Kit de sobrevivência Parte 1 - Teoria

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KIT 
DE 
SOBREVIVÊNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE I 
- TEORIA - 
 
 
 
 
 2
Sumário 
 
Fatoração..................................................................................................................................3 
Frações.....................................................................................................................................4 
 Operações com frações.........................................................................................................4 
 Adição e subtração.......................................................................................................4 
 Multiplicação...............................................................................................................5 
 Divisão.........................................................................................................................5 
Potenciação..............................................................................................................................6 
Radiciação................................................................................................................................8 
 Decomposição do radicando.................................................................................................8 
 Simplificação de radicais......................................................................................................8 
 Produto de radicais...............................................................................................................8 
 Divisão de radicais...............................................................................................................8 
 Potenciação de radicais........................................................................................................8 
 Radiciação de radicais..........................................................................................................9 
 Racionalização de denominadores.......................................................................................9 
Inequações.............................................................................................................................10 
Valor Absoluto......................................................................................................................10 
Variável Independente e Variável Dependente.....................................................................12 
Função...................................................................................................................................12 
Domínio................................................................................................................................13 
Imagem.................................................................................................................................14 
Continuidade.........................................................................................................................15 
Operações com Funções.......................................................................................................15 
 Operações de Translação...................................................................................................16 
Revendo Gráficos Cartesianos..............................................................................................18 
FATORAÇÃO 
 
Fatorar uma expressão algébrica significa reescrevê-la como um produto. 
Há várias formas de se fatorar uma expressão algébrica. Em geral, coloca-se em 
evidência o fator comum a todos os termos da expressão. 
Exemplo: 
Fatorar 7 83 2 2 4 3 3xy x y x y x y− + − 5
3
 como xy2 é o fator comum a todos os termos da expressão 
 xy2 ( )7 8 3 2y x x y x y− + − 
Algumas técnicas de fatoração utilizadas com freqüência: 
a2 - b2 = (a + b)(a - b) 
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) 
a3 - b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) 
(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
 
Observe que não há fórmula para a expressão a2 + b2, pois ela não pode ser fatorada 
utilizando números reais. 
Outra expressão que pode ser fatorada é a do tipo ax2 + bx +c, que se transforma no 
produto de dois binômios, (x - x1)(x - x2). 
Por exemplo: 
 x2 - 2x + 8 = (x - 4)(x + 2) 
Os termos grifados (x1 , x2) podem ser encontrados resolvendo-se a equação ax2+ 
bx+c = 0 através da fórmula de Báskara. 
x
b b a
a
= − ± −
2 4
2
c
 
Exemplos: 
1) Fatorar x2 - 2x -15 
 x2 - 2x - 15 = 0 
 x = ± + = ±2 4 60
2
2 8
2
 
 x x1 25 3= = −
 Então x2 - 2x -15 = (x - 5)(x + 3) 
 
2) Fatorar x6 - 16 = (x3)2 - (4)2
 x6 - 16 = (x3 + 4)( x3 - 4) 
 
3) Fatorar 64a3 - 27b3 = (4a)3 - (3b)3 
 64a3 - 27b3 = (4a - 3b)(16a2 + 12ab + 9b2) 
 
ATENÇÃO 
 Não cometa mais este erro: 
a2 - b2 = (a - b)2 ERRADO a2 - b2 = (a + b)(a - b) CERTO 
- (x - y) = - x - y ERRADO - (x - y) = - x + y CERTO 
 
 3
FRAÇÕES 
 
a
b
 
a dividen rador
b divisor ou denominador
do ou nume⎧⎨⎩ , onde b ≠ 0 
 
* SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 Para simplificar uma fração é necessário dividir o numerador e o denominador pelo 
seu máximo divisor comum. 
Exemplos: 
 36
48
36 12
48 12
3
4
= ÷÷ = 
2
4
2
4 2
2x
xy
x x
x y
x
y
= ⋅ ⋅⋅ ⋅ = , onde x, y ≠ 0 
 14
21
2 7
3 7
2
3
2
2
a bc
ab c
a a b c
a b b c
a
b
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , onde a, b, c ≠ 0 
 
 Pode-se também simplificar frações, aplicando os casos de fatoração nos termos da 
fração e cancelando os fatores comuns. 
Exemplos: 
 5 10
15
5 2 5
15 5
2
3
x x x− = − ÷÷ =
−( ) 
 a
a
a a
a
a
2 4
2
2 2
2
2−− =
+ −
− = +
( )( ) , onde a ≠ 2 
 x y
x xy y
x y
x y x y
+
+ + =
+
+ = +2 2 22
1
( )
 , onde x + y ≠ 0 
 
 Por quê, nas simplificações, deve-se tomar cuidado com as restrições do tipo x ≠ 0, 
x+ y ≠ 0, a ≠ 2, etc ? 
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
* ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 Reduzimos as frações ao mesmo denominador, quando necessário. Divide-se este 
denominador pelos denominadores anteriores e o resultado multiplica-se pelo numerador 
correspondente. 
a
b
c
b
a c
b
+ = + , onde b ≠ 0 a
b
c
b
a c
b
− = − , onde b ≠ 0 
a
b
c
d
ad bc
bd
+ = + , onde b, d ≠ 0 a
b
c
d
ad bc
bd
− = − , onde b, d ≠ 0 
 
 
 
 
 4
Exemplo: 
 4
5
2
3
4 3 2 5
15
22
15
+ = ⋅ + ⋅ = 2 3 2 3 1 22 2x
3
2x
x
x
x
x
+ = ⋅ + ⋅ = + 
 
4
5
2
3
4 3 2 5
15
2
15
− = ⋅ − ⋅ = 2 3 2 3 1 22 2x
3
2x
x
x
x
x
− = ⋅ − ⋅ = − 
 
* MULTIPLICAÇÃO 
 Multiplica-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. 
a
b
c
d
ac
bd
⋅ = , onde b, d ≠ 0 
Exemplo: 
 3
2 5
3
10
2a a
b
a
b
⋅ = 2
7
5 10
7
c
d
c
d
⋅ = 
 
* DIVISÃO 
 Multiplica-se a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador. 
a
bc
c
d
a
bc
d
c
ad
bc
÷ = ⋅ = 2 ou 
a
bc
c
d
a
bc
d
c
ad
bc
= ⋅ = 2 , onde b, c, d ≠ 0 
Exemplos: 
a
b
c
a
b
c a
b c
a
bc
= ÷ = ⋅ =1 , onde b, c ≠ 0 
1 1 1
a
b
a
b
b
a
b
a
= ÷ = ⋅ = , onde a, b ≠ 0 
 
 
 
 
ATENÇÃO 
 Não cometa mais estes erros: 
x y
y
x+ = ERRADO x y
y
x⋅ = CERTO 
1 1 1
a b a b
+ = + ERRADO 
1 1
a b
b a
a b
+ = +⋅ CERTO 
a b
a
b− = − ERRADO a b
a
b
a
− = −1 CERTO 
 
 
 
 
 5
POTENCIAÇÃO 
 
a
a base
n oente
n→
→
⎧⎨⎩ exp
 
 
* Toda potência de expoente zero é igual a 1. 
a0 1= , a ≠ 0 
 6
Exemplos: 
 (143)0 = 1 3
5
12
0
x
y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 
* Toda potência de expoente 1 é igual a base. 
a a1 = 
Exemplo: 
 7
2
7
2
4 1 4a
b
a
b
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 
* Toda potência de expoente negativo e base não nula é igual ao inverso da base elevada ao 
expoente positivo. 
a
a
an n
− = ≠1 0 , 
Exemplos: 
 −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
−7
10
10
7
1
 ( ) ( ) ( )x x x
2
2
3
2
2
3
2 23
7 1
7
1
7
− =
−
=
−
−
 
Atenção ao exemplo abaixo: 
1
7
2
1
7
2
7
2
2
7
3
1
3
1
3
1
3
+
−
=
+
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
x
y
x
y
x
y
y
x
9
 
*Um número negativo elevado numa potência par torna-se positivo. 
Exemplos: 
 ( )− = − ⋅ − =3 3 32 ( ) ( ) −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−4
5
5
4
5
4
5
4
25
16
2 2
 
 Mas − = − ⋅ = −5 1 25 252 
* Um número negativo elevado numa potência ímpar conserva seu sinal. 
Exemplo: 
 ( )− = − ⋅ − ⋅ − = −4 4 4 43 ( ) ( ) ( ) 64
 
PROPRIEDADES: 
* Um produto de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando-se a 
base e somando-se os expoentes. 
a a am n m n⋅ = + 
Exemplo: ( ) ( ) ( )− = − ⋅ − =4 4 4 163 2 3 3xy xy xy x y2 6
* Um quociente de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando a 
base e subtraindo os expoentes. 
a
a
a a a
m
n
m n m= ÷ = −n 
Exemplo: 
 5
7
5 7 5
7
5
7
3
2
3 2 2 1
2x y
xy
x y xy x y x
y
= ÷ = =− 
 
 
* Uma potência elevada a um dado espoente é igual à potência que se obtém conservando a 
base e multiplicando os expoentes. 
( )a am n m n= ⋅ 
Exemplo: 
 2
3
8
27
8
27
2 3
3
6 3
x y x y x y⋅⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ =
6
 
 
* O mesmo aplica-se ao quociente elevado a um certo expoente. 
( )a b a bn n÷ = ÷ n ou a
b
a
b
n n
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = , b ≠ 0 
Exemplo: 
 
( )
( )
4
3
3
4
3
4
9
16
2
3
2 3
2
2 3 2
2 2
6
4
x
b
b
x
b
x
b
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = =
−
 
 
 
 
 
ATENÇÃO 
Não cometa mais estes erros: 
x
x
− =
1
3
3
1 ERRADO x
x x
− = =
1
3
1
3
3
1 1 CERTO 
x x x x x+ = +2 2 3 ERRADO x x x x x x x x+ = + = +2 2 2 3( ) 4
2 2
 CERTO 
( )x y x y+ = +2 2 ERRADO CERTO ( )x y x xy y+ = + +2 2 2
x y x y+ = + ERRADO x y x y⋅ = ⋅ CERTO 
 
 
 
 
 
 7
RADICIAÇÃO 
 
a apq
p
q= , sendo q ≥ 2 
 
 
aq , se q é par então a ≥ 0 
 se q é ímpar então a ∈ R 
 
 
• DECOMPOSIÇÃO DO RADICANDO: 
 Exemplos: 
 325 = 
 Fatorando-se 32, temos: 2 2 2 2 2 25⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 
 Simplificando o índice da raiz com o expoente do radicando: 255 = 2. 
 8 = 
 Fatorando o 8, temos: =22 2 2⋅ ⋅ 3 
 Simplificando o índice da raiz com o expoente do radicando: 2 23 2= ⋅2 = 2 2 
 Daí, temos: a ann = 
 
• SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS: 
 Simplifica-se o índice e o expoente pelo máximo divisor comum aos dois. 
 Exemplos: 
 246 = 24 26 2 ÷÷ = 223 
 
• PRODUTO DE RADICAIS: 
 Exemplo: 
 4 25⋅ = 4 ⋅ 25 = 2 . 5 = 10 
 Daí, temos: 
 a bn ⋅ = an ⋅ bn 
 
• DIVISÃO DE RADICAIS: 
 25
9
 = 25
9
 = 5
3
 
 Logo, temos: 
 a
b
 = a
b
 
 
• POTENCIAÇÃO DE RADICAIS: 
 Conserva-se o índice e eleva-se o radicando e o coeficiente (caso exista) na potência 
correspondente. 
 Exemplos: 
 1) ( 27 )5 = 257 2) (2 235 )2 = 22 ⋅ = 4265 265 = 8 25 
 
 8
Logo, temos: 
 ( x ma )n = ( x m na . ) 
 
• RADICIAÇÃO DE RADICAIS: 
 Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os índices e conservam-se os radicandos. 
 Exemplos: 
 a3 = a3 2⋅ = a6 
 
 a a 35 = a a2 35 . = a 510 = a5 
 Logo: 
 anm = am n⋅ 
 
 Observação: 
 Para introduzir um termo numa raiz eleva-se o número na potência correspondente ao 
índice da raiz onde ele será introduzido. 
 
• RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES: 
 Racionalizar denominadores é transformar os números irracionais dos denominadores em 
números racionais. 
 
Primeiro Caso: 
O denominador é formado somente pelo radical. 
 Exemplos: 
 1) 3
2 7
 = 3
2 7
 . 7
7
 = 3 7
2 7.
 = 3 7
14
 
 
 2) 1
23
 = 1
23
 . 2
2
23
23
 = 4
2
3
 
 
Segundo Caso: 
O denominador é a soma de dois termos, sendo ao menos um deles um radical. 
Sugestão: Lembre os casos de fatoração. 
 Exemplos: 
 1) 1
2 3
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3 2 3
2 3
4 3
2 3+ = + ⋅
−
− =
−
+ − =
−
− = −( )( ) 
 
2) 3
2 5 1
3
2 5 1
2 5 1
2 5 1
6 5 3
4 5 1
6 5 3
19+ = + ⋅
−
− =
−
⋅ − =
− 
 
ATENÇÃO 
Não cometa mais este erro: 
x y x y+ = + ERRADO ( )x y x y+ = + 12 CERTO 
 
 
 9
INEQUAÇÕES 
Resolver uma inequação consiste em determinar os valores que satisfazem a inequação 
em questão. 
Vejamos algumas propriedades das inequações: 
 
1. a > b ∧ b > c → a > c 
Seja a > b : 
2. c > 0 → a ⋅ c > b ⋅ c 
 3. c < 0 → a ⋅ c < b ⋅ c 
4. a > b → a + c > b + c 
5. a > b ∧ c > d → a + c > b + d 
 
VALOR ABSOLUTO 
 O valor absoluto de um número real é a distância entre ele e a origem, 
independentemente do sentido. 
 x 
 se x
 se x
= ≥− <
⎧⎨⎩
x
x
,
,
0
0
 
 
 x 
 
 -x 0 
 x 
 
 0 x
Propriedades : 
1) | x | < a , -a < x < a 
2) | x | > a , x > a ou x < -a 
3) | a + b | ≤ | a | + | b | 
4) | a ⋅ b | = | a | ⋅ | b | 
5) | a | = b, b > 0 ↔ a = b ou a = -b 
 
Exemplos: 
1) | x - 3 | < 1
2
 
− < − <1
2
3 1
2
x Propriedade 1 (valor absoluto) 
− + < − + < +1
2
3 3 3 1
2
3x Propriedade 4 (inequações) 
 5
2
7
2
< <x 
 
 
 
2) | -2x - 7 | ≥ 3 
 10
 11
3− − ≥2 7x ou − − ≤ −2 7 3x Propriedade 2 (valor absoluto) 
− − + ≥ +2 7 7 3 7x − − + ≤ − +2 7 7 3 7x Propriedade 4 (inequações) 
− ⋅ − ≤ ⋅ −2 1
2
10 1
2
x − ⋅ Propriedade 3 (inequações) − ≥ ⋅−2 1
2
4 1
2
x
 x ≤ −5 x ≥ −2 
 
3) 
5
1
+
−
x
x < 0 
Analisando o sinal das funções y = x - 1 e y = x + 5, temos: 
 - - - - - - - - - - - + + + + + + + y = x - 1 
 1 
- - - - - - + + + + + + + + + + + y = x + 5 
 -5 
+ + + + - - - - - + + + + + + + 
 -5 1 
 
Solução: (-5 ; 1) ou S={x ∈ R / -5 < x <1} 
 
 
4) x 0822 ≥−− x
Serão feitas duas resoluções diferentes: 
Primeira 
Utilizando a fatoração, transforma-se a expressão no produto (x – 4)(x + 2) e 
analisa-se o sinal de cada uma das funções y = x – 4 e y = x + 2. 
822 −− xx
- - - - - - - - - - - - - - - + + + + + y = x - 4 
 4 
 - - - - + + + + + + + + + + + + + y = x + 2 
 -2 
 + + + - - - - - - - - - - + + + + + y = (x -4)(x + 2) 
 -2 4 
 
Solução: (-∞ ; -2] ∪ [4 ; +∞) 
 
Segunda 
Analisa-se o sinal da função y = (parábola). 822 −− xx
 
 
 Solução: (-∞ ; -2] ∪ [4 ; +∞) 
+ + + + + - - - - - - - - - + + + + + + + 
 -2 4 
 
y
x
x
= −+
1
5
 
 
 
 
VARIÁVEL DEPENDENTE EVARIÁVEL INDEPENDENTE 
 
1) y x − + =2 5 0
 x e y estão relacionados, mas a dependência não é explícita 
2) y x − = −2 5
 
 
3) y x Da forma como é apresentada a função, sabendo-se x, y fica = −2 5
 automaticamente definido , ou seja, y depende de x. 
 x → variável independente 
 y → variável dependente 
 
 
4) x y= + 5 ou x y= − + 5 
 Observe que as funções também podem ser apresentadas nesta forma, 
 mudando assim, a relação de dependência. 
 y → variável independente 
x → variável dependente 
 
 
 
FUNÇÃO 
 
 Dados os conjuntos A e B, uma função definida em A e com valores em B é uma lei 
ou regra que a cada elemento em A faz corresponder um único elemento de B. 
Exemplos: 
 
 
 y = x2 y = 2x (x-3)2+(y-2)2=9 
 
 
É função 
 
 
É função 
 
 
 
 2 
 
 3 
 
 
Não é função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DOMÍNIO 
 
 12
 Conjunto de todos os valores possíveis da variável independente (x) que fazem a 
função estar definida. 
 Exemplo: 
 y = x2 + 3 
 Dom f : R 
 Deve-se ter cuidado ao analisar-se uma função, pois algumas vezes seu domínio 
possui restrições, como nos exemplos a seguir: 
1) g t t( ) = + 3 
 t + 3 ≥ 0 ( ver radiciação ) 
 t ≥ -3 
 Dom f: [-3 ; +∞) ou Dom = {t ∈ R / t ≥ -3} 
 
2) f x x
x
( ) = −−
2 3
2
 
 x - 2 ≠ 0 ( ver frações ) 
 x ≠ 2 
 Dom f: R - {2} ou Dom = {x ∈ R / x ≠ 2} 
 
3) g x
x
( ) = −
2
92
 
 x2 9 0− > ( ver radiciação e inequações ) 
 x < − >3 x 3ou 
 Dom f: (-∞ ; -3) ∪ (3 ; +∞) ou Dom = { x ∈ R / x < − >3 x 3ou } 
 
 Alguns exemplos de gráficos: 
 
y x= −2 2 
 
 
 
Dom: R 
f x x( ) = + 2 
 
 
Dom: [-2 ; +∞) 
g x
x
( ) = −
1
1
 
 
Dom: R - {1} 
 
 
 
 
 
 
 
IMAGEM 
 
 13
 Conjunto dos valores de f(x) que estão associados a algum valor de x de 
acordo com a lei da função. 
 Exemplos: 
 14
1
 
1) f x x( ) = −2
 Dom f: R 
 Im f: R 
 
 
 
 
 
 
2) g t t( ) = + 2 
 
 Dom f: [-2 ; +∞) 
 Im f: [0 ; +∞) 
 
 
 
 
 
 
3) h x x( ) = −2 2
 Dom f: R 
 Im f: [-2 ; +∞) 
 ( ver gráficos ) 
 
 
 
4) 
x
x x x
x
+ ≤
− + < ≤
− + >
⎧
⎨⎪
⎩⎪
4 0
4 4 0
2 12 4
2
,
,
,
 se x
 se 
 se x
 
4
 Dom f: R 
 Im f: ( -∞ ; 4 ] 
 
 
 
 
 
 
 
CONTINUIDADE 
 
Entende-se por função contínua aquelas onde seu gráfico se apresenta como uma linha 
contínua, isto é, uma linha que não possua “furos” ou “saltos”. 
 
f(x) = x2 
 
 
 
 
Contínua 
f(x) = x3 
 
 
Contínua 
f(x) = 1
x
 
 
Esta função é descontínua, pois no ponto 
x = 0, a função não existe. 
f(x) = 2 , x ≠ 1 
 
Esta função é descontínua, pois no ponto 
x = 1, a função não existe 
 
 
 
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 
 
 Supondo que h(x) = x2 + x, podemos ver que para cada x, h(x) é dado pela soma dos 
valores da funções f(x) = x2 e g(x) = x, isto é, para cada número real x : 
 
h(x) = f(x) + g(x) 
 
 Em geral, se f e g são funções reais definimos as funções: 
 
(i) soma f + g, dada por (f + g) (x) = f(x) + g(x) 
(ii) produto f⋅g, dada por (fg)(x) = f(x) . g(x) 
(iii) quociente f/g, dada por (f/g)(x) = f(x)/g(x) 
 
 Sabemos que f e g são funções contínuas, de onde concluímos que h também será uma 
função contínua. Caso f e/ou g fossem descontínuas, h seria descontínua. 
Em relação ao domínio de cada uma dessas funções, mantemos a definição que já 
conhecemos: o domínio é o conjunto dos números reais para os quais a regra que define a 
função faz sentido. Assim, tanto o domínio da soma f + g, quanto o domínio do produto f⋅g, é 
o conjunto dos números que estão na Intersecção dos domínios de f e g. Já o domínio do 
quociente não contém os valores de x para os quais g(x) = 0. 
 15
 Além das funções que podem ser obtidas de outras através das operações com 
números reais, já vimos que se f e g são funções reais podemos definir a composta fog e que 
se f é uma função inversível, então f determina uma outra função, sua inversa f -1. 
 
 
 
• OPERAÇÕES DE TRANSLAÇÃO: 
 
NA IMAGEM: 
 Observe os gráficos abaixo: 
 
 f(x) = x2 f(x) = x2 + 2 f(x) = x2 - 2 
 
 
 
 Observando os gráficos, nota-se que somando-se uma constante positiva à imagem da 
função o gráfico desta desloca-se para cima, bem como ao subtrairmos uma constante positiva 
este desloca-se para baixo. 
 
f(x) = x2 
 
 
f(x) = 2x2 
 
 
f(x) = x
2
2
 
 
 
 
 Nestes gráficos, nota-se que ao multiplicar a função por uma constante maior que 1 o 
gráfico desta “espicha”, bem como ao dividi-la por uma constante maior que 1 este torna-se 
mais “achatado”. 
 
 
 
 
 
 
 
NO ARGUMENTO: 
 Observe os gráficos abaixo: 
 
 16
 f(x) = x2 f(x) = (x + 2)2 f(x) = (x - 2)2
 
 
 Observando-se os gráficos, nota-se que ao somar uma constante positiva (k) no 
argumento da função o gráfico desta se deslocará para esquerda k unidades, bem como ao 
subtrair uma constante positiva (k) este se deslocará para a direita k unidades. 
 
 f(x) = (2x)2 f(x) = x
2
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 
 
 
 
 Observando-se os gráficos, nota-se que ao multiplicar uma constante maior que 1 no 
argumento da função o gráfico desta “afina”, bem como ao dividir a função por uma constante 
maior que 1 este torna-se mais largo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REVENDO GRÁFICOS CARTESIANOS 
 
 17
 
 
1) y = k 
 É uma reta paralela ao eixo x: 
 Esse gráfico representa uma função constante. 
 Ex: y = 1 
 
 
 
 
 
 
 
2) x = k y 
 18
 É uma reta paralela ao eixo y: 
 Esse gráfico não representa uma função. 
 Ex: x = 3 
 
 0 1 2 3 x 
 
 
 
3) y = kx 
 É uma reta que passa pela origem. 
 Ex: y = 2x 
 
 
 
 
 
 
Duas grandezas são proporcionais ou diretamente proporcionais quando seus valores y 
e x são tais que y = kx , sendo k uma constante positiva. Neste caso, a constante k é chamada 
de constante de proporcionalidade. 
 
Reciprocamente, se duas grandezas são representadas por uma reta que passa pela 
origem (nem vertical, nem horizontal), então elas são proporcionais. 
 
4) y = mx + n, m 0 ≠
 É uma reta não-paralela aos eixos coordenados: 
 
θ θ
 
tgθ = m 
Note que: m > 0 tg⇒ θ >0. Logo, θ é agudo e a reta é crescente. 
 m < 0 ⇒ tgθ <0. Logo, θ é obtuso é decrescente. 
5) y = ax2+bx+c, a 0 ≠
É uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y. Há seis possibilidades de 
gráficos: 
 
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 
a > 0 
 
a > 0 
 
a > 0 
 
Δ > 0 
a < 0 
 
Δ = 0 
a < 0 
 
Δ < 0 
a < 0 
 
 
Para construir o gráfico de uma parábola, é fundamental conhecer o vértice. 
A abcissa x do vértice é dada pela fórmula xv = − ba2 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando seus valores correspondentes 
y e x são tais que y = K
x
, sendo K uma constante positiva. Nesse caso, a constante é chamada 
de constante de proporcionalidade inversa. 
Reciprocamente, se duas grandezas são representadas por uma hipérbole,como na 
figura anterior, então elas são inversamente proporcionais. 
 
Exemplos de gráficos de algumas funções: 
y = ax
 0 < a < 1 
 
a > 1 
 
 
 y = loga x 
0 < a < 1 a > 1 
 19
 
 
 
y = x , x 0 ≥
 
y = x3 
 
y = k
x
 , k > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
	Frações.....................................................................................................................................4
	 FATORAÇÃO
	Primeira
	Segunda