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Me´todos II - 2S12 - Exame Final
RA: Nome:
(1) Resolva, usando coordenadas polares, o seguinte problema:{
∇2u = 0, 1 < r < 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi,
u(1, θ) = sin θ, u(2, θ) = 0.
OBS: Em coordenadas polares ∇2u = urr + r−1ur + r−2uθθ.
Escolha e fac¸a somente 3 das pro´ximas 5 questo˜es
(2) Mostre que os coeficientes da expansa˜o da
func¸a˜o
f(x) = x2
em uma se´rie de Fourier-Bessel de ordem zero
no intervalo [0, 1] sa˜o dados por
cn =
2(α2n − 4)
α3nJ1(αn)
, n = 1, 2, 3 . . .
onde αn e´ o n-e´simo zero de J0(x).
(3) Seja a equac¸a˜o
∂2G(x, ξ)
∂x2
− ω2G(x, ξ) = δ(x− ξ),
onde −∞ < x, ξ <∞, ω > 0 e´ uma constante e
δ(x−ξ) e´ a func¸a˜o delta de Dirac. Use o me´todo
da transformada de Fourier para mostrar que
G(x, ξ) e´ dada por
G(x, ξ) = − 1
2ω
e−ω|x−ξ|.
(4) Use a fo´rmula complexa de inversa˜o para
calcular a transformada inversa de Laplace da
func¸a˜o
F (s) =
1
s2 − 3s+ 2 .
(5) Encontre a soluc¸a˜o do problema{
y ux + xuy = u,
u(x, 0) = x3, u(0, y) = y3.
(6) Resolva o seguinte problema:
utt − uxx = x− t, 0 < x < 1, t > 0,
u(x, 0) = x, ut(x, 0) = x
2/2,
u(0, t) = t, u(1, t) = t2/2.
i Todas as questo˜es tem o mesmo valor, ou seja, 2,5 pontos.
Formula´rio Eventualmente U´til
Γ(z) =
∫ ∞
0
e−ttz−1 dt, Γ(z + 1) = zΓ(z), Jν−1(x) + Jν+1(x) =
2ν
x
Jν(x), Jν−1(x)− Jν+1(x) = 2J ′ν(x),
d
dx
(x−νJν(x)) = −x−νJν+1(x), d
dx
(xνJν(x)) = x
νJν−1(x),
∫ a
0
Jν
(
ανnt
a
)
Jν
(
ανmt
a
)
tdt = δmn
a2
2
J2ν+1(ανn).