EDO I Professora Kashimoto P3 2014

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
3a PROVA DE MAT 021 - EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS I
NOME: MATR:
CURSO: DATA: 24/11/14
Observac¸a˜o: na˜o sera˜o aceitas respostas sem ca´lculos e justificativas.
1a Questa˜o - 50pt. Considere o sistema de equac¸o˜es diferenciais
(∗)

dx1
dt
= 3x1 − x2 + 4e2t
dx2
dt
= −x1 + 3x2 + 4e4t
.
(a) Use o me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros (para sistemas) para encontrar uma soluc¸a˜o par-
ticular do sistema de equac¸o˜es diferenciais (∗) e escreva a soluc¸a˜o geral desse sistema no
intervalo (−∞,∞).
(b) Use o me´todo da diagonalizac¸a˜o para encontrar a soluc¸a˜o geral do sistema de equac¸o˜es dife-
renciais (∗).
2a Questa˜o - 25pt. Use o me´todo dos autovalores para encontrar a soluc¸a˜o do problema de
valor inicial 
dx1
dt
= 2x1 + 4x2
dx2
dt
= −x1 + 6x2
x1(0) = −1, x2(0) = 6
no intervalo (−∞,∞).
3a Questa˜o - 25pt.
(a) Demonstre que x0 = 0 e´ um ponto ordina´rio da equac¸a˜o diferencial y
′′ + 3xy′ + 3y = 0.
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y′′ + 3xy′ + 3y = 0, na forma
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n = a0y1(x) + a1y2(x), x ∈ (−∞,∞)
onde y1 e y2 sa˜o representadas por se´ries de poteˆncias em torno do ponto x0 = 0 e prove que
y1 e y2 sa˜o linearmente independentes em (−∞,∞).
FORMULA´RIO
1. Φ(t)U ′(t) = G(t)
2. X(t) = (Eλt + F )e
λt