lista 04

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO -DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
GEOMETRIA ANALI´TICA - 2015.2
PROFESSOR: EDGAR CORREˆA DE AMORIM FILHO
3o LISTA DE EXERCI´CIOS
1 Equac¸o˜es da Reta
Q - 1) Sejam P = (1; 2) , ~u = (−3; 1) e ~v = (1; 1) . Obtenha o par de coordenadas de (P − 2~u) + ~v .
Q - 2) Dados A = (5; 3) e B = (1; 0) , calcule as coordenadas
dos pontos C e D , que determinam em AB treˆs
segmentos congruentes.
A
C
D
B
Q - 3) Determine as coordenadas do ponto Q , sime´trico de P = (1; 3) em relac¸a˜o a M = (2;−1) .
Q - 4) Seja r a reta que passa por P = (2;−3) e Q = (0; 2) . Encontre a equac¸a˜o reduzida da reta s ,
sime´trica de r em relac¸a˜o a reta i : 2x− 3y + 1 = 0 .
Q - 5) Encontre as coordenadas de C de modo que A = (1;−1) , B = (0; 1) e C sa˜o ve´rtices de um
triaˆngulo equila´tero.
Q - 6) Mostre que os pontos A = (−2,−2), B = (−1, 1), C = (4, 2) e D = (3;−1) sa˜o ve´rtices de um
paralelogramo.
Q - 7) Mostre que os pontos A = (0;−2), B = (3;−1), C = (−1;−3) e D = (−1;−1) sa˜o ve´rtices de um
trape´zio e diga quais sa˜o as bases, os lados na˜o-paralelos e as diagonais.
Q - 8) Escreva equac¸o˜es vetorial e parame´tricas da reta que passa por B = (−5; 2) e C = (7;−4) . Verifique
se D = (3;−2) pertence a essa reta.
Q - 9) Escreva equac¸o˜es parame´tricas dos eixos coordenados.
Q - 10) Obtenha dois pontos e dois vetores diretores da reta de equac¸o˜es parame´tricas{
x = 1− t
y = t.
Verifique se os pontos P = (1; 3) e Q = (−3; 4) pertencem a` reta.
Q - 11) Obtenha equac¸o˜es parame´tricas da reta que conte´m o ponto (1; 4;−7) e e´ paralela a reta de equac¸o˜es
parame´tricas {
x = 200− λ
y =
√
3− 3λ.
Q - 12) Sejam B = (1; 0) e C = (−1; 1) . Escreva equac¸o˜es parame´tricas da reta que conte´m o ponto (3; 3) e
e´ paralela a` reta BC .
Q - 13) Escreva equac¸a˜o geral da reta determinada pelo ponto (−1;−4) e pelo ponto me´dio do segmento de
extremidades (1; 5) e (3;−3) .
Q - 14) Mostre que A = (3;−7) , B = (−5; 2) e C = (4;−6) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo e escreva equac¸o˜es
parame´tricas da reta que conte´m a mediana relativa ao ve´rtice C .
Q - 15) Verifique que os pontos A = (0; 1) , B = (1;−1) e C = (1; 2) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo e escreva
uma equac¸a˜o vetorial da reta que conte´m a altura relativa ao ve´rtice B .
Q - 16) Dois corpos c1 e c2 se deslocam no plano cartesiano ao longo de trajeto´rias descritas pelas equac¸o˜es
c1 :
{
x = 2− 3t
y = −1 c2 :
{
x = t− 4
y = 6− 4t ,
onde t e´ a unidade de tempo.
(a) Determine a origem da trajeto´ria dos dois corpos.
(b) Verifique se existe algum ponto na intersec¸a˜o das trajeto´rias.
(c) Os corpos ira˜o colidir? Justifique sua resposta.
Q - 17) Sejam r : y = m1x+ n1 e s : y = m2x+ n2 .
(a) Encontre e demonstre uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente sobre os coeficientes m1, m2, n1 e n2
para que as retas r e s sejam paralelas.
(b) Encontre e demonstre uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente sobre os coeficientes m1, m2, n1 e n2
para que as retas r e s sejam perpendiculares.
Q - 18) Sejam r : A1x+B1y + C1 = 0 e s : A2x+B2y + C2 = 0 .
(a) Encontre e demonstre uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente sobre os coeficientes A1, A2, B1, B2, C1
e C2 para que as retas r e s sejam paralelas.
(b) Encontre e demonstre uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente sobre os coeficientes A1, A2, B1, B2, C1
e C2 para que as retas r e s sejam perpendiculares.
2 Aˆngulo entre Retas
Q - 19) Calcule a medida θ do aˆngulo entre r e s .
(a) r : x+ 2y − 3 = 0 e s : 2x+ 3y − 5 = 0 ;
(b) r : 5x+ 3y = 15 e s :
{
x = t+ 1
y = 2t
;
(c) r : (x; y) = (−1; 1) + λ(3;−2) e s : y = −5x+ 2 ;
(d) r :
{
x = 7− 2t
y = t+ 1
e s : (x; y) = (−3;−4) + λ(2;−1) .
Q - 20) Determine equac¸a˜o reduzida de todas as retas que passam por P = (6;−5) e formam pi/4 radianos
com a reta r de equac¸a˜o geral 5x+ 7y + 1 = 0 .
Q - 21) Encontre uma equac¸a˜o geral para a reta que passa por P = (3; 0) e forma aˆngulos congruentes com as
retas r : y = 2x e s : x = 2y .
3 Distaˆncias
Q - 22) Calcule a distaˆncia entre os pontos A e B abaixo:
(a) A = (1, 3) e B = (2,−1) ;
(b) A = (0,−2) e B = (4,−7) ;
(c) A = (2− 3t, t) e B = (1, 1) ;
(d) A = (1 + t, 3t+ 1) e B = (2− s,−9 + 3s) .
Q - 23) Determine uma equac¸a˜o para o lugar geome´trico dos pontos do plano que equidistam de A = (−3, 7)
e B = (4, 3) . Descreva o conjunto.
Q - 24) Encontre x de modo que A = (x, 3) esteja a mesma distaˆncia de B = (−1, 4) e C = (5, 2) .
Q - 25) Calcule as coordenadas do ponto P da reta r :
{
x = 2t+ 3
y = −1− 7t que equidista dos pontos A = (2,−1)
e B = (3, 5) .
Q - 26) Encontre uma equac¸a˜o para o lugar geome´trico dos pontos do plano que distam 2 de C = (−1, 4) .
Descreva esse lugar geome´trico.
Q - 27) Encontre o lugar geome´trico dos pontos X = (x, y) tais que |d(X,A) − d(x,B)| = 2√2 , onde A =
(
√
2,
√
2) e B = (−√2,−√2) .
Mais exerc´ıcios: Geometria Anal´ıtica (Reis e Silva), pa´ginas 53, 54 e 55: 49-61.