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UDESC - UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - DMAT
APOSTILA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
JONES CORSO
Joinville - 2019
ii
Sumário
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 Noções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Nomenclatura usual para classificar ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Equações diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1 Solução particular e solução geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Problemas de valor inicial e valores no contorno . . . . . . . . . . . 7
2 EQUAÇOES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 11
2.1 Equações com variáveis separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Equações Homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Equações Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Fator integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Equação de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Aplicações das ED de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.1 Problemas de variação de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7.2 Equação do movimento de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7.3 Circuitos em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 EQUAÇÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 23
3.1 EDL: Teoria das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Dependência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.3 Soluções linearmente independentes. O Wronskiano . . . . . . . . . 24
iii
3.2 A equação caracteŕıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Solução geral - sistema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Solução em termos das ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Equações lineares não homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Resolução de equações lineares não homogêneas . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Método Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Aplicação f́ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM n 37
4.1 Equações de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Equações de ordem superior usando coeficientes a determinar . . . . . . . . 39
4.3 Equação de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 SÉRIES NUMÉRICAS 43
5.1 Método de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.1 O método da Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.2 Solução em Série de Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Método de Fröbenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Equação de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3.1 Funções de Bessel de segunda espécie . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Equação de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 A TRANSFORMADA DE LAPLACE 53
6.1 Definição da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Propriedades da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 Transformadas inversas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3.1 Método do complemento do quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3.2 Método das frações parciais (FP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3.3 Função Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3.4 Função impulso unitário ou função delta de Dirac . . . . . . . . . . 60
6.3.5 Convoluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.4 Resolução, pela TL, de EDL com coeficientes constantes . . . . . . . . . . 62
6.4.1 Transformadas de Laplace de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.4.2 Solução do problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iv
7 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 65
7.1 Redução de equações diferenciais lineares a um sistema de primeira ordem 65
7.2 Cálculo de eAt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2.1 Uso da Transformada de Laplace para o Cálculo de eAt . . . . . . . 70
7.3 Resolução de sist. lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . 71
8 FÓRMULAS 73
Referências Bibliográficas 76
v
vi
Caṕıtulo 1
INTRODUÇÃO
1.1 Noções elementares
Uma equação da forma F
(
x, y, y′, y”, ..., y(n)
)
= 0, onde a incógnita x é uma função de
uma variável, chama-se equação diferencial ordinária. Muitas leis gerais da F́ısica, Biologia
e Economia encontram sua espressão natural nestas equações. Por outro lado, inúmeras
questões na própria matemática (por exemplo, em Topologia e Geometria Diferenciais e no
Cálculo de Variações) são formuladas por equações diferenciais ordinárias ou se reduzem
a elas.
O estudo das equações diferenciais começou com os métodos do Cálculo Diferencial e
Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII
para resolver problemas motivados por considerações f́ısicas e geométricas. Esses métodos,
na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações diferenciais como
um novo ramo da matemática, que em meados do século XVIII se transformou numa
disciplina independente.
Neste estágio, a procura e análise de soluções tornou-se uma finalidade própria.
Também nesta época ficaram conhecidos os métodos elementares de resolução (integração)
de vários tipos especiais de equações diferenciais, tais como as de variáveis separáveis
(x′ = f (x) g (t)), as lineares (x′ = a (t) x + b (t)), as de Bernoulli (x′ = p (t)x + q (t)xn),
as de Clairaut (f (x′) + tx′ = x), as de Riccati (x′ = a0 (t) + a1 (t)x+ a2 (t)x
2).
A natureza daquilo que era considerado solução foi mudando gradualmente, num pro-
cesso que acompanhou e, às vezes, propiciou o desenvolvimento do próprio conceito de
função. Inicialmente buscavam-se soluções expressas em termos de funções elementares,
isto é, polinomiais, racionais, trigonométricas e exponenciais. Posteriormente passou-se
2 1.1. Noções elementares
a considerar satisfatório expressar a solução na forma de uma integral (quadratura) con-
tendo operações elementares envolvendo estas funções, ainda que a mesma não admitisse
uma expressão em termos destas. Quando estes dois caminhos deixaram de resolver os
problemas focalizados, surgiram as soluções expressas por meio de séries infinitas (ainda
sem a preocupação com a análise da convergência das mesmas).
Em fins do século XVIII a Teoria das Equações Diferenciais se transformou numa
das disciplinas matemáticas mais importantes e o método mais efetivo para a pesquisa
cient́ıfica. As contribuições de Euler, Lagrange, Laplace e outros expandiram notavelmente
o conhecimento dentro do Cálculo das Variações, Mecânica Celeste, Teoria das Oscilações,
Elasticidade, Dinâmica de Fluidos, etc. Nesta época iniciou-se também a descoberta das
relações das equações diferenciais com as funções de variável complexa, séries de potências
e trigonométricas e funções especiais (conhecidas posteriormentecomo de Bessel, etc.). O
grau que o conhecimento matemático atingiu nesta primeira fase ficou registrado na obra
de Euler ”Institutiones Calculi Integralis”em quatro volumes, o último deles publicado
em 1794.
No século XIX os fundamentos da Análise Matemática experimentaram uma revisão
e reformulação gerais visando maior rigor e exatidão. Assim, os conceitos de limite, de-
rivada, convergência de séries numéricas e séries de funções e outros processos infinitos
foram definidos em termos aritméticos. A integral, que no século anterior era concebida
como primitiva, foi definida como limite de uma sequência de somas. Este movimento
de fundamentação não deixou de atingir as equações diferenciais. Enquanto no século
anterior procurava-se uma solução geral para uma dada equação diferencial, passou-se a
considerar como questão prévia em cada problema a existência e unicidade de soluções
satisfazendo dados iniciais (este é o problema de Cauchy). Tomava-se então uma classe
ampla de equações diferenfciais, como as lineares, por exemplo, para as quais a existência e
unicidade das soluções estava aceita e procuravam-se propriedades gerais destas soluções a
partir de caracteŕısticas das funções que definiam a equação diferencial. Por outro lado, o
método de separação de variáveis aplicado a certas equações diferenciais parciais conduziu
a equações ordinárias que não admitem soluções em termos de funções elementares conhe-
cidadas, como é o caso das equações de Sturm-Liouville e das equações de Fuchs (lineares
com coeficientes anaĺıticos complexos com singularidades isoladas regulares). As primei-
ras fornecem um exemplo caracteŕıstico de um problema linear de contorno, enquanto que
as equações Fuchsianas sistematizam vários tipos de equações especiais surgidas original-
1.1. Noções elementares 3
mente no século XVIII em trabalhos de Euler e Bernoulli e estudadas também por Gauss
e Riemann. Incluem equações de relevância da F́ısica-Matemática, como as de Bessel, de
Legendre e de Gauss (ou hipergeométrica).
Um marco de referência fundamental na evolução das equações diferenciais é o trabalho
de Poincaré ”Mémoire sur les courbes définies par une équation differentielle”(1881) no
qual são lançadas as bases da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais. Esta teoria
visa a descrição da configuração global das soluções e o efeito de pequenas perturbações
das condições iniciais (estabilidade). O estudo da estabilidade de um sistema, de grande
importância na tecnologia contemporânea, teve sua origem em questões de Mecânica
Celeste estudadas inicialmente por Newton, Lagrange e Laplace. Pergunta-se se uma
pequena perturbação na posição e velocidade de um corpo celeste o coloca em uma órbita
que se afasta ou converge para a órbita original. O problema geral da estabilidade foi
simultaneamente estudado por Liapounov, que juntamente com Poincaré, é considerado
fundador da Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais.
Outro aspecto da Teoria Qualitativa, também estudado por Poincaré, visa descrever
o comportamento assintótico das soluções e a estrutura de seus conjuntos limites. O
comportamento assintótico de uma solução se obtem quando se faz a variável independente
(tempo) tender para infinito. O conjunto limite pode ser um ponto de equiĺıbrio, uma
solução periódica ou outro conjunto mais complicado. A Teoria de Poincaré-Bendixson,
responde a este tipo de questões no plano e em superf́ıcies bidimensionais, respectivamente.
O estudo de oscilações não lineares de fenômenos elétricos realizado no primeiro quarto
do século passado conduziu a equações especiais de segunda ordem tais como as de Van
der Pol e Lienard.
A introdução do conceito de estabilidade estrutural por Andronov e Pontrjagin (1937)
e os trabalhos de Peixoto (1958-62) relativos à caracterização, abertura e densidade das
equações diferenciais estruturalmente estáveis em superf́ıcies constituem um marco fun-
damental para o desenvolvimento contemporâneo das equações diferenciais. Trata-se de
determinar as condições necessárias e suficientes para que o retrato de fase de uma equação
diferencial não experimente mudanças qualitativas bruscas por pequenas perturbações das
funções que as definem.
Ao estudar um fenômeno variável, expresso por uma função y = f (x), é comum
acharmos uma lei que o governe dada por uma relação entre a variável independente, a
função e suas derivadas ou diferenciais.
4 1.3. Nomenclatura usual para classificar ED
Definição 1.1 Chama-se equação diferencial a uma equação F
(
x, y, y′, y”, ..., y(n)
)
= 0
que estabelece uma relação entre a variável independente x, a função incógnita y e suas
derivadas y′, y”, . . . , y(n), se y = f(x) é a função de uma só variável independente x a
equação diferencial diz-se ordinária.
Um exemplo simples é dado por uma relação do tipo dy
dx
− 1 = 0. Procura-se então
uma função y = f(x) que satisfaça a equação, e que no caso é fácil ver que se trata de
f(x) = x, ou também f(x) = x + c, onde c é uma constante qualquer. Vê-se então que
a equação dada define uma famı́lia de curvas no plano, que são retas todas paralelas, de
declividade 1.
1.2 Notação
Usam-se freqüentemente os śımbolos y′, y′′, y′′′, y(4), ..., y(n) para representar as derivadas
de ordem, respectivamente, primeira, segunda, terceira, quarta,..., enésima de y em relação
à variável independente x. Assim, y” representa d
2y
dx2
se a variável independente é x, mas
representa d
2y
dp2
se a variável independente é p. Se a variável independente é o tempo,
usualmente denotada por t, é comum substitúırem-se as linhas por pontos. Assim, ẏ,
··
y e
···
y representam dy
dt
, d
2y
dt2
e d
3y
dt3
, respectivamente.
Observe-se o uso dos parênteses em y(n) para distinguir da potência yn.
1.3 Nomenclatura usual para classificar ED
Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma igualdade que relaciona a variável
independente à n-ésima derivada (e em geral também às derivadas de ordem inferior)
da variável dependente. Assim como há equações algébricas de vários graus, também há
equações diferenciais de diversas ordens, onde por ordem entendemos a mais alta ordem de
derivada que comparece na equação. Por exemplo, a equação dada acima é de 1a ordem,
enquanto a equação y” + y = 0 é de 2a ordem. Neste exemplo, vê-se que y = sinx é uma
solução, pois y′ = cos x e y′′ = − sinx, e portanto y′′ + y = 0. Aqui outras soluções são
y = c sinx, para uma constante qualquer c. No entanto y = sin x+ c não é solução.
Chama-se grau da equação diferencial o expoente mais elevado com que comparece a
derivada ou diferencial que determina sua ordem. Nos exemplos anteriores, ambas são de
1o grau, enquanto a equação yy′′2 − y′3 = yy′
1+x
é de 2o grau e de 2a ordem.
1.3. Nomenclatura usual para classificar ED 5
Uma equação diferencial diz-se parcial se comparecem nelas derivadas parciais, como
por exemplo ∂z
∂x
+ ∂z
∂y
= 0.
Como outro exemplo consideremos a equação ∂z
∂x
= 2x.
Analisemos as seguintes equações diferenciais, determinando o grau e a ordem de cada
uma:
Exemplo 1 dy
dx
= 5x+ 3
Exemplo 2 ey d
2y
dx2
+ 2
(
dy
dx
)2
= 1
Exemplo 3 4 d
3y
dx3
+ (sin x) d
2y
dx2
+ 5xy = 0
Exemplo 4
(
d4y
dx4
)3
+ 3y
(
d2y
dx2
)7
+ y3
(
dy
dx
)2
= 5x
Exemplo 5 ∂
2y
∂t2
− 4∂2y
∂x2
= 0
Observação 1 Uma equação diferencial é chamada ordinária (E.D.O.) se a função
incógnita depende de apenas uma variável independente. Se a função incógnita depende
de mais de uma variável independente, temos uma equação diferencial parcial (E.D.P.),
ou equação de derivadas parciais.
Determine, para cada uma das seguintes equações diferenciais, (a) ordem, (b) grau (se
posśıvel), (c) funçãoincógnita (FI), (d) variável independente (VI).
Exerćıcio 1.1 y′′′ − 5xy′ = ex + 1
Exerćıcio 1.2 ty′′ + t2y′ − (sin t)√y = t2 − t+ 1
Exerćıcio 1.3 s2 d
2t
ds2
+ st dt
ds
= s
Exerćıcio 1.4 5
(
d4b
dp4
)5
+ 7
(
db
dp
)10
+ b3 − b5 = p
Exerćıcio 1.5 (y′′)2 − 3yy′ + xy = 0
Exerćıcio 1.6 d
nx
dyn
= y2 + 1
6 1.5. Soluções
1.4 Equações diferenciais lineares
Uma E.D.O. de ordem n na função incógnita y e na variável independente x é linear se
tem a forma
bn(x)
dny
dxn
+ bn−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ b1(x)
dy
dx
+ b0(x)y = g(x) (1.1)
As funções bj(x)(j = 0, 1, 2, ..., n)e g(x) supõem-se conhecidas e dependem apenas da
variável independente x. As combinações atitivas podem ter multiplicadores (coeficientes)
que dependem de x; nenhuma restrição é feita sobre a natureza dessa dependência em x.
As equações diferenciais que não podem ser postas sob a forma da equação (1.1) dizem-se
não-lineares.
Ou seja, uma equação diferencial diz-se linear de ordem n quando os termos contendo
a variável dependente e suas derivadas até ordem n são de 1o grau com relação a esta
variável. Por exemplo, y′′ +xy′+ y = sin x é linear de 2a ordem, enquanto y′′ + yy′+ y =
sinx é não linear, devido ao termo yy′.
1.5 Soluções
Introdução
O estudo de equações diferenciais tem duas metas principais: descobrir a equação
diferencial que descreve uma situação f́ısica espećıfica e, achar a solução apropriada dessa
equação.
Em álgebra tipicamente procuramos números desconhecidos que satisfazem uma
equação como x3 + 7x2 − 11x + 41 = 0. No caso de uma equação diferencial, por ou-
tro lado, somos desafiados a encontrar funções desconhecidas y = f(x) para as quais
uma identidade como y′(x) = 2xy(x) - isto é, a equação diferencial dy
dx
= 2xy - vale em
algum intervalo da reta. Geralmente, vamos querer achar, se posśıvel, todas as soluções
da equação diferencial.
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável indepen-
dente x, no intervalo I, é uma função y(x) que verifica identicamente a equação para todo
x em I.
Exemplo 6 Determine se y = x2 − 1 é uma solução de (y′)4 + y2 = −1.
1.5. Soluções 7
Exemplo 7 Mostre que, para qualquer escolha das constantes c1 e c2, a função ϕ(x) =
c1e
−x + c2e
2x é uma solução explicita para a equação linear y′′ − y′ − 2y = 0.
Exemplo 8 Demonstrar que a função dada sob a forma paramétrica y (x) = x = a sin ty = b cos t é a solução da equação diferencial y′ = − b2xa2y .
Exemplo 9 Demonstrar que a função impĺıcita (1 + y3)
2
= (1 + x2)
3
é solução da
equação diferencial y′ =
x(1+y3)
y2(1+x2)
.
Exemplo 10 Mostre que x + y + exy = 0 é uma solução implicita para a equação não
linear (1 + xexy dy
dx
+ 1 + yexy = 0.
Exemplo 11 Determinar a equação diferencial da famı́lia de curvas c1x+(y − c2)2 = 0.
1.5.1 Solução particular e solução geral
Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da mesma. A
solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções.
A solução geral da equação diferencial y” + 4y = 0 é y(x) = c1 sin 2x+ c2 cos 2x. Isto
é, toda solução particular da referida equação tem esta forma geral. Algumas soluções
particulares são:
(a) y = 5 sin 2x− 3 cos 2x (com c1 = 5 e c2 = −3)
(b) y = sin 2x (com c1 = 1 e c2 = 0), e
(c) y ≡ 0 (com c1 = c2 = 0).
A solução geral de uma equação diferencial nem sempre pode ser expressa mediante
uma fórmula única. Como exemplo, consideremos a equação diferencial y′ + y2 = 0, que
admite duas soluções y = 1/x e y ≡ 0.
1.5.2 Problemas de valor inicial e valores no contorno
Um problema de valor inicial consiste em uma equação diferencial, juntamente com
condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas - tudo dado para
um mesmo valor da variável independente. As condições subsidiárias são condições inici-
ais se as condições subsidiárias se referem a mais de um valor da variável independente,
8 1.5. Soluções
o problema é um problema de valores de contorno, e as condições dizem-se condições de
contorno.
Uma solução de um problema de valor inicial, ou de valores no contorno, é uma função
y(x) que satisfaz não só a equação diferencial dada, mas também todas as condições
subsidiárias.
Exemplo 12 Determine se y(x) = 2e−x + xe−x é solução de y′′ + 2y′ + y = 0.
Exemplo 13 y(x) ≡ 1 é solução de y′′ + 2y′ + y = x?
Exemplo 14 Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sin 2x + c2 cos 2x + 1 satisfaça
y(π/8) = 0 e y′(π/8) =
√
2 .
Nos problemas, determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 sin x + c2 cosx satisfaça as
condições dadas. Determine se tais condições são iniciais ou de contorno.
Exerćıcio 1.7 y(0) = 1, y′(0) = 2 sol. c1 = 2 e c2 = 1
Exerćıcio 1.8 y(0) = 1, y′(π) = 1 sol. c1 = −1 e c2 = 1
Exerćıcio 1.9 y(π/2) = 1, y′(π/2) = 2 sol. c1 = 1 e c2 = −2
Nos problemas a seguir, determine c1 e c2 de modo que as funções dadas satisfaçam
as condições inicias prescritas.
Exerćıcio 1.10 y(x) = c1e
x + c2e
−x + 4 sin x; y(0) = 1, y′(0) = −1 sol. c1 = −2 e
c2 = 3
Exerćıcio 1.11 y(x) = c1e
x+ c2e
2x+3e3x; y(0) = 0, y′(0) = 0 sol. c1 = 3 e c2 = −6
Exerćıcio 1.12 y(x) = c1 sinx + c2 cos x + 1; y(π) = 0, y
′(π) = 0 sol. c1 = 0 e
c2 = 1
Exerćıcio 1.13 y(x) = c1e
x + c2xe
x + x2ex; y(1) = 1, y′(1) = −1 sol. c1 = 1 + 3e e
c2 = −2− 2e
Exerćıcio 1.14 Demonstrar que a função y = e−5x+c é a solução da equação diferencial
y′′ + 5y′ = 0.
1.5. Soluções 9
Exerćıcio 1.15 Mostrar que a função impĺıcita y(x), x2 + 4xy − y2 = 1 é a solução da
equação diferencial (x+ 2y) dx+ (2x− y) dy = 0.
Exerćıcio 1.16 Verificar se as funções: a) y = −e−x; b) y = xe−x e y = 5e−3x , são
as soluções da equação diferencial y′′ − 2y′ − 3y = 0. sol. a) sim, b) não, c) sim
Exerćıcio 1.17 Determinar as equações diferenciais das famı́lias de curvas: a) y = ecx
e b) y = cx3. sol. a) xy′ − y ln y = 0. b) xy′ − 3y = 0.
Exerćıcio 1.18 Determinar a equação diferencial y = (c1 + c2x) e
x + c2. sol.
(ex − 1) y′′ + (1− 2ex) y′ + exy = 0.
Exerćıcio 1.19 Determinar a equação diferencial y = c1e
2x+c2e
3x. sol. y′′−5y′+6y =
0.
10 1.5. Soluções
Caṕıtulo 2
EQUAÇOES DIFERENCIAIS DE
PRIMEIRA ORDEM
A forma normal de uma equação diferencial de primeira ordem é M(x, y)dx+N(x, y)dy =
0, onde M(x, y)dx e N(x, y)dy são as funções de x e y.
A solução geral da equação diferencial de primeira ordem chama-se a função y =
φ(x, c), que é a solução desta equação para todos os valores da constante arbitrária. A
solução obtida da solução geral y = φ(x, c) para um valor determinado da constante
arbitrária, chama-se solução particular. O gráfico da solução particular da equação dife-
rencial chama-se curva integral da equação diferencial. E a interpretação geométrica da
solução geral y = φ(x, c) é a famı́lia das curvas integrais.
2.1 Equações com variáveis separáveis
Muitas equações diferenciais de primeira ordem, Linear ou não, podem ser reduzidas por
manipulações algébricas à forma:
h(y)y′ = g(x) → y′ = dy
dx
(2.1)
h(y)dy = g(x)dx (2.2)
A equação (2.2) é chamada equação de variáveis separáveis, ou equação separável,
porque as variáveis x e y foram separadas uma da outra, de tal maneira que x aparece
unicamente no segundo membro, enquanto y surge no primeiro membro. Integrando
12 2.1. Equações com variáveis separáveis
ambos os membros de (2.2), obtemos:
∫
h(y)dy =
∫
g(x)dx+ c
Exemplo 15 Seja as equações: dy
dx
= y2xe3x+4y e dy
dx
= y + sin x.
Exemplo 16 Seja, y′ = −2xy, resolva pelo método das equações separáveis.
Exemplo 17 Seja, y′ = 1 + y2, resolva pelo método das equações separáveis.
Exemplo 18 Seja, dy
dx
= y2 − 4, resolva pelo método das equações separáveis.
Exemplo 19 Resolver o problemade valor inicial y′ = 3x
2+4x+2
2(y−1) , y(0) = −1.
Resolver pelo método das equações separáveis :
Exerćıcio 2.1 y′ = x
2
y
sol. y = ±
√
2
3
x3 + c
Exerćıcio 2.2 y′ = x
2
y(1+x3)
sol. y = ±
√
2
3
ln |1 + x3|+ c
Exerćıcio 2.3 y′ + y2 sinx = 0 sol. y = c− 1
cosx
Exerćıcio 2.4 y′ = 1 + x+ y2 + xy2 sol. y = tan
(
x+ x
2
2
+ c
)
Exerćıcio 2.5 y′ = (cos2 x).(cos2 2y) sol. y = 1
2
arctan
(
1
2
sin 2x+ x+ c
)
Exerćıcio 2.6 xy′ = (1− y2)1/2 sol. y = sin (ln |x|+ c)
Exerćıcio 2.7 dy
dx
= x−e
−x
y+ey
sol. y = ±
√
x2 + 2 (−ey + e−x) + c
Determine a solução do problema de valor inicial dado, em forma expĺıcita.
Exerćıcio 2.8 xdx+ ye−xdy = 0, y(0) = 1 sol. y2 = 2ex (1− x) + c → c = −1 → y =
[2ex (1− x)− 1]
1
2
Exerćıcio 2.9 y′ = 2x
(y+x2y)
, y(0) = −2 sol. y2
2
= ln |1 + x2| + c → c = 2 → y =
[2 (ln |1 + x2|+ 2)]
1
2
Exerćıcio 2.10 y′ = xy3(1 + x2)−1/2, y(0) = 1 sol. − 1
2y2
= (1 + x2)
1
2 + c →
c = −3
2
→ y =
[
3− 2
√
1 + x2
]− 1
2
Exerćıcio 2.11 y′ = 2x
1+2y
, y(2) = 0 sol. y + y2 = x2 + c → c = −4 → y =
−1
2
+ 1
2
√
4x2 − 15
2.2. Equações Homogêneas 13
2.2 Equações Homogêneas
Iniciemos com a definição de equações homogêneas
Definição 2.1 Se o lado direito da equação
dy
dx
= f(x, y) (2.3)
puder ser expresso como uma função da razão y/x somente, então dizemos que a
equação é homogênea.
Um teste para a homogeneidade da Equação (2.3) é dada pela seguinte definição:
Definição 2.2 Se uma função f satisfaz f(tx, ty) = tnf(x, y) para algum número real
n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.
Exemplo 20 f(x, y) = x2 − 3xy + 5y2
Exemplo 21 f(x, y) = 3
√
x2 + y2
Exemplo 22 f(x, y) = x3 + y3 + 1
Exemplo 23 f(x, y) = x
2y
+ 4
Se f(x, y) for uma função homogênea de grau n, podemos escrever
f(x, y) = xnf
(
1,
y
x
)
e f(x, y) = ynf
(
x
y
, 1
)
(2.4)
em que f(1, y
x
) e f(x
y
, 1) são ambas homogêneas de grau zero.
Definição 2.3 Uma equação diferencial da forma
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.5)
é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas de
mesmo grau.
14 2.3. Equações Exatas
Em outras palavras, M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é homogênea se M(tx, ty) =
tnM(x, y) e N(tx, ty) = tnN(x, y).
Método de Solução
Uma equação diferencial homogênea M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 pode ser resolvida
por meio de uma substituição algébrica. Especificamente, a substituição y = ux ou
x = vy, em que u e v são as novas variáveis independentes, transformará a equação em
uma equação diferencial de primeira ordem separável. Seja y = ux; então, sua diferencial
dy = udx+ xdu. Substituindo em (2.5), temos M(x, ux)dx+N(x, ux)[udx+ xdu] = 0.
Agora, pela propriedade de homogeneidade dada em (2.4), podemos escrever
xnM(1, u)dx+ xnN(1, u)[udx+ xdu] = 0 ou
[M(1, u) + uN(1, u)]dx+ xN(1, u)du = 0, assim
dx
x
+ N(1,u)du
M(1,u)+uN(1,u)
= 0.
Exemplo 24 Resolva (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0
Exemplo 25 Resolva o problema de valor inicial x dy
dx
= y + xey/x, y(1) = 1.
Resolva as equações :
Exerćıcio 2.12 2x3ydx+ (x4 + y4)dy = 0
Exerćıcio 2.13 (y2 + xy)dx+ x2dy = 0
Exerćıcio 2.14 (x2 + 2y2)dx = xydy para y(−1) = 1
Exerćıcio 2.15 2x2 dy
dx
= 3xy + y2 para y(1) = −2
2.3 Equações Exatas
Definição 2.4 Uma expressão diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy é uma diferencial
exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função
f(x, y). Uma equação diferencial da forma M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 é chamada de
uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata.
Exemplo 26 A equação x2y3dx+x3y2dy = 0 é exata, pois d
(
1
3
x3y3
)
= x2y3dx+x3y2dy.
O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata.
2.3. Equações Exatas 15
Teorema 2.1 Sejam M(x, y)dx e N(x, y)dy funções cont́ınuas com derivadas parciais
cont́ınuas em uma região retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, uma
condição necessária e suficiente para que M(x, y)dx + N(x, y)dy seja uma diferencial
exata é
∂M
∂y
=
∂N
∂x
. (2.6)
Método de solução
Dada a equação (2.5) mostre primeiro que ∂M
∂y
= ∂N
∂x
.
Depois suponha que ∂f
∂x
= M(x, y) dáı podemos encontrar f integrando M(x, y) com
relação a x, considerando y constante. Escrevemos,
f(x, y) =
∫
M(x, y)dx+ g(y), (2.7)
em que a função arbitrária g(y) é a constante de integração. Agora, derivando (2.7) com
relação a y e supondo ∂f/∂y = N(x, y):
∂f
∂y
= ∂
∂y
∫
M(x, y)dx+ g′(y) = N(x, y).
Assim,
g′(y) = N(x, y)− ∂
∂y
∫
M(x, y)dx. (2.8)
Finalmente, integre (2.8) com relação a y e substitua o resultado em (2.7). A solução
é f(x, y) = c.
Exemplo 27 Resolva 2xydx+ (x2 − 1)dy = 0.
Exemplo 28 Resolva (e2y − y cos xy)dx+ (2xe2y − x cosxy + 2y)dy = 0.
Exemplo 29 Resolva o problema de valor inicial (cosx sinx− xy2) dx+y(1−x2)dy = 0,
y(0) = 2.
Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
Exerćıcio 2.16 (5x+ 4y) dx+ (4x− 8y3) dy = 0 sol. 5
2
x2 + 4xy − 2y4 = c
Exerćıcio 2.17 (2y2x− 3) dx+ (2yx2 + 4) dy = 0 sol. x2y2 − 3x+ 4y = c
Exerćıcio 2.18 (y3 − y2 sinx− x) dx + (3xy2 + 2y cos x) dy = 0 sol. xy3 + y2 cos x −
1
2
x2 = c
16 2.4. Fator integrante
Exerćıcio 2.19 (y ln y − e−xy) dx+
(
1
y
+ x ln y
)
dy = 0 sol. não exata.
Exerćıcio 2.20 x dy
dx
= 2xex − y + 6x2 sol. xy − 2xex + 2ex − 2x3 = c
Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição incial indicada.
Exerćıcio 2.21 (x+ y)2 dx+(2xy + x2 − 1) dy = 0, y (1) = 1 sol. 1
3
x3+x2y+xy2−y =
4
3
Exerćıcio 2.22 (y2 cos x− 3x2y − 2x) dx+(2y sin x− x3 + ln y) dy = 0, y (0) = e sol.
y2 sinx− x3y − x2 + y ln |y| − y = 0
2.4 Fator integrante
Em geral, a equação diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.9)
não é exata, mas a equação
µ(x, y)M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0,
que resulta da multiplicação da Equação (2.9) pela função µ(x, y), for exata, então µ(x, y)
é chamado de fator integrante da Equação (2.9).
Exemplo 30 A equação ydx− xdy = 0 não é exata, pois ∂M
∂y
= 1 e ∂N
∂x
= −1.
Definição 2.5
Uma função I(x, y) é um fator integrante de (2.9) se a equação
I(x, y)[M(x, y)dx+N(x, y)dy] = 0 (2.10)
é exata.
Considerando a equação
dy
dx
+ p(x)y = g(x) (2.11)
e o fator integrante como
µ(x) = e
∫
p(x)dx, (2.12)
2.4. Fator integrante 17
a solução é dada por
y =
∫
µ(x)g(x)dx+ c
µ(x)
. (2.13)
Passos para resolução
1. Para resolver uma equação linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma (2.11);
2. Identifique P (x) e encontre o fator de integração equação (2.12);
3. Multiplique a equação obtida em (2.11) pelo fator integrante;
4. O lado esquerdo da equação em (3) é a derivada do produto do fator de integração e a
variável dependente y;
5. Integre ambos os lados da equação encontrada em (4).
Exemplo 31 y′ = 2xy − x
Exemplo 32 y′ + 3y = x+ e−2x
Exemplo 33 Determine a solução do problema de valor inicial y′−y = 2xe2x e y(0) = 1.
Resolver pelo método do fator integrante:
Exerćıcio 2.23 y′ − 2y = x2e2x sol. y = e2x
(
x3
3
+ c
)
Exerćıcio 2.24 y′ + y = xe−x + 1 sol. y = 1 + e−x
(
x2
2
+ c
)
Exerćıcio 2.25 y′ +
(
1
x
)
y = 3 cos 2x sol. y = 3
2
(
sin 2x+ 1
2x
cos 2x
)
+ c
x
Exerćıcio 2.26 y′ − y = 2.ex sol. y = ex (2x+ c)
Exerćıcio 2.27 xy′ + 2y = sinx sol. y = 1
x
(
1
x
sin x− cos x+ c
x
)
Exerćıcio 2.28 y′ + 2xy = 2xe−x
2
sol. y = e−x
2
(x2 + c)
Exerćıcio 2.29 (1 + x2)y′ + 4xy = (1 + x2)−2 sol. y = (arctanx+ c) (1 + x2)
−2
Exerćıcio 2.30 xy′ + (x+ 1)y = x sol. y = 1 + 1
x
(
c
ex
− 1
)
Determine a solução do problema de valor inicial:
Exerćıcio 2.31 y′ + 2y = xe−2x, y(1) = 0 sol. y = e
−x2
2
(x2 − 1)
Exerćıcio 2.32 xy′ + 2y = x2 − x+ 1, y(1) = 1
2
y > 0 sol. y = x
2
4
− x
3
+ 1
2
+ 1
12x2
Exerćıcio 2.33 xy′ + 2y = sinx, y(π
2
) = 1 sol. y = x−2
(
−x cosx+ sin x+ π2
4
− 1
)
Exerćıcio 2.34 x3y′ + 4x2y = e−x, y(−1) = 0 sol. y = − x+1
x4ex
18 2.6. Equação de Ricatti
2.5 Equação de BernoulliUma equação de primeira ordem que pode ser escrita na forma
dy
dx
+ P (x)y = Q(x)yn, n ̸= 1 (2.14)
onde P (x) e Q(x) são cont́ınuos em um intervalo (a, b) e n é um número real, é chamado
de equação de Bernoulli.
Teorema 2.2 A equação diferencial de Bernoulli não-linear dy
dx
+P (x)y = Q(x)yn, sendo
n ̸= 0 ou 1, pode ser transformada numa equação diferencial linear através da mudança
de variáveis z = y1−n que resulta numa equação diferencial linear em z.
Exemplo 34 Resolver a equação (1 + x2) dy
dx
+ xy = x3y3.
Exemplo 35 Resolver a equação dy
dx
= 4
x
y + x
√
y.
Resolva a equação diferencial de Bernoulli.
Exerćıcio 2.35 dy
dx
− y
x
= −y2
x
sol. y = x
x+c
Exerćıcio 2.36 dy
dx
+ y
x
= xy2 sol. y = 1
cx−x2
Exerćıcio 2.37 3 (1 + x2) dy
dx
= 2xy (y3 − 1) sol. y = 1
3
√
1+c(1+x2)
Exerćıcio 2.38 x2 dy
dx
− 2xy = 3y4 para y(1) = 1
2
sol. y = 1
(− 95x−1+
49
5
x−6)
1
3
2.6 Equação de Ricatti
A equação diferencial não-linear
dy
dx
= P (x) +Q(x)y +R(x)y2 (2.15)
é chamada de equação de Ricatti. Se y1 é uma solução particular para (2.15), então as
substituições
y = y1 + u e
dy
dx
=
dy1
dx
+
du
dx
em (2.15) produzem a seguinte equação diferencial para u:
du
dx
− (Q+ 2y1R)u = Ru2. (2.16)
2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem 19
Como (2.16) é uma equação de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, ser reduzida
à equação linear
dz
dx
+ (Q+ 2y1R)z = −R (2.17)
através da substituição z = u−1.
Exemplo 36 Resolva dy
dx
= x3(y − x)2 + y
x
para y = x.
Resolva a equação de Ricatti dada; y1 é uma solução conhecida para a equação.
Exerćıcio 2.39 dy
dx
= −2− y + y2, y1 = 2 sol. y = 2 + 1ce−3x− 1
3
Exerćıcio 2.40 dy
dx
= − 4
x2
− 1
x
y + y2, y1 =
2
x
sol. y = 2
x
+ 1
cx−3−x
4
Exerćıcio 2.41 dy
dx
= e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex sol. y = −ex + 1ce−x−1
Exerćıcio 2.42 dy
dx
= sec2x− (tanx)y + y2, y1 = tan x
2.7 Aplicações das ED de Primeira Ordem
2.7.1 Problemas de variação de temperatura
A lei de variação de temperatura de Newton afirma que a taxa de variação de temperatura
de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente.
Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa
de variação da temperatura do corpo é dT
dt
, e a lei de Newton relativa à variação de
temperatura pode ser formulado como
dT
dt
= −k (T − Tm) , ou como
dT
dt
+ kT = kTm (2.18)
onde k é uma constante positiva de proporcionalidade.
Escolhendo-se para k um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de
Newton, a fim de tornar dT
dt
negativa em um processo de resfriamento. Note-se que, em
tal processo, T > Tm; assim T − Tm é positiva.
A equação (2.18) é a diferencial linear. A solução geral dessa equação é:
T = Tm + Ce
−kt, onde C é a constante arbitrária.
Se T |t=0 = T0, então: C = T0 − Tm.
Assim, a solução tem a forma: T = Tm + (T0 − Tm) e−kt.
20 2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem
Resulta dessa fórmula que para t suficientemente grande a temperatura T depende
pouco de T0.
2.7.2 Equação do movimento de um corpo
Equação do movimento de um corpo para um meio em que a resistência é
proporcional à velocidade
Deixe-se cair um corpo de massa m de uma certa altura. Pede-se para estabelecer a
lei de variação da velocidade da queda V , se o corpo experimentar uma resistência do ar
proporcional à velocidade (sendo o coeficiente de proporcionalidade k), isto é, encontrar
V = f(t).
Em virtude da segunda lei de Newton mdV
dt
= F , em que dV
dt
é a aceleração do
corpo em movimento (a derivada da velocidade em relação ao tempo) e F , a força que
age sobre o corpo no sentido do movimento. Esta força é constitúıda por duas forças: pela
força de gravidade mg e pela resistência do ar −kV (toma-se o sinal menos porque
esta força é oposta à velocidade). Assim,
m
dV
dt
= mg − kV . (2.19)
Temos uma equação diferencial sobre a função desconhecida V. (É a equação do mo-
vimento de certos tipos de para-quedas). A solução geral da equação diferencial (2.19)
é:
V = Ce
−
k
m
t
+
mg
k
. (2.20)
Para encontrar a constante arbitrária C, vamos supor uma condição suplementar: uma
velocidade inicial V0 (que, em especial, pode ser nula) foi comunicada ao corpo na partida;
suporemos que esta velocidade incial é conhecida. Então, a função procurada V = f(t)
deve ser tal que se tenha para t = 0 (no começo do movimento) V = V0. Substituindo
t = 0, V = V0 na equação (2.20), temos: V0 = C +
mg
k
, de onde C = V0 −
mg
k
Assim, a dependência entre V e t é:
V =
(
V0 −
mg
k
)
e
−
k
m
t
+
mg
k
. (2.21)
Resulta desta fórmula que para t suficientemente grande a velocidade V depende
2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem 21
pouco de V0.
2.7.3 Circuitos em série
A equação básica que rege a quantidade de corrente i em um circúıto simples do tipo RL
consistindo de uma resistência R, um indutor L e uma força eletromotriz E é:
L
di
dt
+Ri = E(t), (2.22)
onde i(0) = i0.
Esta equação é linear; sua solução é:
i(t) = i0e
−
R
L
t
+
E
R
1− e−RL t
 = (i0 − E
R
)
e
−
R
L
t
+
E
R
.
A quantidade
(
i0 −
E
R
)
e
−
R
L
t
na solução é chamada corrente transitória, pois tende
a zero quando t → ∞. A quantidade E
R
é chamada corrente estacionária. Quando
t → ∞, a corrente i tende para a corrente estacionária.
Para um circúıto do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C, uma
força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica
q no capacitor é
R
dq
dt
+
1
C
q = E(t). (2.23)
A relação entre q e i é i =
dq
dt
.
A solução desta equação diferencial é q(t) = q0(t)e
−
1
RC
t
+ CE.
Exemplo 37 Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutâ
ncia é de
1
2
henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial
é zero.
Exemplo 38 Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300oF . Três
minutos depois, sua temperatura passa para 200oF . Quanto tempo levará para sua tem-
peratura chegar a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado
for de exatamente 70oF?
22 2.7. Aplicações das ED de Primeira Ordem
Exerćıcio 2.43 Uma força eletromatriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em
série L−R no qual a indutância é de 0, 5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a
corrente i(t) se i(0) = 0. Determine a corrente quando t → ∞. Sol. i = 35
(
1− e−100t
)
.
Para t → ∞, temos i = 35 .
Exerćıcio 2.44 Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R−C em
série no qual a resistência é de 200 ohms e a capacitância, 10−4 farad. Encontre a carga
q(t) no capacitor se q(0) = 0. Encontre a corrente i(t). Sol. q (t) = 1100
(
1− e−50t
)
e,
i = dqdt temos i (t) =
1
2e
−50t.
Exerćıcio 2.45 Um termômetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de
fora, em que a temperatura é de 5oC. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20oC; após
5 minutos, 10oC. Qual a temperatura da sala? Sol. T ∼= 24, 7411 que é a temperatura da
sala.
Caṕıtulo 3
EQUAÇÕES LINEARES DE
SEGUNDA ORDEM
3.1 EDL: Teoria das soluções
3.1.1 Dependência linear
Um conjunto de funções {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} é linearmente dependente em a ≤ x ≤
b se existem constantes c1, c2, . . . , cn, não todas nulas, tais que
c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cnyn(x) ≡ 0, em a ≤ x ≤ b (3.1)
Exemplo 39 O conjunto {x, 5x, 1, sin x} é linearmente dependente em [−5, 1] pois
existem constantes c1 = −5, c2 = 1, c3 = 0 e c4 = 0, não todas nulas, tais que (3.1)
se verifica. Em particular, −5x+ 1 · 5x+ 0 · 1 + 0 · sinx ≡ 0
Note que c1 = c2 = . . . = cn = 0 é um conjunto de constantes que sempre satisfaz (3.1).
Um conjunto de funções é linearmente dependente se existe outro conjunto de constantes,
não todas nulas, tais que (3.1)se verifica.
3.1.2 Independência linear
Um conjunto de funções {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} é linearmente independente em a ≤
x ≤ b se não é linearmente dependente áı; isto é, se as únicas constantes que satisfazem
(3.1) em a ≤ x ≤ b são c1 = c2 = . . . = cn = 0.
24 3.1. EDL: Teoria das soluções
Independência linear de duas funções - Um par de funções y1(x) e y2(x) é considerado
linearmente independente do intervalo I se e somente se nenhuma delas for um múltiplo
constante da outra em todo o intervalo I. Dizemos que y1 e y2 são linearmente dependentes
de I se um deles for um múltiplo constante do outro em todo o intervalo I.
3.1.3 Soluções linearmente independentes. O Wronskiano
Teorema 3.1 A equação diferencial linear homogênea de ordem n L(y) = 0 sempre tem
n soluções linearmente independentes. Se {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} representam essas
soluções, então a solução geral de L(y) = 0 é
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + . . .+ cnyn(x) (3.2)
onde c1, c2, . . . , cn são constantes arbitrárias.
O teorema (3.1) acima realça a importância de podermos determinar se um conjunto
de soluções de L(y) = 0 é linearmente independente ou não. Em geral, o problema não
pode ser resolvido diretamente a partir de (3.1); não se pode experimentar todos os valores
posśıveis dos c′s. Existe, entretanto, um outro método para abordar o problema.
Seja {y1(x), y2(x), . . . , yn(x)} um conjunto de funções no intervalo I, cada uma das
quais possui n− 1 derivadas. Então o determinante na forma seguinte
W (y1, . . . , yn) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 y2 · · · yn
y′1 y
′
2 · · · y′n
...
...
. . .
...
y
(n−1)
1 y
(n−1)
2 · · · y
(n−1)
n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(3.3)
é chamado o determinante de Wronskiano do dado conjunto de funções. Se um conjunto
de funções {y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x)} é linearmente dependente no intervalo I então
Wronskiano de W (y1, y2, . . . , yn) ≡ 0 neste intervalo.
Exemplo 40 As funções y1 = e
−x, y2 = e
x, y3 = e
2x são soluções da equação y′′′− 2y′′−
y′ + 2y = 0.
Mostrar que as funções dadas formam um sistema fundamental das equações diferen-
ciais correspondentes.
3.2. A equação caracteŕıstica 25
Exerćıcio 3.1 ex, e2x, e3x , y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0 Sol. 2e6x ̸= 0
Exerćıcio 3.2 e−x, ex, xex , y′′′ − y′′ − y′ + y = 0 Sol. 4ex ̸= 0
Exerćıcio 3.3 x1/2 , x−1/2, 1, x2y′′′ + 3xy′′ + 3
4
y′ = 0 Sol. 1
4
x−3 ̸= 0
Exerćıcio 3.4 ex, xex, x2ex, x3ex, y(4) − 4y′′′ + 6y′′ − 4y′ + y = 0 Sol. 12e4x ̸= 0
3.2 A equação caracteŕıstica
Iniciemos considerando as equações homogêneas, isto é, as equações da forma:
y′′ + ay′ + by = 0 (3.4)
onde a e b são constantes.
Suponhamos que a e b são reais e que o intervalo de variação de x é o eixo dos x.
Lembremos que a solução da equação homogênea linear de 1a ordem com coeficientes
constantes y′ + ky = 0 é uma função exponencial, a saber,
y = ce−kx (3.5)
de onde temos y = eλx, possa ser uma solução de (3.4) se λ for escolhido adequadamente.
Substituindo (3.5) e suas derivadas y′ = λeλx e y′′ = λ2eλx , na equação (3.4). Então
(3.5) será uma solução de (3.4) se λ for uma solução da equação do 2o grau.
λ2 + aλ+ b = 0 (3.6)
Esta equação é chamada a equação caracteŕıstica (ou equação auxiliar) de (3.4). Suas
ráızes são: (λ− λ1)(λ− λ2) = 0 ou
λ1 =
1
2
(
−a+
√
a2 − 4b
)
, λ2 =
1
2
(
−a−
√
a2 − 4b
)
, (3.7)
Em vista da dedução segue-se que as funções
y1 = e
λ1x e y2 = e
λ2x (3.8)
são soluções de (3.4).
26 3.2. A equação caracteŕıstica
Da álgebra elementar decorre, pelo fato de a e b serem reais, que a equação carac-
teŕıstica (3.6) pode possuir: duas ráızes reais distintas; duas ráızes complexas conjugadas
ou, uma raiz dupla real.
Determinar as soluções das equações:
Exemplo 41 y′′ + y′ − 2y = 0
Exemplo 42 y′′ + y = 0
Exemplo 43 y′′ − 2y′ + y = 0
Determinar as soluções das equações diferenciais seguintes:
Exerćıcio 3.5 y′′ − 9y = 0
Exerćıcio 3.6 y′′ + 2y′ = 0
Exerćıcio 3.7 y′′ − 3y′ + 2y = 0
Exerćıcio 3.8 y′′ + w2y = 0
Exerćıcio 3.9 y′′ + 4y′ + 5y = 0
Exerćıcio 3.10 y′′ + 2y′ + 5y = 0
Determinar uma equação diferencial da forma (3.4) da qual as seguintes funções são
soluções.
Exerćıcio 3.11 e−x, e−2x sol. y′′ + 3y′ + 2y = 0
Exerćıcio 3.12 1, e2x sol. y′′ − 2y′ = 0
Exerćıcio 3.13 e3ix, e−3ix sol. y′′ + 9y = 0
Exerćıcio 3.14 e(−3+4i)x, e(−3−4i)x sol. y′′ + 6y′ + 25y = 0
3.3. Solução geral - sistema fundamental 27
3.3 Solução geral - sistema fundamental
Uma solução de uma E.D.O. de segunda ordem (linear ou não) é chamada uma solução
geral se ela contém duas constantes arbitrárias independentes (o intervalo de variação
das constantes pode ser restrito em alguns casos a fim de evitar expressões imaginárias
e outras degenerações). Aqui, independência significa que a mesma solução não pode ser
reduzida a uma forma contendo somente uma constante arbitrária ou nenhuma. Quando
atribúımos valores definidos a estas duas constantes, então a solução obtida é chamada
uma solução particular.
Consideremos a equação linear homogênea
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 (3.9)
e desejamos mostrar que uma solução geral de tal equação pode ser facilmente obtida se
duas soluções adequadas y1 e y2 são conhecidas.
Se y1(x) e y2(x) são soluções de (3.9) em um dado intervalo I, então, temos:
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) (3.10)
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias, será uma solução de (3.9) no intervalo I. De vez
que ela encerra duas constantes arbitrárias, ela será uma solução geral de (3.9), desde que
não possa ser reduzida a uma expressão contendo menos que duas constantes arbitrárias.
3.3.1 Solução em termos das ráızes
A solução de (3.4) se obtém diretamente a partir das ráızes de (3.7). Há três casos a
considerar.
• caso 1. λ1 e λ2 são ambas reais e distintas. eλ1x e eλ2x são duas soluções
linearmente independentes. A solução geral é
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) ou y(x) = c1e
λ1x + c2e
λ2x (3.11)
• caso 2. λ1 = p+iq, complexo. Como, em (3.4) e (3.6), a e b supõem-se reais, as ráızes
de (3.5) devem aparecer em pares conjugados; assim, a outra raiz é λ2 = p−iq. Duas
soluções linearmente independentes são e(p+iq)x e e(p−iq)x. O que nos interessa agora
28 3.3. Solução geral - sistema fundamental
é obter soluções reais a partir destas soluções complexas. Isto será feito aplicando
as relações de Euler.
eiqx = cos qx+ i sin qx e e−iqx = cos qx− i sin qx
De onde nós obtemos y(x) = c1e
px cos qx+ c2e
px sin qx ou
y(x) = epx(c1 cos qx+ c2 sin qx) (3.12)
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias reais.
• caso 3. λ1 = λ2. eλ1x e xeλ1x são duas soluções LI; a solução geral é
y(x) = c1e
λ1x + c2xe
λ1x (3.13)
Observação 2 As soluções acima não são válidas se a equação diferencial não é linear
ou se não tem coeficientes constantes.
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais:
Exemplo 44 y′′ + y′ − 2y = 0 sol. y(x) = c1ex + c2e−2x
Exemplo 45 y′′ − 2y′ + 10y = 0 sol. y(x) = ex(c1 cos 3x+ c2 sin 3x)
Exemplo 46 y′′ + 8y′ + 16y = 0 sol. y(x) = (c1 + c2x) e
−4x
Resolver o problema de valor inicial:
Exemplo 47 y′′ − 4y′ + 13y = 0 y(0) = 4, y′(0) = 1
Exemplo 48 y′′ + 4y′ − 21y = 0 y(0) = 3, y′(0) = 0
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais:
Exerćıcio 3.15 y′′ − y′ − 12y = 0 sol. y(x) = c1e4x + c2e−3x
Exerćıcio 3.16 y′′ + 4y′ + 5y = 0 sol. y(x) = e−2x (c1 cosx+ c2 sinx)
Exerćıcio 3.17 y′′ + 0, 2y′ + 0, 26y = 0 sol. y(x) = e−
x
10
(
c1 cos
x
2
+ c2 sin
x
2
)
3.4. Equações lineares não homogêneas 29
Exerćıcio 3.18 4y′′ + 17y′ + 4y = 0 sol. y(x) = c1e
−x
4 + c2e
−4x
Exerćıcio 3.19 y′′ + 5y′ + 12, 5y = 0 sol. y(x) = e−
5x
2
(
c1 cos
5x
2
+ c2 sin
5x
2
)
Exerćıcio 3.20 2y′′ + 2y′ + y = 0 sol. y(x) = e−
x
2
(
c1 cos
x
2
+ c2 sin
x
2
)
Exerćıcio 3.21 25y′′ − 20y′ + 4y = 0 sol.y(x) = (c1 + c2x) e
2
5
x
Exerćıcio 3.22 y′′ + 0, 25y = 0 sol. y(x) = c1 cos
x
2
+ c2 sin
x
2
Exerćıcio 3.23 y′′ + 2αy′ + (α2 + 1)y = 0 sol. y(x) = e−αx (c1 cos x+ c2 sinx)
Exerćıcio 3.24 4y′′ − 4y′ − 3y = 0 sol. y(x) = c1e−
x
2 + c2e
3
2
x
Resolver o problema de valor inicial proposto.
Exerćıcio 3.25 y′′ + 2y′ + 10y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3 sol. y(x) = e−x sin 3x
Exerćıcio 3.26 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1 sol. y(x) =
(
2− 7
3
x
)
e
2
3
x
Exerćıcio 3.27 y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2 sol. y(x) = 2xe3x
Exerćıcio 3.28 9y′′ + 6y′ + 82y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 2 sol. y(x) =
e−
x
3
(
− cos 3x+ 5
9
sin 3x
)
Exerćıcio 3.29 y′′ − 3y′ + 2y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 0 sol. y(x) = e2x − ex sin 3x
Exerćıcio 3.30 y′′+4y′+5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −3 sol. y(x) = e−2x (cosx− sinx)
Exerćıcio 3.31 y′′+4y′+4y = 0, y(−1) = 2, y′(−1) = 1 sol. y(x) = (7 + 5x) e−2(x+1)
3.4 Equações lineares não homogêneas
Temos
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = r(x) (3.14)
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 (3.15)
Teorema 3.2 Uma solução geral y (x) da equação diferencial linear (3.14) é a soma de
uma solução geral yh (x) da equação homogênea correspondente (3.15) e de uma solução
particular arbitrária yp (x) de (3.14).
y(x) = yh(x) + yp(x) (3.16)
30 3.4. Equações lineares não homogêneas
Em cada caso verificar que yp(x) é uma solução particular da equação diferencial dada
e determinar uma solução geral.
Exemplo 49 y” + y = 2ex yp(x) = e
x
Exemplo 50 y” + y = 2 cos x yp(x) = x sin x
Em cada caso verificar que yp(x) é uma solução particular da equação diferencial dada
e determinar uma solução geral.
Exerćıcio 3.32 y′′ − y = 2ex, yp(x) = xex sol y (x) = c1ex + c2e−x + xex
Exerćıcio 3.33 y′′−3y′+2y = 2x2−6x+2, yp(x) = x2 sol y (x) = c1e2x+c2ex+x2
Exerćıcio 3.34 y′′ + 4y = −12 sin 2x, yp(x) = 3x cos 2x sol y (x) = c1 cos 2x +
c2 sin 2x+ 3x cos 2x
Exerćıcio 3.35 y′′ + 9y = 18x, yp(x) = 2x sol y (x) = c1 cos 3x+ c2 sin 3x+ 2x
Exerćıcio 3.36 y′′+y = 2 sinx, yp(x) = −x cosx sol y (x) = (c1 − x) cos x+c2 sin x
3.4.1 Resolução de equações lineares não homogêneas
O método a ser utilizado é dos coeficientes a determinar. Este método é adequado para
equações com coeficientes constantes
y′′ + ay′ + by = r(x) (3.17)
onde r(x) é tal que a forma de uma solução particular yp(x) de (3.17) pode ser prognos-
ticada; por exemplo, r pode ser uma potência única de x, um polinômio, uma função
exponencial, um seno, um coseno, ou uma soma de tais funções. O método consiste em
imaginar para yp(x) uma expressão semelhante à de r(x), contendo coeficientes incógnitas
que são determinados substituindo yp(x) e suas derivadas em (3.17).
Resolver as equações não homogênea.
Exemplo 51 y′′ + 4y = 8x2
Exemplo 52 y′′ − y′ − 2y = 10 cos x
3.4. Equações lineares não homogêneas 31
Termo em r (x) Escolha para yp (x)
Kxn(n = 0, 1, . . .) Knx
n+Kn−1x
n−1+ . . .+K1x+K0
Kepx cepx
K cos qx
K sin qx
 K1 cos qx+K2 sin qx
Observação 3 Se r (x) é uma soma de funções da primeira coluna, escolhemos para yp (x) a
soma das funções nas linhas correspondentes.
• Pn (x)= eαx
 sin βxcos βx
• Caso em que a solução homogênea é igual ao valor da função r (x), conforme (3.14)
xs[(A0x
n + A1x
n−1 + ...+ An)e
α cos βx+ (B0x
n +B1x
n−1 + ...+Bn)e
α sin βx]
s→ é o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2, ...) que assegura não haver nenhum termo
em yi (x) que seja solução homogênea correspondente.
Exemplo 53 y′′ − 3y′ + 2y = 4x+ e3x
Exemplo 54 y′′ − y′ = ex cosx
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais.
Exerćıcio 3.37 y′′ + y = x2 + x sol y (x) = x2 + x− 2 + c1 cos+ c2 sin x
Exerćıcio 3.38 y′′ + 5y′ + 6y = 9x4 − x sol y (x) = c1e−2x + c2e−3x + 96x
4 − 5x3 +
19
2
x2 − 11x+ 6
Exerćıcio 3.39 y′′ − y′ − 2y = sin x sol y (x) = c1e2x + c2e−x + 110 cosx−
3
10
sinx
Exerćıcio 3.40 y′′ + y′ − 6y = 52 cos 2x sol y (x) = c1e2x + c2e−3x − 5 cos 2x+ sin 2x
Exerćıcio 3.41 y′′ + y′ − 2y = 3ex sol y (x) = c1ex + c2e−2x + xex
Exerćıcio 3.42 y′′ + y = 2 sinx sol y (x) = c1 cos x+ c2 sin x− x cosx
Exerćıcio 3.43 y′′ − 2y′ + 2y = 2ex cosx sol y (x) = ex (c1 cos x+ c2 sinx+ x sinx)
Exerćıcio 3.44 y′′ + y = −x− x2 sol c1 cos x+ c2 sin x− x2 − x+ 2
32 3.4. Equações lineares não homogêneas
Exerćıcio 3.45 y′′ + y = sin x sol c1 cos x+ c2 sin x− 12x cos x
Exerćıcio 3.46 y′′ + 4y = e−x sol c1 cos 2x+ c2 sin 2x+
1
5
e−x
Exerćıcio 3.47 y′′ − y′ − 2y = 4 sinx sol c1e2x + c2e−x + 49 cos x−
4
3
sinx
Resolver os seguintes problemas de valor inicial
Exerćıcio 3.48 y′′−2y′+y = 2x2−8x+4; y(0) = 3, y′(0) = 3 sol y (x) = 3ex+2x2
Exerćıcio 3.49 y′′ − y′ − 2y = 10 sin x; y(0) = 2, y′(0) = −3 sol y (x) = 1
3
e2x +
2
3
e−x + cos x− 3 sin x
Exerćıcio 3.50 y′′−y′−2y = 3e2x; y(0) = 0, y′(0) = −2 sol y (x) = e−x−e2x+xe2x
Exerćıcio 3.51 y′′+2y′+2y = −2 cos 2x− 4 sin 2x; y(0) = 1, y′(0) = 1 sol y (x) =
e−x sinx+ cos 2x
Exerćıcio 3.52 y′′ + 4y′ + 8y = 4 cosx + 7 sinx; y(0) = 1, y′(0) = −1 sol y (x) =
e−2x cos 2x+ sin x
3.4.2 Método Geral
Para resolver equações diferenciais lineares de 2a ordem com coeficientes constantes não-
homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar nos deparamos com uma limitação
que é o tipo da função r(x). Se esta não for um polinômio, uma função trigonométrica ou
uma exponencial necessitamos de um método geral que supere esta deficiência.
Há um método geral para resolver tais equações, no qual r(x) pode ser uma das funções
já citadas, bem como lnx, tan, sec x, 1
x
, etc. Esse método é conhecido como variação de
parâmetros.
Consideremos a equação
y′′ + f(x)y′ + g(x)y = r(x) (3.18)
Supondo que f , g e r são funções cont́ınuas sobre um intervalo I.
Sabemos que a equação homogênea corresponde y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0 possui uma
solução geral yh (x) sobre I, que apresenta a formaua solução geral será: y = yh + yp.
3.4. Equações lineares não homogêneas 33
A solução da equação homogênea correspondente será dada por
yh (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x) . (3.19)
A idéia do método é trocar c1 e c2 em (3.19) por funções u(x) e v (x) de tal maneira
que a substituição resulte em uma solução particular da equação dada (3.18). Assim,
teremos
yp (x) = u (x) y1 (x) + v (x) y2 (x) , (3.20)
seja uma solução particular de (3.18) sobre I. Derivando vem
y′p = u
′y1 + uy
′
1 + v
′y2 + vy
′
2. (3.21)
Suponhamos que u′y1+v
′y2 = 0, pois é uma solução para a homogênea correspondente.
Isso reduz (3.21) a:
y′p = uy
′
1 + vy
′
2. (3.22)
Derivando novamente, vem:
y′′p = u
′y′1 + uy
′′
1 + v
′y′2 + vy
′′
2 . (3.23)
Substituindo (3.20), (3.22) e (3.23) em (3.18), vem:
u′y′1 + uy
′′
1 + v
′y′2 + vy
′′
2 + f(x)(uy
′
1 + vy
′
2) + g(x)(uy1 + vy2) = r(x)
u′y′1 + uy
′′
1 + v
′y′2 + vy
′′
2 + fuy
′
1 + fvy
′
2 + guy1 + gvy2 = r(x)
u(y′′1 + fy
′
1 + gy1) + v(y
′′
2 + fy
′
2 + gy2) + u
′y′1 + v
′y′2 = r(x)
As expressões entre parênteses na última linha são nulas, pois são soluções da equação
homogênea correspondente a (3.18). Então só resta:
u′y′1 + v
′y′2 = r(x). (3.24)
Anteriormente, foi suposto que u′y1 + v
′y2 = 0. Tomemos esta expressão, juntamente
com (3.24), e formemos um sistema de equações em u′ e v′:
 u′y1 + v′y2 = 0u′y′1 + v′y′2 = r(x)
Resolvendo pela regra de Cramer, teremos:
D =
∣∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣∣∣= W (y1, y2) = y1y′2−y′1y2
34 3.5. Aplicação f́ısica
Du′=
∣∣∣∣∣∣ 0 y2r(x) y′2
∣∣∣∣∣∣= −r(x)y2
Dv′=
∣∣∣∣∣∣ y1 0y′1 r(x)
∣∣∣∣∣∣= r(x)y1
Então, u′ =
Du′
W
= −r(x)y2
W
e v′ =
Dv′
W
= r(x)y1
W
. (Repare que D é o wronskiano formado
com y1 e y2).
Integrando, vem: u = −
∫ r(x)y2
W
dx e v =
∫ r(x)y1
W
dx.
Logo, uma solução particular para (3.18), pode ser escrita: yp = −y1
∫ r(x)y2
W
dx +
y2
∫ r(x)y1
W
dx.
Portanto, a solução geral de (3.18) será: y = c1y1+ c2y2−y1
∫ r(x)y2
W
dx+y2
∫ r(x)y1
W
dx.
Exemplo 55 Resolver a equação y′′+ y = secx.
Exemplo 56 Resolver a equação y′′ − 4y′ + 4y = (x+ 1)e2x.
Exemplo 57 Resolver a equação 4y′′ + 36y = csc 3x
Encontre a solução geral, usando o método de variação de parâmetros.
Exerćıcio 3.53 y′′ + y = csc x sol y (x) = c1 cosx+ c2 sinx− x cos x+ sin x ln (sinx)
Exerćıcio 3.54 y′′ − 4y′ + 4y = e2x
x
sol y (x) = (c1 + c2x+ x lnx− x) e2x
Exerćıcio 3.55 y′′ + 2y′ + y = e−x cos x sol y (x) = (c1 + c2x− cos x) e−x
Exerćıcio 3.56 y′′ − 2y′ + y = x 32 ex sol y (x) =
(
c1 + c2x+
4
35
x
7
2
)
ex
Exerćıcio 3.57 y′′ + 2y′ + 2y = e
−x
cos3 x
sol y (x) = e−x
(
c1 cos x+ c2 sin x− 12
cos 2x
cosx
)
Exerćıcio 3.58 y′′ + y = tanx sol y (x) = c1 sin x+ c2 cos x− cos x log |secx+ tanx|
3.5 Aplicação f́ısica
Consideremos um sistema f́ısico cujas pequenas oscilações sejam regidas pela equação
diferencial
ẍ+ a1ẋ+ a0x = f(t) (3.25)
Aqui, conhecem-se a função f(t) e as constantes a1 e a0.
3.5. Aplicação f́ısica 35
Se f(t) ≡ 0 e a1 = 0, o movimento é livre e não-amortecido. Se f(t) é identicamente
nula mas a1 não é zero, o movimento é livre e amortecido. Para o movimento amortecido,
há três casos separados e considerar, conforme as ráızes da equação caracteŕıstica associada
sejam (1) reais e distintas, (2) iguais, ou (3) complexas conjugadas. Esses três casos se
classificam, respectivamente, como (1) superamortecido, (2) criticamente amortecido, e
(3) oscilatório amortecido (ou, em problemas de eletricidade, subamortecido). Se f(t)
não é identicamente nula, o movimento se diz forçado.
Um movimento ou corrente se diz transitório se se desvanece (isto é, tende a zero)
quando t → ∞. Um movimento (ou corrente) estacionário é um movimento que não
é transitório nem se torna ilimitado. Sistemas livres amortecidos sempre originam movi-
mentos transitórios, enquanto sistemas forçados amortecidos (admitindo senoidal a força
exterior) originam ambos os movimentos - transitório e estacionário.
Movimento de uma mola vibrante
ẍ+
a
m
ẋ+
k
m
x =
F (t)
m
onde m → massa; k → constante e a → resistência do ar.
Carga do capacitor
L
d2q
dt2
+R
dq
dt
+
1
C
q = E(t).
As condições iniciais para q são q (0) = q0 e
dq
dt
|t=0 = I (0) = I0.
Corrente
L
d2I
dt2
+R
dI
dt
+
1
C
I =
dE(t)
dt
.
A primeira condição inicial é I (0) = I. A segunda condição inicial é obtida de dI
dt
|t=0 =
1
L
E (0)− R
L
I0 − 1LC q0.
Exemplo 58 Uma massa de 10 kg se acha suspensa de uma mola cuja constante é
140N/m . Põe-se a massa em movimento, a partir da posição de equiĺıbrio, com uma
velocidade inicial de 1m/s no sentido ”para cima ”e com uma força externa aplicada
F (t) = 5 sin t. Determine o movimento subseqüente da massa se a resistência do ar é
dada por 90N .
Exemplo 59 Um peso de 128 lb acha-se suspenso de uma mola, cuja constante é 64 lb/pė.
Põe-se o peso em movimento sem velocidade inicial, deslocando-o de 6 polegadas ”para
cima ”de sua posição de equiĺıbrio e simultaneamente aplicando-lhe uma força externa
36 3.5. Aplicação f́ısica
F (t) = 8 sin 4t. Desprezando a resistência do ar, determine o movimento subseqüente do
peso.
Exemplo 60 Um circúıto RCL tem R = 10 ohms, C = 0, 001 farad, L = 0, 25 henry,
e uma voltagem aplicada de E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs (C) e i(0) = 0. Determine a
carga subseqüente no capacitor.
Exerćıcio 3.59 Um circúıto RCL tem R = 10 ohms, C = 10−2 farad, L = 1
2
henries, e
uma voltagem aplicada de E(t) = 12 volts. Admitindo que não haja corrente inicial nem
carga inicial quando t = 0, ao se aplicar inicialmente a voltagem, determine a corrente
subseqüente no sistema.
Exerćıcio 3.60 Uma massa de 1
4
slug se acha suspensa de uma mola, distendendo-a de
6 polegadas além de seu comprimento natural. Põe-se então a massa em movimento,
a partir da posição de equiĺıbrio, com uma velocidade inicial de 4 pés/s ”para cima ”.
Determine o movimento subseqüente da massa, se a resistência do ar é dada por 2ẋ lb.
Exerćıcio 3.61 Um circúıto RCL, com R = 6 ohms, C = 0, 02 farad, L = 0, 1 henries,
tem uma voltagem aplicada de E(t) = 6 volts. Supondo que não haja corrente inicial nem
carga inicial quando t = 0, ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga
subseqüente no capacitor e a corrente no circúıto.
Caṕıtulo 4
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
LINEARES DE ORDEM n
4.1 Equações de ordem superior
Em geral, para resolver uma equação diferencial de ordem n
any
(n) + an−1y
(n−1) + · · ·+ a2y′′ + a1y′ + a0y = 0, (4.1)
onde os ai, i = 0, 1, . . . , n são constantes reais, precisamos resolver uma equação polinomial
de grau n
anm
(n) + an−1m
(n−1) + · · ·+ a2m2 + a1m+ a0 = 0. (4.2)
Se todas as ráızes de (4.2) forem reais e distintas, então a solução geral de (4.1) será
y = c1e
m1x + c2e
m2x + · · ·+ cnemnx.
Exemplo 61 y′′′ − 2y′′ − 5y′ + 6y = 0
É um pouco mais dif́ıcil resumir os análogos dos casos em que as ráızes são reais
repetidas e as complexas conjugadas, pois as ráızes de uma equação auxiliar de grau
superior a 2 podem ocorrer de várias formas. Por exemplo, uma equação de quinto grau
pode ter cinco ráızes distintas, três ráızes distintas e duas ráızes complexas, uma raiz
real e quatro ráızes complexas, cinco ráızes reais iguais ou cinco ráızes reais, mas duas
das quais iguais, e assim por diante. Quando m1 é uma ráız de multiplicidade k de uma
equação auxiliar de grau n (isto é, k ráızes são iguais a m1), podemos mostrar que as
38 4.1. Equações de ordem superior
soluções linearmente independentes são
em1x, xem1x, x2em1x, . . . , xk−1em1x
e a solução geral deve conter a combinação linear
c1e
m1x + c2xe
m1x + c3x
2em1x + · · ·+ ckxk−1em1x.
Finalmente, deve ser lembrado que, se os coeficientes forem reais, ráızes complexas da
equação auxiliar aparecerão sempre em pares conjugados. Assim, uma equação polinomial
cúbica, por exemplo, pode ter no máximo duas ráızes complexas.
Exemplo 62 Resolva y′′′ + 3y′′ − 4y = 0
Exemplo 63 Resolva d
4y
dx4
+ 2 d
2y
dx2
+ y = 0
Exemplo 64 Resolva 3y′′′ + 5y′′ + 10y′ − 4y = 0
Exemplo 65 Resolva y(6) − 16y′′ = 0.
Determine a solução geral da equação diferencial de ordem superior dada.
Exerćıcio 4.1 y′′′ − 4y′′ − 5y′ = 0
Exerćıcio 4.2 y′′′ − 5y′′ + 3y′+ 9y = 0
Exerćıcio 4.3 y(4) + y′′′ + y′′ = 0
Exerćıcio 4.4 y(4) − 2y′′ + y = 0
Exerćıcio 4.5 d
5u
dr5
+ 5d
4u
dr4
− 2d3u
dr3
− 10d2u
dr2
+ du
dr
+ 5u = 0
Exerćıcio 4.6 y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 sol λ1,2,3 = 1 y(t) = c1et + c2tet + c3t2et
Exerćıcio 4.7 y(4) + 6y′′′ + 5y′′ − 24y′ − 36y = 0 sol λ1 = 2, λ2 = −2, λ3,4 = −3
y(t) = c1e
2t + c2e
−2t + (c3 + c4t)e
−3t
Exerćıcio 4.8 y(4) + 5y′′ − 36y = 0 sol λ1 = 2, λ2 = −2, λ3,4 = ±3i y(t) =
c1e
2t + c2e
−2t + c3 cos 3t+ c4 sin 3t
Resolva o problema de valor inicial dado.
Exerćıcio 4.9 y′′′ + 12y′′ + 36y′ = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = −7
Exerćıcio 4.10 y′′′ + 2y′′ − 5y′ − 6y = 0 , y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 1
4.2. Equações de ordem superior usando coeficientes a determinar 39
4.2 Equações de ordem superior usando coeficientes
a determinar
Exemplo 66 Resolva y′′′ + y′′ = ex cosx
Use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada.
Exerćıcio 4.11 y′′′ − 6y′′ = 3− cos x
Exerćıcio 4.12 y′′′ +2y′′ − y′ − 2y = 1− 4x3 sol. y (x) = c1ex + c2e−x + c3e−2x +2x3 −
3x2 + 15x− 8
Exerćıcio 4.13 yiv−5y”+4y = 10 cos x sol y (x) = c1ex+c2e−x+c3e2x+c4e−2x+cos x
Exerćıcio 4.14 y′′′ − 2y′′ − 4y′+ 8y = 6xe2x
Exerćıcio 4.15 y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x− 4ex
Exerćıcio 4.16 y′′′ − y′′ − 4y′+ 4y = 5− ex + e2x
Exerćıcio 4.17 y(4) + 2y′′ + y = (x− 1)2
Exerćıcio 4.18 y(4) − y′′ = 4x+ 2xe−x
Exerćıcio 4.19 y′′′ + y′ = tanx
Exerćıcio 4.20 y′′′ + 4y′ = sec 2x
Resolva o problema de valor inicial dado.
Exerćıcio 4.21 y′′′ − 2y′′ + y′ = 2− 24ex + 40e5x , y(0) = 1
2
, y′(0) = 5
2
, y′′(0) = −9
2
Exerćıcio 4.22 y′′′ + 8y = 2x− 5 + 8e−2x , y(0) = −5, y′(0) = 3, y′′(0)= −4
40 4.3. Equação de Cauchy-Euler
4.3 Equação de Cauchy-Euler
Uma equação diferencial linear da forma
anx
n d
ny
dxn
+ an−1x
n−1 d
n−1y
dxn−1
+ · · ·+ a1x
dy
dx
+ a0y = g(x), (4.3)
onde os coeficientes an, an−1, . . . , a0 são constantes, é conhecida como uma equação de
Cauchy-Euler. A caracteŕıstica observável desse tipo de equação é que o grau k = n, n−
1, . . . , 1, 0 dos coeficientes monomiais xk coincide com a ordem k da diferenciação d
ky
dxk
.
Iniciemos a discussão com um exame detalhado das formas da solução geral de uma
equação homogênea de segunda ordem
x2
d2y
dx2
+ αx
dy
dx
+ βy = 0. (4.4)
onde α e β são constantes reais.Temos a equação auxiliar
m2 + (α− 1)m+ β = 0 (4.5)
Há três casos diferentes a serem considerados, dependendo de as ráızes dessa equação
quadrática serem reais e distintas, reais e iguais ou complexas
A solução da equação de ordem superior segue analogamente. Podemos também re-
solver a equação não homogênea x2y′′ + αxy′ + βy = g(x) por variação de parâmetros,
desde que determinemos primeiro a função complementar yp.
Ráızes distintas
Se as ráızes m1 e m2 desta equação são reais e distintas, então as funções y1(x) = x
m1
e y2(x) = x
m2 constituem um sistema fundamental de soluções de (4.4) para qualquer
valor de x para os quais estas funções são reais e finitas. A solução geral correspondente é
y = c1x
m1 + c2x
m2 (4.6)
Exemplo 67 x2y′′ − 3
2
x.y′ − 3
2
y = 0
Ráızes reais e repetidas
A equação auxiliar (4.4) possui uma raiz dupla m1 = m2, se e somente se β =
1
4
(α−1)2
e então m1 = m2 =
1
2
(1− α) são soluções de (4.3) no caso de uma raiz dupla m de (4.5).
4.3. Equação de Cauchy-Euler 41
A solução geral correspondente é:
y (x) = (c1 + c2 lnx)x
m. (4.7)
Exemplo 68 x2y′′ − 3x.y′ + 4y = 0 sol m = 2 → y (x) = (c1 + c2 lnx)x2
Ráızes complexas conjugadas
Se as ráızes de (4.5) forem um par de números complexos conjugados m1 = p + qi e
m2 = p− qi, onde p e q > 0 são reais, então uma solução geral será
y (x) = xp[c1 cos(q lnx) + c2 sin(q lnx)]. (4.8)
Exemplo 69 4x2y′′ + 17y = 0, y(1) = −1, y′(1) = 0
Equação de terceira ordem
Exemplo 70 Resolva x3 d
3y
dx3
+ 5x2 d
2y
dx2
+ 7x dy
dx
+ 8y = 0
Variação de parâmetros
Exemplo 71 x2y′′ − 3xy′ + 3y = 2x4ex, para y(1) = 1, y(1) = 0
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais:
Exerćıcio 4.23 x2y′′ + xy′ − y = 0 sol y(x) = c1x+ c2x−1
Exerćıcio 4.24 x2y′′ + xy′ + 4y = 0 sol y(x) = c1 cos(2 ln x) + c2 sin(2 ln x)
Exerćıcio 4.25 x2y′′ + xy′ − 4y = 0 sol y(x) = c1x2 + c2x−2
Exerćıcio 4.26 x2y′′ + 3, 5xy′ + y = 0 sol y(x) = c1x
−2 + c2
√
x
x
Exerćıcio 4.27 25x2y′′ + 25xy′ + y = 0 sol y(x) = c1 cos(
1
5
lnx) + c2 sin(
1
5
lnx)
Exerćıcio 4.28 x2y′′ − xy′ + 0, 75y = 0 sol y(x) = (c1x+ c2)
√
x
Exerćıcio 4.29 x2y′′ + 0, 25y = 0 sol y (x) = (c1 + c2 lnx)
√
x
Exerćıcio 4.30 x2y′′ + 5xy′ + 3y = 0 sol y(x) = c1x
−1 + c2x
−3
Exerćıcio 4.31 3x2y′′ +6xy′ + y = 0 sol y(x) = x−1/2
[
c1 cos(
√
3
6
lnx) + c2 sin
√
3
6
lnx)
]
42 4.3. Equação de Cauchy-Euler
Exerćıcio 4.32 x3y′′′ − 6y = 0 sol y(x) = c1x3 + c2 cos(
√
2 ln x) + c3 sin
√
2 ln x)
Exerćıcio 4.33 3x3y′′′ + xy′ − y = 0
Exerćıcio 4.34 x4y(4) + 6x3y′′′ + 9x2y′′ + 3xy′ + y = 0 sol y(x) = c1 cosx+ c2 sinx+
c3x cos x+ c4x sin x)
Exerćıcio 4.35 x3y′′′ − 2xy′ + 4y = 0
Exerćıcio 4.36 x3y′′′ + 3x2y′′ − 6xy′ − 6y = 0 sol y(x) = (c1 + c2 lnx)x2 + x
Exerćıcio 4.37 x3y′′′ + 4x2y′′ − 6xy′ − 12y = 0
Resolva a equação diferencial dada por variação de parâmetros.
Exerćıcio 4.38 2x2y′′ + 5xy′ + y = x2 − x
Exerćıcio 4.39 x2y′′ − xy′ + y = 2x sol y(x) = c1x+ c2x lnx+ x(lnx)2
Exerćıcio 4.40 x2y′′ − 2xy′ + 2y = x4ex
Exerćıcio 4.41 x2y′′ + xy′ − y = ln x sol y(x) = c1x−1 + c2x− lnx
Exerćıcio 4.42 x2y′′ + xy′ − y = 1
x+1
Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Exerćıcio 4.43 x2y′′ + xy′ − 0, 25y = 0, y(1) = 2, y′(1) = 1 sol y =
√
x
Exerćıcio 4.44 x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 1 sol y (x) = (1− lnx)x2
Exerćıcio 4.45 x2y′′+xy′+y = 0, y(1) = 1, y′(1) = 2 sol y(x) = cos(ln x)+2 sin(lnx)
Exerćıcio 4.46 x2y′′ + xy′ − 2, 25y = 0, y(1) = 2, y′(1) = 0 sol y (x) =
√
x
(
x+ 1
x2
)
Exerćıcio 4.47 x2y′′ − 3xy′ + 3y = 0, y(1) = 0, y′(1) = −2 sol y (x) = (1− x2)x
Exerćıcio 4.48 x2y′′ − 5xy′ + 8y = 8x6, y(1
2
) = 0, y′(1
2
) = 0
Caṕıtulo 5
SÉRIES NUMÉRICAS
5.1 Método de Séries
As equações diferenciais homogêneas lineares com coeficientes constantes podem ser re-
solvidas por métodos algébricos e que as soluções são funções elementares conhecidas do
cálculo. No caso de equações com coeficientes variáveis, a situação é mais complicada
e as soluções podem ser funções elementares. As equações de Bessel, Legendre e a hi-
pergeométrica são deste tipo. Como estas e outras equações e suas soluções representam
um papel importante na Matemática aplicada à Engenharia, vamos examinar um método
para resolvê-las. As soluções aparecem sob a forma de séries de potências, motivo por que
o método é conhecido como método da série de potências.
5.1.1 O método da Série de Potências
Examinemos a seguir a solução de ED pelo chamado método da série de potências, que
fornece soluções sob a forma de séries de potências.
Recordamos que uma série de potências1 (em potências de x− a) é uma série infinita
da forma
∞∑
n=0
cn(x− a)n= c0+c1(x− a) + c2(x− a)
2+ . . ., (5.1)
onde c0, c1, . . . são constantes, denominados coeficientes da série, a é uma constante,
chamada centro, e x é uma variável.
1O termo série de potências isolado, normalmente se refere a uma série da forma ( 5.1),
incluindo o caso particular (5.14), mas não inclui as séries de potências negativas de x tal como
c0 + c1x
−1 + c2x
−2 + . . . ou as séries envolvendo potências fracionárias de x. Notamos que, em
(5.1), escrevemos, por conveniência, (x− a)0 = 1, mesmo quando x = a.
44 5.1. Método de Séries
No caso particular a = 0, obtemos uma série de potências em potências de x.
∞∑
n=0
cnx
n= c0+c1x+ c2x
2+c3x
3+ . . ., (5.2)
Vamos supor que todas as variáveis e constantes são reais.
As séries de Maclaurin são exemplos de séries de potências:
1
1− x
=
∞∑
n=0
xn= 1 + x+ x2+x3+ . . . (|x| < 1, série geométrica) ,
ex=
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ . . .,
cos x =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)!
= 1−x
2
2!
+
x4
4!
−+ . . .,
sinx =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
= x−x
3
3!
+
x5
5!
−+ . . .,
A idéia fundamental do método da série de potências para resolver uma equação
diferencial é muito simples e expontânea.
Sendo dada uma equação diferencial, desenvolvemos todas as funções dadas que nela
figuram, em séries de potências de x (ou em potências de x − a, se desejamos a solução
sob a forma de uma série de potências de x − a). Em seguida, imaginamos uma solução
sob a forma de uma série de potências, digamos
y = c0+c1x+ c2x
2+c3x
3+ . . . =
∞∑
n=0
cnx
n (5.3)
e substitúımos esta série e as séries obtidas por derivação termo a termo
y′= c1+2c2x+ 3c3x
2+ . . . =
∞∑
n=1
ncnx
n−1
y′′= 2c2+3.2c3x+ 4.3c4x
2+ . . . =
∞∑
n=2
n (n− 1) cnxn−2 (5.4)
etc, na equação. Adicionando todos os termos que contêm a mesma potência de x, a
5.1. Método de Séries 45
equação resultante pode ser escrita
k0 + k1x+ k2x
2 + k3x
3 + . . . = 0 (5.5)
onde as constantes k0, k1, k2, . . . são expressões que contêm os coeficientes incógnitos
c0, c1, c2, . . . em (5.15). A fim de que (5.5) se verifique para qualquer x em um inter-
valo dado, devemos ter k0 = 0, k1 = 0, k2 = 0, . . ..
Empregando estas equações podemos determinar os coeficientes c0, c1, c2, . . . sucessi-
vamente.
Exemplo 72 Resolver y′ − y = 0.
Exemplo 73 Resolver y′′ + y = 0.
5.1.2 Solução em Série de Potências
Considere a equação diferencial ordinária de 2aordem
a0(x)
d2y
dx2
+a1(x)
dy
dx
+a2(x)y =0 (5.6)
que agora tem coeficientes variáveis. Queremos obter pelo menos uma solução y(x), na
forma de uma série de potências como
y(x) =
∞∑
n=0
an(x− x0)
n (5.7)
onde x0 é o ponto em torno do qual queremos achar a solução. Esta expressão é uma
série, mas não necessariamente a série de Taylor de alguma função f(x).
Podemos reescrever a equação diferencial na forma normalizada
d2y
dx2
+P 1(x)
dy
dx
+P 2(x)y = 0 (5.8)
onde P1(x) =
a1(x)
a0(x)
e P2(x) =
a2(x)
a0(x)
.
Note que P1(x) e P2(x) são duas funções racionais a qual não se pode escrever a série de
Taylor de uma função racional em torno dos pontos x0 que são as ráızes do denominador.
Definição 5.1 Se ambas as funções P1(x) e P2(x) são anaĺıticas em x0, este ponto é
46 5.1. Método de Séries
dito ordinário. Se pelo menos uma das funções P1(x) e P2(x) não é anaĺıtica em x0, este
ponto é dito singular.
Por exemplo, na equação diferencial d
2y
dx2
+ x dy
dx
+ (x2 + 5)y = 0 temos P1(x) = x
e P2(x) = x
2 + 5 que são polinômios e não tem ponto singular. Todos os pontos são
ordinários. Já a equação diferencial d
2y
dx2
+ 1
x
dy
dx
+ (x2 − 4x + 5)y = 0 onde P1(x) = 1x e
P2(x) = x
2 − 4x+ 5 tem um ponto singular em x0 = 0, apesar de P2(x) ser anaĺıtica em
todos os pontos.
Teorema 5.1 A equação diferencial 5.8 tem duas soluções diferentes, linearmente in-
dependentes, na forma da equação y(x) =
∞∑
n
an(x − x0)n desde que x0 seja um ponto
ordinário. Ou seja, se x0 for um ponto ordinário de 5.8, através do método de séries é
posśıvel encontrar as duas soluções LI em torno de x0 que formam a solução geral da
equação diferencial. O que diferencia as duas soluções são os an.
Como exemplo, no caso das duas equações diferenciais anteriores, a primeira não tem
nenhum ponto singular, e assim podemos achar a solução para qualquer valor de x0, como,
por exemplo, y(x) =
∞∑
n
an(x− 2)n, y(x) =
∞∑
n
an(x)
n, y(x) =
∞∑
n
an(x+ 4)
n. No entanto,
a segunda tem um ponto singular em x0 = 0. Com certeza ela tem duas soluções LI para
x0 ̸= 0, isto é, y(x) =
∞∑
n
an(x− 2)n, y(x) =
∞∑
n
an(x+ 4)
n mas não sabemos ainda o que
ocorre se x0 = 0.
Exemplo 74 Consideremos o método para pontos ordinários, a primeira equação dife-
rencial do exemplo anterior,
d2y
dx2
+x
dy
dx
+(x2+5)y = 0 (5.9)
que não tem nenhum ponto singular. Vamos achar uma solução em torno de x0 = 0 (são
duas soluções, pois x0 = 0 é um ponto ordinário), na forma
y(x) =
∞∑
n=0
anx
n (5.10)
Exemplo 75 Considerando a equação diferencial
x
d2y
dx2
+
dy
dx
+2y = 0 (5.11)
5.2. Método de Fröbenius 47
com as condições iniciais
 y (1) = 2y′ (1) = 4 . Fazendo a suposição 5.10 e analisando a série
em torno do ponto x0 = 1, por causa das condições iniciais que são dadas nesse ponto.
Então
y(x) =
∞∑
n=0
an(x− 1)n (5.12)
será nossa solução tentativa.
Classifique, se houver, os pontos singulares das equações diferenciais abaixo:
Exerćıcio 5.1 d
2y
dx2
− 1
x−3
dy
dx
+ 2y = 0
Exerćıcio 5.2 (x2 − 9) d2y
dx2
− x−3
2
dy
dx
+ y = 0
Exerćıcio 5.3 x3 d
2y
dx2
− x−3
x+4
dy
dx
+ 2xy = 0
Resolva, pelo método de séries em torno de x0 = 0, as seguintes equações diferenciais:
Exerćıcio 5.4 d
2y
dx2
+ x dy
dx
+ (2x2 − 1) y = 0
Exerćıcio 5.5 (t− 3) d2x
dt2
+ dx
dt
− (t− 1)x = 0
Exerćıcio 5.6 d
2y
dx2
− x dy
dx
− xy = 0 com
 y (0) = 1y′ (0) = 0
5.2 Método de Fröbenius
Analisemos dois casos em que o ponto seja singular.
Definição 5.2 Considere a equação (5.8) d
2y
dx2
+P1(x)
dy
dx
+P2(x)y = 0 sendo x0 um ponto
singular da equação. Se (x− x0)P1 (x) e (x− x0)2 P2 (x) forem ambas anaĺıticas, então
x0 é um ponto singular regular. Se pelo menos uma não for anaĺıtica, x0 é um ponto
singular irregular.
Exemplo 76 Seja a equação diferencial d
2y
dx2
+ 1
x−3
dy
dx
+ x
2−1
x−3 y = 0, verifique se tem ponto
singular e se for, verifique se é regular ou irregular.
Quando um ponto singular é regular, temos o seguinte teorema:
48 5.2. Método de Fröbenius
Teorema 5.2 Se x0 é um ponto singular regular da equação diferencial
d2y
dx2
+P1 (x)
dy
dx
+
P2 (x) y = 0 então existe pelo menos uma solução na forma
y (x)= |x− x0|r
∞∑
n=0
an (x− x0)n (5.13)
em torno de x0, onde r é um parâmetro a ser determinado.
Exemplo 77 Seja a equação diferencial d
2y
dx2
+ 1
x
dy
dx
+
(
x−5
2x2
)
y = 0.
O teorema a seguir, estabelece as condições para a obtenção de soluções:
Teorema 5.3 Se x0 é um ponto singular regular da equação diferencial
d2y
dx2
+P1 (x)
dy
dx
+
P2 (x) y = 0 e r1 e r2 são as ráızes da equação indicial associada a x0, com R (r1) ≥
R (r2), as soluções da equação diferencial são: 1. Se r1− r2 ̸= N, onde N é um número
natural, as soluções LI em série são
y1 (x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an (x− x0)n
e
y2 (x) = |x− x0|r2
∞∑
n=0
bn (x− x0)n
2. Se r1 − r2 = N, N ̸= 0, as soluções LI em série são
y1 (x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an (x− x0)n
e
y2 (x) = Cy1 (x) ln |x− x0|+ |x− x0|
r2
∞∑
n=0
bn (x− x0)n
onde C é uma constante. 3. Se r1 = r2, as soluções LI em série ficam
y1 (x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an(x− x0)
n
e
y2 (x) = y1 (x) ln |x− x0|+ |x− x0|r1+1
∞∑
n=0
bn (x− x0)n
Nas soluções acima se percebe que sempre há uma série para o valor maior de r, que
no caso é r1, dada por y1(x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an(x− x0)n e o que muda é a outra solução,
5.3. Equação de Bessel 49
y2 (x). Dependendo da equação diferencial do problema, achar a solução y2 (x) pode ser
bastante complicado, e não há um método genérico para encontrar y2 (x).
Exemplo 78 Resolva pelo método de Fröbenius x2 d
2y
dx2
− x dy
dx
−
(
x2 + 5
4
)
y = 0.
Resolva pelo método de Fröbenius as equações diferenciais.
Exerćıcio 5.7 2x2 d
2y
dx2
− x dy
dx
− (1 + x)y = 0.
Exerćıcio 5.8 2x2 d
2y
dx2
−x dy
dx
+(1+x)y = 0. sol. y1 (x) = x
[
1 +
∞∑
n=1
(−1)n xn
[3.5.7...(2n+1)]n!
]
,
x > 0 e y2 (x) = x
1
2
[
1 +
∞∑
n=1
(−1)n xn
[1.3.5...(2n−1)]n!
]
, x > 0
Exerćıcio 5.9 2x d
2y
dx2
+ dy
dx
+ xy = 0.
Exerćıcio 5.10 3x2 d
2y
dx2
+ 2x dy
dx
+ x2y = 0.
Exerćıcio 5.11 x2 d
2y
dx2
− x(x+ 3) dy
dx
+ (x+ 3)y = 0.
Exerćıcio 5.12 2x2 d
2y
dx2
+ 3x dy
dx
+ (2x2 − 1)y = 0.
5.3 Equação de Bessel
Uma das equações diferenciais mais importantes da matemática aplicada é a equação
diferencial de Bessel
x2
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+ (x2 − v2)y = 0 (5.14)
onde o parâmetro v é um dado número. Imaginamos que v é real e não negativo.
Como x = 0 é um ponto singular regular da equação de Bessel, portanto, esta admite
uma solução da forma
y (x) =
∞∑
n=0
cnx
n+r (c0 ̸= 0) (5.15)
Uma solução particular da equação de Bessel para o primeiro expoente r1 = v é
representado por :
Jv(x) = x
v
∞∑
n=0
(−1)nx2n
22n+vn!Γ(v + n+ 1)
(5.16)
50 5.4. Equação de Legendre
Além disso, exatamente da mesma forma, obtemos para o segundo expoente r2 = −v
J−v(x) = x
−v
∞∑
n=0
(−1)nx2n
22n−vn!Γ(1− v + n)
(5.17)
Esta solução é conhecida como a função de Bessel de primeira espécie de ordem v.
5.3.1 Funções de Bessel de segunda espécie
Para v = n inteiro, as funções de Bessel Jn(x) e J−n(x) são linearmente dependente e não
constituem um sistema fundamental. Assim:
Teorema 5.4 (solução geral) Uma solução geral da equação de Bessel para todos os va-
lores de v é
y(x) = c1Jv(x) + c2Yv(x)
onde Yv(x) =
cos vπJv(x)−J−v(x)
sin vπ
esta função, Yv, é conhecido como a função de Bessel de
segunda espécie de ordem v ou função de Neumann de ordem v.
Exerćıcio 5.13 x2y” + xy′ + (4x2 − 9)y = 0
Exerćıcio 5.14 x2y” + xy′ + (25x2 − 4
9
)y = 0
Exerćıcio 5.15 x2y” + xy′ + (2x2 − 81)y = 0
Finalmente necessitamos de soluções da equação de Bessel que sejam complexas para
valores reais de x. Assim, as soluções
H1v (x) = Jv(x) + iYv(x)
H2v (x) = Jv(x)− iYv(x)
Essas funções linearmente independentes são chamadas funções