lista 03

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO -DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
GEOMETRIA ANALI´TICA - 2015.2
PROFESSOR: EDGAR CORREˆA DE AMORIM FILHO
LISTA DE EXERCI´CIOS
1 Produto Interno
Q - 1) Os lados de um triaˆngulo equila´tero ABC medem 2 . Calcule
〈
~AB; ~BC
〉
+
〈
~BC; ~CA
〉
+
〈
~CA; ~AB
〉
.
Q - 2) Sejam E = {~e1, ~e2} uma base ortonormal. Mostre que se ~u = α~e1 + β~e2 , enta˜o α = 〈~e1; ~u〉 e
β = 〈~e2; ~u〉 .
Q - 3) Calcule a medida, em radianos, do aˆngulo entre ~u e ~v .
(a) ~u = (1, 1) , ~v = (−2, 2) ;
(b) ~u = (0, 1) , ~v = (−3, 3) ;
(c) ~u = (2, 1) , ~v = (−√3,−√3/2) ;
(d) ~u = (300, 300) , ~v = (2000,−1000) .
Q - 4) Determine x de modo que ~u , ~v sejam ortogonais.
(a) ~u = (x, 0) , ~v = (1, x) ;
(b) ~u = (x, x) , ~v = (x, 1) ;
(c) ~u = (x+ 1, 2) , ~v = (x− 1,−1) ;
(d) ~u = (−1, 4) , ~v = (x,−3) .
Q - 5) Determine as coordenadas do vetor ~u ortogonal a (−3, 1) tal que 〈~u; (−1, 1)〉 = 1 .
Q - 6) Encontre todos os vetores que tem norma 3 e sa˜o ortogonais a ~u = (−3,−5) . Quais desses vetores
forma um aˆngulo agudo com (1, 0) .
Q - 7) Sendo ~u e ~v unita´rios, ‖~w‖ = 4 , 〈~u; ~w〉 = −2 , 〈~v; ~w〉 = −4 , e ang(~u,~v) = pi/3 radianos, calcule:
(a) 〈~u+ ~v + ~w; ~u〉 ;
(b) 〈2~u− ~v + ~w;−~u+ ~v〉 ;
(c) 〈5~u− ~w; ~w − 2~u〉 ;
(d) 〈~w − ~v + ~u;−~u+ 2~w + ~v〉 .
Q - 8) Sejam ~u, ~v, ~a e ~b vetores na˜o nulos tais que ~u = α~a e ~v = β~b . Mostre que ang(~u,~v) = ang(~a,~b)
se αβ > 0 e ang(~u,~v) = pi − ang(~a,~b) se αβ < 0 . Conclua que ang(~u,~v) = ang
(
~u
‖~u‖ ,
~v
‖~v‖
)
.
Q - 9) Sabendo que ~u+ ~v + ~w = ~0 , ‖~u‖ = 3/2 , ‖~v‖ = 1/2 e ‖~w‖ = 2 , calcule 〈~u;~v〉+ 〈~v; ~w〉+ 〈~w; ~u〉 .
Q - 10) Na figura ao lado, a circunfereˆncia tem centro O e raio r . Calcule〈
~BA; ~BC
〉
em func¸a˜o de r e das medidas α e β dos aˆngulos
indicados. Aplique o resultado para provar que todo aˆngulo inscrito
em uma semicircunfereˆncia e´ reto.
A
O
B
C
α
β
Q - 11) Sabendo que ~u e´ unita´rio, ‖~v‖ = 2 , e que a medida do aˆngulo entre ~u e ~v e´ 2pi/3 , calcule:
(a) ‖2~u+ 4~v‖ ;
(b) ‖3~v −√2~u‖ ;
(c) ang(2~u+ 4~v, 3~v −√2~u) ;
(d) ang(2~u+ ~v,~v − 2~u) .
Q - 12) Os lados do quadrado abaixo medem 3 e M e´ o ponto me´dio do lado BC .
(a) Escreva ~DM e ~BD como combinac¸a˜o linear de ~DC e
~DA .
(b) Calcule a medida do aˆngulo BAˆM .
D
A
C
B
M
Q - 13) Prove que 4 〈~u;~v〉 = ‖~u + ~v‖2 − ‖~u − ~v‖2 e conclua que as diagonais de um paralelogramo tem
comprimentos iguais se, e somente se, o paralelogramo e´ um retaˆngulo.
Q - 14) Prove que 〈~u+ ~v; ~u− ~v〉 = ‖~u‖2 − ‖~v‖2 e conclua que as diagonais de um paralelogramo sa˜o perpen-
diculares se, e somente se, o paralelogramo e´ um losango.
Q - 15) Calcule a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre ~u em cada caso.
(a) ~u = (2,−1), ~u = (−3, 4) ;
(b) ~u = (1, 1), ~v = (−5, 5) ;
(c) ~u = (3,−1), ~v = (−6, 2) .
Q - 16) Decomponha o vetor ~v = (−1,−3) como soma de dois vetores ~p e ~q onde ~p e´ paralelo e ~q e´
ortogonal a ~u = (−7, 3) .
Q - 17) Prove que proj~u~v = ~v se, e somente se, ~u e ~v sa˜o paralelos.
Q - 18) em relac¸a˜o a uma base ortonormal, sabe-se que ~AB = (−1, 3) e ~AC = (3√2,√2) . Calcule o compri-
mento da altura relativa ao ve´rtice A e a a´rea do triaˆngulo ABC .
B
A
C
D
h