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1 
 
 
 
AULA 01 
 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Conjunto dos Números Naturais 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, .........} 
Atenção: Sempre que usamos o asterisco (*) junto ao 
nome do conjunto estamos dizendo que excluímos o 
zero (0) deste conjunto. 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } 
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,....} 
 
OBSERVAÇÃO 
Também temos os seguintes subconjuntos de Z: 
Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}⇒ conjunto dos números 
inteiros não negativos. 
Z - = {..., -4, -3, -2, -1, 0}⇒ conjunto dos números 
inteiros não positivos. 
*
+Z = {1, 2, 3, 4, 5,...}⇒ conjunto dos números inteiros 
positivos. 
*
−
Z = {..., -4, -3, -2, -1}⇒ conjunto dos números inteiros 
negativos. 
Observe que Z+ = N, assim N também é subconjuntos de 
Z, ou seja, N ⊂ Z 
 
Conjuntos dos Números Racionais 
Q = 



q
p
, com p ∈ Z e q ∈ Z* 
 
OBSERVAÇÃO: 
São números racionais os números naturais, os 
números inteiros, as frações, os decimais exatos e 
as dízimas periódicas. 
São subconjuntos dos números racionais: 
• Q* = conjunto dos números racionais não nulos. 
• Q+ = conjunto dos números racionais não negativos. 
• Q - = conjunto dos números racionais não positivos. 
• 
*
+Q = conjunto dos números racionais positivos. 
• 
*
−
Q = conjunto dos números racionais negativos. 
 
O conjunto dos números naturais e o conjunto dos 
números inteiros também são subconjuntos do 
conjunto dos racionais. 
N ⊂⊂⊂⊂ Q e Z ⊂⊂⊂⊂ Q 
 
Conjunto dos Números Irracionais (I) 
São números irracionais os decimais, infinitos e 
não periódicos. 
Exemplos: 
0,1234567... 5, 1010010001.. pipipipi (pi 7 
 
Conjunto dos Números Reais 
O conjunto dos números reais, indicado pela letra 
R, é a união dos conjuntos dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais. 
R = Q ∪∪∪∪ I 
 
Assim todos os conjuntos numéricos vistos são 
subconjuntos dos reais. 
N ⊂⊂⊂⊂ R Z ⊂⊂⊂⊂ R Q ⊂⊂⊂⊂ R I ⊂⊂⊂⊂ R 
 
 
 R 
I 
Q 
Z 
N 
 
 
CONJUNTOS 
CONCEITOS PRELIMINARES 
A idéia de conjuntos pode ser caracterizada por uma 
“coleção de objetos”. Os objetos componentes de um 
conjunto são denominados ELEMENTOS do conjunto. 
Tanto o conjunto quanto elemento são chamados de 
conceitos primitivos (não possuem definição) 
 
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
I . Por extensão (ou tabular) 
Nessa representação os elementos são dispostos entre 
chaves e separados por ponto e vírgula. 
É utilizada para conjuntos finitos ou infinitos. 
Exemplos: 
e.1. Conjunto da vogais: A = {a; e; i; o; u} 
e.2. Conjunto dos números ímpares positivos menores 
que 100: 
B = {1; 3; 5; ...; 999} 
e.3. Conjunto dos números ímpares positivos: C = {1; 3; 
5; 7; 9; ...} 
 
Representação por compreensão (ou propriedade) 
Quando é fornecida uma propriedade característica dos 
elementos e, pode ser escrito por: 
P = {x/x é equipe de fórmula 1} 
Lê-se: P é o conjunto dos elementos x tal que x é equipe 
de fórmula 1. 
Nota: O símbolo ( / ) significa “tal que”. 
Representação por diagrama de Euler-Venn 
É uma forma de representar que permite a visualização 
das relações entre um elemento e um conjunto, entre 
conjunto e conjunto, etc. 
Nessa representação os elementos de um conjunto são 
representados por pontos interiores de uma figura 
fechada. 
Pontos exteriores representam elementos que não 
pertencem ao conjunto. 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
• d 
• e 
• c 
• a 
• b 
A 
 
 
 
 
 IMPORTANTE 
 Para indicar que um elemento pertence a um conjunto, 
usamos o símbolo ∈∈∈∈ (pertence) e, em caso contrário, 
utilizamos o símbolo ∉∉∉∉ (não pertence) 
 
 
Para a figura anterior: a ∈ A e d ∉ A 
 
 Obs.: Os símbolos ∈∈∈∈ e ∉∉∉∉ são utilizados para 
 relacionar elemento com conjunto. 
 
 
CONJUNTO UNITÁRIO 
Possui um único elemento 
CONJUNTO VAZIO 
É o conjunto que não possui nenhum elemento. 
Este conjunto é representado por: ∅ ou { } 
CONJUNTO UNIVERSO 
É conjunto ao qual pertencem todos os conjuntos 
considerados. 
Representamos o conjunto universo por U. 
SUBCONJUNTOS 
Consideremos dois conjuntos A e B, o conjunto A será 
subconjunto do conjunto B se qualquer elemento de A 
também pertencer a B. 
Nesse caso, dizemos que “A está contido em B” ou que 
A é subconjunto de B. 
 B 
A 
 
 
Em símbolos teremos: 
 
 
 A ⊂ B � lê-se: A está contido em B 
 ou 
 B ⊃ A � lê-se: B contém A 
 
 
 
Também utiliza-se os símbolos: 
 
 ⊄ : não está contido 
⊃ : não contém 
⊇ : contém ou é igual 
⊆ : está contido ou é igual 
 
 
 
As relações entre “elementos e conjuntos” e entre 
“conjunto a conjunto”, ficam bem resumidas no 
esquema: 
 
⊂ ou ⊂ 
 ⊄ ou ⊃ 
Elemento Conjunto 
Conjunto Conjunto 
∈ ou ∉ 
 
 
CONJUNTO DAS PARTES 
O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto 
formado por todos os subconjuntos de A. 
Representamos o conjunto das partes por: P(A). 
 
Exemplo: 
Considere o conjunto T = {1; 2; 3}, represente o 
conjunto P(T). 
P(T) = {∅; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}} 
 
Importante: note que todos os elementos de P(T) são 
conjuntos, portanto é necessário muita atenção ao 
emprego dos símbolos de pertinência e inclusão! Veja: 
 
a) {1; 2} ∈ P(T) b) {{1; 2}} ⊂ P(T) 
 
 Para calcularmos o número de subconjuntos que um 
conjunto possui, utilizamos a relação: 
 
n[P(A)] = 2k 
 
onde k é o número de elementos do conjunto 
 
 
Exercícios de Sala � 
1) Dados os conjuntos A = {1; 2} e B = { {1}; {2} }, 
classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
a) 1 ∈ A ( ) b) 1 ∈ B ( ) c) 2 ∉ A ( ) 
d) 2 ∉ B ( ) e) {1} ∈ A ( ) f) {1} ∈ B ( ) 
g) {2} ∉ A ( ) h) {2} ∉ B ( ) i) A = B ( ) 
 
2) Classifique em verdadeiro ou falso: 
a) ∅ ⊂ {3} ( ) b) ∅∈ {3} ( ) c) ∅ ∈ {∅; {3}} ( ) 
d) ∅ ⊂ {∅; {3}}( ) e) {3} ⊂ {3} ( ) f) {3} ∈ {3} ( ) 
g) {3}∈ {∅;{3}} ( ) h) {3} ⊂ {∅; {3}} ( ) 
 
3) Escrever todos os subconjuntos de A = {a, b, c}. 
 
4) Qual o número de subconjuntos de B = {a, b, c, d}. 
 
5) Qual o número de elementos de um conjunto 
que tem 1 024 subconjuntos? 
 
6) Dados os conjuntos A = {5; 12; 4x} e B = {12; 28; 5}, 
calcule o valor de x para que 
 
 
 
 
3 
 
 
 
AULA 02 
 
 OPERAÇOES ENTRE CONJUNTOS 
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS ( A ∩∩∩∩ B) 
Considere dois conjuntos quaisquer A e B, interseção é 
o conjunto dos elementos que pertencem 
simultaneamente a A e B. 
A ∩ B (lê-se: “A inter B”). 
 
 
A ∩ B 
A
 
B
 
 Se A ∩ B = ∅, isto é, os conjuntos A e B 
não têm elemento em comum dizemos que 
eles são DISJUNTOS 
PROPRIEDADES 
� A ∩ A = A 
� A ∩ ∅ = ∅ 
� A ∩ B = B ∩ A 
 
UNIÃO (REUNIÃO) DE CONJUNTOS (A ∪∪∪∪ B) 
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, sua união é o 
conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B. 
A ∪ B (lê-se: “A união B”). 
 
 
PROPRIEDADES 
� A ∪ A = A 
� A ∪ ∅ = A 
� A ∪ B = B ∪ A 
 
A 
B 
 
DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS 
A diferença A – B é o conjunto dos elementos do 
conjunto A que não pertencem ao conjunto B! 
Observe o exemplo: 
Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 
6, 7} a diferença desses conjuntos é representada por 
outro conjunto, chamado de conjunto diferença. 
Então A – B serão os elementos do conjunto A menos os 
elementos que pertencerem ao conjunto B. 
Portanto A – B ={0, 1, 2, 3, 4}. 
 
 
CONJUNTO COMPLEMENTAR 
 
 Quando B ⊂ A, a diferença A – B chama-se conjunto 
complementar de B em relação a A. 
 B 
 
 
 
Exemplos: 
e.01. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e} 
 
 A 
• i 
• o 
• u 
• a 
• e 
B 
 
 
Teremos: 
A – B = {i; o; u} 
e.02. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e; i} 
Teremos: A – B = {o; u} 
 
e.03. Sendo A = {a; e; i; o; u} e B = {a; e; i; x; y} 
Poderemos ter: 
 
A – B = {o; u} B – A = {x; y} 
 
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS 
Indicamos por n(A) o número de elementos do 
conjunto A; 
n(B) o número de elementos do conjunto B; n(A∩B) o 
número de elementos da interseção entre os conjuntos 
A e B e, n(A∪B) o número de elementos da união entre 
os conjuntos A e B, é válida a seguinte relação: 
 
 
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) 
 
 
 Muita atenção aos conectivos: 
� “e (símbolo: ∧∧∧∧)”, associamos à interseção. 
� “ou (símbolo: ∨∨∨∨)”, associamos à união. 
 
 
Exercícios de Sala � 
1) Considere os conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, B = {3; 
5; 7} e 
C = {5; 6; 7; 8; 9}, Determine: 
a) A – B = b) A – C = c) C – B = d) B – A = 
e) C – A = f) A ∩C = g) B∩C = 
h) A ∩ (B ∩ C) = i) (A – C) ∩ B = 
 
2) . Sendo n(A∪B) = 70, n(A) = 30 e n(B) = 60, calcule 
n(A∩B). 
 
3) Numa pesquisa sobre emissoras de TV a que 
habitualmente assistem, foram consultadas 450 
pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o 
canal A; 250, o canal B e 50 preferem outros canais 
diferentes de A e B. Pergunta-se: 
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? 
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem 
ao canal B? 
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem 
ao canal A? 
d) Quantas pessoas não assistem ao canal A? 
 
4) . (FGV-SP) Numa Universidade com N alunos, 80 
estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e 
Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 
estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta 
Universidade somente mantém as três faculdades, 
quantos alunos estão matriculados na Universidade? 
a) 304 b) 162 c) 146 d) 154 e) 286 
 
5) (Fatec-SP) Se A = {2; 3; 5; 6; 7; 8}, B = {1; 2; 3; 6; 8} e 
C = {1; 4; 6; 8}, então: 
 
 
4 
 
 
a) (A – B) ∩ C = {2} b) (B – A) ∩ C = {1} 
c) (A – B) ∩ C = {1} d) (B – A) ∩ C = {2} 
e) n.d.a. 
AULA 03 
 
FUNÇAO 
Sistema Cartesiano Ortogonal 
È um sistema constituído por dois eixos x e y 
perpendiculares entre si. 
 
x 
y 
0 a 
b 
P (a, b) 
1º Quadrante 
2º Quadrante 
3º Quadrante 4º Quadrante 
Eixo da abscissa. 
Eixo da ordenada. 
 
 
Este sistema é utilizado para localizar um ponto no 
plano, P(a, b), denominado par ordenado e 
representam as coordenadas do ponto P. 
 
PRODUTO CARTESIANO 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, denomina-se 
produto cartesiano de A por B o conjunto formado pelos 
pares ordenados nos quais o primeiro elemento 
pertence a A e o segundo elemento pertence a B e 
indicamos A x B (lê-se: A cartesiano B). 
 
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}. Vamos 
formar o conjunto dos pares ordenados: 
A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)} 
 
Representação Gráfica 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, o produto 
cartesiano A x B = {(0, 2), (0,4), (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 
4)} pode ser representado de duas formas: 
 
Representação por meio de Flechas. 
 
 
 
A B 
0 
1 
2 
2 
4 
 
 
Representação no plano cartesiano 
 
 ( 0, 2) 
0 1 2 x 
y 
2 
4 
 ( 2, 2) 
 ( 2, 4) 
 ( 1, 2) 
 ( 1, 4) ( 0, 4) 
 
 
OBSERVAÇÃO 
Cada par ordenado A x B é representado por um ponto 
no plano cartesiano. 
 
RELAÇÃO BINÁRIA 
Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em 
B , a qualquer subconjunto de Ax B. Em termos 
simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos 
escrever: 
 = { (x;y)  Ax B ; x  y } 
Ex:  = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 
0;2;3;4} em B = {3;5;0}. 
 
RELAÇÃO 
Dados dois conjuntos A e B, dá-se nome de relação R 
de A em B a qualquer subconjunto de A x B. 
 
Representação Gráfica de uma relação 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {2, 4}, e a relação 
R = {(x, y) ∈ A x B | y = 2x}, podemos representar 
graficamente esta relação R nas seguintes formas: 
 
 
A B 
0 
1 
2 
2 
4 
 
 
OBSERVAÇÃO 
1) Os elementos de A associados com os elementos de 
B chamamos de Domínio. 
D = {1, 2} 
 
2) Os elementos de B que foram associados com os 
elementos de A chamamos de Imagem. 
Im = {2, 4} 
 
FUNÇÕES 
Considerando dois conjuntos, A e B, não-vazios e uma 
relação binária de A em B, dizemos que essa relação é 
 
 
5 
 
 
função de A em B se, e somente se, a cada elemento x 
do conjunto A corresponder um único elemento y do 
conjunto B 
 
 f: A � B 
 
 
 lê-se: f é função de A em B 
 
Ou, no caso de ser possível escrever uma lei de 
correspondência através de uma expressão 
matemática: 
 
 y = f(x) 
 
 
 lê-se: y é função de x, com x ∈ A e y ∈ B 
EXEMPLO 
Vamos considerar algumas relações representadas 
pelos diagramas de flechas e ver quais delas 
representam uma função: 
 
a) 
 
 
 
R1 é função de A em B, pois a cada elemento do 
conjunto A corresponde um único elemento do 
conjunto B. 
 
b) 
 
 
 
R2 não é uma função de A em B, pois o elemento 4 do 
conjunto A possui dois correspondentes em B (2 e -2). 
 
c) 
 
 
 
 
R3 é função de A em B, pois cada elemento do conjunto 
A corresponde um único elemento do conjunto B. 
 
d) 
 
 
 
 
 
R4 não é uma função de A em B, pois o elemento 6 do 
conjunto A não possui correspondente no conjunto B. 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) (Unifesp – SP) Um ponto do plano cartesiano é 
representado pelas coordenadas (x + 3y, -x-y) e 
também por (4 + y, 2x + y), em relação ao mesmo 
sistema de coordenadas. Determine xy. 
 
2) Dados os conjuntos A = {3, 5, 6} e B = {1, 4}, 
determine a forma tabular dos produtos: 
a) A x B 
b) B x A 
 
3) Quais das seguintes relações de A em B são funções? 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
4) (PUC) Qual dos gráficos abaixo não representa uma 
função?: 
a) b) 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
AULA 04 
 
POTENCIAÇAO 
DEFINIÇÃO 
Considere a potência 
na , sendo a um número real e n 
um número inteiro. Estudaremos agora como 
determinar o valor dessa potência, caso o expoente n 
seja um número maior que 1, igual a 1, nulo ou 
negativo. Observe os seguintes casos: 
 
O EXPOENTE É UM INTEIRO MAIOR QUE 1 
fatoresn 
...a..........a.a.a.a...a n =
 
 
O EXPOENTE É 1 
aa1 = 
 
O EXPOENTE É ZERO, COM BASE NÃO-NULA 
0a 1,a 0 ≠= 
 
O EXPOENTE É UM INTEIRO NEGATIVO, COM BASE 
NÃO-NULA 
0a ,
a
1
a
n
n ≠=− 
 
 
EXERCICIOS 
1) O valor da expressão 03
23
162
4
1
2
1
+−





+





− é: 
a) 33/16 b) 17/16 c) 15/16 d) -15/16 e) -17/16 
 
2) ( MACK) 
( )
2
1
5
13
3
235
2
0
22
++






+−−
−
 é igual a : 
a)
17
3150
 b)90c)
73
1530
 d) 
3150
17
 e) –90 
 
3) (F.S.A.) O valor da expressão 
E = 4,0
8
5
:2.34 31 −+ −− é : 
a) –226/5 b) –2/5 c) 2/9 d) 9/20 e) /35 
 
4) O valor de 2
1
3
1
25,0 4816 −+
−
é igual a : 
a) 1/8 b) 1/6 d) 4 d) 1 / 2 e) 1 
 
PROPRIEDADES 
MÚLTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIA DE MESMA BASE 
O produto de potência de mesma base é igual à outra 
potencia de mesma base cujo expoente é a soma dos 
expoentes dados. A expressão geral é: mnmn a.aa += 
Exemplo: 3222.22 53232 === + 
 
QUOCIENTE DE POTÊNCIA DE MESMA BASE 
O quociente de potência de mesma base equivale à outra 
potência de mesma base cujo expoente é a diferença dos 
expoentes dados. A expressão geral 
é: 0)(a a
a
a mn
m
n
≠= − 
Exemplo: 422
2
2 27678
76
78
===
− 
POTÊNCIA DE UM PRODUTO 
A potência de um produto equivale ao produto dos 
fatores elevados ao mesmo expoente. A expressão geral 
é: nnn .ba(a.b) = Exemplo: 222 .35(5.3) = 
POTÊNCIA DE UMA DIVISÃO 
A potência de uma divisão equivale à divisão de duas 
potências cujas bases são o numerador e o denominador 
da divisão inicial, elevadas ao mesmo expoente. A 
expressão geral é: 0)(b 
b
a
b
a
n
nn
≠=





 Exemplo: 
3
33
3
4
3
4
=





 
POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA 
A potência de uma potência equivale à outra, cuja base é 
a mesma e cujo expoente é o produto dos expoentes. A 
expressão geral é: ( ) n.mmn aa = . Exemplo: 
( ) 62.332 222 == 
 
EXERCICIOS 
 
1) A metade de 104 é : 
a) 192 b) 102 c) 52 d) 54 e) 84 
 
2) Simplifique a expressão ( )[ ] 3329 222 −×÷ 
 
3) Simplifique: 7
634
2
2
1
2
1
2
1
−+





−×














−÷





− 
 
4) Simplifique a expressão 3
4
2.2
2.22
+
+
−
n
nn
 
 
 
 
8 
 
 
 
AULA 05 
 
RADICIAÇAO 
DEFINIÇÃO 
De modo geral podemos escrever: 
2)n e N(n abba nn ≥∈=⇔= . 
No radical n a , o numero n é chamado de índice do 
radical e o número a, radicando. 
Na determinação da raiz enésima de um número real a, 
ou seja, n a , podem ocorrer os seguintes casos. 
1° Caso: 0a ≥ e o índice n é um número inteiro positivo, 
diferente de um. 
Exemplos: 
416 = 
51253 = 
Ou seja, sendo 0a ≥ e n um número inteiro positivo 
deferente de um, dizemos que a expressão n a 
corresponde ao número real não-negativo b tal que: 
ab n = . 
OBSERVAÇÃO 
Não é correto escrever 525 ±= , pois o resultado de 
cada operação deve ser única. O radical 25 
corresponde ao número real não-negativo cujo 
quadrado é 25. 
2° Caso: 0a < e o índice n um número inteiro positivo 
impar, diferente de um. 
 Exemplos: 
3273 −=− 
21287 −=− 
Ou seja, sendo 0a < e n um número inteiro positivo 
impar, diferente de um, a raiz é um número real 
negativo. 
3° Caso: 0a < e o índice n é um número inteiro positivo 
par. 
 Exemplos: 
4− Não de define em R, pois nenhum numero real 
elevado ao quadrado é igual a – 4 
Ou seja, sendo 0a < e n um inteiro positivo par, a 
expressão n a não se define no conjunto dos reais. 
 
 
EXERCICIOS 
1) Calcular o valor da expressão: 
33465 641258110 −−+−+ 
 
2) Determine o valor da expressão numérica: 
3
1
4
1
3 27)2(168 −+−−+− 
 
3) Calcule o valor da expressão. 
42222 ++++ 
 
4) Qual o valor de: ( ) 32
0
3
272
2
189
−+−






+−−
 
 
PROPRIEDADES 
PROD UTO DE RADI CA IS DE MES MO I NDIC E 
Para multiplicarmos dois radicais de mesmo índice, 
multiplicamos os radicandos e conservamos o índice. 
A expressão geral desta propriedade é: nnn b.aa.b = 
Exemplo: 101004.2525.4 === 
 
DIVISÃO DE RADICAL DE MESMO INDICE 
Para dividir dois radicais de mesmo índice, dividimos os 
radicandos e conservamos o índice. 
A expressão geral desta propriedade é:
n
n
n
b
a
b
a
= 
Exemplo: 416
2
32
2
32
=== 
 
POTÊNCIA DE UM RADICAL 
O resultado de elevar um radical a uma potência 
equivale a elevar o radicando a esta mesma potência. 
A expressão geral é: ( ) n mmn aa = 
Exemplo: ( ) 46422 33 663 === 
 
RAIZ DE UMA RAIZ 
Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os 
índices. 
 
 
9 
 
 
A expressão geral é: n.mn m aa = 
 
Exemplo: 2646464 62.33 === 
 
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
Racionalizar os denominadores de uma fração significa 
operar para que não fiquem números irracionais no 
denominador. 
P ara racionalizar o denominador de uma fração 
devemos multiplicar os termos desta fração por uma 
expressão com radical denominado fator racionalizante, 
de modo a obter uma nova fração equivalente com 
denominador sem radical. 
Principais casos de racionalização: 
1° Caso: O denominador é um radical de índice 
2.
2
25
2
25
2
2
.
2
5
2
5
2
=== 
2° Caso: O denominador é um radical de índice diferente 
de 2 
7
73
7
73
7
7
.
7
3
7
3 3 2
3 3
3 2
3 2
3 2
33
=== 
3° Caso: O denominador é uma adição ou subtração de 
dois termos, em que pelo menos um deles é um radical 
( )
( )
( )
3 25 5
.
3 2 3 2 3 2
−
= =
+ + −
 
( ) ( )5 3 2 5 3 23 2
−
= = −
−
 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) Simplificando a expressão: 
( ) ( ) 36 105,20049,0109 ×⋅⋅× − , obtém-se 
a) 105 b) 10,5 c) 1,05 d) 0,105 e) 0,0105 
 
 
2) (MACK) Se n é um número natural maior que 1, a 
expressão n
n 2 2n 2
20
4 2+ ++
 é igual a? 
 
3) (FUVEST) Calcule 
2 3
3
+
. 
AULA 06 
 
FATORAÇAO 
Fatorar um número significa escrevê-lo como uma 
multiplicação de dois ou mais números. 
 
FATOR COMUM 
Nesse tipo de fatoração, percebemos que há um termo, 
chamado de fator, que é comum a todos os elementos 
das operações iniciais. 
 
Ex.: 3xy + 9xz + 6x = 3x (y + 3z + 2) 
 
AGRUPAMENTO 
Nesse caso, não existe um fator comum entre todas as 
parcelas, por isso há uma espécie de duas operações de 
“termo em evidência”. 
Para fatorar uma expressão algébrica por agrupamento 
: 
• formamos grupos com os termos da expressão; 
• em cada grupo, colocamos os fatores comuns em 
evidência; 
• colocamos em evidência o fator comum a todos os 
grupos (se existir). 
Ex.: x² - ay + xy – ax = x (x + y) – a (y + x) 
= (x + y) (x – a) 
QUADRADO PERFEITO 
Quadrado da soma de dois termos: 
 
 (a + b)² = a² - 2ab + b² 
 
 
Quadrado da diferença de dois termos 
 
 (a - b)² = a² - 2ab + b² 
 
 
DIFERENÇÃ DE QUADRADOS 
Produto da soma pela diferença de dois termos 
 
 (a + b) . (a – b) = a² - b² 
 
 
CUBO PERFEITO 
Cubo de uma soma 
 
( ) 232233 b)b)(a(ab3abb3aaba ++=+++=+ 
 
 
 
10 
 
 
CUBO DE UMA DIFERENÇA 
 
( ) 232233 b)b)(a(ab3abb3aaba −−=−+−=− 
 
S0MA E DIFERENÇA DE CUBOS 
 
 )babb)(a(aba 2233 +−+=+ 
 
 )babb)(a(aba 2233 ++−=− 
 
 
EXERCICIOS 
1) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se : 
a)(x + y)(3- 2a) 
b) ( x + 2y)( 3 - a ) 
c) ( x - 2y) ( 3 - a ) 
d) ( x + 2y) ( 3 + a ) 
e) ( x - 2y)( 3 + a ) 
 
2) (METODISTA) Simplificar a expressão 








−
−
÷
+
+
÷




−
ab2b
ab2a
ab2b
ab2a2b2a , onde ab ≠ 0 
 
3) (FUVEST) A diferença entre o quadrado de dois 
números naturais é 21. Um do possíveis valores da 
soma dos quadrados desses dois números é : 
a) 29 b) 97 c) 132 d) 184 e) 252 
 
4) (PUC-SP) Simplificar a expressão( ) 



 +−





−




−
2x3x2x
12x
2
2x2x
 
5) (MACK-02) O valor de 3223
44
yxyyxx
yx
−+−
−
 para 
x = 111 e y = 112 é: 
a) 215 b)223 c)1 d) –1 e)214 
 
6) (CEAG) Se a < -2, os valores de x tais que 
a
x a x
2
2( ) ( )− < − + são aquelas que satisfazem: 
a) x < a-2 
b)x < -2ª 
c) x > 2ª 
d) x > a-2 
e) a - 2 < x < 2 - a 
 
 
AULA 07 
 
EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Denomina-se equação do 1º Grau na incógnita x, toda 
equação da forma: 
 
ax + b = 0 , com a e b ∈ IR e a ≠ 0 
 
Resolução 
Resolver uma equação do 1º grau é encontrar o valor 
da incógnita que satisfaz à equação, tal valor é a raiz ou 
solução da equação. É muito simples encontrar a raiz, 
como se faz a seguir: 
 
1º caso 
 
Raizes: 
 
Logo V = R 
 
2° Caso 
 
Raizes: 
 
Logo V = 
 
3º caso 
 
Raizes: 
 
Logo V = 
 
 
EXERCICIOS 
1) Existem três números inteiros consecutivos com 
soma igual a 393. Que números são esses? 
 
2) Resolver, em ℜ , a equação: 
0)4(23)1(2 =−−+−+ xxx 
3)(ANPAD) A raiz da equação 5
6
1x2
4
1x3
=
+
−
−
 
é um número: 
a) Par 
b) Maior que 15 
c) Não inteiro 
d) Primo 
e) Divisível por 3 
 
5) (FUVEST) -Certa pessoa entra na igreja e diz a um 
santo: se você dobrar a quantia de dinheiro que eu 
 
 
11 
 
 
tenho, dou-lhe CR$ 20.000,00. Dito isto, o santo 
realizou o milagre e a pessoa, o prometido. Muito 
animada, ela repetiu a proposta e o santo, o 
milagre. Feito isto, esta pessoa saiu da igreja 
sem qualquer dinheiro. 
Pergunta-se: quanto em dinheiro a pessoa 
possuía ao entrar na igreja? 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
Um sistemas de duas equações de 1° grau, nas 
incógnitas ℜ∈ℜ∈ y e x é um conjunto de duas 
equações do tipo:



=+
=+
pnymx
cbyax
 onde ℜ∈ p n, m, c, b, a, 
 
PROCESSO DE SUBSTITUIÇÃO 
Para resolver o sistema 



=+
=+
7y2x
82yx
 isolamos uma das 
incógnitas numa das equações e substituímos na outra 
equação o valor encontrado. 
 
Na 1° equação isolando x obtemos 2y8x −= ; a seguir 
substituímos esse valor na outra equação: 
( )
( )

=+
=+
II 7y2x
I 82yx
 
 
Substituindo (II) emx , temos: 
3y-9-3y
7y4y-167y2y)2.(8
=⇒=⇒
=+⇒=+−
 
 
Substituindo y em (I), temos: 
2x86x82(3)x =⇒=+⇒=+ . 
Concluímos então que o par (2, 3) é solução do sistema; 
logo, S = (2, 3). 
 
PROCESSO DA ADIÇÃO 
Para resolver o sistema



=−
=+
34y7x
53y2x
 
Escolhe uma das incógnitas para eliminar. Para isso 
multiplica-se cada equação pelo coeficiente que essa 
incógnita tem na outra equação e somam-se ( ou 
subtraem-se), membro a membro, as equações obtidas. 
No sistema proposto, vamos eliminar a incógnita y, 
multiplicando a 1° equação por 4 e a 2° por 3. 
Acompanhe: 
 
( )
( )

×=−
×=+
3 34y7x
4 53y2x



=−
=+
⇒
91221
20128
yx
yx
, 
 
somando-se as duas equações temos: x = 1. 
Substituindo esse valor de x numa das equações do 
sistema, por exemplo, na 1°, obteremos: 
2(1) +3y = 5 1y33y53y2 =⇒=⇒=+⇒ . 
Pronto! O conjunto solução é S = (1, 1). 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) UNICAMP - Um copo cheio de água pesa 385g, com 
3
2
 da água pesa 310g. Qual é o peso do copo vazio? 
 
2) UNI – RIO - André, Bento e Carlos têm juntos 41 
anos. Calcular as idades de cada um sabendo que Bento 
é três anos mais velho que André e Carlos é quatro 
anos mais jovem que André 
 
3) Num escritório de advocacia trabalham apenas dois 
advogados e uma secretária. Como o Dr. André e o Dr. 
Carlos sempre advogam em causas diferentes, a 
secretaria, Cláudia, coloca 1 grampo em cada processo 
do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. 
Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. 
Sabendo-se que, ao todo são 78 processos nos quais 
foram usados 110 grampos, podemos concluir que o 
número de processos do Dr. Carlos é igual a? 
 
4) (Fuvest) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem 
o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada 
filha tem o número de irmãos igual ao dobro do 
número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do 
casal? 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
AULA 08 
 
EQUAÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 
Denomina-se equação do 2º Grau na incógnita x, toda 
equação da forma: 
 
 ax² + bx + c = 0, com a ,b e c ∈ IR e a ≠ 0 
 
Temos que: 
x é denominado incógnita 
a é o coeficiente do termo em x2 
b é o coeficiente do termo em x. 
c é denominado” termo independente” de x 
 
RESOLUÇÃO 
Resolver uma equação é determinar seu conjunto-
solução; uma raiz é um número que transforma uma 
sentença aberta em sentença verdadeira. 
A equação na forma ax² + bx + c = 0, é também 
chamada de EQUAÇÃO REDUZIDA ou NORMAL 
 
EQUAÇÕES INCOMPLETAS 
 
 1° caso: b = 0 e c = 0 
 
 
 
12 
 
 
A equação fica reduzida a ax² = 0, pode ser resolvida 
da seguinte maneira: 
 
 2 2 2
0
ax 0 x x 0 x 0
a
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
 
Portanto, a única solução possível para esse caso, é x 
= 0. 
 
 2° caso: b = 0 
 
 A equação fica reduzida a ax² + c = 0, pode ser 
resolvida da seguinte maneira: 
2x² - 50 = 0 � 2x² = 50 � x² = 50/2 � x² = 25 � 
� x = 25± , 
assim teremos como solução x1= 5 e x2 = -5. 
 Resposta.: S = {-5, 5} 
 
Importante: Observe que nesse caso as duas raízes são 
“simétricas” (mesmo valor numérico, com sinais 
diferentes). 
 
 3° caso: c = 0 
 
A equação fica reduzida a ax² + bx = 0, pode ser 
resolvida “fatorando” o termo comum x. Acompanhe o 
exemplo: 
x² - 4x = 0 � coloca-se x em evidência: x.(x – 4) = 0 
x1 = 0 e x2 – 4 = 0 � x2 = 4 
Resposta: S = {0; 4} 
 
Importante: Podemos observar que nesse caso a 
primeira raiz é sempre zero, a segunda é determinada a 
partir da expressão entre parênteses. 
 
 Um caso especial : (ax ±±±± b)2 = k 
 
Para esse caso, extraimos a raiz quadrada do segundo 
membro da equação, teremos portanto, duas raízes 
simétricas, a partir daí resolvemos a equação em duas 
etapas (como no 3° caso). Acompanhe o exemplo: 
 (2x – 8)2 = 16 � (2x – 8) = 16± � 2x – 8 = ± 4 
 Observe que agora “abriremos” em duas resoluções: 
 I) 2x – 8 = 4 � 2x = 4 + 8 � 2x = 12 � x = 12/2 
 � x1 = 6 
 II)2x – 8 = −4 � 2x = −4 + 8 � 2x = 4 � x = 4/2 
 � x2 = 2 
Resposta: S = { 2; 6} 
 
RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO COMPLETA 
DO 2° GRAU 
 
 1° PASSO 
 
 
Calcular o valor do discriminante ( ∆ ) através da 
Expressão 
 2∆ b 4.a.c= − 
 
Através desta expressão do discriminante, podemos 
fazer análises quanto ao número de raízes que a 
equação possui. 
O discriminante pode ser positivo (∆ > 0), nulo (∆ = 0) 
ou 
negativo (∆ < 0). É de extrema importância que você 
saiba o quadro seguinte pois servirá de apoio em 
diversas situações: 
 
 ∆∆∆∆ < 0 ∆∆∆∆ = 0 ∆∆∆∆ > 0 
A equação possui 
duas raízes reais 
e desiguais 
(diferentes). 
A equação possui 
duas raízes reais 
e iguais. 
A equação não 
possui raízes 
reais. 
 
 
 3° PASSO 
 
 
Aplicação da fórmula resolutiva 
 
 
b ∆
x
2a
− ±
= 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) (CEAG)O quadrado do triplo de um número positivo 
excede de 12 o triplo do quadrado desse número . Esse 
número 
a) é menor que 1 b) é ímpar c) está compreendido 
entre 7 e 10 d) é maior que 17 e) é irracional 
 
2) (CEAG)A soma de um número inteiro positivo como 
quadrado de seu sucessor é igual a 41. Qual é o produto 
deste número pelo seu antecessor ? 
a) 6 b) 12 c) 20 d) 30 e) 4 
 
3) (CEAG) O maior número que se deve subtrair de 
cada fator do produto 5x8, para que esse produto 
diminua de 36 unidades , é : 
a)3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 
 
4) (CEAG)A equação do segundo grau x² - 8x + m + 1 = 
0 , m∈R, admite raízes reais se , e somente se 
a) m≤-15 b) m≥-15 c)m≤15 d)m≥15 e) m<15 
 
 
 
13 
 
 
5)(CEAG) considere a equação do segundo grau x² + mx 
+ m - 1 = 0 , onde m é um número real. Se para um 
determinado valor de m essa equação admite raízes 
iguais, então essas raízes são iguais a : 
a) 1/2 b) -1/2 c) 1 d) -1 e) 2 
 
AULA 09 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
1)(CEAG) Analisando a função f(x) = -3x - 5, 
podemos concluir que : 
a) O gráfico da função é crescente. 
b) O ponto onde a função corta o eixo y é (0, -5). 
c) x =
5
2
− é zero da função. 
d) O gráfico da função é decrescente 
 
2) (CEAG)Sabendo que a função 
f(x) = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = -8, 
calcule os valores de m e n: 
a) m = 4 e n = -12 
b) m = -4 e n = 10 
c) m = 3 e n = 4 
d) m = 14 e n = 10 
 
3) Através de um estudo sobre o 
consumo de energia elétrica de uma fábrica, 
chegou-se à equação C = 400t, em que C é o 
consumo em KWh e t é o tempo em dias. Quantos 
dias são necessários para que o consumo atinja 
4800 KWh? 
a) 12 
b) 14 
c) 13 
d) 15 
e) 23 
 
4)O gráfico que melhor representa a função y = 3x – 2 
é: 
 
 
 
AULA 10 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda 
desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: 
• a x + b ≥0; 
• a x + b >0; 
• a x + b ≤0; 
• a x + b <0. 
com a , b ∈ R e a ≠0. 
 
 
EXERCICIOS 
1) Resolver a inequação seguinte: 
4( x −1)− 2x ≥3 x − x ( x +1) 
 
2) Resolver a inequação seguinte: 
3
1−x
+
2
14 )( x−
>
4
x
+
6
2 x−
 
 
3) Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) ≤ 0 
 
4) Determinar o conjunto verdade da inequação: 
6
2
42
)1(4
3
1 xxxx −
+>
−
+
−
 
 
AULA 11 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
É toda função do tipo cbxaxf(x) 2 ++= , onde a, b 
e c são números reais, com a ≠ 0. 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
O gráfico dessa função é uma parábola. 
Para construirmos o gráfico da função quadrática 
devemos primeiramente encontrar os zeros(raízes) 
da função em seguida fazer uma análise gráfica. 
Devemos considerar 3 possíveis casos. 
 
 ∆∆∆∆ > 0 A equação ax² +bx + c = 0, possui duas 
raízes reais e desiguais (x1 ≠ x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A PARÁBOLA INTERCEPTA O EIXO Ox 
 EM DOIS PONTOS DISTINTOS 
 
 
 
 
a > 0 
x1 x x2 
• • 
a < 0 
x x1 x2 
• • 
 
 
14 
 
 
 ∆∆∆∆ = 0 A equação ax² +bx + c = 0, possui duas 
raízes reais e iguais (x1 = x2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A PARÁBOLA TANGENCIA O EIXO Ox . 
 
 ∆∆∆∆ < 0 A equação ax² +bx + c = 0, 
não possui raízes reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A PARÁBOLA NÃO “TOCA” O EIXO Ox . 
 
ZEROS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
“São os valores de x que anulam a função”. 
Para descobrirmos as raízes (ou os zeros) da função 
cbxaxf(x) 2 ++= , basta atribuirmos à variável y, o 
valor zero. Ficaremos portanto com a equação de 
segundo grau: 0cbxax 2 =++ , para resolvê-la 
utilizaremos a fórmula resolutiva da equação de 
segundo grau: 
 
 
 
2a
∆b
x1,2
±−
=
 
 
 Onde 
 
 2∆ b 4ac= − 
 
O símbolo ∆∆∆∆ ( letra grega: delta), é o DISCRIMINANTE 
 
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Para estudarmos o sinal da função cbxaxf(x) 2 ++= 
devemos levar me consideração o discriminante ∆ e o 
sinal do coeficiente de x² (a), então temos; 
 
I) ∆ >0 
 
 a > 0 a < 0 
 
 
-1 0 1
0
2
X1 
+ + 
– 
 
 
 
-2 -1 0 1
-4
-2
0
– 
– 
+ X1 X2 
 
II) ∆ =0 
 
 a > 0 a < 0 
 
 
-1 0 1
0
2
X1=X2 
+ + 
 
-2 -1 0 1
-4
-2
0
X1=X2 
– – 
 
III) ∆ <0 
 
 a > 0 a < 0 
 
 
 
+ + + 
-1 0 1
0
2
 
 
 
– – – 
-2 -1 0 1
-4
-2
0
 
 
VÉRTICE DA PARÁBOLA 
 
 
a
b
xv 2
−
=
a
yv 4
∆−
=
);( vv yxV =
ABSCISSA 
ORDENADA 
 
 
 
IMPORTANTE: Dependendo das informações do exercício, 
podemos determinar a abscissa do vértice por 
 
 
2
21 xxxv
+
=
 (média aritmética das raízes) 
 
 
PONTO DE MÁXIMO E PONTO DE MÍNIMO 
Caso a parábola tenha concavidade voltada para 
cima, o 
 
VÉRTICE é PONTO DE MÍNIMO. 
x x1 = x2 
• 
a > 0 
x 
x1 = x2 
• 
a < 0 
x 
a > 0 
x 
a < 0 
 
 
15 
 
 
 y 
x 0 
• 
V 
• • 
• 
x1 xv 
yv 
c
 
x2 
O VÉRTICE é 
PONTO DE MÍNIMO 
a > 0 
 
 
Se a concavidade da parábola for voltada para baixo, o 
 
VÉRTICE é PONTO DE MÁXIMO. 
 
O VÉRTICE é 
PONTO DE MÁXIMO 
y 
x 0 
V 
• • 
• 
• 
x1 
x2 xv 
yv 
c
 
a < 0 
 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) (CEAG)Qual a parábola abaixo que 
poderia representar uma função quadrática 
com discriminante negativo (D < 0 )? 
 
2) (CEAG) As coordenadas do vértice da parábola y = x2 – 
2x + 1 são: 
a) (1, 0) b) (0,1) c) (-1, 1) d) (-1, 4) e) N.D.A. 
 
3) (CEAG)Um corpo lançado do solo verticalmente para 
cima tem posição em função do tempo dada 
pela função f(t) = 40 t – 5 t2 onde a altura f(t) 
é dada em metros e o tempo t é dado em 
segundos. O tempo que o corpo levou 
para atingir a altura máxima é: 
a) 2 segundos b) 3 segundos c) 8 segundos 
d) 4 segundos 
 
AULA 12 
 
Inequações do 2o grau 
Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda 
desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas: 
a 2x + b x + c ≥0; 
a 2x + b x + c >0; 
a 2x + b x + c ≤0; 
a 2x + b x + c <0. 
com a , b , c ∈ R e a ≠0. 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) Resolva as seguintes inequações do 2º Grau abaixo, 
sendo U = R: 
a) x2 – 5x + 6 > 0 b) – x2 – x – 6 ≥ 0 
c) 3x2 – 2x + 1 < 0 d) – x2 + 4x – 4 ≤ 0 
 
2) Quantos números inteiros satisfazem à seguinte 
condição : o quadrado de um número é menor que o seu 
quádruplo ? 
a)1 b) 3 c) 5 d) nenhum e) infinitos 
 
3) Considere a inequação x² - 7x + 6 < 0. Quantos 
números inteiros pertencem ao conjunto solução dessa 
inequação ? 
a)3 b) 4 c) 5 c) 6 e) infinitos 
 
AULA 13 
 
EXPONENCIAL 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Seja a um número real positivo e diferente de 1 (a > 0 e 
a ≠ 1). Chamamos de função exponencial de base a a 
função: 
 
 f: ℜℜℜℜ ���� ℜℜℜℜ+*, definida por f(x) = ax 
 
Domínio: D = |R 
O domínio desta função é o conjunto dos números 
reais, pois não há restrição para os valores de x. 
Imagem: Im = |R+ 
* 
 
 
16 
 
 
A imagem desta função é o conjunto dos reais positivos 
pois como a é positivo, ax será sempre um número positivo 
para qualquer valor de x. 
 
GRÁFICO 
1º)Para a > 1 
Para a > 1 a função y = ax é crescente e o gráfico é: 
 
 
0 
1 
x 
 
 
2º)Para 0 < a < 1 
Para 0 < a < 1 a função y = ax é decrescente e o gráfico 
é: 
 
 
0 
1 
x 
y 
 
 
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
As equações que apresentam incógnitas como expoente 
são chamadas equações exponenciais. Na resolução de 
equações exponenciais, utilizamostodas as 
propriedades de potências. Mas partimos sempre da 
propriedade mais importante: 
 am = an ⇒ m = n (a> 0 e a ≠≠≠≠ 1) 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) Resolver a equação 2 x = 128 
 
2) Resolver a equação 2x = 
1
16 
 
 3) Resolva a equação 2 5 2 4 06 3x x− + =. 
 
4) (MACK) A solução da equação 
9
16
12
9
3





 =






−x x
é 
um número racional x, tal que : 
 
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Denominamos inequação exponencial toda 
desigualdade que possui variável no expoente. Como 
por exemplo 2x-1 > 128. 
Para resolvermos uma inequação devemos nos 
preocupar com as seguintes propriedades: 
1) Quando a >1 ...... ax2 > ax1 <-> x2 > x1 (conserva o 
sentido da desigualdade). 
2) Quando 0 < a < 1 ...... ax2 > ax1 <-> x2 < x1 (inverte o 
sinal da desigualdade). 
 
 
EXERCICIOS 
1) Resolver a inequação: 22x − 1 > 2x + 1 
 
2) Resolver a inequação: (0,1)5x − 1 < (0,1)2x + 8 
 
3) Resolva a inequação ( )5 0 22 1x ≤ −, 
 
4) Resolva a inequação 082.64 <+− xx 
 
5) (UNIMES) Resolva a inequação 1
12
9
13
+
− <
x
x 
 
AULA 14 
 
LOGARITMOS 
 
DEFINIÇÃO 
Seja a e b números reais positivos, com a ≠≠≠≠ 1. 
Chamamos de logaritmo de b na base a ao número real 
x tal que ax = b. 
 
 baondex, x
b
a
log == 
 
Onde 
b é o logaritmando 
a é a base e 
x é o logaritmo 
 
 
EXERCICIOS 
1) ( ANPAD ) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é: 
a)-9 b)-3 c)-1/3 d)1/3 e)3 
 
2) ( CEAG ) Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 
valem respectivamente: 
a)2, 1 e -3 b)1, 0 e -2 c)3, 1 e -2 d)4, -2 e -3 e)3, 0 e -2 
 
3) ( ANPAD ) A expressão mais simples para alogax é: 
a)a b)x ( x > 0 ) c)logax d) logxa e) ax 
 
 
 
17 
 
 
4) FV - RJ ) O valor de log9 27 é igual a: 
a)2/3 b)3/2 c)2 d)3 e)4 
 
1)(ANPAD ) O valor da expressão 
8log.
64
1log
01,0log1log
42
103 + 
é: 
a) 4/15 b) 1/3 c)4/9 d)3/5 
 
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS DE LOGARITMOS 
P.1 ► Logbb = 1 
P.2 ► Logb1 = 0 
P.3 ► Logbbc = c 
P.4 ► bLogb a = a 
P.5 ► Loga(b.c) = Logab + Logac 
P.6 ► Loga(b/c) = Logab – Logac 
P.7 ► Logabn = n.Logab 
MUDANÇA DE BASE 
Muitas vezes necessitaremos transformar o log de um 
número em uma certa base para outra base. Sendo a, b, 
c ∈ ℜ+*, com a ≠ 1 e c ≠ 1, temos: 
 
 
log
loglog a
c
b
c
b
a
= 
 
OBSERVAÇÃO 
Em alguns cálculos de logaritmo é conveniente 
fixarmos sua base. Uma das bases “fixas” mais 
conhecidas, e utilizadas, é a base ‘e’. O número ‘e’ é um 
número irracional que pode ser expresso com qualquer 
precisão. Recebeu esse nome em homenagem ao 
Matemático Euler. Seu valor é, aproximadamente, 
2,7182818. Se considerarmos o logaritmo com a base 
e, temos: 
 
 ln b = x ⇔ ex = b 
 
 
EXERCICIOS 
1) ( ANPAD) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 
60 vale: 
a)1,77 b)1,41 c)1,041 d)2,141 e)0,141 
 
2) ( ANPAD)Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual 
será 
o valor de log 28 ? 
a)1,146 b)1,447 c)1,690 d)2,107 e)1,107 
 
3) ( CEAG ) Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a: 
a)0,6990 b)0,6880 c)0,6500 d)0,6770 e)0,6440 
 
4) ( CEAG) Se log2 b - log2 a = 5, então o quociente b/a 
vale: 
a) 10 b)25 c)32 d)64 e)128 
 
5) ( CEAG ) O valor de 3 . log 3 + log 5 é: 
a)log 30 b)log 135 c)log 14 d)log 24 e)log 45 
 
AULA 15 
 
EQUAÇOES LOGARITMICAS 
Chamamos de equações logarítmicas toda equação que 
envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no 
logaritmando, na base ou ambos. 
 
 log b = log c ⇔ b = c 
 
 
EXERCICIOS 
1) (FGV) A equação log(x + 2) + log(x – 2) = 1: 
a) tem duas raízes opostas. 
b) tem uma única raiz maior que 7. 
c) tem uma única raiz irracional. 
d) tem conjunto solução vazio. 
e) tem uma única raiz menor que 3. 
 
2) (FGV) O valor de x que satisfaz a equação log(2x + 7) 
= log2x + log7 é um número: 
a)menor que 1/2 
b) entre ½ e 1 
c)entre 1 e 3/2 
d) entre 3/2 e 2 
e) maior que 2 
 
3) (FGV) Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, a raiz da 
equação x5 = 60 vale aproximadamente: 
a) 2,15 b)2,54 c)2,28 d) 2,67 e) 41 
 
4) (FGV) a) Resolva a equação log (x – 2) + log (x + 2) = 
2 
 
FUNÇÃO LOGARITMICA 
Dado um número real *IRa +∈ chamamos de função 
logarítmica de base a a função IRIR:f * →+ que 
associa a cada x o número real ,log xa isto é, 
 
 
18 
 
 
 
 IRIR:f * →+ tal que xlogf(x) a= 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
Para a > 1, teremos: 
 
 
1 
x 
y 
a 1 
• 
a² 
2 
C 
D 
-1 
A 
 
 
 
Para 0 < a < 1, teremos: 
 
1 
x 
y 
A 
• 
-1 
1/a B 
1 
C 
D 2 
a 
 
 
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 
Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos 
nos preocupar com as seguintes propriedades: 
1) Quando a > 1 -> x2 > x1 « log a x2 > log a x1 (conserva 
o sentido da desigualdade) 
 
2) Quando 0 < a < 1 -> x2 > x1 « log a x2 < log a x1 
(inverte o sentido da desigualdade) 
 
 
EXERCICIOS 
1) ( ANPAD) A desigualdade log2(5x-3) < log27 é 
verdadeira para: 
a)x > 0 b)X > 2 c)x < 3/5 d)3/5 < x < 2 e)0 < x < 3/5 
 
2) ( ANPAD ) Qual o valor de x na inequação log1/2 x > 
log1/2 2 ? 
a)x > 1/2 
b)x < 1/2 
c)x > 2 
d)x < 2 e x > 0 
e)x = 2 
 
3) ( ANPAD ) Se log1/3 (5x-2 ) > 0 então x pertence ao 
intervalo: 
( 0, 1 ) 
( 
-
, 1 ) 
( 2/5, 3/5 ) 
( 2/5 , ) 
(
-
, 3/5 ) 
 
AULA 17 
 
FUNÇAO MODULAR 
 Definição 
Em todo número x podemos associar um valor absoluto de 
x ou um número real denominado módulo de x 
representado por x e obtido do seguinte modo: 
0
0
<−=
≥=
xsexx
xsexx
 
1) Resolva 
a) |- 5| = 
b) |+0,34| = 
c) | - 12 | = 
 
2)Resolva as equações abaixo: 
a) 212 +=− xx 
b) 3223 −=+ xx 
c) 31 =−x 
 
3) (ANPAD) De acordo com sugestão do fabricante, o 
preço de venda p, em reais, de certo objeto deve ser tal que 
1541p ≤− . A diferença entre o maior e o menor preço de 
venda desse objeto é: 
a) R$15,00 b) R$20,00 c) R$25,00 d) R$30,00 
 
4) (ANPAD) A solução da inequação 3)1x( 2 >− é: 
a) 2x −≤ ou 4x ≥ b) x > 4 c) x > 0 d) −−−−2 < x < 4 
e) x < −−−−2 ou x > 4 
 
AULA 18 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas 
diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 
maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras 
diferentes, e assim sucessivamente, então o número 
 
 
19 
 
 
total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado 
por: 
 
 T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
 
EXEMPLO 
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil 
serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 
algarismos. Qual o número máximo de veículos que 
poderá ser licenciado? 
 
SOLUÇÃO 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema 
numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos 
concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e 
como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também 
teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, 
concluímos facilmente quetemos 10 alternativas para 
cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o 
número total de veículos que podem ser licenciados 
será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 
175.760.000. 
 
 
EXERCICIOS 
01.Um homem vai a um restaurante disposto a comer 
um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio 
oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos 
diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o 
homem fazer sua refeição? 
 
02.Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas 
formas ela pode vestir uma blusa e uma saia? 
 
03.Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. 
Quantos casais diferentes podem ser formados? 
 
04.Um edifício tem 8 portas. De quantas maneiras 
distintas uma pessoa pode entrar e sair desse edifício 
de modo que não saia pela porta que entrou? 
 
05.Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares 
de sapatos. De quantas formas poderá ele vestir um 
terno, uma camisa e um par de sapatos? 
 
06.De quantas maneiras distintas um aluno poderá 
responder um questionário de 12 perguntas, cujas 
respostas para cada pergunta é verdadeiro ou falso? 
 
AULA 19 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
Permutações simples de n elementos distintos são os 
agrupamentos formados com todos os n elementos e 
que diferem uns dos outros pela ordem de seus 
elementos. 
O número total de permutações simples de n elementos 
distintos é dado por n!, isto é, 
 
 Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 
 
EXEMPLO 
Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas 
ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco 
lugares. 
 
SOLUÇÃO 
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
ANAGRAMA 
Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado 
pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não 
significado na linguagem comum. 
 
EXEMPLO 
Os possíveis anagramas da palavra REI são: 
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. 
 
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS 
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a 
elementos repetidos, b elementos repetidos, c 
elementos repetidos e assim sucessivamente, o número 
total de permutações que podemos formar é dado por: 
 
c!...b!a!
n!P c,...)b,(a,n = 
 
EXEMPLO 
Determine o número de anagramas da palavra 
MATEMÁTICA. (não considere o acento) 
 
SOLUÇÃO 
Temos 10 elementos, alguns com repetição. Observe 
que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três, a 
letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, 
a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos 
escrever: 
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 
Resposta: 151200 anagramas. 
 
 
EXERCICIOS 
1) De quantos modos distintos podemos colocar 3 
livros juntos em uma estante de biblioteca? 
 
2) De quantos modos distintos 5 pessoas podem 
sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares? 
3) Qual é o número possível de anagramas que se pode 
montar com as letras da palavra AMOR? 
 
4) Quantos números com cinco algarismos podemos 
construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. 
 
 
 
20 
 
 
 
AULA 20 
 
ARRANJOS SIMPLES 
Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo 
simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos 
distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos 
diferem entre si, pela ordem de colocação dos 
elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: 
 
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. 
 
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. 
 
Representando o número total de arranjos de n 
elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a 
seguinte fórmula: 
 
k)!(n
n!A kn,
−
= 
 
5-1 EXEMPLO: 
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 
2,..., 9. O segredo do cofre é marcado por uma 
seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar 
abrir o cofre, quantas tentativas ela deverá fazer, no 
máximo, para conseguir abri-lo? 
 
SOLUÇÃO 
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira 
posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e 
para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de 
arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, 
chegaremos ao mesmo resultado: 
10.9.8 = 720. 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) Quantos números de 5 algarismos distintos 
formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 
 
2) Quantas são as possibilidades de criar palavras de 3 
letras, sem repetição, com as 9 primeiras letras do 
nosso alfabeto? 
 
4) De quantas maneiras distintas podemos classificar 
os 6 primeiros colocados numa corrida de bicicleta 
disputada por 10 ciclistas? 
 
2) (ANPAD) Duas pessoas entram num ônibus que tem 
7 lugares vagos. O número de maneiras diferentes que 
essas 2 pessoas podem ocupar esses lugares é: 
a)21 b)84 c)120 d)42 
 
3) (ANPAD) Durante a Copa do Mundo, que foi 
disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola 
traziam palpites sobre os países que se classificariam 
nos três primeiros lugares (por exemplo: 10. lugar, 
Brasil; 20. lugar, Nigéria; 30. lugar, Holanda). 
Se, em cada tampinha, os três países são distintos, 
quantas tampinhas diferentes poderiam existir? 
a) 69 b) 2024 c)9562 d)12144 e) 13824 
 
AULA 21 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
Denominamos combinações simples de n elementos 
distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos 
formados por k elementos distintos escolhidos entre os 
n elementos dados. Observe que duas combinações são 
diferentes quando possuem elementos distintos, não 
importando a ordem em que os elementos são 
colocados. 
 
6-1.EXEMPLO 
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: 
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. 
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. 
c) combinações de taxa 4: abcd. 
 
Representando por Cn,k o número total de combinações 
de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a 
seguinte fórmula: 
k)!(nk!
n!Cnk
−
= 
 
 
EXERCICIOS 
1) Quantas comissões de 3 participantes podem ser 
formadas com 5 pessoas? 
 
2) (ANPAD) Numa classe há 10 rapazes e 6 moças. 
Quantas comissões de 4 rapazes e 2 moças podem ser 
formadas? 
a) 40 b) 480 c) 3 150 d)380 e) 600 
 
3)(ANPAD) Do quantos modos pode vestir-se um 
homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças 
diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um 
par de sapatos ? 
a)52 b)86 c)24 d)32 e)48 
 
03)(CEAG).Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De 
quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia? 
a) 5 b) 10 c) 30 d) 40 e) 50 
 
04) (ANPAD).Um edifício tem 8 portas. De quantas 
maneiras distintas uma pessoa pode entrar e sair desse 
edifício de modo que não saia pela porta que entrou? 
a) 18 b) 27 c) 49 d) 56 e) 72 
 
 
21 
 
 
 
AULA 22 
 
PROBABILIDADES 
 
ESPAÇO AMOSTRAL 
É o conjunto universo ou o conjunto de resultados 
possíveis de um experimento aleatório. 
No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" 
temos o espaço amostral {cara, coroa}. 
No experimento aleatório "lançamento de um dado" 
temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
No experimento aleatório "dois lançamentos 
sucessivos de uma moeda" temos o espaço amostral : 
{(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)} 
Obs: cada elemento do espaço amostral que 
corresponde a um resultado recebe o nome de ponto 
amostral. No primeiro exemplo : cara pertence ao 
espaço amostral {cara, coroa}. 
 
EVENTOS 
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um 
experimento aleatório. 
Se considerarmos S como espaço amostral e E como 
evento: Assim, qualquer que seja E, se E c S (E está 
contido em S), então E é um evento de S. 
 
Se E = S , E é chamado de evento certo.Se E c S e E é um conjunto unitário, E é chamado de 
evento elementar. 
 
Se E = Ø , E é chamado de evento impossível. 
 
PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO 
 
 
n( E )P(A)
n( S )= 
 
EXEMPLO 
Consideremos o experimento Aleatório do lançamento 
de um moeda perfeita. Calcule a probabilidade de sair 
cara. 
Espaço amostral: S = {cara, coroa} ⇒ n(S ) = 2 
Evento E: E = {cara} ⇒ n( E ) = 1 
Como 
n(S)
n(E)P(A) = , temos 
2
1)( =AP ou 0,50 = 50% 
 
EXERCICIOS 
1) Jogando um dado, determine qual a probabilidade de 
sair na face de cima: 
O número 5 
O número 4 
Um número par 
Um número impar 
Um número maior que 4 
Um número menor que 4 
 
2)(CEAG) Um livro tem 100 páginas numeradas de 1 a 
100. Abrindo-se numa página ao acaso, a probabilidade 
de que o número da página contenha o número 2 é: 
a) 1% b) 10% c) 19% d) 28% e) 37% 
 
3) (CEAG) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 
1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, qual é a 
probabilidade de que o número observado seja 
múltiplo de 8? 
a) 3/25 b) 7/50 c) 1/10 d) 8/50 e) 1/5 
 
AULA 23 
 
UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
REGRAS DA ADIÇÂO 
União A ∪ B: implica na ocorrênciade pelo menos um 
dos eventos 
 
A 
 
 ΒΒΒΒ
 
 
 
 
 
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral 
A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: 
 
 
A 
 
 Β Β Β Β 
 
 
 P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
 
Se A B=φ∪ e A e B são chamados de eventos 
mutuamente exclusivos, neste caso 
 
 
Β Β Β Β A 
 
 
 P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
 
Se A B=φ∩ e A B∪ = S , A e B são chamados 
eventos exclusivos. Então: 
 
 
 
22 
 
 
 
A 
B 
S 
 
 P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Esta probabilidade, como o próprio nome diz, está 
condicionada a um acontecimento que ocorreu 
anteriormente. Simbolicamente esta probabilidade é 
escrita na forma P(A/B) que representa; “ 
probabilidade de ocorrer o evento A depois que eu já sei 
que ocorreu o evento B 
 
 )B(n
)BA(n)B/A(P ∩==== 
 
 
EXERCICIOS 
1) Se P(A)=0,6, P(A∩B)=0,2, P(A∪B)=0,8. Calcule P(B) 
 
2)(ANPAD)Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 
a 100. A probabilidade de o bilhete sorteado ser maior 
que 40 ou número par é: 
a. 60% b. 70% c. 80% d. 90% e. 50% 
 
3)(ANPAD)Num único lance de um par de dados 
honestos, a probabilidade de saírem as somas “múltiplo 
de 4” ou “primo” é: 
a. 1/3 b. ¼ c. 1/5 d. 2/3 e. 2/5 
 
4) (ANPAD) Numa urna foram colocadas 30 bolas: 10 
bolas azuis numeradas de 1 a 10, 15 bolas brancas 
numeradas de 1 a 15 e 5 bolas cinzas numeradas de 1 a 
5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola, a 
probabilidade de obter-se uma bola par ou branca é: 
a) 29/30 b) 7/15 c) 1/2 d) 11/15 e) 13/15 
 
AULA 24 
 
INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS 
 P(A B) P(B) P(A / B) P(A) P(B / A)= =∩ 
 
PROPRIEDADES 
A e B eventos independentes 
 
 =∩P(A B) P(A) P(B) 
A e B eventos dependentes 
 
 =∩P(A B) P(A) P(B) 
 
LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE 
Considere uma experiência sendo realizada diversas 
vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os 
resultados de cada experiência sejam 
independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, 
obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou 
o complemento A cuja probabilidade é 1 – p. 
 
EXEMPLO 
Realizando-se a seqüência descrita exatamente n vezes, 
qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só K vezes 
 
Resolução 
1) Se num total de n experiências, ocorrer somente k 
vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer 
exatamente n – k vezes o evento A . 
 
2) Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do 
evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de 
ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A , 
ordenadamente, é: 
 
 
3) As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer 
entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de 
escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k. 
4) Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que 
possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e 
portanto a probabilidade desejada é: 
 
 k n - kn,kC .p (1- p) 
 
 
EXERCICIOS 
1) (ANPAD) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 
bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são 
sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A 
probabilidade de que ambas sejam brancas vale: 
a) 1/6 b) 2/9 c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81 
 
2) (CEAG) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4 bolas 
amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao 
acaso e sem reposição. A probabilidade de ambas 
serem da mesma cor é: 
a) 13/72 b) 1/18 c) 5/18 d) 1/9 e) 1/ 4 
 
3) (ANPAD) Uma moeda viciada apresenta 
probabilidade de ocorrer face cara quatro vezes maior 
 
 
23 
 
 
que a probabilidade de ocorrer face coroa. Em 2 
lançamentos consecutivos dessa moeda qual a 
probabilidade de ocorrer 2 vezes a face coroa? 
a) 0,2 
b) 0,1 
c) 0,01 
d) 0,02 
e) 0,04 
 
4) (CEAG) Em um campeonato de tiro ao alvo, dois 
finalistas atiram num alvo com probabilidade de 60% e 
70%, respectivamente, de acertar. Nessas condições, a 
probabilidade de ambos errarem o alvo é: 
a) 30 % 
b) 42 % 
c) 50 % 
d) 12 % 
e) 25 % 
 
AULA 25 
 
MATRIZ 
Chamamos de matriz de ordem m x n (lê-se: “m 
por n”) a toda tabela de números dispostos e m linhas 
e n colunas. Na tabela anterior temos, portanto, uma 
matriz 3 x 3. 
 Veja mais alguns exemplos 
 
a) 
2 1 0
4 2 3
− 
 
− 
é uma matriz do tipo 2 x 3 
 
b)
1 3
0 2
2 4
 
 
−
 
  
 é uma matriz do tipo 3 x 2 
 
Em uma matriz, os números são os elementos. As 
linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, 
da esquerda para direita: 
 
 
Notação geral 
Costuma-se representar as matrizes por letras 
maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, 
acompanhadas por dois índices que indicam, 
respectivamente, a linha e a coluna que o elemento 
ocupa. 
 Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por: 
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 34 3n
m1 m2 m3 mn
a a a a
a a a a
A= a a a a
a a a a
 
 
 
 
 
 
  
 
ou, abreviadamente, A = (aij)mxn, em que i e j 
representam, respectivamente, a linha e a coluna que o 
elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, 23a 
é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. 
 
 
EXERCICIOS 
1) (ANPAD) Seja X = (xij) uma matriz quadrada de 
ordem 2, onde 
i + j, se i = j
i - j, se i > j
1, se i < j





. A soma dos seus 
elementos é igual a: 
 
a)-1 b) 1 c) 6 d) 7 e) 8 
 
2) (ANPAD) A solução da equação matricial 
 
2
-1 2
x x - 2
 
 
 
=
x + 1 4
3x+4 2
x + 
 
 
 é um número: 
 
a)Maior que -1 
b)Menor que -1 
c)Maior que 1 
d)Entre -1 e 1 
e)Entre 0 e 3 
 
3) . ( ANPAD) Dadas as matrizes 
1 3
2 4
3 0
A
 
 
=
 
  
 e B =
0 1 2
1 2 0
 
 
− 
 se At é a matriz 
transposta de A, então ( At - B ) é: 
a) 
1 3 5
2 6 0
 
 
 
 b) 
1 4
1 2
1 0
 
 
 
  
 c) 
1 1 1
4 2 0
 
 
 
 
 
d) 
1 2 2
3 2 3
 
 
 
 e) 
1 23 6
5 0
 
 
 
  
 
 
Multiplicação de Matrizes 
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o 
número de colunas da primeira seja igual ao número de 
linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é 
 
 
24 
 
 
dada pelo número de linhas da primeira e o número de 
colunas da segunda. 
 
 
EXERCICIOS 
1) ( ANPAD ) Considere as matrizes 
 
A=
2 3 1
1 1 7
 
 
− 
 e B=
1 3
0 4
2 2
 
 
 
  
 . A soma dos elementos 
da primeira linha de A . B é: 
 
a)20 b) 21 c)22 d)23 e)24 
 
2) (ANPAD) Observe que: 
Se A=
0 1
2 3
 
 
 
 e B =
4 5
6 7
 
 
 
, então A.B é a matriz: 
a) 
0 5
12 21
 
 
 
 b) 
6 7
26 31
 
 
 
 c) 
6 26
7 31
 
 
 
 
 
d) 
0 12
5 21
 
 
 
 e) 
0 0
12 14
 
 
 
 
 
AULA 27 
 
DETERMINANTES 
A toda matriz quadrada está associado um número ao 
qual damos o nome de determinante 
 
Determinante de primeira ordem 
Dada uma matriz quadrada de −
a
1 ordem M= [ ]11a , 
chamamos de determinante associado à matriz M o 
número real 11a . 
Notação: det M ou 11a = 11a 
 
Exemplos: 
 
[ ] 55ou 5Mdet5M 11 ==⇒= 
[ ] 33-ou 3Mdet3M 12 −=−=⇒−= 
 
Determinante de segunda ordem 
Dada a matriz M= 





2221
1211
aa
aa
, de ordem 2, por 
definição, temos que o determinante associado a essa 
matriz, ou seja, o determinante de −
a
2 ordem é dado 
por: 
 
( )21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa
Mdet −=





= 
 
Assim: ( )21122211 aaaaMdet −= 
Exemplo: 
Sendo M= 





54
32
, então: 
 
 det M= 212104352
54
32
−=−=⋅−⋅= 
 
Logo: det M = -2 
 
Regra de Sarrus 
 
Dispositivo prático para calcular o determinante de 
−
a
3 ordem. 
 
Exemplo 1: 
Calcular o seguinte determinante através da Regra de 
Sarrus. 
D=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
Solução: 
−
a
1 Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da 
−
a
3 : 
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
 
a
a
a
 
aaa
aaa
aaa
 
−
a
2 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos 
da diagonal principal com os dois produtos obtidos 
com os elementos das paralelas a essa diagonal. 
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou 
seja: 
 
( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++= 
−
a
3 Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos 
da diagonal secundária com os dois produtos obtidos 
com os elementos das paralelas a essa diagonal. 
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou 
seja: 
 
( )332112322311312213 aaaaaaaaa ++− 
Assim: 
 
 
25 
 
 
( )332112322311312213 aaaaaaaaaD ++−=
( )322113312312332211 aaaaaaaaa +++ 
 
 
EXERCICIOS 
1) O conjunto solução de 
1x
11
1x
11
11
x1
= é: 
a) { }1x|Rx ≠∈ b){0;1} c){1} d){-1} e) {0} 
 
2) calcule 
3 2 2
A 1 1 1
2 3 3
− −
= − −
− −
 
 
3) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de 
determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 
3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da 
idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), 
em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz 
A, em que: 
3
2
 2 0
x- 0 3
1 1- 1
, com base na fórmula p(x) = 
det A, determine: o peso médio de uma criança de 7 
anos 
 
AULA 28 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
Definição 
É uma seqüência numérica em que cada termo, a partir 
do segundo, é igual ao anterior somado com um 
número fixo, chamado razão da progressão. 
an+1 = an + r ∀∀∀∀n ∈∈∈∈ N* 
ou 
a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an+1 – an = r 
 
Classificação de uma P.A. 
� Crescente: r > 0 
� Decrescente: r < 0 
� Constante: r = 0 
 
Fórmula da soma dos n termos de uma P.A. finita 
Numa P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes 
dos extremos é igual à soma dos extremos. 
Sn = 
( )
2
naa n1 + 
a1 = primeiro termo 
an = enésimo termo 
n = número de termos 
Sn = soma dos n termos. 
 
 
EXERCICIOS 
1) Determine o 4º termo da P.A. (6, 3,,...) 
 
2) Numa P.A. de razão 3, o sétimo termo é 21. Qual é o 
primeiro termo? 
 
3) ( ANPAD ) Sabendo que a seqüência ( 1-3x, x-2, 2x+1 
) é uma PA , o valor de
2 21x + é: 
a)5 b)3 c)4 d)6 e)8 
 
4) . ( ANPAD ) Um teatro têm 18 poltronas na primeira 
fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma 
seqüência , até a vigésima fila que é a última .O número 
de poltronas desse teatro é : 
a)92 b)150 c)1500 d)132 e)1320 
AULA 28 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Termo Geral: 
an = a1 . qn-1 
 
an = Termo geral 
1a = 1º Termo 
n = Número de termos 
q = Razão 
 
OBS: 
Propriedades: 
1º) q = (a2 / a1 ) = (a3 / a2 ) = (a4 / a3) = constante 
 
2º) a2 2 = a1 . a3 
 
OBS: Se a1 = q temos ainda: a1 . a3 = a4 
a1 . a3 . a4 = a8 
 
 1+3+4=8 8 
 
( A soma dos índices de cada lado devem ser iguais ) 
 
Fórmula da Soma dos termos de uma P.G 
 
a) P.G Finita: ( limitada) 
n
1
n
a (q - 1)S = 
q - 1
 
 
 
26 
 
 
 
b) Limite da soma de uma P.G infinita : (ilimitada) 
1
n
aS = 
1- q
 
 
EXERCICIOS 
1) ( ANPAD ) O primeiro termo de uma progressão 
geométrica em que a3 = 1 e a5 = 9 é: 
a)1/27 b)1/9 c)1/3 d)1 e)0 
 
2) ( ANPAD ) Se a seqüência ( 4x, 2x + 1, x-1 ) é uma PG, 
então o valor de x é: 
a)-1/8 b)-8 c)-1 d)8 e)1/8 
 
3)(ANPAD) A soma dos 9 primeiros termos da 
seqüência(1,2,4,8,...) é igual a: 
a)63 b)127 c)128 d)255 e) 511 
 
4)(ANPAD) A soma dos infinitos termos da P.G. 
1 1 1
, , ,...
3 6 1 2
 
 
 
 é igual a: 
a) 2 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/6 e) 1 
 
 
AULA 29 
 
PORCENTAGEM 
Definição 
Porcentagem é uma razão centesimal que é 
representada pelo símbolo % que significa “por 
cento”. 
 
 
x
 = x %
100
(lê-se x por cento) 
 
EXEMPLO 
 
13% 0,13
13
100
= = 
 
Noção Intuitiva 
“O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-
se 23 por cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 
100 habitantes são analfabetos. 
 
Cálculo de uma porcentagem 
Exemplo: 
25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” 
pois 25% = 
100
25
= 0,25 
Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00 
Nomenclatura Usual 
Em 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” 
Temos: 
 
 





=
=
=
20 p é mporcentage a
25(%) i é taxaa
80 P é principalou todoo
 
 
ACRÉSCIMOS OU DECRÉSCIMOS 
Sendo M (M > 0) o valor inicial de uma quantia, após 
um aumento de x% o valor final será 
 
x1+ .M
100
 
 
 
 
 
Sendo M (M > 0) o valor inicial de uma quantia, após 
uma redução de x% o valor final será 
 
 
x1- .M
100
 
 
 
 
 
 
EXERCICIOS 
 
1) (ANPAD) Quanto é 32% de R$ 25.000,00? 
a)R$ 5.500,00 
b)R$ 7.500,00 
c)R$ 8.000,00 
d)R$ 10.000,00 
e) R$ 12.000,00 
 
2) (FGV-SP) Trinta por cento da quarta parte de 6 400 é 
igual a: 
a) 480 b)640 c) 160 d) 240 e) 360 
 
3) (ANPAD) Um advogado, contratadopor Marcos, 
consegue receber 80% de uma causa avaliada em 
R$200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título 
de honorários. A quantia, em reais, que Marcos 
receberá, descontada a parte do advogado, será de 
a) 24000 b) 30000 c) 136000 d) 160000 e) 184000 
 
4) (ANPAD) Um pintor pintou 30% de um muro e 
outro pintou 60% do que sobrou. A porcentagem do 
muro que falta pintar é: 
a) 10% b) 28% c) 15% d) 33% e) 23% 
 
 
5) Uma loja oferece duas formas de pagamento para seus 
clientes: à vista ou em duas parcelas iguais. A loja 
anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de 
 
 
27 
 
 
R$ 200,00 para pagamento em duas vezes, sendo R$ 
100,00 no ato da compra e R$ 100,00 trinta dias após essa 
data. Para pagamento á vista, a loja oferece um desconto 
de 10% sobre o preço total de R$ 200,00 anunciado na 
vitrine. Considerando o preço á vista como o preço real do 
vestido. Determine a taxa de juros cobrada pela loja no 
pagamento em duas vezes. 
a) 10% b) 15% c) 25% d) 30% e) 50% 
 
6) (ANPAD)João está à procura de um imóvel para 
adquirir. Após várias pesquisas de mercado, achou o 
imóvel de seus sonhos, porém, por não ter a quantia 
suficiente para pagar o valor solicitado, pechinchou 
com o vendedor, obtendo dois descontos sucessivos de 
20% e 5% no valor inicial do imóvel. O valor da taxa 
única que representa esses dois descontos é 
a) 23%. b) 26%. c) 24%. d) 27%. e) 25%. 
 
7) (UNESP) Com relação à dengue, o setor de vigilância 
sanitáriade um determinado município registrou o 
seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos: 
– em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um 
aumento de 10% e 
– em março, relativamente a fevereiro, houve uma 
redução de 10%. 
Em todo o período considerado, a variação foi de 
a) – 1%. b) – 0,1%. c) 0%. d) 0,1%. e) 
1%. 
 
AULA 30 
 
JUROS 
Ao aplicar (investir) certa quantia (capital C) em uma 
instituição financeira (por exemplo, um banco) por um 
determinado período de tempo (t), recebe-se, ao final 
deste, aquela quantia acrescida de um valor 
denominado juro (J). O valor do juro depende de certa 
porcentagem (taxa de juros i) sobre a quantia aplicada. 
O montante (M) é o resultado da soma daquela quantia 
com o juro. 
 M = C + J 
 
JUROS SIMPLES 
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros 
incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, 
sobre os juros acumulados. a taxa varia linearmente em 
função do tempo. Se quisermos converter a taxa diária 
em mensal, basta multiplicar a taxa diária por 30; se 
desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta 
multiplicar por 12, e assim por diante. 
 
CALCULO DOS JUROS: 
Valor dos juros é obtido da expressão 
 
C.I.TJ = 
100
 
 M = C(1+I.T) 
 
onde: 
j = valor dos juros 
C = valor do capital inicial ou principal 
i = taxa 
n = prazo 
M = montante final 
 
EXERCICIOS 
1)Um capital de R$ 3000,00 foi aplicado a juros simples 
por 3 meses. A taxa de juros utilizada foi de 1,5% a.m.. 
Qual o valor total retirado após essa aplicação? 
2) Qual é a taxa anual de juros simples que faz um 
capital de R$ 9.500,00 produzir um montante de R$ 
11.900,00 ao fim de 1 ano? 
 
3) Patrícia aplicou R$ 800,00, a juros simples, a uma 
taxa de 2,5% ao mês e, ao final de um certo tempo, 
recebeu R$ 1.080,00. Quanto tempo ela deixou o 
dinheiro aplicado a essa taxa? 
 
4) Um capital qualquer aplicado a juros simples, a uma 
taxa fixa de 4% ao mês, dobra seu valor ao fim de 
quantos meses? 
 
JUROS COMPOSTOS 
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros 
incide sobre o principal acrescido dos juros 
acumulados até o período anterior. Neste regime de 
capitalização a taxa varia exponencialmente em função 
do tempo. 
O conceito de montante é o mesmo definido para 
capitalização simples, ou seja, é a soma do capital 
aplicado ou devido mais o valor dos juros 
correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida. 
 
 M = C(1+I)T 
 
 
EXERCICIOS 
1) Calcule o montante de um capital de r$ 6.000,00 , 
aplicado à taxa de 7% ao mês, durante 8 meses no 
regime de juros compostos. 
 
2) Em regime de juro composto determine o capital 
resultante de uma aplicação de R$ 5000,00 durante 6 
anos à taxa anual de 10%. ao ano. 
 
 
 
28 
 
 
3) Em regime de juro composto determine o capital 
resultante de uma aplicação de R$ 5000,00 durante 6 
anos à taxa anual de 10%. ao ano. 
 
4) Sabendo que 1,03641,0123 = , calcule o montante, 
após 3 meses, de um capital de R$ 100,00 investido a 
juro composto de 1,2% ao mês. 
 
5) Use a tabela abaixo para calcular o montante do 
capital de R$ 1000, 00, investido a juro composto de 
2,5% ao mês, durante 5 meses. 
 
n n(1,01) n(1,0457) n(1,025) 
3 1,0303 1,0457 1,0769 
4 1,0406 1,0613 1,1038 
5 1,0510 1,0772 1,1314 
 
AULA 31 
 
 GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
1. Distância entre dois pontos 
 
 
 
 d x x y yAB B A B A= − + −( ) ( )2 2 
 
 
2. Ponto Médio de um Segmento 
 
 
 
 
 M x x y yA B A B+ +




2 2
, 
 
 
Exercícios de Sala � 
 
 
EXERCICIOS 
1)(ANPAD) A distância do ponto A ( -1, 2 ) ao ponto B ( 
2, 6 ) é: 
a)3 b)4 c)5 d)6 e)n.d.a 
 
2) O valor de y , para qual e distância do ponto A ( 1, 0 ) 
ao ponto B ( 5, y ) seja 5 é: 
a) 3 b) 4 c)3 d)2 e)-1 
 
3)(ANPAD) A soma das coordenadas do ponto médio 
do segmento de extremidades ( -1, 4 ) e ( 3, 10 ) é: 
a) 16 b) 18 c) 10 d) 8 e) 6 
 
AULA 32 
 
3. Área de um Triângulo 
 
 
 
EXERCICIOS 
1) Determine a área do triângulo de vértices A(1, 3); 
B(4, 6) e C(5, 2) 
 
2) Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano 
estão alinhados se e somente se k for igual a: 
 
AULA 33 
 
4. ESTUDO DA RETA 
Condição de alinhamento de três pontos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13
13
12
12
xx
yy
xx
yy
−
−
=
−
−
 ⇔ D = 
1yx
1yx
1yx
33
22
11
 
 
EXERCICIOS 
1)Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados 
quando: 
a) A (0, 2), B (−3, 1) e C (4, 5) 
 
b) A (−2, 6), B (4, 8) e C (1, 7) 
 
 
 
29 
 
 
e) A (−1, 3), B (2, 4) e C (−4, 10) 
 
2)Determine m para que os pontos A (0, −3), 
B (−2m, 11) e C (−1, l0m) estejam em linha reta. 
 
3) (UCMG) Determine t, sabendo que os pontos 
A(
2
1
, t), B(
3
2
, 0) e c (−1, 6) são colineares. 
 
5) Coeficiente angular 
Denomina-se coeficiente angular ou declividade 
da reta r o número real m que expressa a tangente 
trigonométrica de sua inclinação θ.. 
 
m = tg θ 
 
Pode ocorrer: 
 
 
 
 
tg θ > 0 ⇔ m > 0 
 
 
 
 
 
 
 
tg θ < 0 ⇔ m < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
θ = 90º ⇒ tg θ não é definida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tg θ = 0º ⇔ m = 0 
 
Cálculo do coeficiente angular 
 
3.1- O ângulo θ é conhecido (m = tg θ) 
Se θ = 45º, então: m = tg 45º= 1. 
Se θ = 60º, então: m = tg 60º = 3 
 
As coordenadas de dois pontos distintos da reta 
são conhecidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 m = tg θ = 
AC
CB