicircunferências. 
Exemplo 1 
A função 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 descreve o 
semicírculo ilustrado acima. Determine a 
inclinação da reta tangente 𝑡 a esse 
semicírculo no valor de entrada 𝑥 = 0,6. 
Solução: Observe inicialmente que quando 𝑥 = 0,6, temos: 
 𝑦 = 𝑓 0,6 = 1 − 0,62 = 0,64 = 0,8 
 
Agora, computemos a inclinação do raio (0,0) a (0.6, 0.8). 
𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎çã𝑜 = 𝑚 =
0,8 − 0
0,6 − 0
=
8
6
=
4
3
 
Sabemos, da Geometria, que a reta tangente 𝑡 é 
perpendicular ao raio. Portanto, pela propriedade 5 da 
inclinação de retas, a inclinação do raio multiplicada pela 
inclinação da reta tangente tem que produzir um resultado 
igual a −1. 
Assim, temos: 
4
3
𝑚 = −1 ⟹ 𝑚 = −
3
4
 
Portanto, a reta tangente 𝑡 tem inclinação igual a −
3
4
. 
Qual o domínio da função 𝑓 𝑥 = 𝑥? 
Exemplo (3) Determine o domínio da função: 
𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 4. 
Solução: 
Lembrando que o domínio de uma função consiste 
de todos os números reais para o qual a regra faz 
sentido, então para determinar o domínio desta 
função é importante impor a condição que 2𝑥 + 4 
seja não negativa, ou seja, 2𝑥 + 4 ≥ 0. 
Assim, 
2𝑥 + 4 ≥ 0 ⟹ 2𝑥 ≥ −4 ⟹ 𝑥 ≥ −2 
 
Desta forma, enquanto 𝑥 for pelo menos −2, então 
2𝑥 + 4 será pelo menos zero, o que faz sentido o 
cálculo desta raiz quadrada. 
Resumido, temos que: 
𝐷 𝑔 = [−2, ∞[ ■ 
 
Propriedades da inclinação da reta 
Propriedade 1: Começando em um ponto de 
uma reta de inclinação 𝑚 e movendo uma 
unidade para a direita, será preciso mover 𝑚 
unidades na direção 𝑦 para voltar à reta. 
 
Propriedade 2: A inclinação de uma reta 
pode ser determinada se conhecermos 
dois pontos dela. Se (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2) 
estão na reta, então a inclinação é: 
 
𝒊𝒏𝒄𝒍𝒊𝒏𝒂çã𝒐: 𝑚 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
Propriedade 3: A equação da reta pode ser 
obtida se for conhecido a inclinação dela e um de 
seus pontos. Se a inclinação é 𝑚 e se (𝑥1, 𝑦1) é um 
ponto da reta, então a equação da reta é: 
 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 
Propriedade 4: As retas distintas de mesma 
inclinação são paralelas. Em contrapartida, se 
duas retas são paralelas, então possuem a mesma 
inclinação. 
 
Propriedade 5: Quando duas retas são 
perpendiculares, o produto de sua inclinação 
(coeficiente angular) é −1. 
 
Exemplo (4) Determine uma equação da 
reta que passa por (1,2) com inclinação 3. 
Solução: 
Seja 𝑥1, 𝑦1 = (1,2) e 𝑚 = 3. Aplicando a 
propriedade 3 da inclinação de retas, 
temos: 
 
𝑦 − 2 = 3(𝑥 − 1) 
 
Escrevendo esta equação na forma de uma 
função afim, temos: 
 
𝑦 − 2 = 3 𝑥 − 1 ⟹ 𝑦 = 3𝑥 − 3 + 2 
 
∴ 𝑦 = 3𝑥 − 1 
 
Exemplo (5) Determine uma equação de reta que 
passe pelos pontos 1,2 e (2,6). 
Solução: 
Aplicando a propriedade 2 da inclinação de retas, 
poderemos encontrar a inclinação desta reta. 
Assim: 
𝑚 = 
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
6 − 2
2 − 1
=
4
1
= 4 
 
Agora, considerando que o ponto (1,2) esta na 
reta, podemos utilizar a propriedade 3 da 
inclinação de retas para obter a equação 
procurada: 
 
𝑦 − 2 = 4 𝑥 − 1 
𝑦 = 4𝑥 − 4 + 2 
𝑦 = 4𝑥 − 2 
 
Exemplo (6) Determine uma equação de reta que passa pelo ponto 
(5,3) paralela à reta 2𝑥 + 5𝑦 = 7. 
Solução: 
Primeiramente é necessário encontrar a inclinação desta reta. E, 
para isso vamos deixar esta equação escrita como uma função afim: 
2𝑥 + 5𝑦 = 7 
5𝑦 = −2𝑥 + 7 
𝑦 = −
2
5
𝑥 +
7
5
 
Assim, a inclinação da reta é −
2
5
. Aplicando a propriedade 4 da 
inclinação da reta, qualquer reta paralela a essa também possui a 
inclinação −
2
5
. Agora, usando o ponto (5,3) e a propriedade 3 da 
inclinação de retas, encontraremos a equação procurada: 
𝑦 − 3 = −
2
5
𝑥 − 5 
𝑦 = −
2
5
𝑥 +
2
5
. 5 + 3 
𝑦 = −
2
5
𝑥 + 5 
 
Exemplo (7) Esboce o gráfico da reta que passa pelo 
ponto (2,1) com inclinação 3. 
Solução: 
Para resolver este problema utilizaremos a 
propriedade 1 da inclinação de retas. Para tanto, 
começaremos pelo ponto dado, movendo uma unidade 
para a direita e logo em seguida 𝑚 unidades na direção 
de 𝑦, neste caso para cima, pois 𝑚 é positivo. O novo 
ponto resultante também deve pertencer à reta e, 
portanto, podemos traçar o gráfico por estes dois 
pontos. 
 
Uma metáfora... 
Imagine uma esteira que leva até uma máquina. E, 
nesta esteira, são levados números. Quanto estes 
números chegam chega e passam através da 
máquina eles são transformados em números 
diferentes, seja qual for a transformação 
exercida pela máquina. 
A importância do domínio... 
(1) Considere as seguintes funções: 
 
𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)2 e 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 
 
A função 𝑓 é igual à função 𝑔? 
 
(2) Considere as seguintes funções: 
 
𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥
 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 
 
A função 𝑓 é igual à função 𝑔? 
 
 
 
SIM! 
 Não! 
As funções possuem domínios diferentes. 
Exercícios Propostos 
(1) Sabendo que 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 7𝑥2 + 𝑥, 
determine 𝑓 3 . 
 
 
(2) Dos 3 gráficos abaixo, qual deles não é 
gráfico de uma função? Como você pode 
explicar? 
Fonte: Pré-cálculo/Franklin D. Demana...[et al.]; 
Exercícios Propostos 
(3) Suponha que: 
 
𝑓 −5 = −2 
E 
𝑔 𝑥 = −2. 𝑓(𝑥), 
 
qual é o ponto que 
poderemos determinar no 
gráfico de 𝑔? 
 
(a) (−5, 4) 
(b) (6, 7) 
(c) (−8, −2) 
(d) (12, 1) 
(e) (−63, 6) 
 
 
(4) Suponha que: 
 
 𝑓 −4 = 1 
E 
𝑔 𝑥 = 𝑓
𝑥
−3
, 
 
qual é o ponto que 
poderemos determinar no 
gráfico de 𝑔? 
 
(a) (−5, 4) 
(b) (−63, 6) 
(c) (12, 1) 
(d) (6, 7) 
(e) (−8, −2) 
 
 
(5) Determine as equações das seguintes 
retas: 
a) Inclinação é −
1
3
; (6, −2) na reta; 
b) Inclinação é −
1
2
; intersecção de 𝑦 é 0; 
 
(6) Esboce o gráfico da reta que passa 
pelo ponto 2,3 com inclinação −
1
2
. 
 
Exercícios para casa 
(1) Determine as equações das seguintes retas: 
a) Inclinação é −
1
3
; (6, −2) na reta; 
b) Inclinação é 1; (1,2) na reta; 
 
(2) Esboce o gráfico da reta que passa pelo ponto 2,3 
com inclinação −
1
2
. 
 
(3) Suponha que 
 
𝑓 6 = 9 e que 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 + 2, 
 
qual é o pontoque poderemos determinar no gráfico de 𝑔? 
(a) (−5, 4) 
(b) (6, 7) 
(c) (−8, −2) 
(d) (12, 1) 
(e) (−63, 6) 
 
Referências 
• BUENO, F.S. SANTOS, E. R. Noções básicas de Língua 
Portuguesa e Matemática para o Ensino Superior. São Paulo: 
Editora Martinari, 2009; 
 
• https://www.coursera.org/learn/calculus1/home/info Curso de 
Cálculo I – Universidade do Estado de Ohio – Jim Fowler, PhD. 
Aceso em 16/08/2015. 
 
• STEWART, J; MORETTI, A C; MARTINS, A C G. Cálculo, 
volume 1. São Paulo: Cengage, 2009. 
 
• DEMANA, F.D. [et al.] Pré-cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 
2009. 
 
• GOLDSTEIN, L.J. [et al] Cálculo e suas aplicações. São Paulo: 
Hemus livraria editora LTDA. São Paulo: 1981.