Resolucao lista 08

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Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática -
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Exercícios de Álgebra Linear - Lista 08 – Operações com Transformações Lineares
1. Considerando as Transformações Lineares F:IR3 →IR2 e G:IR3 →IR2, tais que F(x,y,z)=(x+y,z) e G(x, y, z) = (x, y-z), determinar as transformações de 
IR3 em IR2 :
a) F + G;
(F+G) (x,y,z)=F(x,y,z)+G(x,y,z)
(F+G) (x,y,z)=(x+y,z)+(x,y-z)
(F+G) (x,y,z)=(x+y+x ; z+y-z)
(F+G) (x,y,z)=(2x+y ; y)
b) 2F – 3G;
(2F-3G) (x,y,z)=2F(x,y,z)-3G(x,y,z)
(2F-3G) (x,y,z)=2(x+y,z)-3(x,y-z)
(2F-3G) (x,y,z)=(2x+2y ; 2z)-(3x ; 3y-3z)
(2F-3G) (x,y,z)=(2x+2y-3x ; 2z-3y+3z)
(2F-3G) (x,y,z)=(-x+2y ; -3y+5z)
2. Considerando as Transformações Lineares F:IR2 →IR e G:IR →IR, tais que F(x, y) = x+2y e G(x) = 2x, determinar a transformação de G ο F .
Existe a composta F com G (GoF), pois o contra domínio de F é igual ao domínio de G.
(GoF) (x)=G[F(x,y)]
(GoF) (x)=G[x+2y]
(GoF) (x)=[2(x+2y)] (aplicamos G em F)
(GoF) (x)=(2x+4y)
3. Considerando as Transformações Lineares F e G de L(IR2) , tais que F(x, y) = (x-y, x) e G(x,y)=(x, 0), determinar:
a) 2F+3G;
(2F+3G) (x,y)=2F(x,y)+3F(x,y)
(2F+3G) (x,y)=2(x-y,x)+3(x,0)
(2F+3G) (x,y)=(2x-2y,2x)+(3x,0)
(2F+3G) (x,y)=(2x-2y+3x ; 2x+0)
(2F+3G) (x,y)=(5x-2y ; 2x)
b) F o G;
(FoG) (x,y)=F[G(x,y)]
(FoG) (x,y)=F(x,0)
(FoG) (x,y)=(x-0 ; x) (aplicamos F em G)
(FoG) (x,y)=(x,x)
c) G o F;
(GoF)(x,y)=G[F(x,y)]
(GoF)(x,y)=G(x-y,x)
(GoF)(x,y)=(x-y ; 0) (aplicamos G em F)
d) ;
 =(FoF)(x,y)=F[F(x,y)]
 =(FoF)(x,y)=F(x-y,x)
 =(FoF)(x,y)=(x-y-x,x-y) (aplicamos F em F)
 =(FoF)(x,y)=(-y ; x-y)
e) ;
 (GoG)(x,y)=G[G(x,y)]
 (GoG)(x,y)=G(x,0)
 (GoG)(x,y)=(x,0) (aplicamos G em G)
4. Considerando as Transformações Lineares F e G de L(IR2) , tais que F(x, y) = 
(0, x) e G(x,y)=(x, 0), determinar:
a) G ο F;
(GoF)(x,y)=G[F(x,y)]
(GoF)(x,y)=G(0,x)
(GoF)(x,y)=(0,0) (aplicamos G em F) 
b) F ο G;
(FoG)(x,y)=F[G(x,y)]
(FoG)(x,y)=F(x,0)
(FoG)(x,y)=(0,x) (aplicamos F em G) 
c) ;
 =(GoF)o(GoF)
Primeiro faremos a composta (GoF)
(GoF)(x,y)=G[F(x,y)]
(GoF)(x,y)=G(0,x)
(GoF)(x,y)=(0,0) (aplicamos G em F)
Como (GoF)=(0,0) ; =(0,0)
d) ;
 = (FoG)o(FoG)
Primeiro faremos a composta (FoG),
(FoG)(x,y)=F[G(x,y)]
(FoG)(x,y)=F(x,0)
(FoG)(x,y)=(0,x) (aplicamos F em G) 
Agora faremos a composta (FoG)o(FoG) ,
(FoG)o(FoG)(x,y)=F[FoG(x,y)]
(FoG)o(FoG)(x,y)=F(0,x)
(FoG)o(FoG)(x,y)=(0,0) (aplicamos (FoG) em (FoG))
5. Considerando as Transformações Lineares F e G de L(IR3, IR2) , tais que F(x, y, z) = (0, 2x) e G(x,y,z)=(x-y, x), e ainda a transformação H de L(IR2) tal que H(x,y)=(x+y, x-y),determinar:
a) H o(F+G);
H o(F+G)=(HoF)+(HoG)
Primeiro faremos (HoF)
(HoF)(x,y)=H[F(x,y,z)]
(HoF)(x,y)=H(0,2x)
(HoF)(x,y)=(0+2x ; 0-2x) (aplicamos H em F)
(HoF)(x,y)=(2x ; -2x)
Agora faremos (HoG)
(HoG)(x,y)=H[G(x,y,z)]
(HoG)(x,y)=(x-y,x)
(HoG)(x,y)=(x-y+x ; x-y-x) (aplicamos H em G)
(HoG)(x,y)=(2x-y ; -y)
Agora somamos as compostas
H o(F+G)(x,y)=(2x ; -2x)+(2x-y ; -y)
H o(F+G)(x,y)=(2x+2x-y ; -2x-y)
H o(F+G)(x,y)=(4x-y ; -2x-y)
b) (H + I) o F; (onde I é o operador Idêntico de IR2).
(H + I) o F=(HoF)+(IoF)
Primeiro faremos (HoF)
(HoF)(x,y)=H[F(x,y,z)]
(HoF)(x,y)=H(0,2x)
(HoF)(x,y)=(0+2x ; 0-2x) (aplicamos H em F)
(HoF)(x,y)=(2x ; -2x)
Agora faremos (IoF)
(IoF)=F(x,y)=(0 ; 2)
 Portanto:(x,y)=(2x ; -2x) + (0 ; 2x) (x,y)=(2x ; 0)