Bases Numéricas - Fillipe Paukner

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BASES 
NUMÉRICAS 
Prof. Fillipe Lucchin Paukner 
“Existem 10 tipos de pessoas no 
mundo: 
Aqueles que conseguem contar 
em binário e os que não 
conseguem.” 
 
Notação Posicional 
 O objetivo principal de qualquer base numérica é a de 
representar números 
 É a posição do algarismo (dígito) que determina seu valor 
 Ex: número com 2 e 7 => 27 ou 72 
 O total do número é a soma dos valores relativos de 
cada número 
 A formação dos números depende da quantidade de 
algarismos disponíveis no referido sistema (chamado 
Base) 
 Ex: Base decimal => 10 algarismos (0,1,2,...,8,9) 
Notação Posicional 
 Exemplo: 
 Número 5.303 na base 10 = 530310 
 Composto de 4 algarismos: 5,3,0,3 
 Valores: 
 3 unidades = 3 x 100 = 3 
 0 dezenas = 0 x 101 = 0 
 3 centenas = 3 x 102 = 300 
 5 milhares = 5 x 103 = 5.000 
 Total = 5.303 
Bases 
16 » Hexadecimal : 
 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 
 
10 » Decimal: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 
 
 8 » Octal: 0,1,2,3,4,5,6,7 
 
 3 » Ternária: 0,1,2 
 
 2 » Binária: 0,1 
 
Exemplos: 
(1011)2 
(342)5 
(257)8 
(1024)10 
 
Conversão de Base B para base 10 
 Utiliza-se a equação para converter de qualquer 
base para decimal 
 
 
 d indica cada algarismo do número; 
 n – 1, n – 2, 1, 0 (índice) indicam a posição de 
cada algarismo; 
 b indica a base de numeração 
 n indica o número de dígitos inteiros 
 
Conversão de Base B para base 10 
 Ex1: Converter (1110)2 para decimal 
(1110)2 = 1.2
3 + 1.22 + 1.21 + 0.20 = 
 = 8 + 4 + 2 + 0 = 
 = (14)10 = 14 
 
 Ex2: Converter (1043)5 para decimal 
(1043)5 = 1.5
3 + 0.52 + 4.51 + 3.50 = 
 = 125 + 0 + 20 + 3 = 
 = (148)10 = 148 
 
Conversão Decimal  Base B 
 Divide-se o número decimal pelo valor da base B. O resto é 
o algarismo procurado. Repetir enquanto quociente  0. 
 Exemplo: Converter (45)10 para binário 
45/2 = 22 resto=1 d0 
22/2 = 11 resto=0 d1 
11/2 = 5 resto=1 d2 
5/2 = 2 resto=1 d3 
2/2 = 1 resto=0 d4 
1/2 = 0 resto=1 d5 
 (d5 d4 d3 d2 d1 d0) = (101101)2 
 
Conversão Decimal  Base B 
 Ex1: Converter (2754)10 para ( )16 
2754/16 = 172 resto=2 
172/16 = 10 resto=12=C 
10/16 = 0 resto=10=A 
 (AC2)16 ou AC2H ou AC2h 
 Ex2: Converter (483)10 para ( )8 
483/8 = 60 resto=3 
60/8 = 7 resto=4 
7/8 = 0 resto=7 
(743)8 
 
Conversão Decimal  Base B 
 
Comparação entre bases 
 
Conversão de base 2 para 8 
 Divide-se o número binário inteiro, da direita para 
a esquerda em grupos de 3 bits, e preenche-se o 
resto com zeros. 
 Para cada grupo acha-se o algarismo octal 
equivalente da tabela. 
Conversão de base 2 para 16 
 Divide-se o número binário inteiro, da direita para 
a esquerda em grupos de 4 bits, e preenche-se o 
resto com zeros. 
 Para cada grupo acha-se o algarismo octal 
equivalente da tabela. 
Aritmética Binária 
 SOMA: Semelhante à soma decimal 
 0+0 = 0 
 0+1 = 1+0 = 1 
 1+1 = 0, com carry 
 
 1 1111 » carry 
 Ex: 101101 
 + 101011 
 1011000 
Aritmética Binária 
 SUBTRAÇÃO: semelhante, porém o ´empréstimo´ agora 
vale 2 (na base decimal quando temos 0-N pegamos 10 
emprestado ao algarismo da esquerda). 
 0 – 0=0, 
 1 – 1=0, 
 1 – 0=1, 
 0 – 1 » “empréstimo no valor da base” 
 
 2 
 002 
 Ex: 101101 
 - 100111 
 000110 
 
 
Aritmética Binária 
 Exr1: (10101)2 + (11100)2 
 
 Exr2: (100110)2 + (0011100)2 
 
 Exr3: (100101)2 - (011010)2 
 
 Exr4: (111001001)2 - (10111011)2 
 
Aritmética Binária 
 Exr1: (10101)2 + (11100)2 
 Exr2: (100110)2 + (0011100)2 
 Exr3: (100101)2 – (011010)2 
 Exr4: (111001001)2 – (10111011)2 
 
 Resp1 = (110001)2 
 Resp2 = (1000010)2 
 Resp3 = (001011)2 
 Resp4 = (100001110)2 
Aritmética Binária 
 Multiplicação binária 
 Regras: 
 0 x 0 = 0 
 0 x 1 = 0 
 1 x 0 = 0 
 1 x 1 = 1 
 Mesmo método que o decimal: deslocamentos e 
adições. 
 Número maior deve ser colocado acima do menor. 
 
 
 
 
 
Aritmética Binária 
 Multiplicação binária 
 
 
Aritmética Binária 
 Divisão binária 
 Mesmo método que o decimal: deslocamentos e 
subtrações. 
 
 
 
 
 
 
 
Aritmética Hexadecimal 
 SOMA 1 11 
 3A943B 
 + 23B7D5 
 5E4C10 
 
 SUBTRAÇÃO 
 
 4C7BE8 
 - 1E927A 
 2DE96E 
 
 
24 D 23 B 
27 
3 
A-10 
B-11 
C-12 
D-13 
E-14 
F-15 
Sistema sinal-magnitude 
 
Sistema sinal-magnitude 
 Algoritmo de soma (números com sinal): 
 Sinais diferentes : 
 Encontra número com maior magnitude 
 Subtrai menor do maior 
 Atribui ao resultado o sinal do número de maior magnitude 
 Sinais iguais 
 Soma e atribui sinal dos operandos 
 Atenção deve ser dada ao estouro de magnitude 
 Algoritmo de soma (números com sinal) 
Complemento a base 
 Em computadores a subtração em binário é feita 
por um artifício: o "Método do Complemento a 
Base“. 
 Consiste em encontrar o complemento do número 
em relação a base e depois somar os números. 
 Os computadores funcionam sempre na base 2, 
portanto o complemento a base será complemento 
a dois. 
Complemento a base 
 Representação de números em complemento 
 Complemento é a diferença entre o maior algarismo 
possível na base e cada algarismo do número. 
 Através da representação em complemento a 
subtração entre dois números pode ser substituída pela 
sua soma em complemento. 
Complemento a base 
 Representação de números negativos em 
complemento a (base -1) 
 A representação dos números inteiros negativos é 
obtida efetuando-se: (base - 1) menos cada algarismo 
do número. 
 Para se obter o complemento a 1 de um número 
binário, devemos subtrair cada algarismo de 1. 
 Uma particularidade dos números binários é que, para 
efetuar esta operação, basta inverter todos os bits. 
Complemento a base 
 Representação de números negativos em 
complemento a (base - 1) 
 
Complemento a base 
 Representação em C1 dos números binários de 4 
dígitos 
 
 
 
 
 
 
 
 Repare como o espaço de representação da base 2 
com 4 dígitos está sendo usado na representação em 
C1 (note que há 2 representações para o zero). 
Complemento a base 
 Aritmética em complemento a (base -1) 
 Repare que a subtração (ou soma de um número 
positivo com um número negativo) se transforma, nesta 
representação, em uma soma em complemento, isto é, a 
soma dos complementos do número positivo com o 
número negativo. 
 Portanto, uma subtração pode ser realizada 
simplesmente através da soma dos números 
“complementados”. 
 Se o número é positivo, mantenha-o; se o número é 
negativo, complemente-o; e aí, é só somar. 
 
 
 
 
 
 
Complemento a base 
 Aritmética em complemento a (base -1) 
 Dessa forma, podemos constatar que o algoritmo da 
soma em complemento é muito mais simples que o da 
soma em sinal e magnitude, uma vez que não requer 
nenhum teste. 
 No entanto, continuamos com duas representações para 
o zero. Vamos a seguir discutir a solução para esse 
problema. 
 
 
 
 
 
Números sinalizados  complemento de 2 
 A notação Complemento de 2 é utilizada 
para indicar um númerobinário com sinal. 
 MSB  Most Significant Bit (bit mais 
significativo) é o bit mais à esquerda do número 
binário. 
 O bit mais significativo (MSB) indica o sinal do 
número. 
 MSB = 0 indica que o número é positivo. 
 MSB = 1 indica que o número é negativo. 
 
Complemento de 2 
 
Complemento de 2 
 
Como converter um número decimal com 
sinal para a notação complemento 2 
 
Como converter um número decimal com 
sinal para a notação complemento 2 
 
Adição e subtração em complemento 
de 2 
 
Adição e subtração em complemento 
de 2 
 
Representação em C2 dos números 
binários de 4 dígitos 
 
 
 
 
 
 
 
 Vemos assim que em C2, não há duas representações 
para o valor 0 e consequentemente abriu-se lugar para 
mais uma representação. No caso, mais um número 
negativo pode ser representado. 
Complemento de 2 
 
Complemento de 2 
 Complemento de dois: estouro de magnitude 
 Em qualquer sistema de complemento de dois, existe 
sempre um limite para o tamanho dos números a serem 
representados. 
 Exemplo: quando usamos complemento de dois com 
padrões de quatro bits (um para o sinal), ao valor 9 
não está associado padrão algum; por isso não 
conseguimos obter uma resposta certa para a soma 5 
+ 6, o resultado apareceria como -5. 
Complemento de 2 
 Somar usando representação em C2: 
 Ex: 5 - 3 = 2 (utilização de 4 bits) 
Conclusão 
 O que concluímos? 
 Que qualquer operação aritmética pode ser realizada 
em computadores apenas através de somas (diretas ou 
em complemento)! 
 Legal, mas para que serve isso? Por enquanto, 
enquanto, ficamos por aqui. Em circuitos lógicos 
veremos como essas propriedades serão úteis para os 
engenheiros que projetam os computadores. 
Exercício 
 Desenvolva um algoritmo que receba três entradas: 
 um número qualquer; 
 a base deste número 
 a base para a qual se deseja converter o número. 
 
 A saída do programa é o número convertido na 
base escolhida.