Estudo dirigido Series de Fourier

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA DE ELETRÔNICA DE POTÊNCIA 1 
PROF.: LEANDRO MICHELS 
 
ESTUDO DIRIGIDO - SÉRIES DE FOURIER 
 
 
1. Introdução 
 
Uma função f(x) é dita periódica de período p se f(x)=f(x+np) para qualquer n inteiro e 
positivo. 
 
O seu estudo é de especial importância na análise de oscilações, que são por natureza 
variações periódicas de grandezas físicas. 
 
 
 
2. Definição 
Seja f(x) uma função periódica de período 2π. A série de Fourier para esta função é a 
representação em forma de uma soma infinita de co-senos e senos: 
0
1
( ) cos sink k
k
k x k xf x a a b
L L
π π∞
=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ 
ou 
0 1 2 3 1 2 3
2 3 2 3( ) cos cos cos sin sin sinx x x x x xf x a a a a b b b
L L L L L L
π π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠… …
onde 
2
0
2
2
1 ( )
2
1 ( ) cos , 1,2,...
1 ( )sin , 1,2,...
c L
c
c L
k
c
c L
k
c
a f x dx
L
k xa f x dx k
L L
k xb f x dx k
L L
π
π
+
+
+
=
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
∫
 
Obs.: b0 não é indicado porque sen 0 = 0. 
 
Forma alternativa de representação: 
 
A série de Fourier também pode ser escrita na forma: 
 
0
1
( ) sink k
k
k xf x a c
L
∞
=
⎡ π ⎤⎛ ⎞= + + φ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑ 
onde 
2 2
k k kc a b= + e arctan kk
k
a
b
⎛ ⎞φ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Relações importantes: 
( ) ( )2 2 sin arctan cos sinaa b t a t b t
b
⎛ ⎞⎛ ⎞+ ω + = ω + ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
( ) ( )2 2 cos arctan cos sinba b t a t b t
a
⎛ ⎞⎛ ⎞+ ω − = ω + ω⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ 
 
Casos particulares: 
 
Se f(x) é uma função par, isto é, f(-x) = f(x), os coeficientes bk são nulos e a série é uma 
soma de co-senos. 
 
Se f(x) é uma função ímpar, isto é, f(x) = - f(-x), os coeficientes ak são nulos e a série é uma 
soma de senos. 
 
Se f(x+ π) = -f(x), só existem coeficientes de índice ímpar. 
 
 
Identidade de Parseval 
 
A energia da função no domínio do tempo é a mesma no domínio da freqüência. 
 
[ ]2 2 2 20
1
1 ( ) ( )
c L
k k
kc
f x dx a a b
L
+ ∞
=
= + +∑∫ 
 
 
3. Exemplo 
 
Na prática, não é possível o trabalho com infinitas parcelas e um número possível deve ser 
empregado. Veja exemplo da figura abaixo, onde a curva vermelha é a função f(x) resultante 
de: 
 
f(x)=5+4sen(x)+(4/3)sen(3x)+(4/5)sen(5x)+(4/7)sen(7x)+... (só com as 5 parcelas 
explicitadas na equação) 
 
Esta série é a representação de uma onda quadrada. Notar que, com 5 parcelas, já ocorre 
uma certa aproximação. Se fossem infinitas, o resultado seria uma forma perfeita conforme 
indicado pela linha tracejada. 
 
 
 
Considerando a onda um sinal elétrico, vamos agora analisar cada uma das parcelas da soma 
da série. 
 
A primeira parcela (5) é constante. Se não existisse, isto é, se fosse nula, o sinal estaria acima 
e abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua 
do sinal. 
A segunda parcela (4 sen x) tem o mesmo período ou mesma freqüência (inverso do 
período) do sinal. Por esta igualdade, é chamada oscilação fundamental do sinal. 
 
As parcelas seguintes têm freqüências múltiplas (sen 3x, sen 5x, ...) da fundamental. São 
chamadas oscilações harmônicas ou simplesmente harmônicos do sinal. 
 
Portanto, pode-se dizer que todo sinal periódico é formado por um componente contínuo (que 
pode ser nulo), uma oscilação fundamental e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro 
tem somente a oscilação fundamental. 
 
Os coeficientes ck são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico (neste caso, ck=ak). 
 
 
 
 
Gráfico das amplitudes dos 25 primeiros harmônicos do sinal quadrado em estudo. 
 Este tipo de gráfico é denominado espectro de freqüências do sinal. 
 
No gráfico, não está considerado o componente contínuo. Observar que ele é o a0 na 
formulação da série. Ou, digamos, a amplitude do componente de "freqüência zero" do sinal. 
Notar também que, se consideramos o componente contínuo no sinal quadrado como neste 
exemplo, ele deixa de ser uma função ímpar e, portanto, nem todos os ak precisam ser nulos, 
estando coerente com o exposto no início deste tópico. 
 
4. Séries de Fourier das formas de onda mais freqüentemente empregadas 
em eletrônica de potência 
 
Valores normalizados para funções de amplitude unitária (valores de pico para as harmônicas) 
 
Função 
 
Série de Fourier 
 
Forma de onda 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Função 
 
Série de Fourier 
 
Forma de onda 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Função 
 
Série de Fourier 
 
Forma de onda 
 
Exemplo 
 
 
 
 
Função 
( ) 1 , 0
1, 2
x
f x
x
≤ < π⎧= ⎨− π ≤ < π⎩ 
 
Série de Fourier 
 
Forma de onda 
 
 
 
 
 
Série de Fourier 
( ) ( ) ( )0
,2 , ,2 ,
cos senL n n
n q q n q q
v t a a n t b n t
∞ ∞
= =
= + ω + ω∑ ∑
… …
0 sen
qa
q
⎛ ⎞π= ⎜ ⎟π ⎝ ⎠ 
( )2
2 cos sen
1n
q na
q qn
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞π π= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟π − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
0nb = 
Forma de onda 
1
π
2
π−π
2
π−
 
q=6 
 
 
 
Série de Fourier 
( ) ( ) ( )0
,2 , ,2 ,
cos senL n n
n q q n q q
v t a a n t b n t
∞ ∞
= =
= + ω + ω∑ ∑
… …
0 0a = 
0na = 
( )4 sen sen
2n
nb n
n
π⎛ ⎞= α⎜ ⎟π ⎝ ⎠ 
Forma de onda 
 
2α
1
-1
2α
π
−π
2
π
2
π−
 
 
 
Importante: 
 
1) 2 2k k kc a b= + , que resulta em k kc a= quando bk=0 e k kc b= quando ak=0. 
 
2) Para se obter o valor eficaz das harmônicas (com exceção da harmônica 0), deve-se fazer: 
2
p
hef k
V
V c= 
onde ck é o valor da harmônica normalizado e Vp é o valor de pico da função. 
 
 
 
Série de Fourier 
( ) ( ) ( )
( )
( )( )2 2
2cos 21 10.6364
1 11 1L in
V n V
n nn n
α= + − − +− +
Forma de onda 
α
Vin
 
Ex. α=60º 
 
 
Lista de exercícios: 
 
1) Calcular o valor eficaz das harmônicas de baixa ordem (até a 13ª 
harmônica) para as seguintes formas de onda. Calcule o valor eficaz da função, 
o fator de crista e a taxa de distorção harmônica (considerando até a 13ª 
harmônica): 
a) 
 
b) 
 
 
2) Calcular o valor eficaz das harmônicas de baixa ordem (até a 13ª 
harmônica) para as seguintes formas de onda. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) Tensão retificada com 6 pulsos com tensão de pico de 60V. 
e) Tensão retificada com 6 pulsos com tensão média de 60V. 
f) Tensão retificada com 3 pulsos com tensão média de 100V. 
g) Tensão retificada com 12 pulsos com tensão de pico de 200V. 
 
3) Explique por que, para um retificador de seis pulsos alimentando carga fortemente indutiva, 
a função da tensão retificada apresenta harmônicas pares enquanto a função da corrente de 
entrada apresenta harmônicas ímpares. 
 
4) Determinar graficamente o ângulo de defasamento entre as seguintes funções: 
a) 
 
b) 
 
 
Respostas: 
 
 
1) 
a) Ief = 40,41A; CF = 1,24; THD = 0,273; 
b) Ief = 37,75; CF = 1,457 
2) 
Respostas: Valor eficaz das componentes harmônicas dos exercícios
Exercício 1 Exercício 2 
Ordem a) b) a) b) c) d) e) f) g) 
0 0 0 -4 10 27,06 57,3 60 173,2 197,72
1 0,7797 31,83 3 4,501 30,05 0 0 0 0 
2 0 10,61 2 1,5 12,76 0 0 0 0 
3 0 6,366 1 0,9 0 0 0 30,58 0 
4 0 4,547 0 0,643 2,55 0 0 0 0 
5 0,1559 3,5368 0,637 0,5 0 0 0 0 0 
6 0 2,894 0,75 0,41 1,093 0,039 0,041 7 0 
7 0,1114 2,449 0,455 0,346 0 0 0 0 0 
8 0 2,122 0 0,3 0,607 0 0 0 0 
9 0 1,872 0,354 0,264 0 0 0 3,06 0 
10 0 1,675 0,45 0,237 0,386 0 0 0 0 
11 0,0709 1,516 0,289 0,214 0 0 0 0 0 
12 0 1,384 0 0,196 0,268 0,0095 0,0099 1,71 1,955 
13 0,06 1,273 0,245 0,18 0 0 0 0 0 
 
3) Isto acontece porque a tensão retificada obedece a umafunção par, que gera 
harmônicas pares, enquanto que a corrente de entrada constitui uma função ímpar, que 
gera harmônicas ímpares. 
 
4) 
a) -120º 
b) -30º