COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS UNIP NP1 - SOLUÇÕES B

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS UNIP NP1 
1. Os cabos de aço AB e AC sustentam a massa de 200 kg. Se a tensão axial admissível para os cabos for 
adm
130 MPa  , determine o diâmetro exigido para cada cabo. Além disso, qual é o novo comprimento do cabo AB após 
a aplicação da carga? Considere que o comprimento não alongado de AB seja 750 mm. açoE 200 GPa . 
 
 
Solução: 
Trações nos cabos: 
 
 
 
2
Aço adm
AB
x AC AB AC AB
AC AB AC AB
Dados :
m 200 kg E 200GPa g 10 m / s 130 MPa
3 4
L 750 mm 60 cos sen
5 5
Assim:
3
F 0 :F cos F cos 0 F F cos 60 0
5
Assim:
3 1
F F 0 6F 5F 0 1
5 2
    
       
         
    

 
 
 
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 
 
y AC AB AC AB
AC AB AC AB
AC AB
AC AB
AC
4
F 0 :F sen F sen P 0 F F sen 60 mg 0
5
Assim:
0,8F 0,866F 200 9,81 0 0,8F 0,866F 1962 2
Resolvendo :
6F 5F 0
0,8F 0,866F 1962
Assim:
0 5
1962 0,866 9810 9810
F N N
6 5 5,196 4
0,8 0,866
           
      
 

 

  
 

AC
AB AB
N 1066,77 N F 1066,77 N
9,196
e
6 0
0,8 1962 11772 11772
F N N N 1280,12 N F 1280,12 N
6 5 5,196 4 9,196
0,8 0,866
  
     
 
 
AC adm AB
2 2AC AC AC AC
adm AC AC
adm adm adm
2 2 2 6AC
AC AC AC6
adm
2
AC
Assim:
Dados :
F 1006,77 N 130 MPa L 750 mm
Mas :
F F F F
A d 0,785d
A 4
Substituindo :
F 1066,77
0,785d 0,785d 0,785d 8,206 10
130 10
Assim:
8,206 1
d

   
 
        
   
     
 


6 6
3
AC AC AC
0 8,206 10
d m d 3,233 10 m d 3,233 mm
0,785 0,785
 
      
 
 
 
 
 
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AB adm AB
2 2AB AB AB AB
adm AB AB
adm adm adm
2 2 2 6AB
AB AB AB6
adm
2
AB
Assim:
Dados :
F 1280,12 N 130 MPa L 750 mm
Mas :
F F F F
A d 0,785d
A 4
Substituindo :
F 1280,12
0,785d 0,785d 0,785d 9,847 10
130 10
Assim:
9,847 1
d

   
 
        
   
     
 


6 6
3
AB AB AB
0 9,847 10
d m d 3,542 10 m d 3,542 mm
0,785 0,785
 
      
 
 
AC adm AB
2 2AC AC AC AC
adm AC AC
adm adm adm
2 2 2 6AC
AC AC AC6
adm
6
2
AC
Dados :
F 1006,77 N 130 MPa L 750 mm
Mas :
F F F F
A d 0,785d
A 4
Substituindo :
F 1066,77
0,785d 0,785d 0,785d 8,206 10
130 10
Assim:
8,206 10
d
0,7


   
 
        
   
     
 


6
3
AC AC AC
adm
AB
6
4 3adm
AB AB AB9
8,206 10
d m d 3,233 10 m d 3,233 mm
85 0,785
Aplicando a Lei de Hooke E no cabo AB :
Cabo AC
E
Assim:
130 10
m / m 6,5 10 m / m 0,65 10 m / m 0,65 mm / mm
E 200 10


 

      
  

 
 
           

 
 
 
 
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4 4
AB AB AB
AB AB
Mas :
L L 6,5 10 0,750 m 4,875 10 m 0,4875 mm
Assim:
L L L 750 0,4875 mm 750,4875 mm L 750,4875 mm
          
       
 
2. A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. Determine o deslocamento 
vertical de sua extremidade, A, se P1 = 200 kN, P2 = 310 KN e a coluna tiver área de seção transversal de 14.625 mm² 
 
SOLUÇÃO: 
2 6 2
AB BC
3 3
1 2
9
Dados :
L L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N P 310 kN 310 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
    
     
  
 
Trecho AB 
 
 
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 
2 6 2
AB
3 9
1
y AB 1 AB 1
AB
Dados :
L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N E 200 GPa 200 10 Pa
Assim:
F 0 P 2 P 0 P 2 P 2 200 kN 400 kN
P 400 kN contração
   
     
          
  

 
3 6
4AB AB
AB 9 6 9
4
AB
Assim:
P L 400 10 3,6 1,44 10
m m 4,9231 10 m
E A 200 10 14.625 10 2,925 10
Assim:
4,9231 10 m



    
       
    
   
 
Trecho BC 
 
 
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 
2 6 2
BC
3 3
1 2
9
y BC 1 2 AB 1 2
BC
BC BC
BC
Dados :
L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N P 310 kN 310 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Assim:
F 0 P 2 P 2 P 0 P 2 P 2 P 2 200 2 310 kN 1020 kN
P 1020 kN contração
Assim:
P L 1020
E A
   
     
  
                
  
 
  


   
3 6
3
9 6 9
4
BC
4 3 3
A AB BC
A
10 3,6 3,672 10
m m 1,2554 10 m
200 10 14.625 10 2,925 10
Assim:
1,2554 10 m
Dessa forma:
4,9231 10 1,2554 10 m 1,74771 10 m
Assim:
1,74771 mm



  
  
    
   
   
             
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. A haste de aço A-36 está sujeita ao carregamento mostrado. Se a área de seção transversal da haste for 60 mm2, 
determine o deslocamento de B e A. Despreze o tamanho dos acoplamentos em B, C e D. 
 
SOLUÇÃO: 
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
     
        
  
 
Trecho AB 
 
 
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 
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
y AB A AB A AB
3
AB AB
AB 9 6
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Assim:
F 0 P P 0 P P P 8 kN Tração
Assim:
P L 8 10 0,5 4 1
m
E A 200 10 60 10


     
        
  
       
   
   
   

3
4 4
AB6
0
m 3,3333 10 m 3,3333 10 m
12 10
      

 
 
Trecho BC 
 
y
y y
y
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
B
B 3 3 3B
B B B
y BC B
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Pr oje tando a força P no eixo y :
PP 3
P P 0,6 2 10 N 1,2 10 N P 1,2 10 N
5 3 5
F 0 P 2 P
     
        
  
          
    
 
y
3 3
A BC A B
3
BC BC
3 3
3 3BC BC
BC BC9 6 6
P 0 P P 2 P 8 10 2 1,2 10 N
P 10,4 10 N P 10,4 kN Tração
Assim:
P L 10,4 10 1,5 15,6 10
m m 1,3 10 m 1,3 10 m
E A 200 10 60 10 12 10
 

         
   
   
         
    

 
 
 
 
 
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Trecho CD 
 
y
y y
y
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
B
B 3 3 3B
B B B
y BC B
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Pr oje tando a força P no eixo y :
PP 3
P P 0,6 2 10 N1,2 10 N P 1,2 10 N
5 3 5
F 0 P 2 P
     
        
  
          
    
 
 
y
y y
3 3
A BC A B
3
BC BC
C
3 3 3
C C C C C
y CD B C A Cd A B C
P 0 P P 2 P 8 10 2 1,2 10 N
P 10,4 10 N P 10,4 kN Tração
Pr oje tando a força P no eixo y :
P P sen 60 P 0,866P 0,866 3,3 10 N 2,8578 10 N P 2,8578 10 N
F 0 P 2 P 2 P P 0 P P 2 P 2 P 8
         
   
           
               

 CD CD
3 3
3 3CD CD
CD CD9 6 6
2 1,2 2 2,8578 kN
P 8 2,4 5,7156 kN P 16,1156 kN Tração
Assim:
P L 16,1156 10 0,75 12,0867 10
m m 1,0072 10 m 1,0072 10 m
E A 200 10 60 10 12 10
 

  
    
   
         
    

 
4 3 3
AB BC CD
3 3 3
B BC CD B
4 3 3
A AB B A
Dados :
3,3333 10 m 1,3 10 m 1,0072 10 m
Assim:
1,3 10 1,0072 10 m 2,3072 10 m 2,3072 mm
e
3,3333 10 2,3072 10 m 2,6405 10 m 2,6405 mm
  
  
  
        
             
             
 
 
 
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4. O conjunto é composto por uma haste CB de aço A-36 e uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 25 
mm. Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A se deslocar 2 mm para a direita e B se deslocar 0,5 mm para a esquerda 
quando as cargas forem aplicadas. O comprimento de cada segmento quando não alongado é mostrado na figura. Despreze o 
tamanho das conexões em B e C e considere que elas são rígidas. 
 
SOLUÇÃO: 
Roteiro: 
(1) Listar os dados do problema, fazendo as devidas conversões. 
(2) Separar a estrutura em partes, como indicado na figura abaixo: 
 
(3) Aplicar as equações de deslocamento: 
 
 
3 3
A B AB
9 3
2
2 3 2 4 4
AB
3 3AB AB 1
A B 9 4
Trecho AB
2 mm 2 10 m 0,5 mm 0,5 10 m L 1,2 m
E 68,9 GPa 68,9 10 Pa d 25 mm 25 10 m
A d 0,785 25 10 m 4,906 10 m A 4,906 10 m
4
P L P 1,2
2 10 0,5 10
E A 68,9 10 4,906 10
Assim
 

  
 

          
     

        
 
         
   
3 3 6 31
1 16
3
! 1
:
P 1,2
2,5 10 1,2 P 2,5 10 33,802 10 1,2 P 84,505 10
33,802 10
Assim:
84,505
P N 70,42 10 N P 70,42 kN
1,2
            

    
 
 
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 
 
 
3 9
B BC aço
3
2
2 3 2 4 4
BC
1 23BC BC
B 9 4
1 23
Trecho BC
0,5 mm 0,5 10 m L 0,6 m E 200 GPa 200 10 Pa
d 25 mm 25 10 m
A d 0,785 25 10 m 4,906 10 m A 4,906 10 m
4
P P 0,6P L
0,5 10
E A 200 10 4,906 10
Assim:
P P 0,6
0,5 10
9


  



         
  

        
 
     
   
 
    3 6 31 1 26
3
3 3
! 2 ! 2
3
1
3 3 3
! 2 2
2
1,2 P 0,5 10 98,12 10 0,6 P P 49,06 10
8,12 10
Assim:
49,06 10
P P N 81,77 10 N P P 81,77 10 N
0,6
Mas :
P 70,42 10 N
Substituindo :
P P 81,77 10 70,42 10 P 81,77 10 N
Assim:
P 81,77
            

 
         
 
         
    3 3 3
2
10 70,42 10 152,19 10 N P 152,19 kN      
 
5. Para a viga abaixo: 
 
Trace os Diagramas de Momento Fletor e Esforço Cortante. 
Solução: 
Trace os Diagramas de Momento Fletor e Esforço Cortante. 
 Reações de Apoio 
 
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Após transformarmos a carga distribuída de 30 kN/m em uma carga concentrada de 120kN, e identificarmos as reações nos 
apoios, aplicamos as equações de equilíbrio para determinar essas reações. Assim, temos: 
x A
A B
B B B
B B
y A B A
A A
F 0 : H 0
M 0 : 15 10,5 7,5V 15 7,5 120 2 0
Assim:
7,5V 157,5 112,5 240 0 7V 510 0 7V 510
Assim:
510
V kN V 68 kN
7,5
F 0 : V 120 15 V 15 0 V 150 68 0
Assim:
V 82 0 V 82 kN
 
        
        
  
         
   



 
 
 Diagrama de Corpo Livre 
 
 
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 Esforços Solicitantes 
 
 
Seção A 
 
A A1
y A1 A1
M 0: M 0
F 0 : 82 V 0 V 82 kN
 
     


 
 
Seção C 
 
 
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C C2
C2 C2 C2
y C2 C2 C2
M 0: M 82 4 120 2 0
Assim:
M 328 240 0 M 88 0 M 88 kN m
F 0 : 82 120 V 0 38 V 0 V 38 kN
     
         
          


 
Seção B3 
 
B B3
B3 B3
y B3 B3 B3
M 0: M 15 3 0
Assim:
M 45 0 M 45 kN m
F 0 : V 15 68 15 0 V 38 0 V 38 kN
    
      
          


 
Seção B4 
 
    
      
     


B B4
B4 B4
y B4 B4
M 0: M 15 3 0
Assim:
M 45 0 M 45 kN m
F 0 : V 15 0 V 15 kN
 
 
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Seção D 
 
 
     


D D5
y D5 D5
M 0: M 0
F 0 : V 15 0 V 15 kN
 
Resumo 
Seção Esforço Cortante (V) Momento Fletor (M) 
A 
A1
V 82 kN  0 
 
B 
B3
V 38 kN    
B3
M 45 kN m 
 
B4
V 15 kN   
B4
M 45 kN m 
C 
C2
V 38 kN  
C2
M 88 kN m   
D  
D5
V 15 kN 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Diagramas de Esforços Solicitantes 
DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES (DEC) 
 
Ponto onde o Esforço Cortante é Nulo e o Momento Fletor é Máximo 
 
 
 
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 
Por semelhança de triângulos:
82 x
82 4 x 38x 328 82x 38x
38 4 x
Assim:
328
82x 38x 328 120x 320 x m x 2,73 m
120
      

       
 
E E E
E E
Momento Fletor Máximo:
M 0: M 30 2,73 1,365 2,73 82 0 M 111,79 223,86 0
Assim:
M 112,07 0 M 112,07 kN m
          
     

 
 
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A-36. Se for submetida a uma força axial de 
800 kN, determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 1/4 da carga seja suportada pelo aço e 3/4, pelo concreto. E 
aço = 200 GPa e Ec = 25 GPa. 
 
SOLUÇÃO: 
 
conc conc
aço aço
2 2
aço aço aço aço conc aço
22 2 2
conc conc aço conc aço
aço
Dados :
3
P 800 kN P P 0,75 800 kN 600 kN P 600 kN
4
1
P P 0,25 800 kN 200 kN P 200 kN
4
A 4 d A 3,14d L L
4
L 300mm 0,3 m A L A 0,3 m A 0,09 3,14d m
E 200 GPa 2
       
      

    
        
  9 9
conc
aço conc
aço aço conc conc
aço aço conc conc
00 10 Pa E 25 GPa 25 10 Pa
Compatibilidade :
Assim:
P L P L
E A E A
   
  
 

 
 
 
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aço conc
aço aço
Como L L
P L


conc conc
aço aço
P L
E A



aço conc
conc conc aço aço conc conc
P P
E A E A E A
Substituindo :
200
 
  
200
9200 10

 2
aço
600
3,14d


200
925 10

  
 
2 2
aço aço
2 2
aço aço2 2
aço aço
2 2 2 2 2
aço aço aço aço aço
2
aço
1 3
200 3,14d 25 0,09 3,14d0,09
Assim:
1 3
3 628d 1 2,25 78,5d
628d 2,25 78,5d
Assim:
1884d 2,25 78,5d 1884d 78,5d 2,25 1962,5d 2,25
Assim:
2,25
d m 0,0338
1962,5
 
  
     

      
 
aço
6 m 33,86 mm d 33,86 mm  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. O mancal de encosto está sujeito às cargas mostradas. Determine a tensão normal média desenvolvida nas seções 
transversais que passam pelos pontos B, C e D. Faça um rascunho dos resultados sobre um elemento de volume infinitesimal 
localizado em cada seção. 
 
Solução: 
 
B B B
B B2 2
B B B
3
B B
B
B B2 2
3
B
3
B 3
3
B
Tensão em B
N N N
A 0,785d 0,785d
Onde :
N 500 N d 65 mm 65 10 m
Substituindo :
N 500
Pa
0,785d 0,785 65 10
500
Pa 150,7 10 P150,7 10 Pa
3,3
a
17 10



     
   
    
 
      

 
 
 
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 
C C C
C C2 2
C C C
3
C C
C
C C2 2
3
C
3
C 3
3
C
Tensão em C
N N N
A 0,785d 0,785d
Onde :
N 500 N d 140 mm 140 10 m
Substituindo :
N 500
Pa
0,785d 0,785 140 10
500
Pa 32,5 10 Pa
15,38
32,5 10 P
6
a
10




   

 
   
    
 
    

 
 
 
D D D
D D2 2
D D C
3
D D
D
D D2 2
3
C
3
D 3
3
D
Tensão em D
N N N
A 0,785d 0,785d
Onde :
N 200 N d 100 mm 100 10 m
Substituindo :
N 200
Pa
0,785d 0,785 100 10
200
Pa 25,5 10 Pa
7,85 10
25,5 10 Pa



     
   
    
 
      

 
 
 
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8. O eixo está sujeito à força axial de 30 kN. Se ele passar pelo orifício de 53 mm de diâmetro no apoio fico A, determine a 
tensão normal no mancal que age sobre o colar C. Determine também a tensão de cisalhamento média que age ao longo da 
superfície interna do colar no ponto onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro. 
 
 
Solução: 
   
mancal D D
mancal mancal2 2 2 2
mancal colar colarorifício orifício
3 3 3
mancal colar orifício
D
mancal 2
colar
Tensão no Mancal
N N N
A 0,785 d d 0,785 d d
Onde :
N 30 kN 30 10 N d 60 mm 60 10 m d 53 mm 53 10 m
Substituindo :
N
0,785 d
 
    
 
        
 
     
3
2 22
3 3
orifício
3
6
manc
6
mancalal 4
30 10
Pa
d 0,785 60 10 53 10
30 10
Pa 48,3 10 Pa
6
48,3
,209 10
10 Pa
 



   
  

       
 
eixo eixo eixo
média média
eixo eixo colar eixo colar
3 3 3
eixo eixo colar
3
eixo
média
eixo colar
Tensão de Cisalhamento Média no Eixo
N N N
A d h d h
Onde :
N 30 kN 30 10 N d 52 mm 52 10 m h 10 mm 10 10 m
Substituindo :
N 30 10
d h 3,1
 
     
 
        

  
 3 3
3
6
média
6
mé i3 d a
Pa
416 52 10 10 10
30 10
Pa 18,4 10 Pa
1,63
18,4 10
4 10
Pa
 

  
  


    
 
 
 
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9. Os diâmetros das hastes AB e BC são 4 mm e 6 mm, respectivamente. Se a carga vertical de 8 kN for aplicada ao anel B, 
determine o ângulo  da haste BC de modo que a tensão normal média em cada haste seja equivalente. Qual é essa tensão? 
 
 
Solução: 
3 3
AB BC
Dados :
w 8 kN d 4 mm 4 10 m d 4 mm 4 10 m       
 
 
2
AB AB
3
AB
2
2 3 2 5 2 5 2
AB AB AB
2
BC BC
3
BC
:
A 0,785d
Onde :
d 4 mm 4 10 m
Substituindo :
A 0,
Áreas das Seções
785d 0,785 4 10 m 1,256 10 m A 1,256 10 m
e
A 0,785d
Onde :
d 6 mm 6 10 m
S
 Transversais das Hastes AB 
ubst
e BC
ituindo

  


  
        

  
 
2
2 3 2 5 2 5 2
BC BC BC
:
A 0,785d 0,785 6 10 m 2,826 10 m A 2,826 10 m          
 
 
 
 
 
 
 
 
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Equações de Equilíbrio: 
 
x BC AB
5 5
BC BC AB AB
BC AB
5 5
5
:
F 0 : F cos F 0
Mas :
F A 2,826 10 e F A 1,256 10
Substituindo :
F cos F 0
2,826
Equações de Eq
10 cos 1,256 10 0
uilíbr
Ass
i
im:
2,826 10
o
 
 

   
         
  
      


5cos 1,256 10     2,826cos 1,256
Assim:
1,256 1,256
cos arccos 63,6
2,826 2,826
  
 
         
  
 
y BC
5 3
BC BC
BC
5 3
5 3 5 3
:
F 0 : F sen w 0
Mas :
F A 2,826 10 e w 8 kN 8 10 N 63,6
Substituindo :
F sen w 0
2,826 10 sen 63,6 8 10 0
Assim:
2,826 10 0,8957 8 1
Equações de
0 2,531 10 8
 E
10
Assim:
8
quilíb
10
rio
 
 
   

   
          
  
     
         

 

3
5
Pa 316,1 Pa 316,1 Pa
2,531 10
  

 
 
 
 
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11. O eixo da seção circular BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90 mm E 120 mm, respectivamente. Os eixos de 
seção circular AB e CD são cheios e REM diâmetro d. Para o carregamento mostrado na figura, determine (a) as tensões de 
cisalhamento máxima e mínima no eixo BC; (b) o diâmetro necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento 
admissível nesses eixos for de 65 MPa. 
 
Solução: 
a) Tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC 
Seja AB
T
 o torque no eixo AB, cortamos uma seção no eixo AB e escrevemos as equações de equilíbrio para o diagrama de 
corpo livre mostrado na figura abaixo: 
 
x AB ABM 0: 6 T 0 T 6 kN m      
Agora, cortamos uma seção no eixo BC e escrevemos as equações de equilíbrio para o diagrama de corpo livre mostrado na 
figura abaixo: 
 
 
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x BC BCM 0: 6 14 T 0 T 20 kN m       
Para o eixo circular vazado, temos: 
 
 
     
4 4
2 1
2 1
4 44 4 4 5 4
2 1
J c c
2
Onde :
c 60 mm 0,060 m e c 45 mm 0,045 m
Substituindo :
J c c 0,060 0,045 m J 1,392 10 m
2 2


 
   
         
 
 
(i) Tensão de cisalhamento máxima 
BC 2
2máx
3 5 4
BC 2
3
6BC 2
máx máx máx máx5
T c
J
Onde :
T 20 kN m 20 10 N m c 0,060 m J 1,392 10 m
Substituindo :
T c 20 10 0,06
Pa 86,2 10 Pa 86,2 MPa
J 1,392 10



   
       
  
           

 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(ii) Tensão de cisalhamento mínima 
Sabendo que as tensões são proporcionais às distâncias dos centros do eixo, temos: 
mín 1 1
mín máx
2 2máx
6
1 2 máx
661
mín máx mín mín mín
2
c c
c c
Onde :
c 0,045 m c 0,060 m 86,2 10 Pa
Substituindo :
c 0,045
86,2 10 Pa 64,65 10 Pa 64,65 MPa
c 0,060

     

    
               
 
b) Diâmetro d 
Em ambos os eixos AB e CD, o torque tem intensidade igual a: 
 
3 6
4
4 3
4
3 3
3 3 3
3
33
6
T 6 kN m 6 10 N m e 65 MPa 65 10 Pa
Mas :
Tc Tc 2Tc 2T
J c e
2 J c c
c
2
Assim:
2T 2T
c c
Mas :
d
d 2c c
2
Assim:
2T d 2T 2T
c d 2
2
Substituindo :
2T 2 6 10
d 2 d 2 m d 2 0,0389 m 0,0
65 10
        

           
  
  
 
  
     
  
 
        
  
778 m d 77,8 mm 
 
 
 
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12. . A seção transversal cheia mostrada na figura é feita de latão para o qual a tensão de cisalhamento admissível é de 55 MPa. 
Desprezando o efeito das concentrações de tensão, determine os menores diâmetros dAB e dBC para os quais a tensão de 
cisalhamento admissível não é excedida. 
 
Solução: 
Sabemos que: 
3
2T
d 2 
 
Para o eixo AB, temos: 
AB ABx
AB3
AB
AB3 3
AB AB AB AB6
M 0: T 1200 400 0 T 800 N m
Assim:
2T
d 2
Substituindo :
2T 2 800
d 2 d 2 m 2 0,0201 m d 0,0402 m d 40,2 mm
55 10
      
 


          
  

 
Para o eixo BC, temos: 
BC BCx
BC3
BC
BC3 3
AB BC BC BC6
M 0: T 400 0 T 400 N m
Assim:
2T
d 2
Substituindo :
2T 2 400
d 2 d 2 m 2 0,0167 m d 0,0334 m d 33,4 mm
55 10
     
 


          
  

 
 
 
 
 
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13. O eixo horizontal AD está engastado a uma barra rígida em D e submetido aos torques mostrados na figura. Foi feito um furo 
de 44 mm de diâmetro na parte CD do eixo. Sabendo que o eixo inteiro é feito de aço para o qual G = 77 GPa, determine o 
ângulo de torção na extremidade A. 
 
Solução: 
O eixo consiste em três partes AB, BC e CD cada uma com seção transversal constante e momento torçor interno também 
constante. Assim: 
 BC BC CD CDAB ABA
AB BC CD
T L T LT L1
1
G J J J
 
    
  
Cortando o eixo entre A e B e aplicando as equações de equilíbrio: 
 
x AB ABM 0: 250 T 0 T 250 N m      
Cortando o eixo entre B e C, tem-se: 
x BC BC
BC CD
M 0: 250 2000 T 0 T 2.250 N m
Como nenhum torque é aplicado em C :
T T 2.250 N m
      
  

 
 
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Momentos polares de inércia: 
 
 
 
     
44 4 8 4
AB AB
44 4 6 4
BC BC
4 44 4 4 7 4
CD 2 1 CD
J c 0,015 m J 7,95 10 m
2 2
J c 0,030 m J 1,27 10 m
2 2
J c c 0,030 0,022 m J 9,04 10 m
2 2



 
     
 
     
          
 
 
 
Retornando à equação (1): 
 
 
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BC BC CD CDAB AB
A
AB BC CD
9
AB BC CD
AB BC CD
8 4 6 4 7 4
AB BC CD
BC BC CD CDAB AB
A
AB BC CD
T L T LT L1
G J J J
Onde :
G 77 GPa 77 10 Pa
T 250 N m T T 2.250 N m
L 0,4 m L 0,2 m L 0,6 m
J 7,95 10 m J 1,27 10 m J 9,04 10 m
Assim:
T L T LT L1
G J J J
  
 
    
 
  
    
  
     
 
   

A 9 8 6 7
A 9
1 250 0,4 2.250 0,2 2.250 0,6
radianos
77 10 7,95 10 1,27 10 9,04 10
1
77 10
  


   
    
    
 

91,26 10 90,35 10  91,49 10  
 A A
A
A
A A A
radianos
1 3,1
1,26 0,35 1,49 graus radianos
77 77
0,0403 rad
Assim:
3,1416 rad 180
0,0403rad
Assim:
0,0403 180
2,309 2,31
3,1416
      
 
 
 
 
        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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14. Duas placas de aço de 12 x 220 mm de seção transversal retangular são soldadas a um perfil W250 x 58 como mostra a 
figura. Determinar a maior força cortante admissível, se a tensão de cisalhamento na viga não deve exceder a 90 MPa. 
OBS.: Momento do perfil W250 x 58: 
6 4
xI 87,3 10 mm  
 
 
Solução: 
 
(i) Calculo do Momento de Inércia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Elemento 
 
A (mm²) 
 
 d mm
 
 
Ad² (mm4) 
 
 4I mm
 
Placa Superior 2400 164,5 664,94 10 
328,8 10 
W 310 x 52 0 0 6 487,3 10 mm 
Placa Inferior 2400 164,5 664,94 10 
328,8 10 
Soma 6129,89 10 
687,36 10 
 
3 4 3 4
317 12
d 164,5 mm
2 2
1
I 200 12 mm I 28,8 10 mm
12
  
     
 
Assim: 
6 6 4 6 4 -6 4
I Ad² I
Substituindo :
I 129,88 10 87,36 10 mm I 217,24 10 mm I 217,24 10 m
 
         
 
 
 
Elemento A (mm²)  y mm
  
3Ay mm
 
1
Placa Superior 
2400 164,5 394,8·103 
2
Perfil Superior 
2204,4 151,9 334,8·103 
3
 Perfil Central 
1104,3 72,65 80,23·103 
Soma 809,83·103 
 
 
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Assim: 
3 3 6 3
3
w
Q Ay
Substituindo :
Q Ay Q 809,83 10 mm Q 809,83 10 m
t t 7,6 mm t 7,6 10 m



      
    


 
Mas: 
máx
máx
-6
I tVQ
V
It Q
Substituindo :
217,24 10
V
  
   


3 67,6 10 90 10   
6
6
809,83 10
170
V N V 183,5 kN
809,83 10



  
