Revisão de Probabilidade em Matemática Atuarial

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Matemática atuarial 
Aula 1-Revisão de Probabilidade 
Danilo Machado Pires 
Revisão de probabilidade 
 Por melhor que seja um modelo, ele sempre estará envolto por 
um certo grau de incerteza. 
 
 Modelos determinísticos 
 Condições bastante controladas, 
 Variações desprezadas 
 
 Modelos probabilísticos 
 Controle total e inviabilizado 
 Variações não podem ser ignoradas. 
Revisão de probabilidade 
 Fenômeno aleatório é todo aquele que quando observado 
repetidamente sob as mesmas condições produz resultados 
diferentes. 
 Quando a repetição do fenômeno é controlada pelo experimentador, é dito ser um 
experimento probabilístico. 
 
 Espaço amostral 𝛀 é o conjunto de todos os possíveis 
resultados de um fenômeno aleatório. 
 Evento é qualquer subconjunto do espaço dos resultados. 
 EXEMPLO 1: 
 Defina os seguintes espaços amostrais. 
 
1) Jogar um dado; 
Ω = 
2) Altura dos alunos da Unifal 
Ω = 
3) Tempo de vida restante de uma pessoa (você) 
Ω = 
 
Revisão de probabilidade 
 
1) Jogar um dado; 
Ω = 0,1,2,3,4,5,6 
 
2) Altura dos alunos da Unifal; 
 
Ω = 𝑥 ∈ ℝ: 1,5 ≤ 𝑥 ≤ 2 
 
3) Tempo de vida restante de uma pessoa (você); 
 
Ω = 𝑡 ∈ ℝ: 0 ≤ 𝑡 
 
Revisão de probabilidade 
 Conceito de Probabilidade 
 Teoria clássica 
 Dado o espaço de resultados Ω, constituído por um número finito de 𝑛 elementos igualmente prováveis, 
todos eles igualmente possíveis, define-se a probabilidade de acontecimento de 𝐴, e representa-se por 𝑃 𝐴 , 
como sendo a ração de resultados favoráveis 𝐴 e o número de resultados possíveis. 
 
𝑃 𝐴 =
𝑛°𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴
𝑛° 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
 
 
 Teoria Frequentista 
 Na observação de um certo fenômeno através de um experimento, a probabilidade de um certo evento 𝐴 é 
definida como a sua frequência observada, à medida que o número de ensaios tende para o infinito. 
𝑃 𝐴 = lim
𝑛→∞
𝑛𝐴
𝑛
 
 Em que 𝑛𝐴 é o número de ensaios em que o evento 𝐴 foi observado, e 𝑛 o número total de ensaios. À medida 
que o número de repetições da experiência aleatória aumenta, a frequência relativa com quer se realiza A 
tende a estabilizar para um valor entre 0 e 1. 
 
 Probabilidade subjetiva e lógica 
 Define-se como uma medida do grau de confiança de uma pessoa em relação a uma proposição. Ela é função 
da quantidade de informação disponível pela pessoa, e possui a restrição de que deve obedecer a critérios de 
consistência, obedecendo aos axiomas de probabilidade. 
 
Revisão de probabilidade 
 Definição formal de probabilidade 
 Seja o espaço amostral Ω um conjunto não vazio. Uma 
probabilidade em Ω é uma função de conjunto 𝑃 que associa a 
subconjuntos 𝐴 de Ω um numero real 𝑃(𝐴) que satisfaz os axiomas 
de Kolmogorov: 
 
I) Para todo 𝐴 ⊆ Ω , 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1; 
II) P Ω = 1 
III) Se𝐴 ⊆ Ω , B ⊆ Ω e 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ então 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 
I) Se 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 Forem, dois a dois, eventualmente excludentes 
(disjuntos), então: 
𝑃 ∪𝑖=1
∞ 𝐴𝑖 = 𝑃 𝐴𝑖
∞
𝑖=1
 
 
 
 
 
Revisão de probabilidade 
 Variável aleatória: é uma função que associa a cada elemento de 
Ω um número real. 
 
 
 EXEMPLO 2: 
 Sabe-se que uma fabrica 25% dos itens produzidos apresentam 
algum problema de fabricação: 
 Itens defeituosos 𝐷 → 𝑃 𝐷 =
1
4
 
 Itens perfeitos 𝑃𝑒 → 𝑃 𝑃𝑒 =
3
4
 
 
 
 
Revisão de probabilidade 
 
 Para uma amostra 𝑛 = 2 peças retiradas é possível construir uma tabela 
onde 𝑋 é o número de peças defeituosas que pode ocorrer e 𝑃(𝑋) será a 
probabilidade do resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑋 0 1 2 
(𝑃𝑒, 𝑃𝑒) (𝐷, 𝑃𝑒)(𝑃𝑒, 𝐷) (𝐷, 𝐷) 
𝑃(𝑋) 3
4
∗
3
4
=
9
16
 
1
4
∗
3
4
+
3
4
∗
1
4
=
6
16
 
1
4
∗
1
4
=
1
16
 
Revisão de probabilidade 
 Variáveis Aleatórias Discretas 
 
 Assume somente um 
número enumerável de valores 
(finito ou infinito). 
 
• 𝑃 𝑋 = 𝑥 Função de probabilidade (fp) 
 
• 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 ≥ 0 para todo i. 
 
• 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 1
∞
𝑖=1 
 
 
 
 
 
 
Revisão de probabilidade 
 Variáveis aleatórias contínuas 
 
 
 Corresponderem aos 
dados de medida, pertencentes 
aos ℝ, assim como para variáveis 
continuas em geral.... 
 
• 𝑓 𝑥 Função de densidade (f.d.p) 
• 𝑓(𝑥) ≥ 0 para qualquer valor de 𝑥 
• ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
 
• 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função de distribuição de probabilidade, simplesmente função de 
distribuição. 
 
Em geral ela é representada por 𝐹 𝑥 , ou Φ(𝑥). 
 
𝐹 𝑥𝑘 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥𝑘 =
 𝑓𝑋 𝑧 𝑑𝑧
𝑥𝑘
−∞
 
 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
𝑘
𝑖=0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão de probabilidade 
 EXEMPLO 3: 
a) 
 
 
 
b) 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
0,6 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0,4 𝑠𝑒 𝑥 = 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
c) 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
0,7 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0,5 𝑠𝑒 𝑥 = 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
Revisão de probabilidade 
𝑿 1 2 3 4 
𝑃(𝑋) 0,1 0,2 0,3 0,4 
d) 
𝑓 𝑥 = 
6
5
(𝑥2 + 𝑥)
0
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
𝑐. 𝑐.
 
 
e) 
 
𝑓 𝑥 = 2𝑒−2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
f) 
 
𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥 +
1
10
 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
−
3
40
𝑥 +
9
20
, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 6
0, 𝑐. 𝑐.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ...a motivação histórica: uma forma de avaliar ganhos em jogos 
com apostas a dinheiro 
 
 Representa o ponto de equilíbrio da distribuição de seus valores. 
 
 ...serve como parâmetro para vários modelos como Poisson e 
Normal. 
 Esperança de variáveis aleatórias 
Revisão de probabilidade 
 
 
 
 A esperança de uma variável aleatória 𝑋 é dada por: 
 
 Variáveis aleatórias discretas 
𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
∞
𝑖=1
= 𝜇 
 
 Variáveis aleatórias Continuas 
𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
= 𝜇 
 
 
 
 Esperança de variáveis aleatórias 
Revisão de probabilidade 
 
 
 Seja 𝑋 uma variável aleatória e 𝑔 . uma função, ambos com 
domínio e contradomínio real. O valor esperado do valor da função 
𝑔 𝑋 . Denotado por 𝐸 𝑔 𝑋 é definido por: 
 
𝐸 𝑔 𝑋 =
 𝑔 𝑥𝑗 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑗 ,
𝑗
 𝑋 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜
 
 𝑔 𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
, 𝑋 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑜
 
 
 
 
 Esperança de uma função de variáveis aleatórias 
a) 
 
 
 
b) 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
0,6 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0,4 𝑠𝑒 𝑥 = 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
c) 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
0,7 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0,5 𝑠𝑒 𝑥 = 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
𝑿 1 2 3 4 
𝑃(𝑋) 0,1 0,2 0,3 0,4 
d) 
𝑓 𝑥 = 
6
5
(𝑥2 + 𝑥)
0
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
𝑐. 𝑐.
 
 
e) 
 
𝑓 𝑥 = 2𝑒−2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
f) 
 
𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥 +
1
10
 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
−
3
40
𝑥 +
9
20
, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 6
0, 𝑐. 𝑐.
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a esperança probabilística para os modelos a baixo (caso o modelo seja 
probabilístico) 
Matemática atuarial 
Aula 2-Juros e Inflação 
Danilo Machado Pires 
a) 
 
 
 
b) 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
0,6 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0,4 𝑠𝑒 𝑥 = 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
c) 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
0,7 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0,5 𝑠𝑒 𝑥 = 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
𝑿 1 2 3 4 
𝑃(𝑋) 0,1 0,2 0,3 0,4 
d) 
𝑓 𝑥 = 
6
5
(𝑥2 + 𝑥)
0
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
𝑐. 𝑐.e) 
 
𝑓 𝑥 = 2𝑒−2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
f) 
 
𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥 +
1
10
 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
−
3
40
𝑥 +
9
20
, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 6
0, 𝑐. 𝑐.
 
 
 
 
 
 
 
Calcule a esperança probabilística para os modelos a baixo (caso o modelo seja 
probabilístico) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
𝑓 𝑥 = 
6
5
(𝑥2 + 𝑥)
0
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
𝑐. 𝑐.
 
 
 
6
5
𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑥
1
0
=
6
5
1
3
+
1
2
− 0,3
0
3
+
0
2
=
6
5
5
6
= 1 
 
 
e) 
 
𝑓 𝑥 = 2𝑒−2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
 2𝑒−2𝑥𝑑𝑥
∞
0
= lim
𝑥→∞
−
1
𝑒2𝑥
− −
1
𝑒2 0
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥 +
1
10
 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
−
3
40
𝑥 +
9
20
, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 6
0, 𝑐. 𝑐.
 
 
 
 
1
10
𝑥 +
1
10
𝒅𝒙
∞
𝟎
+ −
3
40
𝑥 +
9
20
𝒅𝒙
∞
𝟎
 
 
𝑥2
20
+
𝑥
10
 
0
2
+ −
3𝑥2
80
+
9𝑥
20
 
2
6
 
2
5
+
3
5
= 1 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
0,6 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0,4 𝑠𝑒 𝑥 = 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
Variáveis aleatórias 
𝑋 1 2 3 4 
𝑃(𝑋) 0,1 0,2 0,3 0,4 
d) 
𝑓 𝑥 = 
6
5
(𝑥2 + 𝑥)
0
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
𝑐. 𝑐.
 
 
e) 
 
𝑓 𝑥 = 2𝑒−2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
f) 
 
𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥 +
1
10
 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
−
3
40
𝑥 +
9
20
, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 6
0, 𝑐. 𝑐.
 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
𝐸 𝑋 = 1 ∗ 0,1 + 2 ∗ 0,2 + 3 ∗ 0,3 + 4 ∗ 0,4 = 3 
 
b) 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
0,6 𝑠𝑒 𝑥 = 0
0,4 𝑠𝑒 𝑥 = 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
 
 
 
𝐸 𝑋 = 0 ∗ 0,6 + 1 ∗ 0,4 = 0,4 
 
𝑿 1 2 3 4 
𝑃(𝑋) 0,1 0,2 0,3 0,4 
d) 
𝑓 𝑥 = 
6
5
(𝑥2 + 𝑥)
0
 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
𝑐. 𝑐.
 
 
 
𝐸 𝑋 = 𝑥
6
5
𝑥2 + 𝑥 𝑑𝑥
1
0
=
6
20
𝑥4 +
6𝑥3
15
 
0
1
=
7
10
 
 
 
 
 
e) 
𝑓 𝑥 = 2𝑒−2𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
𝐸 𝑋 = 2𝑥𝑒−2𝑥𝑑𝑥
∞
0
= 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 
𝑢 = 2𝑥 → 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 𝑑𝑣 = 𝑒−2𝑥𝑑𝑥 → 𝑣 = −
𝑒−2𝑥
2
 
 
𝐸 𝑋 = 2𝑥 −
𝑒−2𝑥
2
 
0
∞
− −
𝑒−2𝑥
2
2𝑑𝑥
∞
0
= −𝑥𝑒−2𝑥 
0
∞
 −
𝑒−2𝑥
2
 
0
∞
 
 
𝐸 𝑋 = − lim
𝑥→∞
𝑥
𝑒2𝑥
+
0
1
− lim
𝑥→∞
1
2𝑒2𝑥
−
1
2
=
1
2
 
 
 
 
 
f 
𝑓 𝑥 =
1
10
𝑥 +
1
10
 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
−
3
40
𝑥 +
9
20
, 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 6
0, 𝑐. 𝑐.
 
 
𝐸(𝑋) = 𝑥
1
10
𝑥 +
1
10
𝑑𝑥
2
0
+ 𝑥 −
3
40
𝑥 +
9
20
𝑑𝑥
6
2
 
 
𝐸(𝑋) = 
𝑥3
30
+
𝑥2
20
 
0
2
+ −
3𝑥3
120
+
9𝑥2
40
 
2
6
 
 
𝐸(𝑋) =
8
30
+
4
20
+ −
648
120
+
324
40
− −
24
120
+
36
40
 
 
𝐸(𝑋) =
7
15
+
27
10
−
7
10
=
37
15
 
 
 
 
 
 
 
 Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades 
constatou-se que: 
 
 Bens e os serviços poderiam ser consumidos e guardados para o consumo 
futuro. 
 
 Consumo  Falta 
 
 Acúmulo  Estoque ( ..Gerar novos bens através do processo produtivo ) 
 
 Estoques 
 Bens 
 Valores monetários 
 Podem aumentar gradativamente conforme a utilidade temporal. 
 Juros 
 
 
 As principais variáveis envolvidas no processo de 
quantificação financeira: 
 
 
 Capital 𝑷 : Todo acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo, a riqueza, 
também chamado de principal. 
 
 Unidade de tempo (𝒏): é a unidade temporal geralmente expressa anos, trimestres, meses ... 
 
 Taxa de juros 𝒊 : é a taxa de incremento que o capital sobre por unidade de tempo. 
 
 Juros 𝑱 : é a remuneração de um capital 𝑷 aplicada a uma certa taxa 𝒊 durante um determinado 
período 𝒏, ou seja, preço do crédito. 
 
 
 Juros 
 
 
 A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais 
destacam-se: 
 
 
 Inflação: A diminuição do poder aquisitivo da moeda num 
determinado período de tempo...; 
 
Riscos: Eventos que podem causar desequilíbrio ao 
patrimônio. 
 
Outros: Aquisição ou oferta de empréstimo a terceiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Juros 
 
 
 Quando o juro incide no decorrer do tempo sempre sobre o 
capital inicial, dizemos que temos um sistema de capitalização 
simples. 
 
Juros simples 
𝐽 = 𝑃. 𝑖. 𝑛 
 Juros produzidos depois de 𝑛 períodos, do capital 𝑃 Aplicado a 
uma taxa de juros 𝑖. 
 
Montante 𝑴 
𝑀 = 𝑃 1 + 𝑖. 𝑛 
 
 Capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. 
 Juros Simples 
 
 
 EXEMPLO 5: 
 Faz-se um deposito de $1000 em uma conta que paga 0,5% 
de juros simples, mensalmente. Determine uma sequência que 
represente os saldos mensais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Juros Simples 
𝒏 Juros Simples por período 𝐽 Montante 𝑀 
1 1000 0,005 = 5 1000 1 + 0,005.1 = 1005 
2 1000 0,005 = 5 1000 1 + 0,005.2 = 1010 
3 1000 0,005 = 5 1000 1 + 0,005.3 = 1015 
4 1000 0,005 = 5 1000 1 + 0,005.4 = 1020 
 
 
 EXEMPLO 6: 
 Calcule o montante ao final de dez anos de um capital 
𝑅$10000,00 aplicada à taxa de juros simples de 18% ao semestre 
18% 𝑎. 𝑠 . 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 Juros Simples 
 
 
 EXEMPLO 6: 
 Calcule o montante ao final de dez anos de um capital 
𝑅$10000,00 aplicada à taxa de juros simples de 18% ao semestre 
18% 𝑎. 𝑠 . 
Resp.: 
 
Em 10 anos existem 20 semestres, logo: 
 
𝑀 = 10000 1 + 0,18.20 = 𝑅$46000,00 
 
O juro produzi nesse período foi de: 
 
𝐽 = 10000 0,18.20 = 𝑅$36000,00 
 
 
 
 
 Juros Simples 
 
 
 Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com 
os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de 
capitalização composta. 
 
 Considera que os juros formados em cada período são 
acrescidos ao capital formando um montante, capital mais 
juros, do período. 
 
Cada montante formado é constituído do capital inicial, 
juros acumulados e dos juros sobre juros formados em 
período anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Juros Compostos 
 
 
 EXEMPLO 7: 
 
 Faz-se um deposito de $1000 em uma conta que paga 0,5% de juros, 
composto mensalmente. Determine uma sequencia que represente os saldos 
mensais. 
 
1° mês 𝑀1 = 1000 + 1000. 0,005 = 𝟏𝟎𝟎𝟎. (𝟏, 𝟎𝟎𝟓) 
 
2° mês M2 = M1 + M1 . 0,005 = 𝑀1 1,005 = 𝟏𝟎𝟎𝟎. (𝟏, 𝟎𝟎𝟓) 1,005 = 1000 1,005
2 
 
3° mês M3 = 𝑀2 + M2. 0,005 = 𝑀2 1,005 = 1000 1,005
2 . 1,005 = 1000 1,005 3 
 
4° mês M4 = 𝑀3 + M3. 0,005 = 𝑀3 1,005 = 1000 1,005
3 . 1,005 = 1000 1,005 4 
 
… 
 
𝐌𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏, 𝟎𝟎𝟓
𝒏 
 
 Juros Composto 
 
 
 EXEMPLO 7: 
 Faz-se um deposito de $1000 em uma conta que paga 0,5% de 
juros , mensalmente. Determine uma sequencia que represente os saldos 
mensais (juros por período e montante) pelo capitalização simples e 
composta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na prática, as empresas, órgãos governamentais e 
investidores utilizam os juros compostos. 
 
 
 Juros Compostos 
𝒏 Juros Simples 𝐽 Montante 𝑀 Juros compostos (J) Montante (𝑀) 
1 1000.0,005 = 5 1000 1 + 0,005.1 = 1005 1000 . (0,005) = 5 1000 1 + 0,005 1 = 1005 
2 1000.0,005 = 5 1000 1 + 0,005.2 = 1010 1005 . (0,005) = 5,0251000 1 + 0,005 2 = 1010,025 
3 1000.0,005 = 5 1000 1 + 0,005.3 = 1015 1010,025 . (0,005) = 5,0501 1000 1 + 0,005 3 = 1015,075 
4 1000.0,005 = 5 1000 1 + 0,005.4 = 1020 1015,075 . (0,005) = 5,0753 1000 1 + 0,005 4 = 1020.151 
𝐽 = 𝑃. 𝑖 𝑀𝑛 = 𝑃 1 + 𝑖. 𝑛 𝐽𝑛 = M𝑛−1. 𝑖 M𝑛 = 𝑃 1 + 𝑖
𝑛 
 
 
 EXEMPLO 8: 
 
 João teve seu carro roubado. Ao comunicar o sinistro para a 
seguradora, recebeu a seguinte proposta como indenização: 
𝑅$20000,00 agora ou 𝑅$21211,92 daqui a 60 dias. Qual a taxa de 
juros mensal utilizada pela seguradora? 
 
𝑀 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 
𝑀 = 21211,91 𝑃 = 20000 𝑛 = 60𝑑𝑖𝑎𝑠 → 2𝑚ê𝑠 
 Juros Compostos 
 
 
 EXEMPLO 8: 
 João teve seu carro roubado. Ao comunicar o sinistro 
para a seguradora, recebeu a seguinte proposta como 
indenização: 𝑅$20000,00 agora ou 𝑅$21211,92 daqui a 60 
dias. Qual a taxa de juros mensal utilizada pela seguradora? 
 
𝑀 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 
𝑀 = 21211,91 𝑃 = 20000 𝑛 = 60𝑑𝑖𝑎𝑠 → 2𝑚ê𝑠 
 
21211,92 = 20000 1 + 𝑖 2 
1,0606 = 1 + 𝑖 2 
1,0606
1
2 = 1 + 𝑖 
1,03 = 1 + 𝑖 
 𝑖 = 0,03 → 3% 𝑎𝑜 𝑚ê𝑠 
 Juros Compostos 
 
 
Taxas proporcionais 
 
 São taxas que se relacionam linearmente (juros simples). 
Exemplo9: 
 
 Fulano empresta 𝑅$2000,00 a sua irmã, cobrando 4% ao mês. Quanto receberá daqui 
12 meses? 
 
𝑀 = 2000 1 + 0,04. (12 ) = 𝑅$2960,00 
Essa taxa é proporcional a 0,04 ∗ 2 ao bimestre, assim 12 meses são 6 bimestres. 
𝑀 = 2000 1 + 0,08 6 = 𝑅$2960,00 
 
Taxas equivalente 
 As taxas não se relacionam de forma linear (juros compostos). 
Exemplo10: 
 Fulano empresta 𝑅$2000,00 a sua irmã, cobrando 4% ao mês. Quanto receberá daqui 
12 meses? 
𝑀 = 2000 1 + 0,04 12 = 𝑅$3202,06 
Diferente de: 
𝑀 = 2000 1 + 0,08 6 = 𝑅$3173,74 
 Juros Compostos 
 
 
Taxas equivalente 
 As taxas equivalente são chamadas assim pois apesar de serem diferentes, 
se aplicadas a um mesmo capital, produzem e uma mesma data o mesmo 
montante. 
Exemplo11: 
 Fulano empresta 𝑅$2000,00 a sua irmã, cobrando 4% ao mês. Quanto 
receberá daqui 12 meses? 
 
𝑀 = 2000 1 + 0,04 12 = 𝑅$3202,06 
E em relação ao bimestre? 
 Juros Compostos 
 
 
Taxas equivalente 
 As taxas equivalente são chamadas assim pois apesar de serem diferentes, 
se aplicadas a um mesmo capital, produzem e uma mesma data o mesmo 
montante. 
Exemplo11: 
 Fulano empresta 𝑅$2000,00 a sua irmã, cobrando 4% ao mês. Quanto 
receberá daqui 12 meses? 
 
1 + 0,04 12 = 1 + 𝑖 6 
𝑖 = 0,0816 
Essa taxa é equivale a 0,0816 ao bimestre, assim 12 meses são 6 bimestres. 
𝑀 = 2000 1 + 0,0816 6 = 𝑅$3202,06 
 
 Juros Compostos 
Matemática atuarial 
Aula 3-Juros e Inflação 
Danilo Machado Pires 
 
 
 
 
𝑀 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 
 
O capital 𝑃 também é chamado de valor presente, F0, (𝑉. 𝑃. ) e o montante 𝑀 de valor 
futuro, 𝐹 (𝑉. 𝑃. ), assim: 
 
𝐹 = 𝐹0 𝑖 + 1
𝑛 
Logo: 
 
𝐹0 =
1
1 + 𝑖 𝑛
𝐹 
 
𝐹𝐶𝐶 𝑖, 𝑛 = 1 + 𝑖 𝑛 : fator de capitalização ( O incremento no valor presente até se 
tornar valor futuro). 
 
 FAC i, n = 𝑣 =
1
1+𝑖
 é chamado de fator de atualização do capital, ou fator de desconto ( 
O decremento no valor futuro até voltar ao valor presente). 
 
 Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro 
 
 
 EXEMPLO 12: 
 
 Quando deve ser investido agora para acumular 𝑅$200,00 ao 
final de 3 anos à taxa de 5% a.a? 
 
 
 
 
 
 
 Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro 
 
 
 EXEMPLO 12: 
 Quando deve ser investido agora para acumular 𝑅$200,00 ao 
final de 3 anos à taxa de 5% a.a? 
 
𝐹0 =
1
1 + 𝑖 𝑛
𝐹 
𝐹0 =
1
1 + 0,05 3
200 = 𝑅$172,77 
 
 O valor de 𝑅$172,77 é o valor presente necessário para que 
se tenha R$200,00 depois de 3 anos de rendimento a uma taxa de 
5% ao ano. 
 
 
 
 
 
 Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro 
 
 
 EXEMPLO 13: 
 Qual o valor de resgate de uma aplicação de 𝑅$12000,00 em 
um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a. 
m.? 
 
 
 
 
 
 
 Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro 
 
 
 EXEMPLO 13: 
 Qual o valor de resgate de uma aplicação de 𝑅$12000,00 em 
um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a. 
m.? 
 
𝐹 = 𝐹0 𝑖 + 1
𝑛 
 
𝐹 = 12000 1 + 0,035 8 = 𝑅$15801,71 
 
 
 
 Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro 
 
 
 EXEMPLO 14: 
 Se uma pessoa deseja obter 𝑅$27500,00 dentro de um ano, 
quanto deverá ela depositar hoje numa poupança que rende 1,7% de 
juros compostos ao mês? 
 
 
 
 
 Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro 
 
 
 EXEMPLO 14: 
 Se uma pessoa deseja obter 𝑅$27500,00 dentro de um ano, 
quanto deverá ela depositar hoje numa poupança que rende 1,7% de 
juros compostos ao mês? 
 
𝐹0 =
1
1 + 𝑖 𝑛
𝐹 
 
𝐹0 = 𝑣
𝑛𝐹 
 
𝐹0 =
1
1 + 0,017 12
17500 = 𝑅$22463,70 
 
 
 Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro 
 
 
 
Série é generalização do conceito de soma para uma sequencia de 
infinitos termos. 
 
𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯
∞
𝑛=1
 
Denota-se por sequencia de somas parciais de um séria os 
seguintes termos: 
 𝑆1 = 𝑎1 
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 
… 
 Juros Compostos 
Depósitos em série 
 
 
 
Se 𝑎 é um número real diferente de zero, então a série infinita: 
𝑆𝑛 = 𝑎𝑟
𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2+. . +𝑎𝑟𝑛
∞
𝑛=0
 
É chamada, série geométrica de razão r 
 
Neste caso a sequencia de somas parciais da série é: 
𝑆0 = 𝑎 
𝑆1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 
𝑆2 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟
2 
… . 
 Juros Compostos 
Depósitos em série 
 
 
 
 
A n-ésima soma parcial de uma séria geométrica𝑆𝑛 = 𝑎𝑟
𝑛∞
𝑛=0 é 
 
𝑺𝒏 =
𝒂 𝟏 − 𝒓𝒏+𝟏
𝟏 − 𝒓
 
para 𝑟 ≠ 1 
 
 
Demonstração: 
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟+. . +𝑎𝑟
𝑛 1 
Multiplicando-se pela razão 𝑟: 
𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟
2 + ⋯+ 𝑎𝑟𝑛+1 2 
Subtraindo-se a (2) de 1 , cancelando-se os termos repetidos: 
𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟+. . +𝑎𝑟
𝑛 − 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛+1 
𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟
𝑛+1 
𝑆𝑛 1 − 𝑟 = 𝑎 1 − 𝑟
𝑛+1 
𝑺𝒏 =
𝒂 𝟏 − 𝒓𝒏+𝟏
𝟏 − 𝒓
 
 
 Juros Composto 
Depósitos em série 
 
 
 
Série de pagamentos é um conjunto de pagamentos de 
valores 𝑅1, 𝑅2, 𝑅3, . . , 𝑅𝑛 distribuidos ao longo do tempo (𝑛 
períodos). 
 
Pagamentos ( ou recebimentos) constantes. 
 
Pagamentos ( ou recebimentos) distintos. 
 
 
 Juros Compostos 
Depósitos em série 
 
 
 
O conjunto de pagamentos ao longo dos 𝒏 períodos, 
constitui-se num fluxo de caixa. 
 
Fluxo Antecipado: Pagamentos ( ou recebimentos) no início dos 
períodos, ou seja, os depósitos ou pagamentos ocorrem na data 
zero. 
No caso de depósitos o montante é resgatado UM PERÍODO APÓS o 
último depósito. 
 
Fluxo Postecipado: Pagamentos ( ou recebimentos) no final dos 
períodos, ou seja, os depósitos ocorrem um período após a data 
zero. 
No caso de depósitos o montante é resgatado com O ÚLTIMO 
DEPÓSITO. 
 Juros Compostos 
Depósitos em série 
 
 
EXEMPLO 15: (Pagamentos constantes.) 
 
 Faz-se um depósito mensal de 𝑅$ 50 durante 2 anos em uma 
conta de poupança que paga juros 0,5%, composto mensalmente. 
Qual é o montante na conta ao fim de dois anos? Considere o fluxo 
antecipado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Juros Compostos 
Depósitos em série 
 
Depois de 24 meses o dinheiro depositado no primeiro mês 
montara á:𝑀24 = 50 1 + 0,005
24 = 50 1,005 24 
 
 
Após 23 meses, o dinheiro depositado no segundo mês montará á: 
𝑀23 = 50 1 + 0,005
23 = 50 1,005 23 
 
 
O último deposito renderá por um único período, 
𝑀1 = 50(1 + 0,005) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Montante para o depositado no mês 1 Montante para o depositado no mês 2 Montante para o depositado no mês 3 
Mês 0 $50 depositado 
Mês 1 𝑀1 $50 depositado 
Mês 2 𝑀2 𝑀1 $50 depositado 
Mês 3 𝑀3 𝑀2 𝑀1 
… … .. .. … 
Mês 24 𝑀24 𝑀23 𝑀22 … 
 
 Prosseguindo desta maneira, vemos que o montante resultante dos 
24 depois será: 
𝐹24 = 𝑀24 + 𝑀23 + 𝑀22+. . +𝑀1 = 𝑀𝑛
24
𝑛=1
 
𝐹24 = 𝑅 1 + 𝑖
24 + 𝑅 1 + 𝑖 23 + 𝑅 1 + 𝑖 22 + ⋯ + 𝑅 1 + 𝑖 = 𝑅 1 + 𝑖 𝑛
24
𝑛=1
 
𝑭𝟐𝟒 = 𝟓𝟎 𝟏, 𝟎𝟎𝟓
𝒏
𝟐𝟒
𝒏=𝟏
= −50 + 50 1,005 𝑛
24
𝑛=0
 
 
Repare que trata-se de um série geometria de razão: r = 1,005 = 1 + 𝑖, e 
constantes iguais a: a = 50 = 𝑅 
Como 
 
𝑆 = 𝑆24 + 𝑆23 + 𝑆22+. . +𝑆0 =
𝒂 𝟏 − 𝒓𝟐𝟒+𝟏
𝟏 − 𝒓
 
temos 
 
𝑅 + 𝐹24 =
𝑅 1 − 1 + 𝑖 24+1
1 − (1 + 𝑖)
=
−𝑅 1 − 1 + 𝑖 24+1
𝑖
=
𝑅 1 + 𝑖 24+1 − 1
𝑖
 
 
 
𝐹24 =
𝑅 1 + 𝑖 24+1 − 1
𝑖
− 𝑅 =
𝑅 1 + 𝑖 24 1 + 𝑖 − 𝑅 − 𝑅𝑖
𝑖
 
 
𝐹24 =
𝑅 1 + 𝑖 24 1 + 𝑖 − 1 + 𝑖
𝑖
=
𝑅 1 + 𝑖 1 + 𝑖 24 − 1
𝑖
 
 
Logo: 
 
𝐹24 =
50(1,005) 1,00524 − 1
0,005
≅ $1277,956 
 
 
 
No caso de pagamentos variáveis tem-se que ( fluxo antecipado *). 
Fluxo antecipado porém o modelo considera deposito no mês de resgate, dai 
é um fluxo genérico na verdade. 
 
Após o primeiro mês o primeiro deposito 𝐹0 montara á: 
 
𝐹1 = 𝐹0 1 + 𝑖 + 𝑅1 
Após o segundo mês o primeiro deposito (𝐹0) acrescido de 𝑅1 
montara á: 
 
𝐹2 = 𝐹1 1 + 𝑖 + 𝑅2 
Sucessivamente temos que: 
𝐹3 = 𝐹2 1 + 𝑖 + 𝑅3 
𝐹4 = 𝐹3 1 + 𝑖 + 𝑅4 
… 
𝑭𝒏 = 𝑭𝒏−𝟏 𝒊 + 𝟏 + 𝑹𝒏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Juros Compostos 
Depósitos em série 
 
 
Note também que: 
𝐹1 = 𝐹0 1 + 𝑖 + R1 
 
𝐹2 = 𝐹1 1 + 𝑖 + R2 = 𝐹0 1 + 𝑖 + R1 1 + 𝑖 + 𝑅2 
𝐹2 = 𝐹0 1 + 𝑖
2 + 1 + 𝑖 𝑅1 + 𝑅2 
 
𝐹3 = 𝐹2 1 + 𝑖 + 𝑅3 = 𝐹0 1 + 𝑖
2 + 1 + 𝑖 𝑅1 + 𝑅2 1 + 𝑖 + 𝑅3 
𝐹3 = 𝐹0 1 + 𝑖
3 + 1 + 𝑖 2𝑅1 + 1 + 𝑖 𝑅2 + 𝑅3 
 
𝐹4 = 𝐹3 1 + 𝑖 + R4 = 𝐹0 1 + 𝑖
3 + 1 + 𝑖 2𝑅1 + 1 + 𝑖 𝑅2 + 𝑅3 1 + 𝑖 + 𝑅4 
 
𝐹4 = 𝐹0 1 + 𝑖
4 + 1 + 𝑖 3𝑅1 + 1 + 𝑖
2𝑅2 +(1 + 𝑖)𝑅3 +𝑅4 
… 
𝐹𝑛 = 𝐹0 𝑖 + 1
n + 1 + 𝑖 𝑛−𝑗𝑅𝑗
𝑛
𝑗=1
 
Acumulação do capital inicial. 
Soma dos valores acumulados nos depósitos intermediários. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Juros Compostos 
Depósitos em série 
 
 
Modelo genérico 
 
𝐹𝑛 = 𝐹0 𝑖 + 1
n + 1 + 𝑖 𝑛−𝑗𝑅𝑗
𝑛
𝑗=1
 
Fluxo antecipado 
 
𝐹𝑛 = 𝐹0 𝑖 + 1
𝑛 + 1 + 𝑖 𝑛−𝑗R𝑗
𝒏−𝟏
𝑗=1
 
 
Fluxo postecipado 
𝐹𝑛 = 1 + 𝑖
𝑛−𝑗𝑅𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 
 
 
 
 
 Juros Compostos 
Depósitos em série 
 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO 16: 
 Faz-se um depósito mensal de 𝑅$ 100,00 em uma conta de 
poupança que paga juros de 0,6% a.m. Qual é o montante na conta 
ao fim de três meses? Considere o fluxo antecipado e postecipado. 
 
 
Fluxo Antecipado Fluxo postecipado 
Pagamento 
Constante 
𝐹𝑛 =
𝑅(1 + 𝑖) 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 𝐹𝑛 =
𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖
 
 
Pagamento Variável 
𝐹𝑛 = 𝐹0 𝑖 + 1
n + 1 + 𝑖 𝑛−𝑗𝑅𝑗
𝑛−1
𝑗=1
 
 
𝐹𝑛 = 1 + 𝑖
𝑛−𝑗𝑅𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 
Fluxo antecipado: 
 
𝐹3 =
100(1 + 0,006) 1 + 0,006 3 − 1
0,006
= 𝑅$303,6144 
 
 
Fluxo postecipado: 
 
𝐹3 =
100 1 + 0,006 3 − 1
0,006
= 𝑅$301,8036 
 
 
 
Fluxo antecipado: 
 
𝐹3 =
100(1 + 0,006) 1 + 0,006 3 − 1
0,006
= 𝑅$303,6144 
ou 
 
𝐹3 = 100 1 + 0,006
3 + 1 + 0,006 3−𝑗100
2
𝑗=1
= 100 1,006 3 + 1,006 2100 + 1,006 100
= 𝑅$303,6144 
 
 
Fluxo postecipado: 
 
𝐹3 =
100 1 + 0,006 3 − 1
0,006
= 𝑅$301,8036 
ou 
𝐹3 = 1 + 0,006
3−𝑗100 = 1,006 2100 + 1,006 100 + 1
3
𝑗=1
00 = R$301,8036 
 
 
 
 
 
Lista 2: 
 a) Aplicando-se 𝑅$1000,00 por um prazo de dois anos a 
uma taxa de 5% ao semestre, qual será o montante no fim do 
período? 
 
 b) Um capital de 𝑅$2000000,00 é aplicado durante um 
ano e três meses à taxa de 2% 𝑎. 𝑚. Quais os juros gerados no 
período? 
 
 c) Determinado capital aplicado a juros compostos 
durante 12 meses, gera um juros igual ao valor aplicado. Qual a 
taxa mensal dessa aplicação? 
 
 e) Calcule o montante de 𝑅$1000,00 aplicados a 10% 
a.a. durante 50 dias. 
 Juros Compostos - Valor presente e Valor futuro 
Matemática atuarial 
Aula 4-Juros e Inflação 
Danilo Machado Pires 
Determinar o principal 𝑃 que deve ser aplicada a uma taxa 𝑖 para 
que se possa retirar o valor 𝑅 em cada um dos 𝑛 períodos. 
 
 Qual valor 𝑃 que financiado à taxa 𝑖 por período, pode ser 
amortizado em 𝑛 pagamentos iguais a 𝑅. 
 
Lembrando que: 𝐹 = 𝐹0 1 + 𝑖
𝑛 e F0 = 𝐹
1
1+𝑖
𝑛
= 𝐹𝑣 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fluxo Antecipado Fluxo postecipado 
Pagamento 
Constante 
𝑃 =
𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1
 𝑃 =
𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
 
Pagamento Variável 
𝑃 = 𝐹0 + 
1
1 + 𝑖 
𝑗
𝑅𝑗
𝑛−1
𝑗=1
 
 
𝑃 = 
1
1 + 𝑖 
𝑗
𝑅𝑗
𝑛
𝑗=1
 
 EXEMPLO17: 
 Uma empresa conseguiu um financiamento de 𝑅$15000,00 a 
ser liberado em 4 prestações, sendo a primeira paga no ato da 
liberação dos recursos, a uma taxa de 2% ao mês. Qual o valor da 
prestação? 
 
Resp.: 
𝑃 = 150000 
 𝑖 = 0,02 
𝑛 = 4 
𝑃 =
𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1
 
 
 
 EXEMPLO17: 
 Uma empresa conseguiu um financiamento de 𝑅$15000,00 a 
ser liberado em 4 prestações, sendo a primeira paga no ato da 
liberação dos recursos, a uma taxa de 2% ao mês. Qual o valor da 
prestação? 
 
Resp.: 
 
𝑃 = 𝑅
1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1
 
 
𝑅 =
𝑃 𝑖 1 + 𝑖 𝑛−1
1 + 𝑖 𝑛 − 1
=
15000 0,02(1,023)
1,024 − 1
= 𝑅$3862,11 
 
 EXEMPLO 18: 
 Uma empresa conseguiu um financiamento de 𝑅$15000,00 a 
ser liberado em 4 prestações, sendo a primeira paga 30 dias após a 
liberação dos recursos, a uma taxa de 2% ao mês. Qual o valor da 
prestação? 
 
Resp.: 
 
𝑃 =
𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
 
 
 EXEMPLO 18: 
 Uma empresa conseguiu um financiamento de 𝑅$15000,00 a 
ser liberado em 4 prestações, sendo a primeira paga 30 dias após a 
liberação dos recursos, a uma taxa de 2% ao mês. Qual o valor da 
prestação? 
 
Resp.: 
 
𝑃 =
𝑅 1 + 𝑖 𝑛 − 1
𝑖 1 + 𝑖 𝑛
 
 
𝑅 =
𝑃 𝑖 1 + 𝑖 𝑛
1 + 𝑖 𝑛 − 1
=
15000 0,02(1,024)
1,024 − 1
= 𝑅$3939,356 
 Pagamento no ato da liberação dos recursos 
 
P = 𝐹0 + 
1
1 + 𝑖 
𝑗
𝑅𝑗
𝑛−1
𝑗=1
= 𝑅 +
1
1 + 𝑖 
 
𝑅 +
1
1 + 𝑖 
2 
𝑅 +
1
1 + 𝑖 
3
𝑅 
 
𝑅 =
𝑃
1 +
1
1 + 𝑖 +
1
1 + 𝑖 
2
+
1
1 + 𝑖 
3 =
15000
1 +
1
1,02 +
1
1,0404 +
1
1,0612
= 𝑅$3862,11 
 
 
 Pagamento 30 dias após a liberação dos recursos 
 
𝑃 = 
1
1 + 𝑖 
𝑗
𝑅𝑗
𝑛
𝑗=1
=
1
1 + 𝑖 
 
𝑅 +
1
1 + 𝑖 
2 
𝑅 +
1
1 + 𝑖 
3
𝑅 
1
1 + 𝑖 
4
𝑅 
𝑅 =
𝑃
1
1 + 𝑖 
 
+
1
1 + 𝑖 
2 
+
1
1 + 𝑖 
3 1
1 + 𝑖 
4 =
15000
1
1,02 +
1
1,02
2
+
1
1,02
3
+
1
1,02
4 
 
𝑅 = 𝑅$3939,35 
 
 
 Taxanominal 
 É quando o período de formação e incorporação dos juros ao 
capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. 
 
-340% ao semestre com capitalização mensal. 
-1150% ao ano com capitalização mensal. 
- 300% ao ano com capitalização trimestral 
 
 Taxa Efetiva 
 É quando o período de formação e incorporação dos juros ao 
capital coincide com aquela a que a taxa está referida. 
- 140% ao mês com capitalização mensal. 
- 250% ao semestre com capitalização semestral. 
- 1250% ao ano com capitalização anual. 
 
 
 
 
 
Taxas de Juros 
 
 
 EXEMPLO 19: 
 Uma empresa contraia um empréstimo de R$100000,00 em 
um banco, cuja condição seja taxa de juros de 36% ao ano, 
capitalizados mensalmente. Quanto será a dívida depois de um ano? 
Resp. 
 A taxa nominal corresponde a 36% 𝑎. 𝑎. 
 A taxa efetiva será de 42,25% 𝑎. 𝑎. 
Pois: 
𝑖 =
36
12
= 3% ao mês 
Assim: 
1 + 0,03 12 = 1 + 𝑖 
𝑖 = 42,58%𝑎. 𝑎. 
Logo 
𝐹 = 100000 1 + 0,4258 = 𝑅$142580,00 
 
 
 Taxas de Juros 
 
 
 Dada a taxa nominal, se quiser saber a taxa efetiva basta 
descapitalizar a juros simples (divisão) e capitalizar a juros 
compostos. 
𝑖 𝑛 = 𝑛 1 + 𝑖 
1
𝑛 − 1 
 Em que 𝑖 𝑛 é a taxa nominal, com 𝑛 períodos de conversão e 𝑖 
é a taxa efetiva anual. 
𝑖 = 1 +
𝑖 𝑛
𝑛
 
𝑛
− 1 
 Relações equivalentes 
 
1 + 𝑖𝑑
360 = 1 + 𝑖𝑚
12 = 1 + 𝑖𝑏
6 = 1 + 𝑖𝑡
4 = 1 + 𝑖𝑞
3
= 1 + 𝑖𝑠
2 = (1 + 𝑖𝑎) 
 
 
 
 
 
 Taxas de Juros 
 
 
 EXEMPLO 20 
 Sendo as taxas com capitalizações mensais, 340% ao 
semestre e 300% ao ano, qual será as taxas de juros efetivas ao final 
de um ano? 
 
 Taxas mensais 
𝑖 =
340
6
= 56,67% 𝑖 =
300
12
= 25% 
 
 Taxas efetivas 
1 + 0,5667 6 = 1 + 𝑖  𝑖 = 1378% a.s 
1 + 0,25 12 = 1 + 𝑖  𝑖 = 1355% a.a 
 
 
 
 
 
 Taxas de Juros 
 
 
 EXEMPLO 21 
 Sendo a taxas de juros de 6% anual com capitalizações 
trimestral, qual será as taxas de juros efetiva ao final de uma ano? 
 
Taxa trimestral: 𝑖 =
6
4
= 1,5% 
 
Taxas efetivas: 1 + 0,015 4 = 1 + 𝑖  𝑖 = 6,136% a.a 
 Taxas de Juros 
 
 
 EXEMPLO 22 (exercício) 
 Admitindo-se uma taxa de 72% ao ano, mostre como se 
comporta a taxa efetiva supondo os períodos de capitação: diário, 
mensal, bimestral, trimestral, quadrimestral, semestral e anual. 
 Taxas de Juros 
 
 
 Taxa instantânea de juros 
 A taxa nominal corresponde a soma das taxas cobradas em todas os 
períodos. Ou seja, 12% ao mês corresponde nominalmente em 144% ao 
ano. 
 Se o número de períodos dos quais se compõem a taxa nominal crescem 
muito, dizemos que essa taxa é uma soma contínua, também chamada de 
taxa de juros instantânea. 
 
 De acordo com Hull1, “ taxas de juros capitalizados continuamente são 
bastante utilizadas quando as opções e outros derivativos complexos estão 
sendo precificados. E para fins práticos a capitalização contínua pode ser 
considerada equivalente à diária” 
 Taxas de Juros 
1 Hulll, John. Introdução aos mercados futuros e de opões. 2. ed. São Paulo: Bolsa Mercantil e de Futuros, Cultura editores Associados, p. 52-54,1996 
 
 
 Taxa instantânea de juros e taxa de juros efetiva 
 
1 +
𝑖 𝑛 
𝑛
𝑛
𝐹0 = 1 + 𝑖 𝐹0 
𝑖 = 1 +
𝑖 𝑛
𝑛
 
𝑛
− 1 
 A partir desse ponto usamos o símbolo 𝛿 para mostra que a taxa nominal 
trata-se de uma taxa instantânea. 
lim
𝑛→∞
𝑖 = lim
𝑛→∞
1 +
𝛿
𝑛
 
𝑛
− lim
𝑛→∞
1 
 
𝑖 = 𝑒𝛿 − 1 
 
𝑒𝛿 = 1 + 𝑖 
 
 Taxas de Juros 
𝑘𝑒𝑟 = lim
𝑛→∞
𝑘 1 +
𝑟
𝑛
 
𝑛
 
 
 
 Taxa instantânea de juros e taxa de juros efetiva 
 
𝑒𝛿 = 1 + 𝑖 
 
𝛿 = ln 1 + 𝑖 
 Em que 𝜹, é a taxa de juros instantânea e 𝒊 é a taxa de juros efetiva. 
 
 Assim o cálculo do valor futuro em um regime de capitalização contínua 
é dado por: 
 
𝐹 = 𝐹0 1 + 𝑖 
𝑛 = 𝑭𝟎𝒆
𝜹.𝒏 
Ou 
𝐹0 = 𝐹
1
1 + 𝑖 
𝑛
= 𝐹𝑒−𝛿.𝑛 = 𝑭𝒗𝒏 
 Importante lembrar que por se tratar de período contínuo é comum 
representar 𝑛 como sendo 𝑡. 
 
 Taxas de Juros 
 
 
 EXEMPLO 23 
 
Um certo banco paga juros de 15% ao mês, em um regime de 
capitalização contínua. Quanto um cidadão deve investir para que 
daqui a dois anos possa retirar 𝑅$1000000,00? 
 
𝐹0 = 𝐹𝑒
−𝛿.𝑛 
 
𝐹0 = 1000000𝑒
−0,15(24) = R$27323,72 
 
 
 Taxas de Juros 
 
 
 
 Inflação 
Aumento médio de preços, ocorrido no período 
considerado, usualmente medido por um índice expresso 
como taxa percentual. 
FIPE 
FGV 
DIEESE 
É a elevação generalizada dos preços de uma economia. 
Excesso de gastos 
Aumento de salários mais rápido do que da produtividade 
Aumento dos lucros 
Aumento nos preços das matérias primas 
Inércia 
 
 
 
 
 Juros e inflação 
 
 
Taxa real de juros 𝑡𝑟 
Essa taxa elimina o efeito da inflação 
Podem ser inclusive negativas 
 
 A relação entre a taxa de juros efetiva 𝑖 a taxa de inflação no 
período 𝑗 e a taxa real 𝑡𝑟 é dada por: 
 
1 + 𝑖 = 1 + 𝑡𝑟 1 + 𝑗 
 
O calculo também pode ser feito em relação a taxa de juros nominal 
 
 
 Juros e inflação 
 
 
 EXEMPLO 24 
 Suponha que para o período de 1 ano, a inflação tenha sido de 
15%. E a taxa nominal de juros que um banco cobra sobre um 
empréstimo (capitalizado mensalmente) seja de 36% ao ano. Qual é 
a taxa real de ganho do banco? 
 
 Juros e inflação 
 
 
 EXEMPLO 24 
 Suponha que para o período de 1 ano, a inflação tenha sido de 
15%. E a taxa nominal de juros que um banco cobra sobre um 
empréstimo (capitalizado mensalmente) seja de 36%. Qual é a taxa 
real de ganho do banco? 
 
Resp.: 
𝑖 𝑛 =
36
12
= 3% ao mês  1 + 0,03 12 = 1 + 𝑖 
𝑖 = 42,58%𝑎. 𝑎. 
 
1 + 0,4258 = 1 + 𝑡𝑟 1 + 0,15 
𝑡𝑟 = 23,98%𝑎. 𝑎. 
O ganho real do banco terá sido de 23,98%𝑎. 𝑎. 
 Juros e inflação