Matrizes e Operações em Álgebra Linear

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Questão 1/10 - Álgebra Linear
Leia as informações a seguir:
Uma matriz quadrada possui inversa se o seu determinante for diferente de zero. Ao multiplicar a matriz dada, com sua inversa, o resultado deve ser a matriz identidade de mesma ordem. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise a matriz  A=[1021]A=[1021] e assinale a alternativa que indica sua inversa:
Nota: 10.0
	
	A
	A−1=[10−21]A−1=[10−21]
Você acertou!
A inversa de A é a matriz A−1A−1, tal que:
A.A−1=IA.A−1=I.  assim, temos:
[1021][1021].[abcd][abcd] = [1001][1001]
[ab2a+c2b+d][ab2a+c2b+d] = [1001][1001]
assim, A−1=[10−21]A−1=[10−21]
(Livro-base p. 52-56).
	
	B
	A−1=[1021]A−1=[1021]
	
	C
	A−1=[−10−2−1]A−1=[−10−2−1]
	
	D
	A−1=⎡⎣10−212⎤⎦A−1=[10−212]
	
	E
	A−1=⎡⎣01−212⎤⎦A−1=[01−212]
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Sejam A=[−1−2−3−5],A=[−1−2−3−5], B=[2−1]B=[2−1] , C=[14−4−8] e X=[xy]C=[14−4−8] e X=[xy] . 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale aquela que contém a matriz XX que satisfaz a equação A+BX=C.A+BX=C.
Nota: 0.0
	
	A
	X=[31].X=[31].
	
	B
	X=[−31].X=[−31].
	
	C
	X=[1−3].X=[1−3].
	
	D
	X=[13].X=[13].
Fazendo X=[xy],X=[xy], segue da equação A+BX=CA+BX=C que
[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].
Logo, x=1 e y=3x=1 e y=3
(Livro-base p. 26-39).
	
	E
	X=[−12].X=[−12].
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considere a transformação T:R3→R3T:R3→R3 definida por T(x,y,z)=(x,y,0).T(x,y,z)=(x,y,0). 
De acordo com a transformação dada e com os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando for falsa:
I. (   ) TT é uma transformação linear.
II. (   ) O núcleo de TT é N(T)={(0,0,z); z∈R}N(T)={(0,0,z); z∈R}.
III. (   ) O conjunto imagem de TT satisfaz dim(Im(T))=2.dim(Im(T))=2.
Agora, marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V - V - V
Você acertou!
Dados u,v∈R3 e λ∈Ru,v∈R3 e λ∈R, observamos que TT satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).T(u+v)=T(u)+T(v) e T(λu)=λT(u).
Assim, TT é uma transformação linear e a afirmativa I é verdadeira. Além disso, T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,T(x,y,z)=(0,0,0)⟺(x,y,0)=(0,0,0)⟺x=0 e y=0,
o que mostra que zz pode ser tomado qualquer. Desse modo, N(T)={(0,0,z), z∈R}N(T)={(0,0,z), z∈R} e a afirmativa II é verdadeira. Segue do Teorema do Núcleo e da Imagem que 
dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.dim(N(T))+dim(Im(T))=dim(R3)⇒1+dim(Im(T))=3⇒dim(Im(T))=2.
Portanto, a afirmativa III também é verdadeira (livro-base p. 124-130).
	
	B
	V - F - V
	
	C
	V - V - F
	
	D
	V - F - F
	
	E
	F - V - V
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases 
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa cuja matriz é a 
matriz de mudança de base de A para B, [M]AB[M]BA.
Nota: 0.0
	
	A
	[M]AB=[M]BA=[1712−10−7].[1712−10−7].
Para determinar a matriz de mudança de base de A para B, devemos fazer A como combinação linear de B.
p1=4−3x=a(x+2)+b(2x+3)p2=3−2x=c(x+2)+d(2x+3)[12|−3−223|43].p1=4−3x=a(x+2)+b(2x+3)p2=3−2x=c(x+2)+d(2x+3)[12|−3−223|43].
Escalonando
[10|171201|−10−7].[10|171201|−10−7].
[M]AB=[M]BA=[1712−10−7].[1712−10−7].
(Livro-base p. 108-112)
	
	B
	[M]AB=[M]BA=[182−12−8].[182−12−8].
	
	C
	[M]AB=[M]BA=[1813−11−6].[1813−11−6].
	
	D
	[M]AB=[M]BA=[2210−11−9].[2210−11−9].
	
	E
	[M]AB=[M]BA=[1813−158].[1813−158].
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considere a seguinte equação ∣∣
∣∣x+123x1531−2∣∣
∣∣|x+123x1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41x−2| . 
De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com o valor de x:
Nota: 0.0
	
	A
	x=−32x=−32
	
	B
	x=−18x=−18
	
	C
	x=−25x=−25
	
	D
	x=−22x=−22
Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos: 
−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x
(Livro-base p. 39-42).
	
	E
	x=−20x=−20
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
O setor de controle de estoque de um grupo comercial tem acompanhado a circulação de 4 produtos em 3 filiais. O estoque no início de um dia foi registrado e é dado pela matriz:
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 110523Filial 287106Filial 396612
No final do dia, foi registrado o total de vendas dos 4 produtos nas 3 filiais, que é dada pela matriz abaixo:
Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310Produto 1Produto 2Produto 3produto 4Filial 16322Filial 24385Filial 382310
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear e se o valor de cada produto é dado pela tabelaProdutoPreço14,0025,0033,0042,00ProdutoPreço14,0025,0033,0042,00, assinale a alternativa cuja matriz é o valor do estoque atualizado para cada filial:
Nota: 0.0
	
	A
	⎡⎢⎣Filial1=28Filial2=44Filial3=37⎤⎥⎦[Filial1=28Filial2=44Filial3=37]
a) Basta fazer a subtração das duas matrizes:
⎡⎢⎣105238710696612⎤⎥⎦[105238710696612]- ⎡⎢⎣6322438582310⎤⎥⎦[6322438582310]= ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432]
 b) Basta multiplicar a matriz atualizada pela matriz de valores:
 ⎡⎢⎣420144211432⎤⎥⎦[420144211432].⎡⎢
⎢
⎢⎣4532⎤⎥
⎥
⎥⎦[4532]= ⎡⎢⎣284437⎤⎥⎦[284437]
(Livro-base p. 36-41).
	
	B
	⎡⎢⎣Filial1=21Filial2=42Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=21Filial2=42Filial3=38]
	
	C
	⎡⎢⎣Filial1=24Filial2=39Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=24Filial2=39Filial3=38]
	
	D
	⎡⎢⎣Filial1=26Filial2=38Filial3=44⎤⎥⎦[Filial1=26Filial2=38Filial3=44]
	
	E
	⎡⎢⎣Filial1=32Filial2=46Filial3=38⎤⎥⎦[Filial1=32Filial2=46Filial3=38]
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Um sistema de equações lineares pode ter uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Sendo assim, podemos classificá-lo em possível e determinado, impossível, ou possível e indeterminado, respectivamente.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a solução do seguinte sistema:
⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0{x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0
Assinale a alternativa correta:
Nota: 0.0
	
	A
	Este sistema é indeterminado.
	
	B
	Este sistema é possível e sua solução é (0,0,0).     
	
	C
	Este sistema é possível e sua solução é (0,1,1).
	
	D
	Este sistema é impossível.
Comentário: Podemos somar as três primeiras equações e obter 2x + 2y + 3z = 11. Dividindo por 2 teremos: x + y + z = 11/2. Como a quarta equação é x + y + z = 0, temos que o sistema é impossível.
(Livro-base p. 56-58)
	
	E
	Este sistema é possível e sua solução é (1,2,3).
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u).T(u).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(−3,2,2)T(u)=(−3,2,2)
	
	B
	T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)
	
	C
	T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)
	
	D
	T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)
Você acertou!
Como {(1,2),(3,4)}{(1,2),(3,4)}  é uma base de R2R2,  existe uma única TL tal que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4).  Dado u=(x,y)u=(x,y), temos que:
u=r(1,2)+s(3,4)u=r(1,2)+s(3,4)
{r+3s=x2r+4s=y{r+3s=x2r+4s=y
Escalonando o sistema, temos:
{r+3s=x−2s=y−2x{r+3s=x−2s=y−2x
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).
Portanto,  T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).(Livro-base p. 119-122)
	
	E
	T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3).
Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Nota: 10.0
	
	A
	k≠8k≠8
	
	B
	k≠−7k≠−7
	
	C
	k≠5k≠5
	
	D
	k≠−9k≠−9
Você acertou!
Determine o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
Montamos o sistema linear 
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0{a+2b+kc=0−a+b=0−2a+b+3c=0
Efetuamos o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9{a+2b+kc=03b+kc=05b+(2k+3)c=0{a+2b+kc=03b+kc=0(k+9)3c=0k≠−9
(Livro-base p. 95-100)
	
	E
	k≠6k≠6
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
admita solução única.  
Nota: 0.0
	
	A
	k=1k=1
	
	B
	k=−1k=−1
	
	C
	k=0k=0
Faça os escalonamentos:
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6
k−6=−6k=0k−6=−6k=0
(Livro-base p. 96)
	
	D
	k=−2k=−2
	
	E
	k=2k=2