GEOMETRIA ANALÍTICA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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CURSOS LIVRES DE 3º GRAU – AFONSO CARIOCA 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
PRODUTO VETORIAL E PRODUTO MISTO 
1. Determinar o vetor 
x
 tal que 
 x 1,4, 3 7   
 e 
   x 4, 2,1 3,5, 2   
. 
Solução: 
 
 
 
   
x 1,4, 3 7
Seja x a,b,c , então :
a,b,c 1,4, 3 7 a 4b 3c 7
   

        
 
   
 
     
     
x 4, 2,1 3,5, 2
Seja x a,b,c , então :
a,b,c 4, 2,1 3,5, 2
4 1
i j k
ˆˆ ˆ3i 5j 2ka b c
4 2 1
i k
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4cj b i 2ak aj 4bk 2c i 3i 5j 2k
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆb 2c i 4c a j 2a 4b k 3i 5j 2k
Assim :
b 2c 3
4c a 5
2a 4b 2
   

   
  

       
       
 

 
  
 
Dessa forma, temos: 
 
a 4b 3c 7
a 4b 3c 7
4c 5 4 3 2c 3c 7
b 2c 3 b 3 2c
4c 5 12 8c 3c 7
a 4c 5 a 4c 5
4c 11c 7 5 12
2a 4b 2 a 2b 1
7c 14 c 2
   
   
     
     
       
           
     
    

 
 
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   
Se c 2 :
b 3 2c b 3 2 2 3 4 1 b 1
a 4c 5 a 4 2 5 8 5 3 a 3
Logo :
x a,b,c x 3, 1,2

            
          
   
 
2. Sejam os vetores U=(1,-2,1), V=(1,1,1) e W(1,0,-1). 
 a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais. 
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro 
vetor. 
c)mostrar que U*(V*W)=0 
 3. Determinar U . V, Sabendo que |U * V|=12, |U|=13 e V é unitario 
 4. Dados os pontos A(2,1,-1) e B(0,2,1), determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a área do triangulo ABC 
seja 1,5 u.a. 
Solução: 
     
   
   
A 2,1, 1 , B 0,2,1 e C a,0,0
AB B A 2,1, 2 AB 2,1, 2
e
AC C A a 2, 1,1 AC a 2, 1,1
1
Área AB AC
2
Área 1,5 u.a.
1
AB AC 1,5 u.a.
2
2 1 2 2 11
1,5
2 a 2 1 1 a 2 1
2 1 2 2 1
3
a 2 1 1 a 2 1

        
        
  

  
  
 
  
  

  
 
 
 
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     
             
 
       
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 1 2 2 1
3
a 2 1 1 a 2 1
ˆˆ ˆ1 2 i 2a 4 2 j 2 a 2 k 3
1 6 2a a 3 1 6 2a a 3
1 6 2a a 9 1 36 24a 4a a 9 0
5a 24a 28 0
24 24 4 5 28
a
10
24 16 24 4
a a
10 10
28 14 14
a a
10 5 5
ou
20
a a 2
10
  

  
         
 
             
 
          
  
      

 
  
   
  
 
Logo, o ponto pedido é 
 
14
C ; 0; 0 ou C 2; 0; 0
5
 
 
 
. 
 
5. Obtenha o ponto da bissetriz do 1º quadrante que eqüidista de P(0,1) e Q(7,0). 
Solução: 
     
       
PM MQ
2 2 2 22 2 2 2
2
P 0,1 Q 7,0 M x, x 1º Qd
d d
x x 1 x 7 x x x 1 x 7 x
Assim :
x


          
2x 22x 1 x   2x
 
14x 49 14x 2x 49 1
12x 48 x 4 y x 4
Por tan to :
M 4,4
     
      
 
 
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Observe a figura: 
 
6. Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, 0,1) e C(2, -1, -3), determinar o ponto D tal que 
AD BC AC 
. 
Solução: 
       
       
       
     
AD BC AC
A 2,1, 1 , B 3,0,1 ,C 2, 1, 3 e D x,y,z
Assim :
AD D A x,y,z 2,1, 1 x 2,y 1,z 1 AD x 2,y 1,z 1
BC C B 2, 1, 3 3,0,1 1, 1, 4 BC 1, 1, 4
AC C A 2, 1, 3 2,1, 1 0, 2, 2 AC
 
  
             
              
             
     
 
0,2, 2
Pr oduto vetorial BC AC :
1 1 4 1 1
BC AC 2 8 , 0 2 , 2 0
0 2 2 0 2
BC AC 10, 2, 2
Comparando : AD BC AC
x 2 10 x 10 2 12 x 12
y 1 2 y 2 1 1 y 1
z 1 2 z 2 1 3 z 3
Lo


    
        
   
 
       
           
           
   
go :
D x,y,z D 12, 1, 3   
 
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7. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
u 2v
 e 
v u
, sendo 
 u 3,2,0 
e 
 v 0, 1, 2  
. 
Solução: 
   
   
       
       
u 3,2,0 v 0, 1, 2
u 2v 3,2,0 2 0, 1, 2
u 2v 3,2,0 0, 2, 4 3,0, 4 u 2v 3,0, 4
e
v u 0, 1, 2 3,2,0 3, 3, 2 v u 3, 3, 2
    
     
             
             
 
Assim:    
         
     
u 2v 3,0, 4 e v u 3, 3, 2
3 0 4 3 0
u 2v v u 0 12 , 12 6 , 9 0
3 3 2 3 3
Logo :
u 2v v u 12, 18,9
       
  
            
     
 
8. Sendo 
u 2 2
 , 
v 4
 e θ = 45° o ângulo entre 
u
 e 
v
, calcular: 
a) 
2u v
 
Solução: 
2u v 2 u v 2 u v sen
2u v 2
    
 
2
2 2 4
2
   8 2 2 16
2u v 16
  
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) 
2 1
u v
5 2

 
Solução: 
 
2 1 1 1
u v u v u v sen
5 2 5 5
2 1 1
u v 2
5 2 5
    
  
2
2 4
2
 
1
8
5
Logo :
2 1 8
u v
5 2 5
 
 
 
PRODUTO MISTO 
9. Qual o volume do cubo determinado pelos 
ˆˆ ˆi, j e k
? 
Solução: 
1 0 0
V 0 1 0 1.1.1 1 u.v V 1 u.v
0 0 1
    
 
10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
 1v 0, 1,2 
, 
 2v 4,2, 1  
 e 
 3v 3,m, 2 
seja igual a 33 u.v. Calcular a altura deste paralelepípedo relativa à base 
definida por 
1v
e 
2v .
 
Solução: 
Cálculo de m: 
     1 2 3v 0, 1,2 v 4,2, 1 v 3,m, 2 V 33 u.v
0 1 2
V 33 4 2 1 33 0 8m 3 12 8 33
3 m 2
8m 3 20 33 8m 17 33 8m 33 17 8m 40
40
m 5 m 5
8
       

          

              
      
 
 
 
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Cálculo da altura: 
   1 2
base
base
base 1 2
1 2
v 0, 1,2 v 4,2, 1
V
V A h h
A
Mas :
A v v
Assim :
0 1 2 0 1
v v
4 2 1 4 2
    
   
 
 
 
  
      
     
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
base
0 1 2 0 1 ˆˆ ˆv v 1 4 i 8 0 j 0 4 k
4 2 1 4 2
ˆˆ ˆv v 3i 8j 4k v v 3 8 4
v v 9 64 16 v v 89
Logo :
V 33
h h
A 89
 
        
  
            
      
  
 
11. Dadosos pontos A(2, 1,1), B(-1, 0,1), C(3, 2, -2), determine o ponto D do eixo Oz para que o volume 
determinado por 
AB
, 
AC
 e 
AD
 seja 25 u.v. 
Solução: 
       
 
 
 
 
A 2,1,1 B 1,0,1 C 3,2, 2 D 0,0,z V 25 u.v
AB B A 3, 1,0
AC C A 1,1, 3
AD D A 2, 1,z 1
V 25
3 1 0
1 1 3 25 3 z 1 6 9 z 1 25
2 1 z 1
Assim :
3z 3 6 9 z 1 25 2z 5 25 2z 25 5
20
2z 20 z z 10
2
  
    
   
     

 
         
  
              
      
 
Dessa forma, o ponto pedido é D(0,0, -10) 
 
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12. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo 
A(2,0,0)
, B(2,4,0), C(0,3,0) e P(2, -2, 9). 
Qual a altura relativa ao vértice P? 
Solução: 
Cálculo do Volume: 
 
 
 
 
A(2,0,0) B(2,4,0) C(0,3,0) P(2, -2, 9)
AB B A 0,4,0
AC C A 2,3,0
AP P A 0, 2,9
0 4 0
1 1
V 2 3 0 72 12 V 12 u.v
6 6
0 2 9
  
   
   
      

 
Cálculo da Altura: 
base
base
base
base
V
V A h h
A
A AB AC
ˆˆ ˆi j k
ˆAB AC 0 4 0 8k AB AC 8
2 3 0
Assim :
V 72
h h 9 u.c h 9 u.c
A 8
   
 
     

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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13. Três vértices de um tetraedro de volume 6 u.v são A(-2, 4, -1), B(-3,2,2) e C(1, -2, -1). Determinar o quarto 
vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy. 
Solução: 
 
 
 
 
A( 2,4, 1) B(-3,2,3) C(1,-2,-1) D(0, y, 0)
AB B A 1, 2,4
AC C A 3, 6,0
AD D A 2,y 4,1
1 2 4 1 2 3
1
V 6 V 3 6 0 6 3 6 0 36
6
2 y 4 1 2 y 4 1
6 12 y 4 48 6 36 12y 48
 
    
   
   
   
       
 
       12 48 
 
36
12y 36 12 24 y 2
Assim :
D 0,2,0

    
 
14. Resolva os sistemas: 
a) 
 
ˆˆX j k
ˆˆ ˆX 4i 2j k 10
  

   
 
Solução: 
 
 
 
         
 
   
ˆˆX j k
ˆˆ ˆX 4i 2j k ^ 10
X a,b,c
Assim :
a b c a bˆˆX j k 0,0,1
0 1 0 0 1
ˆˆ0 c i a 0 k 0,0,1 c,0,a 0,0,1
Temos :
c 0 a 1
e
ˆˆ ˆX 4i 2j k ^ 10
a,b,c 4, 2, 1 10 4a 2b c 10
4 1 2b 0 10 4 2b 10 2b 4 10 6 2b 6 b
  

   

   
      
 
   
       
                
   
3
Substituindo :
X a,b,c X 1, 3,0

   
 
 
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b)  
 
ˆˆ ˆX 2i j 3k 0
ˆˆ ˆX i 2j 2k 12
    


    

 
Solução: 
 
 
 
 
       
ˆˆ ˆX 2i j 3k 0
ˆˆ ˆX i 2j 2k 12
X a,b,c
Assim :
a b c a bˆˆX j k 0,0,0
2 1 3 2 1
ˆˆ ˆ3b c i 2c 3a j a 2b k 0,0,0
    


    


   
 
      
 
       
 
   
 
Temos :
ˆˆ ˆ3b c i 2c 3a j a 2b k 0,0,0
3b c 0
2c 3a 0
a 2b 0 a 2b 0
e
ˆˆ ˆX i 2j 2k 12
a,b,c 1,2, 2 12 a 2b 2c 12
mas : a 2b 0
a 2b 2c 12 0 2c 12 2c 12 c 6
3b c 0 3b c 3b 6 3b 6 b 2
a 2b 0 a 2 2 0 a 4 0 a
      
 

 
     
   
      
 
           
            
         
   
4
Substituindo :
X a,b,c X 4,2, 6
 
    
 
 
 
 
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ESTUDO DA RETA 
15. Dada a reta r: (x, y, z) =(-1, 2, 3) + t(2, -3, 0) escrever as equações paramétricas de r. 
Solução: 
     
o
o o o o
o
o
o
o
x x at
r : y y bt x, y,z x , y ,z t a,b,c
z z ct
Logo :
x x at x 1 2t
r : y y bt r : y 2 3t
z 3z z ct
 

    

 
    
 
     
    
 
 
16. Dada a reta: 
x 2 t
r : y 3 t
z 4 2t
 

 
   
 
Determinar o ponto de r tal que: 
a) a ordenada seja 6. 
b) a abscissa seja igual à ordenada. 
c) a cota seja o quádruplo da abscissa. 
Solução: 
a) Ponto de r tal que a ordenada seja 6. 
 
 
x 2 t
r : y 3 t
z 4 2t
y 6 3 t 6 t 6 3 3 t 3
Assim :
x 2 t x 2 3 1 x 1
y 3 t y 3 3 3 3 6 y 6
z 4 2t z 4 2 3 4 6 10 z 10
 

 
   
           
         
          
                
 
 
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O ponto pedido é (-1, 6, -10). 
 
b) O ponto de r tal que a abscissa seja igual à ordenada. 
x 2 t
r : y 3 t
z 4 2t
1
x y 2 t 3 t t t 3 2 2t 1 t
2
Assim :
1 5 5
x 2 t x 2 x
2 2 2
1 5 5
y 3 t y 3 y
2 2 2
1
z 4 2t z 4 2 4 1 3 z 3
2
 

 
   
            
       
       
 
                
 
 
O ponto pedido é 
5 5
, , 3
2 2
 
 
 
. 
c) O ponto de r tal que a cota seja o quádruplo da abscissa. 
 
 
 
x 2 t
r : y 3 t
z 4 2t
z 4x 4 2t 4 2 t 4 2t 8 4t 2t 4t 8 4
12
2t 12 2t 12 t 6 t 6
2
Assim :
x 2 t x 2 6 4 x 4
y 3 t y 3 6 3 6 9 y 9
z 4 2t z 4 2 6 4 12 16 z 16
 

 
   
              
            
         
          
                
 
O ponto pedido é (-4, 9, -16). 
 
 
 
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17. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: 
a) A(1, -1, 2) e B(2, 1, 0) b) A(3, 1, 4) e B(3, -2, 2) 
c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2) d) A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0) 
Solução: 
a) A(1, -1, 2) e B(2, 1, 0) 
   
       
   
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 1, 1,2 B 2,1,0
AB B A 2, 1,0 1, 1,2 1,2, 2 AB 1,2, 2
Assim :
a 1 b 2 c 2
Ponto A x ,y ,z A 1, 1,2
Substituindo :
x 1 t
r : y 1 2t
z 2 2t
 

 

 

          
   
 
 

  
  
 
b) A(3, 1, 4) e B(3, -2, 2) 
   
       
   
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 3,1,4 B 3, 2,2
AB B A 3, 2,2 3,1,4 0, 3, 2 AB 0, 3, 2
Assim :
a 0 b 3 c 2
Ponto A x ,y ,z A 3,1,4
Substituindo :
x 3
r : y 1 3t
z 4 2t
 

 

 

           
    



 
  
 
 
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c) A(1, 2, 3) e B(1, 3, 2) 
   
       
   
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 1,2,3 B 1,3,2AB B A 1,3,2 1,2,3 0,1, 1 AB 0,1, 1
Assim :
a 0 b 1 c 1
Ponto A x ,y ,z A 1,2,3
Substituindo :
x 1
r : y 2 t
z 3 t
 

 

 
        
   



 
  
 
d) A(0, 0, 0) e B(0, 1, 0) 
   
       
   
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 0,0,0 B 0,1,0
AB B A 0,1,0 0,0,0 0,1,0 AB 0,1,0
Assim :
a 0 b 1 c 0
Ponto A x ,y ,z A 0,0,0
Substituindo :
x 0
r : y t
z 0
 

 

 
      
  




 
 
 
 
 
 
 
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18. O ponto (m, 1, n) pertence a reta que passa pelos pontos A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Determinar o ponto P. 
Solução: 
   
       
   
 
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 3, 1,4 B 4, 3, 1
AB B A 4, 3, 1 3, 1,4 1, 2, 5 AB 1, 2, 5
Assim :
a 1 b 2 c 5
Ponto A x ,y ,z A 3, 1,4
Substituindo :
x 3 t
r : y 1 2t
z 4 5t
m,1,n r,então :
x 3 t
r : y 1 2t
z 4
 

 

 
  
             
    
 
 

  
  

 
  
 
 
   
m 3 t
r : 1 1 2t
5t n 4 5t
Da 2ª equação :
1 1 2t 2t 1 1 2 2t 2 t 1
Assim :
m 3 t m 3 1 2 m 2
n 4 5t n 4 5 1 4 5 9 n 9
Logo :
P m,1,n P 2,1,9
  
 
    
    
              
       
           
 
O ponto pedido é P(2, 1, 9) 
 
 
 
 
 
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19. Os pontos M1(2, -1, 3), M2(1, -3, 0) e M3(2, 1, -5) são pontos médios de um triângulo ABC. Obter as 
equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é M1. 
Solução: 
Considere a figura abaixo: 
 
Onde: 
M1(2, -1, 3), M2(1, -3, 0) e M3(2, 1, -5) 
A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) e C(x3, y3, z3) 
     
     
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2
1 2
2 3
2 3
1 3
1 3
1 2
2 3
1 3
M 2, -1, 3 , M 1, -3, 0 e M 2, 1, -5
A x , y , z , B x , y , z e C x , y , z
Assim :
x x
2 x x 4
2
x x
1 x x 2
2
x x
2 x x 4
2
Temos que :
x x 4
x x 2
x x 4

   

   

   
 

 

 
 
Resolvendo o sistema: 
 
1 2
2 3
1 3
1 2 3
x x 4
x x 2
x x 4
Somando as equações :
2 x x x 10 2 Soma 10 Soma 5
 

 

 
       
 
 
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2 3 1 1
1 3 2 2
x x 2 x Soma 2 5 2 3 x 3
e
x x 4 x Soma 4 5 4 1 x 1
         
         
 
     
     
 
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2
1 2
2 3
2 3
1 3
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2 3
M 2, -1, 3 , M 1, -3, 0 e M 2, 1, -5
A x , y , z , B x , y , z e C x , y , z
Assim :
y y
1 y y 2
2
y y
3 y y 6
2
y y
1 y y 2
2
Temos que :
y y 2
y y 6
y y 2
Somando as equações :
2 y y y 6

     

     

   
  

  

 
     
 2 3 1 1
1 3 2 2
2 Soma 6 Soma 3
Assim :
y y 6 y Soma 6 3 6 3 y 3
y y 2 y Soma 2 3 2 5 y 5
    
            
            
 
Finalmente: 
 
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     
     
 
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2
1 2
2 3
2 3
1 3
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2 3
M 2, -1, 3 , M 1, -3, 0 e M 2, 1, -5
A x , y , z , B x , y , z e C x , y , z
Assim :
z z
3 z z 6
2
z z
0 z z 0
2
z z
5 z z 10
2
Temos que :
z z 6
z z 0
z z 10
Somando as equações :
2 z z z 4 2

   

   

     
 

 

  
     
 
2 3 1 1
1 3 2 2
Soma 4 Soma 2
Assim :
z z 0 z Soma 0 4 4 z 4
z z 10 z Soma 10 4 10 6 z 6
    
           
             
Assim, temos os seguintes pontos: A(3, 3, -4) e B(1, -5, 6). Agora, vamos obter as equações paramétricas da 
reta que contem esses pontos. 
   
       
   
o
o
o
o o o
x x at
r : y y bt
z z ct
A 3,3, 4 B 1, 5,6
AB B A 1, 5,6 3,3, 4 2, 8, 1 AB 2, 8, 1
Assim :
a 2 b 8 c 1
Ponto A x ,y ,z A 3,3, 4
Substituindo :
x 3 2t
r : y 3 8t
z 4 t
 

 

 
 
              
     
 
 

 
   
 
 
 
 
 
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20. Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem à reta 
x 3 y 1 z 2
r :
4 2 2
  
 
 
 
Solução: 
 
 
 
1
1
x 3 y 1 z 2
r :
1 2 2
Substituindo P 5, 5,6 :
x 3 y 1 z 2 5 3 5 1 6 2
V
1 2 2 1 2 2
Assim :
2 4 4
2 2 2 P 5, 5,6 r
1 2 2
  
 
 

      
    
   

          
 
 
E 
 
 
 
2
2
x 3 y 1 z 2
r :
1 2 2
Substituindo P 4, 1,12 :
x 3 y 1 z 2 4 3 1 1 12 2
F
1 2 2 1 2 2
Assim :
1 0 10
1 0 5 P 4, 1,12 r
1 2 2
  
 
 

      
    
   
          
 
 
21. Obter o ponto de abscissa 1 da reta 
2x 1 3y 2
r : z 4
3 2
 
  
 e encontrar um vetor diretor de r que 
tenha ordenada 2. 
Solução: 
2x 1 3y 2
r : z 4
3 2
x 1:
2x 1 3y 2 2 1 1 3y 2 3 3y 2 3y 2
1
3 2 3 2 3 2 2
ou
4
3y 2 2 3y 2 2 3y 4 y
3
 
  

      
      
        
 
 
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e
2x 1
z 4 2x 1 3z 12 2 1 1 3z 12
3
9
3z 2 1 12 9 3z 9 z 3 z 3
3

          

              
 
Assim, o ponto pedido é: 
4
1, , 3
3
 
 
 
. 
Vetor diretor de ordenada igual a 2: 
2x 1 3y 2
r : z 4
3 2
y 2 :
2x 1 3 2 2 2x 1 4 2x 1
2
3 2 3 2 3
5
2x 1 6 2x 6 1 5 x
2
e
3 2 2
z 4 z 4 2 z 2 4 2 z 2
2
 
  

    
    
       
 
            
 
O vetor diretor pedido tem coordenadas: 
5
,2, 2
2
 
 
 
. 
22. Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A(-1, 6, 3) e B(2, 2, 1). 
Solução: 
       
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
v AB B A 2,2,1 1,6,3 3, 4, 2 v 3, 4, 2
Assim :
x 1 3t
y 6 4t
z 3 2t
 

 

 
            
  

 
  
` 
 
 
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 
x 1 3t
x 1 y 6 z 3
y 6 4t t
3 4 2
z 3 2tx 1 z 3
2x 2 3z 9 2x 3z 9 2 2x 3z 7
3 2
Dividindo por 2 :
3 7
x z
2 2
e
y 6 z 3
2y 12
4 2
  
  
     
   
 
              


  
 
   
 
4z 12   2y 4z y 2z     
 
23. Escrever as equações paramétricas das retas que passam pelo ponto A(4, -5, 3) e são paralelas aos eixos 
Ox, Oy e Oz, respectivamente: 
Solução: 
Eixo Ox: 
   
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
A 4, 5,3 v 1,0,0
Assim :
y 5
z 3
 

 

 
 
 


 
Eixo Oy: 
   
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
A 4, 5,3 v 0,1,0
Assim :
x 4
z 3
 

 

 
 



 
 
 
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Eixo Oz: 
   
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
A 4, 5,3 v 0,0,1
Assim :
x 4
y 5
 

 

 
 


 
 
24. Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas: 
a) 
1 2
y nx 5x 2 y z
r : e r :
4 5 3 z 2x 2
 
  
 
 
Solução: 
 
 
1
1
2 2 2
2
x 2 y z
r :
4 5 3
Assim :
v 4,5,3
y 5
y nx 5 x
y nx 5 x y 5 z 2n
r : r : r :
1 n 2z 2x 2 z 2
z 2x 2 x
2
Assim :
v 1,n,2

 


      
    
       


 
Mas: 
 
   
2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
v 4,5,3 v 4 5 3 v 50
v 1,n,2 v 1 n 2 v 5 n
v v 4 5n 6 10 5n v v 10 5n
3
cos30
2
Mas :
v v
cos
v v
     
      
         
 

 

 
 
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 
 
 
1 2
21 2
2 2
22
2 2
2 2
2 2 2
2
v v 3 10 5n
cos
v v 2
50 5 n
Elevando ao quadrado :
10 5n3 3 100 100n 25n
4 4 250 50n50 5 n
Simplificando :
3 4 4n n 3 n 4n 4
4 210 2n 5 n
ou
15 3n 2n 8n 8 n 8n 7 0
Re solvendo :
n 8n 7 0 n 1 ou n 7
 
   

 
  
  

   
  
 
       
     
 
b) 
1 2
y nx 1
r : e r : eixo Oy
z 2x
 


 
Solução: 
 
 
1 1
2 2 2 2 2
1 1 1
2
2 2
1 2 1 2
y nx 1 x y 1 z
r : r :
1 n 2z 2x
v 1,n,2 v 1 n 2 5 n v 5 n
e
r : eixo Oy
v 0,1,0 v 1
Mas :
v v n v v n
3
cos30
2
  
  

         
  
    
 
 
 
 
 
1 2
21 2
2 2
22
2 2 2
2 2
v v 3 n
cos
v v 2
1 5 n
Elevando ao quadrado :
n 33 3 n
4 4 5 n5 n
Assim :
4n 15 3n n 15 0
Re solvendo :
n 15 0 n 15 n 15

   

 

  

    
      
 
 
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ESTUDO DAS CÔNICAS 
25. Construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz: 
a) 
2x 4y 
 
Solução: 
 
 
2 2x 4y x 2py Eixo da parábola é o eixo dos y
Assim :
2p 4 p 2
p
Foco F 0; F 0; 1
2
p
Diretriz y y 1
2
   
    
 
  
 
   
 
 
b) 
2y 6x
 
Solução: 
 2 2y 6x y 2px Eixo da parábola é o eixo dos x
Assim :
2p 6 p 3
p 3
Foco F ;0 F ;0
2 2
p 3
Diretriz x x
2 2
  
  
   
   
   
    
 
 
 
 
 
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II. Traçar o esboço 
26. Em cada caso, esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentricidade e equações das 
assíntotas da hipérbole: 
a) 2 2x y
1
4 9
 
 
Solução: 
Gráfico: 
2 2x y
1 y 0 x 2 e x 0 y
4 9
         
 
 
   
   
2 2
2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
x y
1
4 9
a 4 a 2 b 9 b 3
Vértices : A 2,0 A 2,0
Re lação Notável : c a b c 4 9 13 c 13
Assim :
F 13;0 F 13;0
Excentricidade :
c 13
a 2
 
     
 
       

    
 
 
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Assíntotas: 
b 3 3
y mx, m m y x
a 2 2
         
 
2. 2 2y x
1
4 9
 
 
Solução: 
2 2y x
1 x 0 y 2 e x
4 9
       
 
Gráfico: 
 
   
   
2 2
2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
y x
1
4 9
b 9 b 3 a 4 a 2
Vértices : A 0, 2 A 0,2
Re lação Notável : c a b c 4 9 13 c 13
Assim :
F 0; 13 F 0; 13
Excentricidade :
c 13
a 2
 
     
 
       

    
 
Assíntotas: 
a 2 2
y mx, m m y x
b 3 3
         
 
 
 
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27. Determine a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas da 
hipérbole dada: 
a) 
2 29x 4y 18x 16y 43 0    
 
Solução: 
Agrupando e completando os quadrados: 
   
   
       
   
 
   
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
9x 4y 18x 16y 43 0
9x 18x 4y 16y 43 0
9 x 2x 1 9 4 y 4y 4 16 43 0
9 x 1 9 4 y 2 16 43 0
9 x 1 4 y 2 36 0 9 x 1 4 y 2 36 36
x 1 y 2
1 Equação Re duzida
4 9
Re lação Notável : c a b c 4 9 13 c 13
C 1 ,2 Centro A
    
    
        
      
          
 
 
       
      
     
   
 
 
2
1 2
1, 2 ; A 3, 2 Vértices
c 13
F 1 13 ; F 1 13 Excentricidade
a 2
3 3
y ' x ' y 2 x 1
2 2
Equações das Assíntotas :
3
y 2 x 1 2y 4 3x 3 3x 2y 3 4 0 3x 2y 7 0
2
e
3
y 2 x 1 2y 4 3x 3 3x 2y 3 4 0 3x 2y 1 0
2
  
      
      
               
                  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28. Construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz: 
a) 
2x 4y 
 
Solução: 
2 2x 4y x 2py
Assim :
2p y
   
4 y 
 
 
2p 4 p 2
p
Foco : F 0, F 0; 1
2
p
Diretriz : y y 1 y 1 y 1 0
2
     
 
  
 
          
 
Gráfico: 
 
 
b) 
2y 8x 
 
Solução: 
2 2y 8x y 2px
Assim :
2p x
   
8 x 
 
 
2p 8 p 4
p
Foco : F ,0 F 2;0
2
p
Diretriz : x y 2 x 2 x 2 0
2
     
 
  
 
          
 
 
 
 
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Gráfico: 
 
c)
2y x 0 
 
Solução: 
2 2 2y x 0 y x y 2px
Assim :
2p x     
x
1
2p 1 p
2
p 1
Foco : F ,0 F ;0
2 4
p 1 1 1
Diretriz : x x x x 0
2 4 4 4
   
   
   
   
 
           
 
 
Gráfico: 
 
 
 
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d) 
2x 10y 0 
 
Solução: 
2 2 2x 10y 0 x 10y 0 x 2py
Assim :
2p y
      
10 y 2p 10 p 5
p 5
Foco : F 0, F 0;
2 2
p 5 5
Diretriz : y y y 2y 5 2y 5 0
2 2 2
   
   
   
   
 
              
 
 
Gráfico: 
 
29) Esboçar o gráfico e escrever uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas: 
a) Vértice: V(0,0), diretriz d: y=-2. 
Solução: 
2 2
p p
y 2 y 2 p 4
2 2
Assim :
x 2py x 8y
          
  
 
Gráfico: 
Tabela 
y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
x 0 2,8 4 4,9 5,7 6,3 6,9 7,5 8 
 
Faça um gráfico com esses valores. 
 
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b) Vértice: V(0,0), foco F(0,-3) 
Solução: 
Observe a figura abaixo: 
 
Sabemos que: 
2 2
p p
VF 3 p 6
2 2
Assim :
x 2py x 12y
      
   
 
c) Foco 
1
F 0;
4
 
 
 
; diretriz d = 4y – 1 = 0 
Solução: 
Observe a figura abaixo: 
 
Sabemos que: 
2 2
p p 1 1
VF p
2 2 4 2
Assim :
x 2py x y
      
   
 
 
 
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30. 
2x 4x 8y 12 0   
 
Solução: 
   
       
   
 
2
2 2 2 2
2 22
22
0 0
0 0
x 4x 8y 12 0
Comple tando o quadrado :
x 4x 8y 12 0 x 2 2x 2 2 8y 12 0
x 4x 4 4 8y 12 0 x 2 8y 8 0 x 2 8y 8
x 2 8 y 1 x x 2p y y
Vértice : V x ;y V 2; 1
e
p
2p 8 p 4 VF VF 2
2
Foco F 2; 3
   
           
               
       
  
        
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31. Encontrar a equação geral da parábola definida por: 
2
x t 1
t
y 2
3
 


 

 
Solução: 
 
2
2
22 2 2
x t 1 t x 1
t
y 2 3y t 6
3
Assim :
3y t 6 3y x 1 6 3y x 2x 1 6 x 2x 3y 5 0
    


    

               
 
32. Encontrar a equação geral da parábola definida por: 
2t
x 4
4
y t

  



 
Solução: 
2
2
2 2 2
t
x 4 4x t 16
4
y t
4x t 16 4x y 16 y 4x 16 0

     



        
 
 
 
 
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33. Encontrar a equação geral da parábola definida por: 
a) 
2
x t 1
t
y 2
3
 


 

 
Solução: 
 
2
2
22 2 2
x t 1 t x 1
t
y 2 3y t 6
3
Assim :
3y t 6 3y x 1 6 3y x 2x 1 6 x 2x 3y 5 0
    


    

               
 
b) 2t
x 4
4
y t

  



 
Solução: 
2
2
2 2 2
t
x 4 4x t 16
4
y t
4x t 16 4x y 16 y 4x 16 0

     



        