(4)Equivalência Lógica Parte I

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4 EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
 Podemos dizer que duas proposições são equivalentes se os resultados de suas tabelas-verdade são 
idênticos. Também podemos provar que as proposições P e Q são logicamente equivalentes se e somente se P ↔ Q 
for uma tautologia. Uma equivalência pode ser denotada por P Q ou P  Q. 
 As equivalências lógicas possuem algumas propriedades: 
 Reflexiva – P  P 
 Simétrica – P  Q, então Q  P 
 Transitiva – P  Q e Q  R, então P  R 
 Se P e Q são ambas tautologias ou ambas contradições então P  Q 
As equivalências podem ser utilizadas para substituir uma parte de uma sentença por outra logicamente 
equivalente. 
Abaixo estão listadas as chamadas equivalências notáveis. 
 
4.1 Leis Idempotentes (ID) 
 Aplicam-se somente à conjunção e disjunção e são definidas por: 
a) p ^ p  p 
b) p v p  p 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p p ^ p p v p 
V V V 
F F F 
 
4.2 Leis Comutativas (COM) 
 As operações lógicas conjunção e disjunção são comutativas, ou seja, as preposições envolvidas no conectivo 
podem trocar de lugar sem alterar o resultado. São definidas por: 
a) p ^ q  q ^ p 
b) p v q  q v p 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p q p ^ q q ^ p p v q q v p 
V V V V V V 
V F F F V V 
F V F F V V 
F F F F F F 
 
 
 
 
4.3 Leis Associativas (ASSOC) 
 A conjunção e a disjunção satisfazem à propriedade associativa, isto é, a forma como as proposições simples 
estão associadas não influi no valor lógico da proposição composta resultante. São definidas por: 
a) (p ^ q) ^ r  p ^ (q ^ r) 
b) (p v q) v r  p v (q v r) 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p q r (p ^ q) ^ r p ^ (q ^ r) (p v q) v r p v (q v r) 
V V V V V V V 
V V F F F V V 
V F V F F V V 
V F F F F V V 
F V V F F V V 
F V F F F V V 
F F V F F V V 
F F F F F F F 
 
4.4 Leis Distributivas (DIST) 
 As leis distributivas estão definidas para a conjunção e para a disjunção, e são definidas por: 
a) p ^ (q v r)  (p ^ q) v (p ^ r) 
b) p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r) 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p q r p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) 
V V V V V V V 
V V F V V V V 
V F V V V V V 
V F F F F V V 
F V V F F V V 
F V F F F F F 
F F V F F F F 
F F F F F F F 
 
4.5 Dupla Negação (DN) 
 A negação da negação de uma proposição corresponde à própria proposição, e é definido por: 
a) ~~p  p 
Podemos observar a equivalência na tabela-verdade abaixo: 
p ~~p 
V V 
F F 
 
 
 
4.6 Leis de Absorção (ABS) 
 As leis de absorção envolvem as operações lógicas de disjunção e conjunção e são definidas por: 
a) p ^ (p v q)  p 
b) p v (p ^ q)  p 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p q p ^ (p v q) p v (p ^ q) 
V V V V 
V F V V 
F V F F 
F F F F 
 
4.7 Leis de De Morgan (DM) 
 Nas leis de De Morgan podemos afirmar que a negação da conjunção de duas proposições é dada pela 
disjunção da negação das proposições simples, e que a negação da disjunção de duas proposições é dada pela 
conjunção da negação da proposições simples, ou seja, nega-se as proposições simples e troca-se de conjunção para 
disjunção e vice-versa. São definidas por: 
a) ~(p ^ q)  ~p v ~q 
b) ~(p v q)  ~p ^ ~q 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p q ~(p ^ q) ~p v ~q ~(p v q) ~p ^ ~q 
V V F F F F 
V F V V F F 
F V V V F F 
F F V V V V 
 
4.8 Condicional (COND) 
 A equivalência condicional nos permite escrever uma condicional como uma disjunção e vice-versa, e é 
definida por: 
a) p → q  ~p v q 
Podemos observar a equivalência na tabela-verdade abaixo: 
p q p → q ~p v q 
V V V V 
V F F F 
F V V V 
F F V V 
 
 
 
 
4.9 Contraposição (CP) 
 A equivalência contraposição permite escrever uma condicional equivalente à condicional dada, e é definida 
por: 
a) p → q  ~q → ~p 
Podemos observar a equivalência na tabela-verdade abaixo: 
p q p → q ~q → ~p 
V V V V 
V F F F 
F V V V 
F F V V 
 
4.10 Bicondicional (BC) 
 A equivalência bicondicional permite escrever proposições equivalentes à proposição bicondicional. São 
definidas por: 
a) p ↔ q  (p → q) ^ (q → p) 
b) p ↔ q  (p ^ q) v (~p ^ ~q) 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p q p ↔ q (p → q) ^ (q → p) (p ^ q) v (~p ^ ~q) 
V V V V V 
V F F F F 
F V F F F 
F F V V V 
 
4.11 Disjunção Exclusiva (DE) 
 A disjunção exclusiva de duas proposições pode ser definida por: 
a) p v q  (p v q) ^ (~p v ~q) 
Podemos observar a equivalência na tabela-verdade abaixo: 
p q p v q (p v q) ^ (~p v ~q) 
V V F F 
V F V V 
F V V V 
F F F F 
 
 
 
 
 
 
4.12 Leis de Identidade (IDENT) 
 Considerando T para tautologia e C para contradição, temos as seguintes equivalências: 
a) p ^ T  p 
b) p ^ C  C 
c) p v C  p 
d) p v T  T 
e) p v ~p  T 
f) p ^ ~p  C 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p T C p ^ T p ^ C p v C p v T p v ~p p ^ ~p 
V V F V F V V V F 
F V F F F F V V F 
 
4.13 Conectivos de Scheffer (CS) 
 Os conectivos de Scheffer, negação conjunta e negação disjunta, podem ser escritos em termos da 
conjunção e da disjunção. São definidos por: 
a) p ↓ q  ~p ^ ~q 
b) p ↑ q  ~p v ~q 
Podemos observar as equivalências na tabela-verdade abaixo: 
p q p ↓ q ~p ^ ~q p ↑ q ~p v ~q 
V V F F F F 
V F F F V V 
F V F F V V 
F F V V V V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO DE EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS 
LEI EQUIVALÊNCIAS 
Leis Idempotentes (ID) 
p ^ p  p 
p v p  p 
Leis Comutativas (COM) 
p ^ q  q ^ p 
p v q  q v p 
Leis Associativas (ASSOC) 
(p ^ q) ^ r  p ^ (q ^ r) 
(p v q) v r  p v (q v r) 
Leis Distributivas (DIST) 
p ^ (q v r)  (p ^ q) v (p ^ r) 
p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r) 
Dupla Negação (DN) ~~p  p 
Leis de Absorção (ABS) 
p ^ (p v q)  p 
p v (p ^ q)  p 
Leis de De Morgan (DM) 
~(p ^ q)  ~p v ~q 
~(p v q)  ~p ^ ~q 
Condicional (COND) p → q  ~p v q 
Contraposição (CP) p → q  ~q → ~p 
Bicondicional (BC) 
p ↔ q  (p → q) ^ (q → p) 
p ↔ q  (p ^ q) v (~p ^ ~q) 
Disjunção Exclusiva (DE) p v q  (p v q) ^ (~p v ~q) 
Leis de Identidade (IDENT) 
p ^ T  p 
p ^ C  C 
p v C  p 
p v T  T 
p v ~p  T 
p ^ ~p  C 
Conectivos de Scheffer (CS) 
p ↓ q  ~p ^ ~q 
p ↑ q  ~p v ~q