Resolucao lista 07

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Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática -
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios de Álgebra Linear - Lista 07 – Núcleo e Imagem de Transformações Lineares
1. Determinar F(x,y), sabendo que F é um Operador Linear do IR2, tal que :
F(1,1)= (1,-1) e F(1,2) = ( -1,1).
Base={U1=(1,1) ; U2=(1,2)} ⊂ 
Para todos (x,y) U é combinação linear (C.L) de B, isto é, a base é um conjunto de vetores LI, qualquer vetor que acrescentarmos a está base teremos um conjunto L.D, ou seja, esse vetor será C.L dos outros.
(x,y)=a(1,1)+b(1,2)
(x,y)= (a,a)+(b,2b)
(x,y)=(a+b ; a+2b)
 
 a+b=x (multiplica por -1 e soma com a segunda)
 a+2b=y
b=-x+y a+b=x
 a-x+y=x
 a=2x-y
(x,y)=a(1,1)+b(1,2)
F(x,y)=F[a(1,1)]+b(1,2)]
F(x,y)=F[a(1,1)]+F[b(1,2)] , lembrando que F(U1+U2)=F(U1)+F(U2)
F(x,y)=a.F(1,1)+b.F(1,2) , lembrando que F(k.U)=k.F(U)
Substituímos agora os valores de a e b, e de F(1,1) e F(1,2):
F(x,y)=(2x-y).(1,-1)+(-x+y).(-1,1)
F(x,y)=(2x-y ; -2x+y)+(x-y ; -x+y)
F(x,y)=(3x-2y ; -3x+2y)
2. Determinar F: →, sabendo que F é uma Transformação Linear e que 
F(1, 0, 1)= (1,3);F(0, 1, 1) = ( 2,3) e F(0, 0, 1) = ( 0, 2 ).
Base={U1=(1,0,1) ; U2=(0,1,1) ; U3=(0,0,1)} ⊂ 
Para todos (x,y,z) U é C.L de B, isto é:
(x,y,z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)
(x,y,z)=(a,0,a)+(0,b,b)+(0,0,c)
(x,y,z)=(a , b, a+b+c)
 x=a
 y=b
 z=a+b+c portanto z=x+y+c c=-x-y+z
(x,y,z)= a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)
F(x,y,z)=F[a(1,0,1)]+b(0,1,1)+c(0,0,1)]
F(x,y,z)=F[a(1,0,1)]+F[b(0,1,1)]+F[c(0,0,1)] 
F(x,y,z)=a.F(1,0,1)+b.F(0,1,1) +c.F(0,0,1) 
Substituímos agora os valores de a,b e c , e de F(1,0,1), F(0,1,1), F(0,0,1): 
F(x,y,z)=x.(1,3)+y.(2,3)+(-x-y+z).(0,2)
F(x,y,z)=(x,3x)+(2y,3y)+(0,-2x-2y+2z)
F(x,y,z)=(x+2y ; 3x+3y-2x+2z)
F(x,y,z)=(x+2y ; x+y+2z)
3. Determinar F(x,y), sabendo que F é um Operador Linear do , tal que 
F(1,-1)= (-1,-2) e F(1,0) = ( 1,3).
Base={U1=(1,-1) ; U2=(1,0)} ⊂ 
Para todos (x,y) U é C.L de B, isto é:
(x,y)=a(1,-1)+b(1,0)
(x,y)= (a,-a)+(b,0)
(x,y)=(a+b ; -a)
 x=a+b
 y=-a
 
a=-y x=a+b
 x=-y+b
 b=x+y
 (x,y)=a(1,-1)+b(1,0)
 F(x,y)=F[a(1,-1)]+b(1,0)]
 F(x,y)=F[a(1,-1)]+F[b(1,0)]
 F(x,y)=a.F(1,-1)+b.F(1,0) 
 Substituímos agora os valores de a e b, e de F(1,-1) e F(1,0):
 F(x,y)=-y.(-1,-2)+(x+y).(1,3)
 F(x,y)=(y ; 2y)+(x+y ; 3x+3y)
 F(x,y)=(x+2y ; 3x+5y)
4. Considerando um Operador Linear do , tal que F(1,0)= (2, 1) e F(0,1) = (1,4). Determinar: i) F(2,4) e ii) o vetor (x,y) do tal que F(x,y) = (2,3).
Base={U1=(1,0) ; U2=(0,1)} ⊂ 
Para todos (x,y) U é C.L de B, isto é:
(x,y)=a(1,0)+b(0,1)
(x,y)= (a,0)+(0,b)
(x,y)=(a ; b)
x=a
y=b
 (x,y)=a(1,0)+b(0,1)
 F(x,y)=F[a(1,0)]+b(0,1)]
 F(x,y)=F[a(1,-0)]+F[b(0,1)]
 F(x,y)=a.F(1,0)+b.F(0,1) 
 Substituímos agora os valores de a e b, e de F(1,0) e F(0,1):
 F(x,y)=x.(2,1)+y.(1,4)
 F(x,y)=(2x ; x)+(y ; 4y)
 F(x,y)=(2x+y ; x+4y)
Portanto:
i)F(2,4)=[2.(2)+4 ; 2+4.(4)]
 F(2,4)=(8 ; 18)
ii)F(x,y)=(2,3)
(2,3)=( 2x+y ; x+4y)
 
2x+y=2
 x+4y=3 (multiplica por (-2) e soma com a primeira)
-7y=-4 2x+y=2
 y=4/7 2x+4/7=2
 2x=2-4/7
 2x=10/7
 x=5/7
Portanto (x,y)=(5/7 ; 4/7)
5. Seja o Operador F: , →, dada por F(x,y) = (x , 0). Determinar o Núcleo e a Imagem de F.
Base e dim. do núcleo:
F(u)=0
F(x,y)=(0,0)
F(x,0)=(0,0)
x=0 e y=IR
Ker(F)=(0,y)=y(0,1)
Ker(F)=[(0,1)] (L.I)
Base Ker(F)={(0,1)
dim=1
Teorema: dim U = dim núcleo + dim Img.
 2 = 1 + x
Logo x=1, ou seja a dimensão da Img. será 1
F(x,y)=(x,0)=x(0,1)
ImF=[(0,1)] (L.I)
Base da ImF={(0,1)}
dim=1
6. Seja a Transformação Linear F: → dada por F(x,y, z) = (x+y , 2x – y +z). Determinar uma base e a dimensão de Ker(F) e uma base e a dimensão de Im(F).
Base e dim. do núcleo:
F(u)=0
F(x,y,z)=(0,0)
(x+y ; 2x-y+z)=(0,0)
 x+y=0 
 2x-y+z=0
x+y=0 2x-y+z=0
x=-y -2y-y+z=0
 z=3y
Ker (F)=(x,y,z)+(-y ; y ; 3y)=y(-1,1,3)
Base do núcleo (F)={(-1,1,3)}, dim.1
Teorema: dim U = dim núcleo + dim Img.
 3 = 1 + x
Logo x=2, ou seja a dimensão da Img. será 2.
Base e dim. da Img.
F(1,0,0)=(1+0 ; 2.(1)-0+0)=(1,2)
F(0,1,0)=(0+1 ; 2.(0)-1+0)=(1,-1)
F(0,0,1)=(0+0 ; 2.(0)-0+1)=(0,1)
Sistema gerador da Img.={(1,2),(1,-1),(0,1)}
Sabemos que a dim. será 2,então temos que escalonar,pois o conjunto de vetores são L.D, e uma base é constituída por vetores L.I.
 multiplica a primeira por (-1) e soma com a segunda-feira
 multiplica a terceira por (3) e soma com a segunda
 , portanto a base da Im(f)={(1,2) ; (0,-3)}, dim=2
7. Seja a Transformação Linear F: → dada por F(x,y,z,w) = 
(x-y+w, 2x+y–z+w, z-w).
Determinar uma base e a dimensão de Ker(F) e uma base e a dimensão de Im(F).
Base e dimensão do núcleo
F(U)=0
F(x,y,z,w)=(0,0,0)
F(x-y+w ; 2x+y–z+w ; z-w)=(0,0,0)
 x-y-w=0
 2x+y-z+w=0
 z-w=0 
z=w 2x+y-z+w=0 x-y-w=0 
 2x+y-w+w=0 x-(-2x)-w=0
 y=-2x w=3x
Assim Ker(F)=(x,-2x,3x,3x)
Base Ker(F)={(1,-2,3,3)}, dim. 1
Teorema: dim U = dim núcleo + dim Img.
 4 = 1 + x
Logo x=3, ou seja a dimensão da Img. será 3.
Base e dim. da Im(f)
F(1,0,0,0)=(1-0+0 ; 2.(1)+0-0 ; 0,0)=(1,2,0)
F(0,1,0,0)=(0-1+0 ; 2.(0)+1-0+0 ; (0-0)=(-1,1,0)
F(0,0,1,0)=(0-0+0 ; 2.(0)+0-1+0 ; 1-0)=(0,-1,1)
F(0,0,0,1)=(0-0+1 ; 2.(0)+0-0+1 ; 1-0)=(1,1,-1)
Im(f)={ (1,2,0), (-1,1,0), (0,-1,1), (1,1,-1)}
Precisamos escalonar, pois o conjunto de vetores são L.D,pois sabemos que a dim será 3.
 L1+L2 L1.(-1)+L4 L2+3.L3 
L2+3.L4 L3+L4 
Portanto Img(f)={(1,2,0),(0,3,0),(0,0,3)}
8. Determinar a dimensão do Núcleo da Transformação Linear do tal 
que F(x,y) = (0, 2y-x).
Dim. do núcleo:
F(u)=0
(x,y)=(0,0)
(0,2y-x)=(0,0)
x=IR e 2y-x=0, 2y=x
Base de Ker(F)=(x,y)=(2y,y)=y(2,1)
Base de Ker(F)={(2,1)}
dim=1
9. Determinar uma Transformação Linear F: → tal que Im(F)=[(1, 1, 2, 1) ; (2, 1, 0, 1)].
Considerando que {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base do , podemos assumir que:
F(1,0,0)=(1,1,2,1)
F(0,1,0)=(2,1,0,1)
F(0,0,1)=(0,0,0,0)
Assim:
F(x,y,z)=x.F(1,0,0)+y.F(0,1,0)+z.F(0,0,1)
F(x,y,z)=x.(1,1,2,1)+y.(2,1,0,1)+z.(0,0,0,0)
F(x,y,z)=(x,x,2x,x)+(2y,y,0,y)
F(x,y,z)=(x+2y ; x+y ; 2x ; x+y)
10. Determinar F(x, y, z ), com (x, y, z ) sendo um vetor genérico do , considerando o Operador Linear de → tal que F(1,0,0)=(2,3,1); F(0,1,0)=(5,2,7) e F(0,0,1)=(-2,0,7).
B={U1=(1,0,0) ; U2=(0,1,0) ; U3=(0,0,1)} ,
Para todo (x,y,z) U é C.L de B, isto é:
(x,y,z)=a.(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
(x,y,z)=(a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)
(x,y,z)=(a+b+c)
a=x b=y c=z
(x,y,z)=[a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)]
F(x,y,z)=F[a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)]
F(x,y,z)=F[a(1,0,0)]+F[b(0,1,0)]+F[c(0,0,1]
F(x,y,z)=a.F(1,0,0)+b.F(0,1,0)+c.F(0,0,1)
F(x,y,z)=x.(2,3,1)+y(5,2,7)+z(-2,0,7)
F(x,y,z)=(2x,3x,x)+(5y,2y,7y)+(-2z,0,7z)
F(x,y,z)=(2x+5y-2z ; 3x+2y ; x+7y+7z)
11. Considerando um Operador Linear do , tal que F(x, y, z) = (x+z, x-z, y):
a) Provar que é um Automorfismo;
Para ser Automorfismo a aplicação é necessário ser Bijetora,
F(u)=0
F(x,y,z)=(0,0,0)
(x+z, x-z, y)=(0,0,0)
Kerf= [(0,0,0)], dim.=0, portanto injetora
base da imagem:
F(1,0,0)=(1+0; 1-0 ; 0)=(1,1,0)
F(0,1,0)=(0+0 ; 0-0 ; 1)=(0,0,1)
F(0,0,1)=(0+1 ; 0-1 ; 0)=(1,-1,0)
Base da Img(f)={(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)},L.I, dim 3, portanto sobrejetora, pois Img(F)=V
Sendo a aplicação injetora e sobrejetora é bijetora, portanto Automorfismo.
b) Determinar .
 (x,y,z)=(a,b,c)
F(a,b,c)=(x,y,z)=(a+c ; a-c ; b)
 x=a+c x=a+c somando as duas x+y=2a
 y=a-c y=a-c =a
 z=b 
x=a+c x-y 
x= +c Assim: a = , b = z e c= ((
 x-y 2
c= ((
 2
Portanto, 
 (x,y,z)=(a,b,c)
 (x,y,z)=½ (x+y ; 2z ; x-y)
Prova:
Para U=(1,1,1),F(u)=F(1,1,1)=(1+1 ; 1-1 , 1)=(2,0,1)
 (2,0,1)=( ; 1 ; ) = (1,1,1)
12. Considerando um Operador Linear do , tal que F(1, 0, 0) = (1, 1, 0);
F(0, 1, 0) = (0, 0, 1) e F(0, 0, 1) = (1, -1, 6). Verificar se a aplicação é Automorfismo.
Para ser Automorfismo a aplicação é necessário ser Bijetora,
B={U1=(1,0,0);U2=(0,1,0);U3=(0,0,1)}
Para todo(x,y,z) U é C.L de B, isto é:
(x,y,z)=a.(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
(x,y,z)=(a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)
(x,y,z)=(a+b+c)
a=x b=y c=z
(x,y,z)=[a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)]
F(x,y,z)=F[a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)]
F(x,y,z)=F[a(1,0,0)]+F[b(0,1,0)]+F[c(0,0,1)]
F(x,y,z)=a.F(1,0,0)+b.F(0,1,0)+c.F(0,0,1)
F(x,y,z)=x.(1,1,0)+y(0,0,1)+z(1,-1,6)
F(x,y,z)=(x,x,0)+(0,0,y)+(z,-z,6z)
F(x,y,z)=(x+z ; x-z ; y+6z)
F(u)=0
F(x,y,z)=(0,0,0)
(x+z ; x-z ; y+6z)=(0,0,0)
 x+z=0 somandoL1+L2 temos 2x=0 x=0
 x-z=0 x-z=0 z=0
 y-6z=0 y-6z=0 y=0
Kerf=[(0,0,0)],dim.=0, portanto é injetora.
base da imagem:
F(1,0,0)=(1+0 ; 1-0 ; 0+6.0)=(1,1,0)
F(0,1,0)=(0+0 ; 0-0 ; 1+6.0)=(0,0,1)
F(0,0,1)=(0+1 ; 0-1 ; 0+6.1)=(1,-1,6)
Img.(F)={(1,1,0);(0,0,1);(1,-1,6)} L.I, Dim Im(F) =3, portanto sobregetora,logo a aplicação é Automorfismo.
 
13. Considerando F: →,tal que F(x, y, z) = (x, x-y, y-z, z). Verificar: a Transformação Linear.
a) Se é Transformação Linear;
Para ser T.L. deve valer:
i)F(U1+U2)=F(U1)+F(U2), e
ii)F(λu)= λF(u); λIR
i)F(U1+U2)=F(U1)+F(U2)
U1=(x1,y1,z1)U=/F(u1)=F(x1,y1,z1)=(x1 ; x1-y1 ; y1-z1 ; z1)
U2=(x2,y2,z2)U=/F(u2)=F(x2,y2,z2)=(x2 ; x2-y2 ; y2-z2 ; z2)
U1+U2=(x1+x2;y1+y2;z1+z2)U=/
F(U1+U2)=F(x1+x2 ; x1+x2-y1-y1 ; y1+y2-z1-z2 ; z1+z2)
F(U1+U2)={(x1 ; x1-y1 ; y1-z1 ; z1)+(x2 ; x2-y2 ; y2-z2 ; z2)}
 F(U1) + F(U2) vale i
ii)F(λu)= λF(u); λIR
λu= λ(x,y,z)=( λx, λy, λz)
F(λu)=F(λx, λy, λz)
F(λu)=( λx ; λx-λy ; λy-λz ; λz)
F(λu)= λ(x ; x-y ; y-z ; z) vale ii, portanto é uma T.L.
b) Se é Isomorfismo.
Para ser Isomorfismo é necessário que a aplicação seja bijetora.
F(u)=0
(x , x-y , y-z , z) = (0,0,0,0)
 x=0
 x-y=0 0-y=0 y=0
 y-z=0 
 z=0
Ker(F)=[(0,0,0)]; dim=0, portanto é injetora
Base da Im(F)={(1,1,0,0),(0,-1,1,0),(0,0,-1,1)}, Dim Im(F)=3
Pelo teorema: dim U = dim Ker(f) + dim Img.
 3 = 0 + x
Logo x=3, ou seja a dimensão da Img. será 3,portanto sobrejetora.
Conclusão:é bijetora, portanto é Isomorfismo.
14. Dados os espaços Vetoriais e V={(x, y, z) ∈ / z=0}, verificar se e U são Isómorfos.
Dois espaços vetoriais de dimensão finita são Isomorfos se e somente se, 
dim U=dim V.
No nosso caso U= e V={(x,y,z) /z=0}
dim =2
dim V=dimU
(x,y,z)=(x,y,z)=x(1,0,0)=y(0,1,0)
V=[(1,0,0),(0,1,0)],L.I.,portanto uma base de V
V={(1,0,0),(0,1,0)}dim V=2
dim(V)=dim(U)=2
Portanto e V são Isomorfos.
15. Considerando um Operador Linear do , tal que F(x, y, z) = (x-3y-2z, y-4z,z):
a) Provar que é um Automorfismo;
Para ser Automorfismo é necessário que a aplicação seja Bijetora.
F(u)=0
(x-3y-2z ; y-4z ; z)=(0,0,0)
 x-3y-2z=0 x-3.(0)-2.(0)=0 x=0
 y-4z=0 y-4.(0)=0 y=0
 z=0
Ker(F)=[(0,0,0)]; dim=0, portanto é injetora
F(1,0,0)=(1-3.(0)-2.(0) ; 1-4.(0) ; 0)=(1,0,0)
F(0,1,0)=(0-3.(1)-2.(0) ; 1-4.(0) ; 0)=(3,1,0)
F(0,0,1)=(0-3.(0)-2.(1); 0-4.(1) ; 1)=(-2,-4,1)
Base da Im(F)={(1,0,0),(-3,1,0),(-2,-4,1)}
Pelo teorema: dim U = dim Ker(f) + dim Img.
 3 = 0 + x
Logo x=3, ou seja a dimensão da Img. será 3,portanto sobrejetora.
Conclusão:é bijetora, portanto é Automorfismo.
b) Determinar .
 (x,y,z)=(a,b,c)
F(a,b,c)=(x,y,z)=(a-3b-2c ; b-4c ; c)
 x=a-3b-2c x=a-3(y+4z)-2z a=x+3y+14z
 y=b-4c y=b-4z b=y+4z
 z=c
Assim, 
 (x,y,z)=(a,b,c)
 (x,y,z)=( x+3y+14z; y+4z ; z)
Prova:
Para U=(1,1,1),F(u)=F(1,1,1)=(1-3.(1)-2.(1) ; 1-4.(1) , 1)=(-4,-3,1)
 (-4,-3,1)=(-4+3.(-3)+14.(1) ; -3+4.(1) ; 1)=(1,1,1)
16. Considerando um Operador Linear F: →I, tal que F(1, 0, 0) = (1, 1, 1); F(0, 1, 0) = (1,0, 1) e F(0, 1, 2) = (0, 0, 4). Verificar se esta Aplicação:
a) É Isomorfismo;
Para ser Isomorfismo é necessário que a aplicação seja Bijetora.
B={U1=(1,0,0);U2=(0,1,0);U3=(0,1,2)}
Para todo(x,y,z) U é C.L de B, isto é:
(x,y,z)=a.(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,1,2)
(x,y,z)=(a,0,0)+(0,b,0)+(0,c,2c)
(x,y,z)=(a , b+c , 2c)
 x=a
 y=b+c y=b+z/2 b=y-z/2
 z=2c c=z/2
(x,y,z)=[a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)]
F(x,y,z)=F[a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,1,2)]
F(x,y,z)=F[a(1,0,0)]+F[b(0,1,0)]+F[c(0,1,2)]
F(x,y,z)=a.F(1,0,0)+b.F(0,1,0)+c.F(0,1,2)]
F(x,y,z)=x.(1,1,1)+y-z/2(1,0,1)+z/2(0,0,4)
F(x,y,z)=(x,x,x)+(-z/2+y , 0 , -z/2+y)+(0,0,2z)
F(x,y,z)=(x-z/2+y ; x ; x+y+3z/2)
Base do núcleo
F(u)=0
(x-z/2+y ; x ; x+y+3z/2)=(0,0,0)
 x-z/2+y=0 
 x=0
 x+y+3z/2
 
0-z/2+y=0 -z/2+y =0 multiplica a primeira por (-1) e soma com a segunda.
0+y+3z/2 3z/2+y=0 
 2z=0 -z/2+y=0
 z=0 0/2+y=0
 y=0
Ker(F)=[(0,0,0)]; dim=0, portanto é injetora
F(1,0,0)=(1-0/2=0 , 1 , 1+0+3.0/2)=(1,1,1)
F(0,1,0)=(0-0/2+1 , 0 , 0+1+3.0/2)=(1,0,1)
F(0,0,1)=(0-1/2+0 , 0 , 0+0+3.1/2)=(-1/2,0,3/2)
Base da img(F)={(1,1,1),(1,0,1),(-1/2,0,3/2)
Pelo teorema: dim U = dim Ker(f) + dim Img.
 3 = 0 + x
Logo x=3, ou seja a dimensão da Img. será 3,portanto sobrejetora.
Conclusão:é bijetora, portanto é Isomorfismo.
b) É Inversível;
Uma vez que ker(F)={0} e U=V= têm a mesma dimensão, F é bijetora logo existe a inversa .
c) Se Inversível, determinar sua aplicação inversa .
 (x,y,z)=(a,b,c)
F(a,b,c)=(x,y,z)=(a-c/2+b ; a ; a+b+3c/2)
 x=a-c/2+b x=y-c/2+b fazer (-1).L1+L2
 y=a z=y+3c/2+b
 z=a+b+3c/2
 
 -x+z=2c x=a-c/2+b
 c=-x+z/2 x=y-(-x+z/4)+b 
 b=3/4x+z/4-y
Assim, 
 (x,y,z)=(a,b,c)
 (x,y,z)=( y , 3/4x+z/4-y , -x+z/2) 
Prova:
Para U=(1,1,1),F(u)=F(1,1,1)=(1-1/2+1 ; 1 ; 1+1+3/2)=(3/2,1,7/2)
 (3/2,1,7/2)=(1 ; [3.(3/2)+7/2]/4 ; (-3/2+7/2)/2)=(1,1,1)
17. Dada a Transformação Linear F: →IR ,tal que F(x, y, z) = x + y –z, determinar uma base e a dimensão, respectivamente, de seu núcleo e sua imagem.
Ker(F)
x+y-z=0
z=x+y
Ker(F)=(x,y,z)/z=x+y
Ker(f)=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)
Ker(F)={(1,0,1),(0,1,1)} dim=2
Img.(F)=F(x,y,z)=x+y-z, IR=dim IR =1
18. Dado o Operador Linear F: → ,tal que F(x, y) = (2x, x+y), determinar uma base e a dimensão, respectivamente, de seu núcleo e sua imagem.
Ker(F)
F(u)=0
(2x , x+y)=0
 
 2x=0 x=0
 x+y=0 y=0
Ker(F)=[(0,0,0)];dim=0
Img.(F)=(2x,x+y)=x(2,1)+y(0,1)
Base da Img.={(2,1),(0,1)}, dim.=2
19. Dada a Transformação Linear F: → ,tal que F(x, y, z)=(x-y–z, x+y+z, 2x-y+z, -y),determinar uma base e a dimensão, respectivamente, de seu núcleo e sua imagem.
Ker(F)
F(u)=0
(x-y-z ; x+y+z ; 2x-y+z ; -y)=(0,0,0,0)
 x-y-z=0 x-y=0 fazer L1+L2 2x-y+z=0
 x+y+z=0 x+z=0 2.0-0+z=0
 2x-y+z=0 z=0
 -y=0 2x=0
 x=0
Ker(F)=[(0,0,0)]; dim=0
Base e dim. da Im(f)
F(1,0,0,0)=(1-0-0 ; 1+0+0 ; 2.1-0+0 ; 0)=(1,1,2,0)
F(0,1,0,0)=(0-1-0 ; 0+1+0 ; 2.0-1+0 ; -1)=(-1,1,-1,1)
F(0,0,1,0)=(0-0-1 ; 0+0+1 ; 2.0-0+1 ; 0)=(-1,1,1,0)
F(0,0,0,1)=(0,0,0)
Pelo teorema: dim U = dim Ker(f) + dim Img.
 3 = 0 + x
Logo x=3, ou seja a dimensão da Img. será 3
Base da Img.(F)={(1,1,2,0),(-1,1,-1,-1),(-1,1,1,0)},dim.=3
20. Determinar um Operador Linear F: → ,tal que Im(F) = [(2, 1, 1) ,
(1, -1, 2)].
Img.(F)=x.(2,1,1)+y(1,-1,2)
F(x,y,z)=(2x+y , x-y , x+2y)
Considerando que {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base do , podemos assumir que:
F(1,0,0)=(2,1,1)
F(0,1,0)=(1,-1,2)
F(0,0,1)=(0,0,0)
Assim:
F(x,y,z)=x.F(1,0,0)+y.F(0,1,0)+z.F(0,0,1)
F(x,y,z)=x.(2,1,1)+y.(1,-1,2)+z.(0,0,0,0)
F(x,y,z)=(2x,x,x)+(y,-y,2y)
F(x,y,z)=(2x+y ; x-y ; x+2y)
 Centro Universitário da FSA
 Prof.: Anastassios H.K.