Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes


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pore´m onde f \u2032(x) na\u2dco e´
sequer cont´\u131nua em x.
CAP´\u131TULO 10
Sinal da derivada e crescimento
1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy
Tudo que precisamos sobre zeros, crescimento e decrescimento de func¸o\u2dces sai de
dois Teoremas: de Rolle e de Lagrange (que de fato sa\u2dco equivalentes entre si).
Teorema 1.1. (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] \u2192 R cont´\u131nua em [a, b] e deriva´vel
em (a, b). Se f(a) = f(b) enta\u2dco existe algum ponto x \u2208 (a, b) tal que f \u2032(x) = 0.
Demonstrac¸a\u2dco.
Considere o m\u131´nimo global mf e o ma´ximo global Mf de f em [a, b].
Se mf = Mf isso quer dizer que f e´ constante: enta\u2dco para qualquer ponto de
(a, b) temos f \u2032(x) = 0 e acabou.
Supomos enta\u2dco que mf < Mf .
Vamos nos convencer agora que na\u2dco e´ poss´\u131vel que ambos os valoresmf eMf sejam
valores de f nos pontos extremo a, b de [a, b]. De fato, se por exemplo f(a) = mf ,
como por hipo´tese f(a) = f(b), enta\u2dco f(b) = mf ; como Mf > mf enta\u2dco Mf sera´
atingido por x \u2208 (a, b). Vice versa se supomos que f(a) = Mf , concluimos que mf e´
atingido em x \u2208 (a, b).
Agora vamos mostrar que num x \u2208 (a, b) onde f(x) = mf ou onde f(x) = Mf
temos que ter f \u2032(x) = 0.
Por exemplo, suponha x \u2208 (a, b) onde f(x) = mf e por absurdo, suponha que
f \u2032(x) 6= 0:
Ha´ dois Casos a considerar:
Caso 1): f \u2032(x) < 0.
Ja´ que x vive num intervalo aberto (a, b) existe pela Afirmac¸a\u2dco 4.2 um intervalo
centrado em x,
(\u2212\u3b40 + x, x+ \u3b40) \u2282 (a, b)
e por isso podemos tomar 0 < h < \u3b40 suficientemente pequeno para que x+h \u2208 (a, b).
Enta\u2dco pela definic¸a\u2dco de derivada, temos:
lim
h\u21920
f(x+ h)\u2212 f(x)
h
< 0
e nesse limite h pode ser tomado positivo ou negativo: tomando h positivo e pequeno
temos:
lim
h\u21980
f(x+ h)\u2212 f(x)
h
< 0,
o que implica que os quocientes incrementais f(x+h)\u2212f(x)
h
sa\u2dco negativos para h positivo
suficientemente pequeno.
127
1. TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY 128
Mas o denominador e´ h > 0: logo os numeradores sa\u2dco negativos:
f(x+ h)\u2212 f(x) < 0,
para 0 < h suficientemente pequeno. Portanto, f(x+ h) < f(x) para 0 < h suficien-
temente pequeno. Ora, isso contradiz a hipo´tese de que f(x) = mf e´ m\u131´nimo global.
Essa contradic¸a\u2dco veio de supor f \u2032(x) < 0 nesse x.
A Figura a seguir apenas serve para ilustrar a situac¸a\u2dco absurda obtida, onde a reta
em vermelho simboliza a tangente ao gra´fico em (x, f(x)) = (x,mf) (em vermelho).
m_f
x + hx ( h >0 )
Figura: Chegamos num absurdo deste tipo supondo f \u2032(x) < 0 em x.
Caso 2): f \u2032(x) > 0:
Novamente, ja´ que existe um intervalo centrado em x,
(\u2212\u3b40 + x, x+ \u3b40) \u2282 (a, b),
podemos tomar h < 0 de mo´dulo suficientemente pequeno (|h| < \u3b40) para que x+h \u2208
(a, b). Enta\u2dco pela definic¸a\u2dco de derivada, temos:
lim
h\u21920
f(x+ h)\u2212 f(x)
h
> 0
e tomando h < 0 temos
lim
h\u21970
f(x+ h)\u2212 f(x)
h
> 0,
o que implica que os quocientes incrementais f(x+h)\u2212f(x)
h
sa\u2dco positivos para h < 0 de
mo´dulo suficientemente pequeno.
Mas o denominador e´ h < 0: logo os numeradores sa\u2dco negativos, ou seja,
f(x+ h) < f(x)
para h < 0 de mo´dulo suficientemente pequeno. Contradizendo a hipo´tese de que
f(x) = mf e´ m\u131´nimo global. Essa contradic¸a\u2dco veio de supor f
\u2032(x) > 0 nesse x. Como
antes, ilustramos a situac¸a\u2dco na Figura que segue1:
1A f na\u2dco precisa ser crescente nessa regia\u2dco, como parece sugerir a Figura; f precisa apenas valer
menos que f(x). Voltaremos nisso na Sec¸a\u2dco 4 deste Cap´\u131tulo
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 129
m_f
xx + h ( h<0 )
Figura: Chegamos nesse tipo de absurdo supondo f \u2032(x) > 0 em x.
Logo concluimos que f \u2032(x) = 0.
A prova ana´loga se f(x) = Mf .
\ufffd
O uso que Rolle fazia desse fato era para localizar zeros (ra´\u131zes) de polino\u2c6mios
apenas.
Ele pensava assim, sempre que houver duas ra´\u131zes a e b sucessivas de um polino\u2c6mio
p(x) de grau n tem que haver uma ra´\u131z do polino\u2c6mio p\u2032(x) situada no intervalo [a, b]
(veremos na Parte 2 que sempre a func¸a\u2dco Derivada de um polino\u2c6mio e´ tambe´m um
polino\u2c6mio). Mais ainda, como vimos ja´ em alguns exemplos simples, o grau de p\u2032(x)
e´ n\u22121. Logo pode ser mais fa´cil achar as ra´\u131zes de p\u2032(x) que as do polino\u2c6mio original
p(x). E a´\u131 teremos alguma informac¸a\u2dco sobre a poss´\u131vel localizac¸a\u2dco das ra´\u131zes a e b de
p(x).
(obs.: Na Figura a seguir os eixos horizontal e vertical na\u2dco esta\u2dco na mesma escala)
5
0
10
-5
-10
x
1 20-1-2
Figura: Polino\u2c6mio p(x) com 5 ra´\u131zes Reais e p\u2032(x) com 4 ra´\u131zes Reais.
Um aplicac¸a\u2dco interessante do Teorema de Rolle e do T.V.I. sera´ dada na Sec¸a\u2dco 5
do Cap´\u131tulo 13, para provar a Regra de sinais de Descartes, que da´ uma estimativa
do nu´mero de ra´\u131zes Reais de um polino\u2c6mio.
1. TEOREMAS DE ROLLE, LAGRANGE E CAUCHY 130
O Teorema de Rolle pode ser generalizado:
Teorema 1.2. (Teorema do Valor Me´dio de Lagrange)2
Seja f : [a, b] \u2192 R cont´\u131nua e deriva´vel em (a, b). Enta\u2dco existe algum x \u2208 (a, b)
tal que
f \u2032(x) =
f(b)\u2212 f(a)
b\u2212 a
0
-0,5
-1
x
10,50-0,5-1
1
0,5
Figura: O gra´fico em vermelho ilustra o Teo. de Lagrange em dois pontos.
Demonstrac¸a\u2dco.
Seja p(x) a equac¸a\u2dco da reta passando por (a, f(a)) e (b, f(b)). Considere uma
nova func¸a\u2dco, a func¸a\u2dco diferenc¸a f \u2212 p dada por (f \u2212 p)(x) := f(x)\u2212 p(x).
Enta\u2dco f \u2212 p e´ cont´\u131nua, pelo item 1) do Teorema 1.1. Pela derivada da soma
(Afirmac¸a\u2dco 3.1 Cap´\u131tulo 9):
(f \u2212 p)\u2032(x) = f \u2032(x)\u2212 p\u2032(x).
Agora noto que
(f \u2212 p)(a) = f(a)\u2212 p(a) = 0, e (f \u2212 p)(b) = f(b)\u2212 p(b) = 0,
e portanto estamos em condic¸o\u2dces de aplicar em (f \u2212 p) o Teorema de Rolle: portanto
existe algum x \u2208 (a, b) onde
(f \u2212 p)\u2032(x) = 0,
ou seja onde
f \u2032(x) = p\u2032(x).
2Atenc¸a\u2dco: muitos estudantes confundem o que diz o Teorema de Lagrange com o que diz a
definic¸a\u2dco da Derivada.
CAPI´TULO 10. SINAL DA DERIVADA E CRESCIMENTO 131
Por outro lado p(x) = a1 · x+ a0 ja´ que e´ um polino\u2c6mio de grau \u2264 1 e sua derivada e´
o coeficiente angular da reta: p\u2032(x) \u2261 a1 e sabemos que
a1 =
f(b)\u2212 f(a)
b\u2212 a .
Portanto f \u2032(x) = f(b)\u2212f(a)
b\u2212a como quer´\u131amos.
\ufffd
Mais geral ainda que o T.V. Me´dio de Lagrange e´ o seguinte:
Teorema 1.3. (Teorema do Valor Me´dio de Cauchy)3
Sejam f : [a, b]\u2192 R e g : [a, b]\u2192 R cont´\u131nuas e deriva´veis em (a, b). Enta\u2dco existe
algum x \u2208 (a, b) tal que
f \u2032(x) · (g(b)\u2212 g(a)) = g\u2032(x) · (f(b)\u2212 f(a)).
Demonstrac¸a\u2dco.
Se definimos:
\u3c6(x) := f(x) · (g(b)\u2212 g(a))\u2212 g(x) · (f(b)\u2212 f(a)),
enta\u2dco \u3c6(x) e´ cont´\u131nua em [a, b], deriva´vel em (a, b) e tem
\u3c6(a) = f(a) · g(b)\u2212 g(a) · f(b) = \u3c6(b).
Por Rolle existe x \u2208 (a, b) com:
\u3c6\u2032(x) = 0,
ou seja,
f \u2032(x) · (g(b)\u2212 g(a))\u2212 g\u2032(x) · (f(b)\u2212 f(a)) = 0,
como quer´\u131amos. \ufffd
2. O Teorema 0 das Equac¸o\u2dces Diferenciais
Para motivar o importante Teorema 2.1, comec¸o descrevendo um exemplo.
Imagine um motorista que esta´ dirigindo seu carro do Sul para o Norte numa
rodovia e que ve\u2c6 uma placa indicando que dali a alguns kilo\u2c6metros ha´ um posto da
pol´\u131cia rodovia´ria. Como e´ usual, ele comec¸a a freiar o carro mas o faz assim: comec¸a
pisando no freio assim que ve\u2c6 a placa e vai gradualmente tirando o pe´ do freio de
modo bem cuidadoso, para que bem em frente do posto da pol´\u131cia esteja acabando
de tirar o pe´ do freio e passe enta\u2dco para o acelerador, comec¸ando a acelerar bem
suavemente e depois aumentando a acelerac¸a\u2dco.
Freiar e acelerar sa\u2dco tipos de acelerac¸o\u2dces. Acelerac¸a\u2dco negativa ao freiar e positiva
quando pisamos no acelerador. Como explicamos na Sec¸a\u2dco 4 do Cap´\u131tulo 8, podemos
representar matematicamente o que o motorista fez com as acelerac¸o\u2dces atrave´s da
func¸a\u2dco segunda derivada f \u2032\u2032(x) (Sec¸a\u2dco 5 do Cap´\u131tulo 9), onde f \u2032(x) e´ a func¸a\u2dco que
da´ a velocidade a cada instante e f(x) a posic¸a\u2dco do carro a cada instante. A func¸a\u2dco
3Note que se g(x) := x, reca´\u131mos no Teorema de Lagrange
2. O TEOREMA 0 DAS EQUAC¸O\u2dcES DIFERENCIAIS 132
posic¸a\u2dco sera´ f(x) < 0 ao Sul do