Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes
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Um Curso de Calculo e Equaçoes Diferenciais com Aplicaçoes

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-2

x

3210-1-2

Exerc´ıcio 10.5. (resolvido)
O objetivo deste Exerc´ıcio e´ confeccionar gra´ficos apenas qualitativamente corre-

tos, sem qualquer tipo de calculadora, de polinoˆmios relativamente simples como:
i) y = f1(x) = x

3 − x2
ii) y = f2(x) = x

2 − x3.

CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 157

iii) y = f3(x) = −2x2 + x3
iv): y = f4(x) = x

4 − 2x2.
v): y = f5(x) = 3x

4 − 4x3.
Fac¸a-o seguindo o seguinte roteiro:
a) determine os zeros de f , e em quais intervalos a func¸a˜o f e´ positiva ou negativa.
b) calcule a derivada f ′.
c) determine os zeros da func¸a˜o derivada f ′, e em quais intervalos a func¸a˜o derivada

e´ positiva ou negativa.
d) calcule a segunda derivada e determine onde ela e´ zero, positiva e negativa.
e) com as informac¸o˜es de a), b), c) e d) esboce o gra´fico de f ′′(x); com base nesse,

o de f ′(x) e com base nesse o de f(x).
Dica: em cada item fatore a maior poteˆncia poss´ıvel de x e enta˜o, para examinar

onde cada func¸a˜o e´ positiva e negativa basta usar a regra de multiplicac¸a˜o dos sinais:
+ ·+ = +, + · − = − e − · − = +.

Depois de pensar bastante, pois cada item pode exigir tempo, confira seus resul-
tados com as Soluc¸o˜es no Cap´ıtulo 52.

Exerc´ıcio 10.6. (resolvido)
Suponhamos que, seguindo o roteiro do Exerc´ıcio anterior, voceˆ entendeu o gra´fico

de y = x3 − C · x2, onde C ≥ 1 e´ uma constante.
E que chegou em algo do seguinte tipo:

-40

0

-20

-60

-80

-100

x

420-2-4

Sem fazer nenhuma conta mais, apenas raciocinando geometricamente, como deve
ser o gra´fico de y = x3 + C · x2 ? (para C ≥ 1).
Exerc´ıcio 10.7. Deˆ um exemplo bem simples de uma f : [a, b] → R cont´ınua tal
que f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b). Localize em seu exemplo onde esta˜o o(s) ma´ximo(s) e
mı´nimo(s).

Exerc´ıcio 10.8. Considere o aˆngulo formado no primeiro quadrante pelo eixo dos
y > 0 e a reta y = a · x, onde a > 0 sera´ fixado.

Considere um ponto (A,B) nessa regia˜o (ou seja suponho B > a ·A > 0).

10. EXERCI´CIOS 158

Qual a reta passando por (A,B) forma (no primeiro quadrante) um triaˆngulo com

o eixo dos y > 0 e a reta y = ax de menor A´rea ?
Prove que a menor a´rea e´ 2A · (B −Aa).
A figura ilustra treˆs candidatas:

z

p

rz
tz

z

1

Dica: lembre como calcular a a´rea de um triaˆngulo via determinante.

Exerc´ıcio 10.9. Encontre dois nu´meros x, y pertencentes ao intervalo [0, 1] cuja soma
e´ x+ y = 1 e tais que

i) x2 + y2 e´ ma´ximo (justifique)
ii) x2 + y2 e´ mı´nimo (justifique).
iii): para responder ao i) e ii) voceˆ estudou ma´ximo e mı´nimo de uma func¸a˜o f(x).

Esboce seu gra´fico, indicando onde sua derivada f ′(x) e´ negativa, zero ou positiva.

Exerc´ıcio 10.10. Uma fa´brica de azulejos fabrica pequenos revestimentos ceraˆmicos
(pastilhas) retangulares, que teˆm x cm de largura e y cm de comprimento.

O per´ımetro de cada pastilha sera´ fixado em 2 · (x+ y) = 2.
i) descreva a func¸a˜o que da´ a A´rea de cada pastilha como uma func¸a˜o A(x) so´ de

x.
ii) em qual domı´nio A(x) na˜o e´ negativa ? Onde A(x) se anula ? Onde A(x) e´

positiva ?
iii) Esboce o gra´fico de A(x) (apenas qualitativamente). Como determinar x para

que o valor de A(x) seja ma´ximo ?

iv) qual o formato e medidas da pastilha de maior A´rea ?

Exerc´ıcio 10.11. O custo de fabricac¸a˜o um objeto Retangular e´ dado por C(x, y) =
x3

6
+ y, pois o material usado na fabricac¸a˜o da lateral x e´ muit´ıssimo mais caro que o

da frente y. Supondo que sempre 1 ≤ x e que a A´rea tem que ser igual a 8, quais as
medidas x, y que minimizam o custo de fabricac¸a˜o ?

Exerc´ıcio 10.12. O custo de fabricac¸a˜o um objeto Retangular e´ dado por C(x, y) =
x2 + y, pois o material usado na fabricac¸a˜o da lateral x e´ muito mais caro que o da
frente y. Supondo que sempre 1 ≤ x e que a A´rea tem que ser igual a 16, quais as
medidas x, y que minimizam o custo de fabricac¸a˜o ?

CAPI´TULO 11. APLICAC¸O˜ES DA PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS 159

Um aluno pensou assim sobre esse problema: ja´ que o custo em func¸a˜o de x e´
muito maior que em func¸a˜o de y, por que na˜o usar o mı´nimo de x, ou seja, x = 1 e
y = 16, obtendo a´rea de 16 e custo de 12 + 16 = 17 ?

Sera´ que ele esta´ certo ? Esse e´ mesmo o mı´nimo de custo ?

Exerc´ıcio 10.13. A a´rea de um objeto retangular e´ A(x, y) = xy. O custo da
construc¸a˜o depende das dimenso˜es x e y segundo a fo´rmula C(x, y) = 5x2 + y.

Maxime a a´rea supondo fixado o custo em C(x, y) = 30.

Exerc´ıcio 10.14. Explique com os conceitos do Ca´lculo que relac¸a˜o pode haver entre
os dois gra´ficos apresentados em cada uma das treˆs Figuras que seguem.

ii) Que muda de uma Figura para a outra ? O que na˜o muda ?
iii) destaque propriedades geome´tricas relevantes de cada Figura (mı´nimos/ma´ximos,

inflexo˜es, ra´ızes, etc).

10

0

x

5

2

-5

0-2 1

-10

-1

10

0

x

5

2-2 1-1

-5

0

2

10

6

-2

10-2

4

2

-4

x

8

-1
0

Exerc´ıcio 10.15. Entendendo zeros e sinais de , de sua derivada f ′ e da segunda
derivada f ′′, confeccione o gra´fico de f ′′, o de f ′ e o de f , qualitativamente.

Apresente um gra´fico acima do outro, identificando pontos importantes.

Exerc´ıcio 10.16. Entendendo zeros e sinais de f(x) = x2 − x3, de sua derivada f ′ e
da segunda derivada f ′′, confeccione o gra´fico de f ′′, o de f ′ e o de f , qualitativamente.

Apresente um gra´fico acima do outro, identificando pontos importantes.

Exerc´ıcio 10.17. (resolvido)
Considere a Figura a seguir, que da´ em vermelho o gra´fico de y = x3 restrito a

x ∈ (−2, 1) e, em verde, o gra´fico de x3 − 3x2 + 3x− 2 tambe´m para x ∈ (−2, 1).

10. EXERCI´CIOS 160

Prove que existe uma reta que apenas tangencia o gra´fico verde e que consegue
passar entre os dois gra´ficos sem intersectar o gra´fico vermelho.

Dica: a Figura sugere uma reta, prove que ela satisfaz o que se pede.

Exerc´ıcio 10.18. (resolvido)
Seja f deriva´vel (tantas vezes quanto quiser).
Suponha que y = f(x) esta´ definida na semireta [0,+∞) e tem sempre f ′′(x) < 0

(concavidade para baixo em todo seu domı´nio).
Suponha que em um certo x valem f(x) > 0 e f ′(x) < 0.
Determine um K para o qual se pode garantir que f(x) = 0 em algum ponto

x ∈ [x,K].

CAP´ıTULO 12

Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke

Hooke e´ sempre associado aos temas expostos na pro´xima Sec¸a˜o. Mas sua im-
portaˆncia cient´ıfica vai muito ale´m disso, como mostra o trecho da carta de Hooke
a Newton, de 1689, citado por James Gleick em Isaac Newton, uma biografia, Com-
panhia das Letras, p.132:

Resta agora conhecer as propriedades de uma linha curva [...] feita por uma
forc¸a atrativa central [...] em uma uma proporc¸a˜o duplicada em relac¸a˜o a`s distaˆncias
tomadas reciprocamente. Na˜o duvido que por seu excelente me´todo o senhor desco-
brira´ [...]

1. O cosseno como derivada do seno

No final de Star Wars descobrimos queo mocinho e´ filho do grande vila˜o. Pois
nesta Sec¸a˜o vamos descobrir que o cosseno e´ a derivada do seno !

A derivada do seno em θ = 0 foi vista: sin′(0) = 1 (Sec¸a˜o 5 do Cap´ıtulo 5 da
Parte 1).

Ou seja, sin′(0) = cos(0). Sera´ que isso e´ uma coincideˆncia apenas? Ou sera´ que
sin′(θ) = cos(θ), ∀θ ∈ R ?

Vamos poˆr um gra´fico abaixo do outro e ver se sa˜o os gra´ficos sa˜o coerentes com
o que aprendemos no Cap´ıtulo 7 da Parte 1, sobre como a derivada determina o
comportamento de uma func¸a˜o.

1

0

0,5

-0,5

-1

x

653 420 1

Figura: O gra´fico de y = sin(θ) (vermelho) e y = cos(θ)
(verde), para θ ∈ [0, 2pi].

Observe que:

161

1. O COSSENO COMO DERIVADA DO SENO 162

• em θ = pi
2
≈ 1.6 o seno tem seu ma´ximo e nesse ponto θ = pi

2
o cosseno se

anula, passando de positivo para negativo.
• em θ = pi ≈ 3.1 o cosseno tem seu mı´nimo −1 e nesse ponto θ = pi a inclinac¸a˜o
do gra´fico