Solução da 3ª Prova

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Terceira prova de estat´ıstica - seg.sem. de 2014
Henrique Dantas Neder- Professor Associado
29 de janeiro de 2015
1. Seja X uma varia´vel aleato´ria discreta com a seguinte dis-
tribuic¸a˜o de probabilidades:
xi 1-2k k-1 k 2k
pi 3p p p p
a) Sabendo que E(X) = 1/3 calcule o valor de p e k; b)
Calcule Var(X)
Soluc¸a˜o:∑n
i=1 P (Xi) = 6p = 1
p = 1/6
E(X) =
∑n
i=1Xi×p(Xi) = (1−2k)×3p+(k−1)×p+k×p+
2k×p = (1−2k)×3/6+(k−1)×1/6+k×1/6+2k×1/6 =
1/2− k + k/6− 1/6 + k/6 + k/3 = 1/3
−k/3 = 1/3− 1/2 + 1/6
k = 0
V ar(X) = (1−2k)2×1/2+(k−1)2×1/6+k2×1/6+(2k)2×
1/6− (1/3)2 = 1/2 + 1/6− 1/9 = (9 + 3− 2)/18 = 5/9
2. Em um teste do tipo certo - errado, com 10 perguntas, qual
a probabilidade de um aluno, respondendo as questo˜es ao
acaso, acertar 70% das perguntas? Quais devem ser os
valores poss´ıveis para a probabilidade de acerto de cada
questa˜o para que a variaˆncia do nu´mero de acertos seja
igual a .3?
Soluc¸a˜o:
P (X = 7) = 10!7!×3! × 0, 57 × 0, 510−7 = 120 × 0, 0078125 ×
0, 125 = 0, 1172
V ar(X) = n× p× (1− p) = 10× (p− p2) = 0, 3
p− p2 − 0, 03 = 0
1
p2 − p + 0, 03 = 0
p = 1±
√
1−4×1×0,03
2 =
1±0,9381
2
p1 = 0, 9690
p2 = 0, 0309
3. Uma livraria mante´m extensos registros das vendas dia´rias
dos livros. Com os dados coletados construiu a seguinte
distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria X =
nu´mero de livros vendidos por semana:
xi 0 1 2 3 4 5
P (xi) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10
a) Calcule E(X) e V(X); b) O lucro da livraria e´ obtido
atrave´s da relac¸a˜o Y = 3X2 +X−2. Qual e´ lucro esperado
da livraria
E(X) = 0 × 0, 05 + 1 × 0, 15 + 2 × 0, 42 + 3 × 0, 20 + 4 ×
0, 08 + 5× 0, 10 = 2, 41
V (X) = 02 × 0, 05 + 12 × 0, 15 + 22 × 0, 42 + 32 × 0, 20 +
42 × 0, 08 + 52 × 0, 10− 2, 412 = 1, 6019
E(Y ) = 3×E(X2)+E(X)−2 = 3×7, 41+2, 41−2 = 22, 64
4. Considere a seguinte func¸a˜o de probabilidade:
P (X = x) = x
2
14 para x=1,2,3
a) Mostre que esta func¸a˜o satisfaz as propriedades de uma
func¸a˜o de probabilidade; b) Deduza a func¸a˜o de distribuic¸a˜o
cumulativa; c) Calcule P (X = 1|X ≤ 2)
Soluc¸a˜o:
P (X = 1) = 1
2
14 = 1/14
P (X = 2) = 2
2
14 = 4/14
P (X = 3) = 3
2
14 = 9/14
2
Como P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)= 1 e todos os valores
sa˜o na˜o negativos a func¸a˜o satisfaz as propriedades de uma
func¸a˜o de probabilidade.
A func¸a˜o de distribuic¸a˜o cumulativa e´:
X F(x)
1 1/14
2 5/14
3 1
P (X = 1|X ≤ 2) = P (X=1∩X≤2)X≤2 = P (X=1)P (X≤2) = 1/146/14 = 1/6
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